Microsoft Word QH CH2 doc 25 CHƯƠNG II QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I 1 THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN PHẦN TYT2k Trong qui hoạch thực nghiệm, tùy thuộc thông tin ban ñầu mà người nghiên cứu tổ chức các thí nghiệ.THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀNTHỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN
CHƯƠNG II QUI HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I THỰC NGHIỆM YẾU TỐ TOÀN PHẦN TYT2k Trong qui hoạch thực nghiệm, tùy thuộc thơng tin ban đầu mà người nghiên cứu tổ chức thí nghiệm để nhận mơ hình thống kê thực nghiệm dạng tuyến tính phi tuyến Nếu khơng có thơng tin sơ khẳng định tính phi tuyến mơ hình thu được, người nghiên cứu bắt đầu qui hoạch tuyến tính Với nội dung chương trình chúng tơi chọn qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần phần Những thực nghiệm mà tổ hợp mức yếu tố ñều ñược thực ñể nghiên cứu gọi thực nghiệm yếu tố toàn phần (TYT nk) Lượng thí nghiệm cần thiết N hoạch định theo TYT xác định cơng thức N=nk (2.1) Trong đó: k số yếu tố ảnh hưởng, n số lượng mức yếu tố, giới hạn vùng ñược nghiên cứu theo thông số công nghệ ñã cho ðể đơn giản chúng tơi xét n = tức thực nghiệm tiến hành hai mức ứng với hai giá trị k yếu tố ảnh hưởng, có thực nghiệm yếu tố toàn phần mức k yếu tố ảnh hưởng ký hiệu (TYT2k) Xây dựng mơ hình thống kê thực nghiệm ðể xác lập mơ tả thống kê đối tượng cơng nghệ hóa học nói chung, người nghiên cứu cần phải chọn k yếu tố ảnh hưởng lên hay nhiều hàm mục tiêu Yj Trên sở tổ chức thí nghiệm theo ma trận, với N giá trị thực nghiệm thu ñược ta xây dựng ñược hàm tốn, kiểm tra mơ hình nâng cấp mơ hình cần thiết 1.1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp I 1- Số thí nghiệm cần thực Trong nghiên cứu người nghiên cứu tiến hành thực nghiệm mức k yếu tố ảnh hưởng, mức yếu tố biên miền nghiên cứu theo thơng số kỹ thuật cho, số thí nghiệm cần thực N = k Với k = 2, N = 25 k = 3, N = k = 4, N = 16 2-Mức Ta xét thí nghiệm có k yếu tố ảnh hưởng, ký hiệu Xj (j =1,2,3,…k) Ta gọi X mức (tâm phương án) tính theo cơng thức sau j X = j X max + X j j ; j = 1,2,3,…k (2.2) X max mức trên, mức cao j X mức dưới, mức thấp j Thông thường véc tơ yếu tố vào mức X 0j (j=1,2, k) không gian yếu tố ñiểm ñặc biệt gọi tâm thưc nghiệm, mà vùng quanh bao gồm ñiểm thực nghiệm ma trận 3- Khoảng biến thiên Khoảng biến thiên theo trục Xj hay khoảng biến ñổi yếu tố vào (Xj), khoảng cách từ mức thấp ñến tâm thực nghiệm khoảng cách từ tâm thực nghiệm ñến mức cao, ñược ký hiệu ñược xác ñịnh sau: λj = X max − X j j ; j = 1,2,3,…k (2.3) Ví dụ1: Nghiên cứu ảnh hưởng yếu tố ñến hiệu suất y% phản ứng Biết thực điều kiện sau ñây, nhiệt ñộ (X1) dao ñộng từ 12 ÷ 200C, nồng ñộ (X2) khoảng ÷ 5% Theo ta có: X 1min = 12 C X = 3% X 1max = 20 C X max = 5% - Mức X 10 = 12 + 20 = 16 C X 02 = 3+5 = 4% - Khoảng biến thiên λ1 = 20 − 12 = 