KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bìn[.]
KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành Hình lăng trụ đứng Định nghĩa Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy Hình lăng trụ Định nghĩa Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Tính chất Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Hình hộp đứng Định nghĩa Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất Hình hộp đứng có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Tính chất Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật Hình lập phương Định nghĩa Hình lập phương hình hộp chữ nhật đáy mặt bên hình vng Tính chất Hình lập phương có mặt hình vng Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh I – THỂ TÍCH Cơng thức tính thể tích khối chóp V = Trong đó: S h S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h Trong đó: B diện tích đáy, h hiều cao khối lăng trụ ● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c S Trong đó: a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật B' ● Thể tích khối lập phương: V = a Trong a độ dài cạnh hình lập phương A' III – TỶ SỐ THỂ TÍCH Cho khối chóp S ABC A ' , B ' , C ' điểm tùy ý lần A C' C B lượt thuộc SA , SB , SC ta có VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Phương pháp áp dụng khối chóp khơng xác đinh chiều cao cách dễ dàng khối chóp cần tính phần nhỏ khối chóp lớn cần ý đến số điều kiện sau · Hai khối chóp phải chung đỉnh · Đáy hai khối chóp phải tam giác · Các điểm tương ứng nằm cạnh tương ứng CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN Câu 66 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh 2a , đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy Tính theo a thể tích V khối hộp cho 8a a3 B V = C V = 8a3 D V = a 3 Câu 67 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên AA ' = a , hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng (ABCD ) trùng với trung điểm H A V = AB Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 B V = C V = a3 D V = Câu 68 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng (ABC ) trung điểm H cạnh A V = AB A ' A = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 C V = D V = a3 Câu 69 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác A V = a3 B V = ABC , biết A ' O = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 A V = B V = C V = 12 4 D V = a3 Câu 70 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a A ' A = a Hình chiếu vng góc điểm A ' mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho 2a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 2a3 Câu 71 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A , AB = AC = a Biết A ' A = A ' B = A ' C = a a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = 12 Câu 72 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , AB = 1, AC = ; A V = cạnh bên AA ' = Hình chiếu vng góc A ' mặt đáy (ABC ) trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho 21 21 21 B V = C V = D V = 12 4 Câu 73 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ biết thể tích khối chóp A.BCB ¢C ¢ 2a3 5a3 A V = 6a3 B V = C V = 4a3 D V = 3a3 Câu 74 Cho hình hộp ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ tích 