Bài 2 Hàm số bậc hai Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng A Các câu hỏi trong bài Câu hỏi khởi động trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1 Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Syd[.]
Bài Hàm số bậc hai Đồ thị hàm số bậc hai ứng dụng A Các câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cầu cảng Sydney hình ảnh biểu tượng thành phố Sydney nước Australia Độ cao y (m) điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney biểu thị theo độ dài x (m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải sau (Hình 10): y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 Hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 có đặc biệt? Lời giải: Sau ta trả lời câu hỏi sau: Hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 hàm số bậc hai có đồ thị hàm số đường cong Parabol Hoạt động trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 a) Viết công thức xác định hàm số dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần x b) Bậc đa thức bao nhiêu? c) Xác định hệ số x2, hệ số x hệ số tự Lời giải: a) Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 ⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 Vậy công thức hàm số viết dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần x y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 b) Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao đa thức Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc Vậy bậc đa thức cho c) Trong đa thức trên, ta có: + Hệ số x2 là: –0,00188 + Hệ số x là: 0,94564 + Hệ số là: – 0,91423 Luyện tập trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai ví dụ hàm số bậc hai Lời giải: Một số ví dụ hàm số bậc hai là: + Hàm số y = x2 - 5x + hàm số bậc hai với a = ≠ 0, b = -5 c = + Hàm số y = x + 15x hàm số bậc hai với a = 2 , b = 15 c = Hoạt động trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = x2 + 2x – a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x bảng sau: x –3 –2 –1 y ? ? ? ? ? b) Vẽ điểm A(– 3; 0), B(– 2; – 3), C(– 1; – 4), D(0; – 3), E(1; 0) đồ thị hàm số y = x2 + 2x – mặt phẳng tọa độ Oxy c) Vẽ đường cong qua điểm A, B, C, D, E Đường cong đường parabol đồ thị hàm số y = x2 + 2x – (Hình 11) d) Cho biết tọa độ điểm thấp phương trình trục đối xứng parabol Đồ thị hàm số quay bề lõm lên hay xuống dưới? Lời giải: a) Ta có: y = x2 + 2x – +) Thay x = – vào hàm số cho ta được: y = (– 3)2 + (– 3) – = +) Thay x = – vào hàm số cho ta được: y = (– 2)2 + (– 2) – = – +) Thay x = – vào hàm số cho ta được: y = (– 1)2 + (– 1) – = – +) Thay x = vào hàm số cho ta được: y = 02 + – = – +) Thay x = vào hàm số cho ta được: y = 12 + – = Vậy ta hoàn thành bảng sau: x –3 –2 –1 y –3 –4 –3 b) Ta vẽ điểm lên mặt phẳng tọa độ sau: c) Đường cong cần vẽ có dạng: d) Tọa độ điểm thấp parabol (– 1; – 4) Phương trình trục đối xứng parabol là: x = – Đồ thị hàm số cho quay bề lõm hướng lên Hoạt động trang 40 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = – x2 + 2x + a) Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ – 1, 0, 1, 2, vẽ chúng mặt phẳng tọa độ Oxy b) Vẽ đường cong qua điểm Đường cong đường parabol đồ thị hàm số y = – x2 + 2x + (Hình 12) c) Cho biết tọa độ điểm cao phương trình trục đối xứng parabol Đồ thị hàm số quay bề lõm lên hay xuống dưới? Lời giải: a) Thay x = – vào đồ thị hàm số cho ta được: y = – (– 1)2 + (– 1) + = Thay x = vào đồ thị hàm số cho ta được: y = – 02 + + = Thay x = vào đồ thị hàm số cho ta được: y = – 12 + + = Thay x = vào đố thị hàm số cho ta được: y = – 22 + + = Thay x = vào đồ thị hàm số cho ta được: y = – 32 + + = Vậy