40 C λ2 = 26 5−3 = 1% 4- Biến khơng thứ ngun ðể tính tốn dễ dàng, người ta chuyển biến tự nhiên (biến thực) có toạ độ Xj sang biến khơng thứ ngun (biến mã) ký hiệu xj (cơng thức 2.4).Việc mã hố thực dễ dàng nhờ việc chọn tâm (Xj0) miền nghiên cứu làm gốc hệ trục toạ ñộ x max j x j x = j = = Xmax − X0j j λj X − X 0j j (2.4) λj X 0j − X 0j J = 1,2,3,…,k λj Từ công thức (2.4) ta dễ dàng nhận thấy hệ thống toạ độ khơng thứ ngun mức ( x max ) luôn +1, mức ( x ) luôn –1 j j toạ ñộ tâm phương án ( x 0j ) luôn không trùng với gốc toạ độ Cũng từ cơng thức (2.4), tìm tâm thực nghiệm ta xác định mức mức yếu tố ảnh hưởng Xjmax = Xj0 + λj Xjmin = Xj0 – λj 5- Lập ma trận thực nghiệm (2.5) Ma trận thực nghiệm với biến thực dạng mô tả chuẩn ñiều kiện tiến hành thí nghiệm theo bảng chữ nhật Mỗi hàng thí nghiệm tức phương án tổ hợp yếu tố đầu vào, cịn cột ứng với yếu tố ñầu vào Trong ma trận cịn có số hàng giống mà thơng số mức sở X0j Dạng tổng quát ma trận biến thực ñược biểu diễn bảng (2.1) Ma trận thực nghiệm với biến ảo ma trận gồm biến ảo xj, cột biến ảo hoàn toàn khác ñược biểu diễn bảng (2.2) Khi xây dựng ma trận thực nghiệm người ta ñưa thêm biến x0 = +1 (biến tương ứng với hệ số b0) bố trí thí nghiệm cho khơng có thí nghiệm trùng Việc làm khó khăn k yếu tố ảnh hưởng lớn Theo kinh nghiệm làm sau: - Xác định số thí nghiệm cần thực theo công thức N = 2k, cột x0 27 - Lập cho yếu tố ảnh hưởng từ x1 ñến xk Nếu cột yếu tố x1 ta lập mức cao mức thấp ngược lại cột số lần lặp lại nhân đơi, cột cuối có nửa mức cao, nửa mức thấp ngược lại (ví dụ 2) Bảng 2.1: Ma trận thực nghiệm TYT2k với biến thực S.Y.T S.T.N “ “ N-1 N X1 X2 … Xk Y Y1 Y2 Y3 Y4 “ “ " YN-1 YN X 1max X max X max k max max min max k max k max k X X X X X X X X X “ “ “ “ “ “ X 1max X X k X 1min X X k Bảng 2.2: Ma trận thực nghiệm với biến ảo S.Y.T S.T.N “ “ N-1 N x0 x1 + + + + “ “ + + + + “ “ + - x2 … + + “ “ - xk Y + + + + “ “ - Y1 Y2 Y3 Y4 “ “ YN-1 YN Ví dụ 2: Lập ma trận thực nghiệm TYT2k với biến ảo, số yếu tố ảnh hưởng k = 3, số thí nghiệm cần thực N = (bảng 2.3) Nếu cột x1 ta lập mức cao (+) mức thấp (-) cột x2 số lần lặp tăng gấp đơi cột x1 (2 dấu + dấu -) Cột thứ x3 số lần lặp gấp đơi cột x2 (4 dấu +, dấu -) Cứ làm k lớn khơng khó khăn nhận ma trận có 2k thí nghiệm khơng có thí nghiệm trùng 28 Bảng 2.3: Ma trận thực TYT23, k=3 S.Y.T S.T.N x0 x1 x2 x3 Y + + + + + + + + + + + + - + + + + - + + + + - Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Phương án mã hóa trình bày bảng (2.3) hình tượng hóa dạng khối lập phương hình (2.1), đỉnh trùng với ñiểm cần phải làm thí nghiệm x3 -1,-1,+1 -1,+1,+1 +1,-1,+1 +1,+1,+1 -1,+1,-1 -1,-1,-1 x1 x2 +1,+1,-1 +1,-1,-1 Hình 2.1: Kế hoạch thực nghiệmTYT 23 6- Tính chất ma trận trực giao cấp I Ma trận bảng (2.2), (2.3) ma trận trực giao nên có số tính chất sau: - Tính đối xứng qua tâm thực nghiệm N ∑ x iu = 0; i =1,2,…k; u = 1,2, …N u =1 29 (2.6) - Tính trực giao cột ma trận thực nghiệm N ∑ x iu x iu = ; i ≠ j =1,2,…k (2.7) u =1 - Tính bất biến quay hệ trục quanh tâm thực nghiệm N ∑ x iu2 = N; (2.8) i = 1,2,…k u =1 Ưu ñiểm ma trận trực giao cấp I Ma trận trưc giao, nên hệ số (b) phương trình hồi qui xác ñịnh ñộc lập nhau, loại bỏ hệ số khơng có nghĩa khơng phải tính lại hệ số có nghĩa Phương sai hệ số b phương trình hồi qui ( S 2bj ) có giá trị tối thiểu, xác định theo kết N thí nghiệm nhỏ thua phương sai tái S 2th (ứng với phương án thí nghiệm tâm), S ( Y) (ứng với phương án thí nghiệm song song) N lần Phương sai hệ số bj ñều quay quanh gốc tâm thực nghiệm Ma trận có tính tâm xoay, tâm phương án thông tin nhiều nhất, xa tâm thơng tin lỗng, lượng thơng tin tỷ lệ nghịch với bình phương bán kính, lần làm thí nghiệm lặp tâm thực nghiệm ñủ 1.2 Một số dạng phương trình hồi qui cấp I ðể xây dựng mơ tả tốn học cho q trình thực nghiệm, trước tiên người nghiên cứu phải biết ñược phụ thuộc thơng số đầu vào thơng số đầu (Y = f(x)) để chọn dạng phương trình hồi qui cho hợp lý Nói chung khơng hy vọng tìm hàm f(x) hồn tồn mà mong tìm hàm Y ≈ f(x) Ngay việc tìm hàm xấp xỉ khơng đơn giản, thường người ta giả thiết ñã biết dạng hàm xấp xỉ tức dạng PTHQ ðối với qui hoạch thực nghiệm, dạng PTHQ cấpI chọn thường khai triển đa thức có dạng tổng quát sau Y = b0 + b1x1 …+ bkxk + …+ bijxixj + …+ bijkxixjxk ; i≠j≠k = 1,2, k Trong đó: b0 hệ tự hay gọi hệ số số hồi qui bj hệ số tuyến tính bi j ; bi j k,… hệ số tương tác cặp, tương tác ba,… 30 (2.9) ðể ñơn giản trước tiên người ta chọn dạng phương trình hồi qui tuyến tính cịn muốn xây dựng phương trình hồi qui đầy đủ ta đưa thêm vào phương trình tuyến tính hệ số tương tác Dưới ñây số dạng PTHQ phương án trực giao cấp I Với k = (2 yếu tố ảnh hưởng) ta có: Y = b0 + b1x1 + b2x2 (2.10) Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 Với k = ta có: Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b23x1x2 + b13x1x3 +b123x1x2x3 (2.11) 1.3 Lập cơng thức tính hệ số b phương trình hồi qui 1- Phương pháp bình phương nhỏ Phương pháp bình phương nhỏ (BPNN) phương pháp có hiệu lực xử lý số liệu thực nghiệm xây dựng mơ hình thống kê cho nhiều đối tượng nghiên cứu thuộc lĩnh vực khác Lời giải phương pháp BPNN mơ hình tốn học biểu diễn gần ñúng qui luật thực Phương pháp cho phép xác định hệ số phương trình hồi qui ñã chọn cho ñộ lệch phụ thuộc ñã chọn so với số liệu thực nghiệm phương diện ñấy nhỏ Bài tốn xác định hệ số b phương trình hồi qui dẫn đến tốn xác định cực tiểu hàm nhiều biến b0, b1, … bk Tức là: N ~ Φ = ∑ ( Yu − Yu ) → (2.12) u =1 Trong đó: Yu giá trị thực nghiệm ứng với k thông số tối ưu thí nghiệm thứ u ~ Yu giá trị tính theo PTHQ số tối ưu thí nghiệm thứ u 2- Hệ phương trình chuẩn tắc ðể đơn giản xét trường hợp k =2 (tức có yếu tố ảnh hưởng), dạng PTGQ sau: ~ Y = b x u + b1 x 1u + b x u + b12 x 1u x u Thay biểu thức (2.13) vào (2.12) ta