12cm Tính thể tích V khối tứ diện AB ¢CD ¢ A V = 2cm B V = 3cm C V = 4cm D V = 5cm Câu 75 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB = a , AD = a ; A ' O vng góc với đáy (ABCD ) Cạnh bên AA ' hợp với mặt đáy (ABCD ) A V = góc 450 Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 B V = C V = D V = a3 Câu 76 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh có độ dài Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trung điểm H BC Góc tạo cạnh bên A V = AA ' với mặt đáy 450 Tính thể tích khối trụ ABC A ' B ' C ' 6 D V = 24 Câu 77 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , cạnh AC = 2 Biết AC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) góc 60 A V = B V = C V = AC ¢= Tính thể tích V khối đa diện ABCB ¢C ¢ 16 16 B V = C V = D V = 3 3 Câu 78 Tính thể tích V khối lăng trụ biết đáy có diện tích S = 10 cm , cạnh bên tạo A V = với mặt phẳng đáy góc 60 độ dài cạnh bên 10cm A V = 100cm B V = 50 3cm C V = 50cm D V = 100 3cm Câu 79 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O · ABC = 120 Góc cạnh bên AA ' mặt đáy 60 Đỉnh A ' cách điểm A, B, D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 3a3 a3 B V = C V = D V = a3 2 Câu 80 Cho hình hộp ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc · ABC = 60 Biết A ¢O ^ (ABCD ) cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính thể A V = tích V khối đa diện OABC ¢D ¢ a3 a3 A V = B V = 12 C V = a3 D V = 3a3 Vấn đề THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN Câu 66 Gọi O tâm hình vng ABCD , suy A ' O ^ (ABCD ) C' B' D' A' Tam giác vuông A ' OA , có A ' O = AA '2 - AO2 = 4a2 - 2a2 = a Diện tích hình vng S ABCD = a2 B Vậy V ABCD A ' B ' C ' D ' = SD ABCD A ' O = 4a Chọn D Câu 67 Theo giả thiết, ta có A ' H ^ AB A ' HA , Tam giác vuông a A ' H = AA '2 - AH = Diện tích hình vng S ABCD = a2 O A C D C' B' có D' A' B H C a3 Chọn B Vậy V ABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' H = D A C' A' Câu 68 Từ giả thiết suy BA = BC = a A ' HA , Tam giác vuông có B' a A ' H = AA '2 - AH = A C Diện tích tam giác ABC S D ABC = BA.BC = a2 H B a3 Chọn C Vậy V = S D ABC A ' H = a2 Câu 69 Diện tích tam giác S D ABC = Chiều cao khối lăng trụ A ' O = a a3 Chọn A Vậy thể tích khối lăng trụ V = S D ABC A ' O = Câu 70 Gọi M , N trung điểm AB, BC C' A' Khi G = AN ÇCM trọng tâm D ABC Theo giả thiết, ta có A ' G ^ (ABC ) B' Tam giác ABC cạnh a nên suy 2 AN = a ắ ắ đ AG = AN = a A 3 C Tam giác vng A ' GA , có A ' G = A ' A - AG = a M G N B = a Diện tích tam giác ABC S D ABC = 2a Vậy thể tích khối lăng trụ V ABC A ' B 'C ' = S ABC A ' G = 2a3 Chọn D Câu 71 Gọi I trung điểm BC Từ A ' A = A ' B = A ' C = a , suy hình chiếu vng góc A ' mặt đáy (ABC ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( ) Suy A ' I ^ (ABC ) Tam giác ABC , có BC = B' AB + AC = a A ' B - BI = Tam giác vuông A ' IB , có A ' I = Diện tích tam giác ABC S D ABC = Vậy V ABC A ' B ' C ' = S D ABC A ' I = a a a2 AB AC = 2 I B Chọn C C' A' Tam giác vng ABC , có AC - AB = ; AH = Tam giác vuông A ' HA , có A ' H = B' AB = AC AA '2 - AH = C A Câu 72 Gọi H chân đường cao hạ từ B D ABC Theo giả thiết, ta có A ' H ^ (ABC ) BC = C' A' A H C Diện tích tam giác ABC S D ABC = AB.BC = 