Bài 2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ A Lý thuyết I Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ Nếu u = (x1 ; y1) và v = (x2 ; y2) thì u + v =[.]
Bài Biểu thức tọa độ phép toán vectơ A Lý thuyết I Biểu thức tọa độ phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân số với vectơ Nếu u = (x1 ; y1) v = (x2 ; y2) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2); u – v = ( x1 – x2 ; y1 – y2); k u = (kx1; ky1) với k ∈ ℝ Ví dụ: Cho hai vectơ u = (– ; 1) v = (2 ; –3) Tìm tọa độ vectơ sau: a) u + v ; b) u – v ; c) –2 v Hướng dẫn giải a) Ta có: u + v = (–5 + ; + (–3)) = (–3 ; –2) Vậy u + v = (–3 ; –2) b) Ta có u – v = (–5 – ; – (–3)) = (–7 ; 4) Vậy u – v = (–7 ; 4) c) Ta có –2 v = (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6) Vậy –2 v = (–4 ; 6) Nhận xét: Hai vectơ u = (x1 ; y1), v = (x2 ; y2) ( v ≠ ) phương có số thực k cho x1 = kx2 y1 = ky2 Ví dụ: Hai vectơ u = (–1 ; 2) v = (4 ; –8) có phương hay không? Hướng dẫn giải Ta thấy = –4.(–1) –8 = –4.2 Do hai vectơ u = (–1 ; 2) v = (4 ; –8) phương với Vậy hai vectơ u = (–1 ; 2) v = (4 ; –8) phương II Tọa độ trung điểm đoạn thẳng tọa độ trọng tâm tam giác – Cho hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) Nếu M(xM; yM) trung điểm đoạn thẳng AB xM xA xB y yB ; yM A 2 – Cho tam giác ABC có A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC) Nếu G(xG ; yG) trọng tâm tam giác ABC xG xA xB xC y y B yC ; yG A 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(–1 ; –4), C(4 ; –2) Hãy tìm tọa độ trung điểm I cạnh BC trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn giải Gọi tọa độ trung điểm I cạnh BC trọng tâm G tam giác ABC (xI ; yI) (xG ; yG) Khi đó, I trung điểm BC nên ta có: xI y yC (4) (2) x B x C 1 ; yI B 3 2 2 3 Suy I ; 3 2 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: xG x A x B x C (1) y y B yC (4) (2) ; yG A 1 3 3 Suy G(1 ; –1) 3 Vậy I ; 3 G(1 ; –1) 2 III Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Nếu u = (x1; y1) v = (x2; y2) u v = x1x2 + y1y2 Nhận xét: a) Nếu a = (x; y) a a.a x y b) Nếu A(x1; y1) B(x2; y2) AB = AB = (x x1 )2 (y2 y1 )2 c) Với hai vectơ u = (x1; y1) v = (x2; y2) khác , ta có: + u v vng góc với x1x2 + y1y2 = u.v + cos( u , v ) = u.v = x1.x y1y x y x y 2 2 2 Ví dụ: Cho hai vectơ u = (3 ; –5) v = (5 ; 3) a) Tính u ; b) Tính u v ; c) Tính góc hai vectơ u v Hướng dẫn giải a) Ta có u = Vậy u = 32 (5)2 = 34 34 b) Ta có u v = 3.5 + (–5).3 = Vậy u v = c) Ta có cos( u , v ) = u.v u.v = 3.5 (5).3 32 (5) 52 32 Suy ( u , v ) = 90° Vậy u v vng góc với B Bài tập tự luyện = = 34 B.1 Bài tập tự luận Bài u = (2 ; –2) v = (3 ; 5) a) Tìm tọa độ vectơ m = u + v b) Tìm tọa độ vectơ n = –3 u – v Hướng dẫn giải a) Ta có m = u + v = (2 + 3; –2 + 5) = (5 ; 3) Vậy m = u + v = (5; 3) b) Ta có n = –3 u – v = (–3.2 – 3; –3.