ñược 31 (2.13) N Φ = ∑ [(b o x u + b1 x 1u + b x u + b12 x 1u x u ) − Yu ] → (2.14) u =1 Φ cực tiểu thỏa mãn ñiều kiện sau: ∂Φ =0 ∂b ∂Φ =0 ∂b1 ; ; ∂Φ =0 ∂b ∂Φ =0 b 12 ; (2.15) Ta viết dạng sau: [ ] ∂Φ = ∑ (b x + b1 x + b x + b12 x x )u − Yu x u = ∂b u =1 ∂Φ = ∑ [(b x + b x + b x + b 12 x x )u − Yu ] x 1u = ∂b u =1 (2.16) ∂Φ = ∑ [(b x + b x + b x + b 12 x x )u − Yu ] x u = ∂b u =1 ∂Φ = ∑ [(b x + b1 x + b x + b12 x 1x )u − Yu ] x 1u x u = b12 u =1 4 4 u =1 u =1 u =1 u =1 u =1 4 4 u =1 u =1 u =1 u =1 u =1 b ∑ x u + b1 ∑ x 1u + b ∑ x u + b 12 ∑ x 1u x u = ∑ Yu x u b ∑ x 1u + b ∑ x 12u + b ∑ x 1u x u + b 12 ∑ x 12u x u = ∑ Yu x 1u 4 4 u =1 u =1 u =1 u =1 u =1 b ∑ x u + b1 ∑ x 1u x u + b ∑ x 22 u + b12 ∑ x 1u x 22 u = ∑ Yu x u 4 u =1 u =1 b ∑ x 1u x u + b ∑ x x u + b ∑ x 1u x 1u u =1 2u (2.17) + b 12 ∑ (x 1u x u ) = ∑ Yu x 1u x u u =1 u =1 Hệ phương trình (2.17) có số phương trình số ẩn nên gọi hệ phương trình chuẩn tắc 3- Cơng thức tính hệ số b PTHQ Tính trực giao ma trận phương án qui hoạch TYT2k giảm nhiều khó khăn việc tính tốn hệ số b PTHQ, ma trận hệ số phương thình chuẩn (2.18) ma trận ñường chéo Các phân tử ñường chéo ma trận ngược XTX-1 ( ma trận 2.19) ñều 1/4 32 4b + 0b1 + 0b + 0b12 = ∑Y x u 0u u =1 0b + 4b1 + 0b2 + 0b12 = ∑Y u x1u u x 2u (2.18) u =1 0b + 0b1 + 4b2 + 0b12 = ∑Y u =1 0b + 0b1 + 0b2 + 4b12 = ∑Y u x1u x 2u u =1 Như ta có: b0 B= b1 1/4 = (XTX)-1XTY= b2 0 b12 0 1/4 0 1/4 0 1/4 ∑Y x u 0u u x1u u =1 ∑Y u =1 (2.19) ∑Y u x 2u u =1 ∑Y x u 1u x 2u u =1 XT ma trận chuyển vị ma trận X Như từ biểu thức 2.18 ta thấy hệ số b PTHQ ñộc lập xác ñịnh sau: b0 = ∑ x u Yu u =1 b1 = ∑ x 1u Yu u =1 b2 = ∑ x u Yu u =1 b12 = ∑ x 1u x u Yu u =1 (2.20) Từ công thức (2.20) ta suy công thức tổng qt để tính hệ số b PTHQ qui hoạch trực giao cấp I tương ứng với k yếu tố ảnh hưởng sau: 33 b0 = N N ∑x 0u Yu u =1 bj = N ∑ x ju Yu N u =1 bi j = N ∑ x iu x ju Yu N u =1 bijl = N ∑ x iu x ju x lu Yu N u =1 (2.21) i ≠ j ≠ l = 1,2 k 4- Ý nghĩa hệ số b PTHQ - Giá trị hệ số bj PTHQ đặc trưng cho đóng góp yếu tố thứ j vào ñại lượng Y - Hệ số có giá trị tuyệt đối lớn yếu tố tương ứng ảnh hưởng đến q trình nhiều 1.4 Kiểm tra ý nghĩa hệ số b PTHQ Do ma trận tương quan X*X-1là ma trận ñường chéo tức hệ số PTHQ độc lập nhau, việc kiểm tra tính ý nghĩa hệ số b PTHQ theo chuẩn Student việc loại bỏ hệ số khơng có nghĩa khơng ảnh hưởng đến hệ số cịn lại ðể kiểm tra ý nghĩa hệ số b PTHQ trước tiên phải tính phương sai tái ðể xác ñịnh ñược phương sai tái người nghiên cứu phải làm thí nghiệm song song điểm thực nghiệm, phải làm thêm số thí nghiệm tâm phương án Vì ma trận thực nghiệm phương án qui hoạch trực giao cấp I ma trận trực giao, phân tử ñường chéo ma trận tương quan ñều nên hệ số b PTHQ ñộc lập xác ñịnh với độ xác (Sbj) nhau: S bj = S th (2.22) N Tính ý nghĩa hệ b ñược kiểm ñịnh theo chuẩn Student (t), ñược xác ñịnh sau: tj = bj (2.23) S bj Trong ñó: 34