tọa độ điểm cần tìm là: A(– 1; 0), B(0; 3), C(1; 4), D(2; 3), E(3; 0) vẽ lên mặt phẳng tọa độ sau: b) Vẽ đường cong qua điểm trên: c) Tọa độ điểm cao (1; 4) Phương trình trục đối xứng parabol là: x = Đồ thị hàm số quay bề lõm hướng xuống Luyện tập trang 41 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai sau: a) y = x2 – 4x – 3; b) y = x2 + 2x + 1; c) y = – x2 – Lời giải: a) y = x2 – 4x – Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)2 – (– 3) = 28 - Tọa độ đỉnh I = - Trục đối xứng x = b ; 2a 4a b 2a 28 ; = (2; – 7) 2.1 4.1 = 2.1 Ta có bảng sau: x -2 y = x2 – 4x – -3 -7 -3 - Đồ thị hàm số qua điểm có A(-2; 9), B(0; -3), I(2; -7), D(4; -3) E(6; 9) - Vì a > nên bề lõm đồ thị hướng lên Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số y = x2 – 4x – hình b) y = x2 + 2x + Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, ∆ = 22 – = - Tọa độ đỉnh I = - Trục đối xứng x = b ; 2a 4a b 2a ; = (-1; 0) 2.1 4.1 = -1 2.1 Ta có bảng sau: x -3 -2 -1 y = x2 + 2x 1 +1 Đồ thị hàm số qua điểm A(-3; 4), B(-2; 1), I(-1; 0), D(0; 1) E(1; 4) - Vì a = > nên bề lõm đồ thị hướng lên Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số y = x2 + 2x + hình c) y = – x2 – Ta có: a = – 1, b = 0, c = – 2, ∆ = 02 – (– 1) (– 2) = – - Tọa độ đỉnh I = - Trục đối xứng x = b ; 2a 4a b 2a 2 1 ; = (0; -2) Ta có bảng sau: x -2 -1 y = -x2 - -6 -3 -2 -3 -6 Đồ thị hàm số qua điểm A(-2; -6), B(-1; -3), I(0; -2), C(1; -3) D(2; -6) - Do a = -1 < nên bề lõm đồ thị hướng xuống Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số y = – x2 – hình Hoạt động trang 41 SGK Toán lớp 10 Tập 1: a) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = x2 + 2x – Hình 11 Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số lập bảng biến thiên hàm số b) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = – x2 + 2x + Hình 12 Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số lập bảng biến thiên hàm số Lời giải: a) Quan sát Hình 11 + Trong khoảng (– ∞; – 1) đồ thị hàm số cho “đi xuống” nên hàm số nghịch biến khoảng (– ∞; – 1) + Trong khoảng (– 1; + ∞) đồ thị hàm số cho “đi lên” nên hàm số đồng biến khoảng (– 1; + ∞) Khi ta có bảng biến thiên sau: x –∞ –1 ∞ +∞ +∞ y –4 b) Quan sát Hình 12 + + Trong khoảng (– ∞; 1) đồ thị hàm số cho “đi lên” nên hàm số đồng biến khoảng (– ∞; 1) + Trong khoảng (1; + ∞) đồ thị hàm số xuống nên hàm số nghịch biến khoảng (1; + ∞) Ta có bảng biến thiên x –∞ + ∞ y –∞ –∞ Luyện tập trang 42 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng biến thiên hàm số sau: a) y = x2 – 3x + 4; b) y = – 2x2 + Lời giải: a) Ta có: a = > 0, b = – 3, c = Khi đó: ∆ = (– 3)2 – = – 7, − b −3 −7 =− = , − =− = 2a 2 4a 4.1 3 Do hàm số cho nghịch biến khoảng −; đồng biến khoảng 2 3 ; + 2 Ta có bảng biến thiên: x –∞ +∞ +∞ +∞ y b) Ta có: a = – < 0, b = 0, c = 5, ∆ = 02 – (– 2) = 40 , − − b =− = 0, 2a 2.( −2 ) 40 =− = 4a 4.( −2 ) Do hàm số cho đồng biến khoảng (– ∞; 0) nghịch biến khoảng (0; + ∞) Ta có bảng biến thiên: x –∞ + ∞ y –∞ –∞ Luyện tập trang 43 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Trong toán phần mở đầu, độ cao y (m) điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn mét (làm tròn kết đến hàng phần mười)? Lời giải: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 ⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 hàm số bậc hai với a = -0,00188, b = 0,94564 c = -0,91423 Khi đó: ∆ = (0,94564)2 – (– 0,00188) (– 0,91423) = 0,88736 Suy ra: − 0,88736 =− = 118 4a 4.