(–2) – 5) = (–9; 1) Vậy n = –3 u – v = (–9; 1) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(–1; 3), C(–5; 2) a) Tìm tọa độ trung điểm I đọan thẳng AB b) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn giải a) Gọi tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB (xI; yI) Khi đó, I trung điểm AB nên ta có: xI x A x B (1) 1 y yB ; yI A 2 2 2 1 Suy I ; 2 1 Vậy I ; 2 b) Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh AB AC khơng phương Ta có AB = (–1 – ; – 4) = (–1 ; –1) AC = (–5 – ; – 4) = (–5 ; –2) Ta thấy 1 1 nên AB AC không phương 5 2 Suy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng c) Gọi tọa độ trọng tâm G tam giác ABC (xG ; yG) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: xG x A x B x C (1) (5) y y B yC 2 ; yG A 3 3 Suy G(–2 ; 3) Vậy G(–2 ; 3) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; –3), C(0; 4) a) Tính AB AC b) Giải tam giác ABC Hướng dẫn giải a) Ta có AB = (–2 – ; –3 – 2) = (–3 ; –5) AC = (0 – ; – 2) = (–1 ; 2) Khi AB AC = –3.(–1) + (–5) = –7 Vậy AB AC = –7 b) Ta có AB = (–3; –5) ⇒ AB = AB = AC = (–1; 2) ⇒ AC = AC = (3)2 (5)2 = (1)2 22 = BC = (0 – (–2) ; – (–3)) = (2; 7) ⇒ BC = BC = cos( AB AC ) = AB.AC AB AC = 34 22 = 3.(1) (5).2 7 = 34 170 53 Suy ( AB AC ) ≈ 122°28’ ⇒ BAC ≈ 122°28’ Ta có BA = (1 – (–2) ; – (–3)) = (3; 5) cos( BA , BC ) = BA.BC = BA BC 3.2 5.7 = 34 53 41 1802 Suy ( BA , BC ) ≈ 15°1’ ⇒ ABC ≈ 15°1’ Mặt khác ACB = 180° – ( BAC + ABC ) = 42°31’ Vậy tam giác ABC có AB = 34 ; AC = ; BC = 53 ; BAC ≈ 122°28’; ABC ≈ 15°1’; ACB = 42°31’ B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho m = (– 1; 2), n = (5; – 7) Tìm tọa độ vectơ 2m n A (4; – 5); B (3; – 3); C (6; 9) ; D (– 5; – 14) Hướng dẫn giải Đáp án : B Ta có: m = 2(–1; 2) = (–2; 4) m n = (– + 5); – 7) = (3; – 3) Câu Trong hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (2; –3), I(4; 7) Biết I trung điểm đoạn thẳng AB Tìm tọa độ điểm B A I (6; 4); B I (2; 10); C I (6; 17); D I (8; – 21) Hướng dẫn giải Đáp án : C Gọi điểm B có tọa độ (xB ; yB) Vì I trung điểm AB nên ta có : xB x 4 I x B 2.4 ⇒ B(6; 17) y y 2.7 ( 3) 17 B B y 7 I Câu Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (– + x ; 2), B (3 ; + 2y), C(x ; – y) Tìm tổng 2x + y với x, y để O(0 ; 0) trọng tâm tam giác ABC? A – 7; B – ; C – 11; D 21 10 Hướng dẫn giải Đáp án là: C Vì O trọng tâm tam giác ABC nên, ta có: 2 x x x 0 O y 2y y O x 1 2.x y 2. 10 11 2 y 10 ... –5 ) AC = (0 – ; – 2) = (–1 ; 2) Khi AB AC = –3 . (–1 ) + (–5 ) = –7 Vậy AB AC = –7 b) Ta có AB = (–3 ; –5 ) ⇒ AB = AB = AC = (–1 ; 2) ⇒ AC = AC = (3)2 (5)2 = (1)2 22 = BC = (0 – (–2 ) ; – (–3 ))... u + v = (5; 3) b) Ta có n = –3 u – v = (–3 .2 – 3; –3 . (–2 ) – 5) = (–9 ; 1) Vậy n = –3 u – v = (–9 ; 1) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B (–1 ; 3), C (–5 ; 2) a) Tìm tọa độ trung điểm... G (–2 ; 3) Vậy G (–2 ; 3) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B (–2 ; –3 ), C(0; 4) a) Tính AB AC b) Giải tam giác ABC Hướng dẫn giải a) Ta có AB = (–2 – ; –3 – 2) = (–3