2 B 21 Chọn A Vậy V ABC A ' B ' C ' = S D ABC A ' H = Câu 73 Ta tích khối chóp V A A ¢B ¢C ¢ = V ABC A ¢B ¢C ¢ 3 Suy V A BCB ¢C ¢ = V ABC A ÂB ÂC Â ắ ắ đ V ABC A ¢B ¢C ¢ = V A BCB ¢C ¢ = 2a3 = 3a3 Chọn D 2 Câu 74 Gọi S diện tích mặt đáy ABCD h chiều cao khối hộp Thể tích khối hộp V ABCD A ' B ' C ' D ' = S h = 12cm D' Chia khối hộp ABCD A ¢B ¢C ¢D ¢ thành khối tứ diện B' A' AB ¢CD ¢ khối chóp: A A ¢B ¢D ¢, C.B ¢C ¢D ¢, B ¢.BAC, D ¢ DAC (như hình vẽ) Ta thấy bốn khối chóp S tích h Suy tổng thể tích 2 khối chóp V ' = Sh Vậy thể tích khối tứ diện V AB ¢CD ¢ = Sh - D C B A 1 Sh = Sh = 12 = 4cm Chọn C 3 Câu 75 Vì A ' O ^ (ABCD ) nên B' ·', (ABCD ) = AA · ', AO = A ·' AO 45 = AA C' D' A' Đường chéo hình chữ nhật AC = a Suy tam giác A ' OA vuông cân O nên A ' O = AO = a Diện tích hình chữ nhật S ABCD = AB AD = a2 AC = C' AB + AD = 2a Þ AO = Vậy V ABCD A ' B 'C ' D ' = S ABCD A ' O = a3 Chọn D B A C O D Câu 76 Tam giác ABC cạnh nên AH = Vì A ' H ^ (ABC ) nên hình chiếu vng góc AA ' mặt đáy A' B' C' (ABC ) AH Do ·', (ABC ) = AA · ', AH = A ·' AH Suy tam 450 = AA giác A ' HA vuông cân H nên A ' H = HA = Diện tích tam giác ABC SDABC = Vậy V = S D ABC A ' H = Chọn A A C H B Câu 77 Gọi H hình chiếu C ¢ mặt phẳng (ABC ) B' C' Suy AH hình chiếu AC ¢ mặt phẳng (ABC ) ·¢, ABC = · · ¢ AC ¢, AH = HAC Do 60 = AC ( ) ( A' ) · ¢= Tam giác vng AHC ¢, có C ¢H = AC ¢.sin HAC Thể tích khối lăng trụ V ABC A ¢B ¢C ¢ = SD ABC C ¢H = Suy thể tích cần tính V ABCB ¢C ¢ = C B H 16 V Chọn D ¢ ¢ ¢= ABC A B C A Câu 78 Xét khối lăng trụ ABC A ¢B ¢C ¢ có đáy tam giác ABC Gọi H hình chiếu A ¢ mặt phẳng (ABC ) ị A ÂH ^ (ABC ) Suy AH hình chiếu A' B' C' AA ¢ mặt phẳng (ABC ) Do ·¢, (ABC ) = (· ·¢AH 60 = AA AA ¢, AH ) = A Tam giác A ¢AH vng H , có ·¢AH = A ¢H = AA ¢ sin A Vậy V = SD ABC A ¢H = 50 cm Chọn B A B H C Câu 79 Từ giả thiết suy tam giác ABD cạnh a Gọi H tâm tam giác ABD Vì A ' cách điểm A, B, D nên A ' H ^ (ABD ) B' ·', (ABCD ) = AA · ', HA = A ·' AH Do 60 = AA A' D' 2 a a Ta có AH = AO = = 3 ·' AH = a Tam giác vng A ' AH , có A ' H = AH tan A Diện tích hình thoi S ABCD = 2S D ABD = Vậy V ABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD A ' H = a a2 Chọn C B A Câu 80 Từ giả thiết, suy tam giác ABC cạnh a Þ OA = H O C D AC a = 2 D' A' · ·¢AO ¢, (ABCD ) = (· AA ¢, AO ) = A Vì A ¢O ^ (ABCD ) nên 60 = AA ·¢AO = a Tam giác vng A ¢AO , có OA ¢= OA tan A 3a Suy thể tích khối hộp V = S ABCD OA ¢= C' B' A D O B C' C Ta có V = VO ABC ¢D ¢ + V AA ¢D ¢ BB ¢C ¢ + VC ¢ BOC + V D ¢ AOD + VO.CDD ¢C ¢ 1 1 V a3 = VO ABC ¢D ¢ + V + V + V + V ị VO ABC ÂD Â = = Chn C 12 12 6 ... vng cạnh a , cạnh bên AA '' = a , hình chiếu vng góc A '' mặt phẳng (ABCD ) trùng với trung điểm H A V = AB Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 B V = C V = a3 D V = Câu 68 Cho hình... A Vậy thể tích khối lăng trụ V = S D ABC A '' O = Câu 70 Gọi M , N trung điểm AB, BC C'' A'' Khi G = AN ÇCM trọng tâm D ABC Theo giả thiết, ta có A '' G ^ (ABC ) B'' Tam giác ABC cạnh a nên suy... ABC A '' B '' C '' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Hình chiếu vng góc A '' mặt phẳng (ABC ) trung điểm H cạnh A V = AB A '' A = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 C V = D V = a3