( −0,00188 ) Ta có: a = – 0,00188 < ta có bảng biến thiên sau: Vậy độ cao lớn cần tìm 118 m B Bài tập Bài trang 43 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc hai? Với hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c hệ số x2, hệ số x hệ số tự a) y = – 3x2; b) y = 2x(x2 – 6x + 1); c) y = 4x(2x – 5) Lời giải: a) y = – 3x2 có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) nên hàm số bậc hai với a = – 3, b = c = b) y = 2x(x2 – 6x + 1) ⇔ y = 2x4 – 12x2 + 2x Bậc đa thức Do hàm số khơng phải hàm số bậc hai c) y = 4x(2x – 5) ⇔ y = 8x2 – 20x Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) nên hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 c = Bài trang 43 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Xác định parabol y = ax2 + bx + trường hợp sau: a) Đi qua điểm M(1; 12) N(– 3; 4); b) Có đỉnh I(– 3; – 5) Lời giải: a) Thay x = 1, y = 12 vào hàm số ta được: 12 = a.12 + b.1 + ⇔ a + b = ⇔ a = – b Thay x = – 3, y = vào hàm số ta được: = a.(-3)2 + (-3).b + ⇔ = 9a - 3b + ⇔ 3a – b = (1) Thế a = - b vào (1) ta có: (8 – b) – b = ⇔ 24 – 4b = ⇔ b = ⇒ a = – b = – = Vậy parabol cần tìm y = 2x2 + 6x + b) Tọa độ đỉnh Parabol I(– 3; – 5) b b = 6a b = 6a − = −3 Khi đó, ta có: 2a 9a − 3b = −9 9a − 3.6a = −9 a.( −3)2 + b.( −3) + = −5 b = 6a b = −9a = −9 a = Vậy parabol cần tìm y = x2 + 6x + Bài trang 43 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x2 – 6x + 4; b) y = – 3x2 – 6x – Lời giải: a) y = 2x2 – 6x + Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)2 – = −6 3 1 b ;− - Tọa độ đỉnh I = − ; − = − = ;− 2a 4a 2.2 4.2 2 - Trục đối xứng x = − b −6 =− = 2a 2.2 - Ta có bảng sau: x y = 2x2 – 6x +4 2 3 1 Đồ thị hàm số đường thẳng qua điểm A(0; 4), B(1; 0), I ; − , C(2; 0) 2 2 D(3; 4) - Do a > nên đồ thị có bề lõm hướng lên Vẽ đường cong qua điểm ta đồ thị hàm số y = 2x2 – 6x + hình vẽ b) y = – 3x2 – 6x – Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)2 – (– 3) (– 3) = −6 b ;− - Tọa độ đỉnh I = − ; − = − = ( −1;0 ) 2a 4a 2.( −3) 4.( −3) - Trục đối xứng x = − b −6 =− = −1 2a 2.( −3) - Tọa độ đỉnh I(– 1; 0) - Trục đối xứng x = – - Ta có bảng sau: x -3 -2 -1 y = – 3x2 – -12 -3 -3 -12 6x – Đồ thị hàm số đường thẳng qua điểm A(-3; -12), B(-2; -3), I(-1; 0), C(0; -3) D(1; -12) - Do a < nên bề lõm đồ thị hướng xuống Vẽ đường cong qua điểm ta đồ thị hàm số y = – 3x2 – 6x – hình Bài trang 43 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho đồ thị hàm số bậc hai Hình 15 a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh đồ thị hàm số b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số c) Tìm cơng thức xác định hàm số Lời giải: a) Quan sát đồ thị hàm số Hình 15, ta thấy trục đối xứng hàm số đường thẳng x = 2, tọa độ đỉnh I(2; – 1) b) Quan sát hình vẽ, ta thấy: - Đồ thị hàm số xuống khoảng (– ∞; 2) nên hàm số nghịch biến (– ∞; 2) - Đồ thị hàm số lên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến (2; + ∞) c) Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (1) Đồ thị hàm số cắt trục tung (0; 3): Thay x = y = vào đồ thị hàm số (1), ta được: = a.02 + b.0 + c ⇔ c = ... trang 41 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai sau: a) y = x2 – 4x – 3; b) y = x2 + 2x + 1; c) y = – x2 – Lời giải: a) y = x2 – 4x – Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)2 – (– 3)... được: y = (– 1)2 + (– 1) – = – +) Thay x = vào hàm số cho ta được: y = 02 + – = – +) Thay x = vào hàm số cho ta được: y = 12 + – = Vậy ta hoàn thành bảng sau: x –3 –2 –1 y –3 –4 –3 b) Ta vẽ... trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho hàm số y = x2 + 2x – a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x bảng sau: x –3 –2 –1 y ? ? ? ? ? b) Vẽ điểm A (– 3; 0), B (– 2; – 3), C (– 1; – 4), D(0; – 3), E(1;