Giải sbt toán 10 – cánh diều bài (5)

Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài 10 trang 29 SBT Toán 10 tập 1: Cặp số sau nghiệm hệ bất  x  2y   phương trình  x  3y  2  x  y   A (1; 0); B (– 1; 0); C (– 2; 3); D (0; – 1) Lời giải Đáp án B  x  2y  1  Ta xét hệ phương trình:  x  3y  2     x  y   3 +) Thay x = y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ – 2.0 < ⇔ < (vơ lí); (2) ⇔ + 3.0 > – ⇔ > – (luôn đúng); (3) ⇔ – + < ⇔ – < (ln đúng) Do cặp số (1; 0) khơng nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = – y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ – – 2.0 < ⇔ – < (luôn đúng); (2) ⇔ – + 3.0 > – ⇔ – > – (luôn đúng); (3) ⇔ + < ⇔ < (ln đúng) Do cặp số (– 1; 0) nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = – y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ – – 2.3 < ⇔ – < (luôn đúng); (2) ⇔ – + 3.3 > – ⇔ > – (luôn đúng); (3) ⇔ + < ⇔ < (vơ lí) Do cặp số (– 2; 3) khơng nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = y = – vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ – 2.(– 1) < ⇔ < (vơ lí); (2) ⇔ + 3.(– 1) > – ⇔ – > – (vơ lí); (3) ⇔ + (– 1) < ⇔ – < (luôn đúng) Do cặp số (0; – 1) khơng nghiệm hệ bất phương trình cho Vậy (– 1; 0) nghiệm hệ phương trình cho Bài 11 trang 29 SBT Toán 10 tập 1: Cặp số sau không nghiệm hệ x  y  bất phương trình  2x  3y  2 A (0; 0); B (1; 1); C (– 1; 1); D (– 1; – 1) Lời giải Đáp án C  x  y  1 Xét hệ phương trình:  2x  3y   2    +) Thay x = y = vào bất phương trình (1) (2) hệ, ta được: (1) ⇔ + ≤ ⇔ ≤ (luôn đúng); (2) ⇔ 2.0 – 3.0 > – ⇔ > – (luôn đúng) Do cặp số (0; 0) nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = y = vào bất phương trình (1) (2) hệ, ta được: (1) ⇔ + ≤ ⇔ ≤ (luôn đúng); (2) ⇔ 2.1 – 3.1 > – ⇔ – > – (ln đúng) Do cặp số (1; 1) nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = – y = vào bất phương trình (1) (2) hệ, ta được: (1) ⇔ – + ≤ ⇔ ≤ (luôn đúng); (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.1 > – ⇔ – > – (vơ lí) Do cặp số (– 1; 1) không nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = – y = – vào bất phương trình (1) (2) hệ, ta được: (1) ⇔ – + (– 1) ≤ ⇔ – ≤ (luôn đúng); (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.(– 1) > – ⇔ > – (ln đúng) Do cặp số (– 1; – 1) nghiệm hệ bất phương trình cho Vậy cặp số (– 1; 1) không nghiệm hệ bất phương trình cho Bài 12 trang 29 SBT Toán 10 tập 1: Miền nghiệm hệ bất phương trình 2x  5y   2x  y  5 phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ:  x  y  1  A (0; 0); B (1; 0); C (0; 2); D (0; – 2) Lời giải Đáp án D 2x  5y  11  Ta xét hệ bất phương trình 2x  y  5     x  y  1 3 +) Thay x = y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ 2.0 – 5.0 > ⇔ > (vơ lí); (2) ⇔ 2.0 + > – ⇔ > – (luôn đúng); (3) ⇔ + < – ⇔ < – (vơ lí) Do cặp số (0; 0) khơng thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ 2.1 – 5.0 > ⇔ > (luôn đúng); (2) ⇔ 2.1 + > – ⇔ > – (luôn đúng); (3) ⇔ + < – ⇔ < – (vơ lí) Do cặp số (1; 0) không thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = y = vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ 2.0 – 5.2 > ⇔ – 10 > (vơ lí); (2) ⇔ 2.0 + > – ⇔ > – (luôn đúng); (3) ⇔ + < – ⇔ < – (vơ lí) Do cặp số (0; 2) khơng thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho +) Thay x = y = – vào bất phương trình (1), (2) (3) hệ, ta được: (1) ⇔ 2.0 – 5.(– 2) > ⇔ 10 > (luôn đúng); (2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – ⇔ – > – (luôn đúng); (3) ⇔ + (– 2) < – ⇔ – < – (ln đúng) Do cặp số (0; – ) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho Bài 13 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: Miền đa giác ABCD Hình miền nghiệm hệ bất phương trình: x  y   x  y  1  A  x  y   x  y  2 x  y   x  y  1  B  x  y    x  y  2 x  y   x  y  4  C  x  y    x  y  2 x  y   x  y  4  D  x  y    x  y  2 Lời giải Đáp án A +) Gọi d1 đường thẳng qua hai điểm A D Đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm (– 2; 0) (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: x y    x  y  2 2 Lấy điểm O(0; 0) ta có – = > – Mà điểm O thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≥ – +) Gọi d2 đường thẳng qua hai điểm A D Đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm (4; 0) (0; 4) nên phương trình đường thẳng d là: x y  1 x  y  4 Lấy điểm O(0; 0) ta có + = < Mà điểm O thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≤ +) Gọi d3 đường thẳng qua hai điểm B C Đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm (2; 0) (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: x y  1 x  y  2 2 Lấy điểm O(0; 0) ta có – = < Mà điểm O thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≤ +) Gọi d4 đường thẳng qua hai điểm D C Đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm (– 1; 0) (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: x y    x  y  1 1 1 Lấy điểm O(0; 0) ta có + = > – Mà điểm O thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≥ –  x  y  2 x  y   Từ ta có hệ bất phương trình sau:  x  y    x  y  1 Bài 14 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: Giá trị nhỏ biểu thức F = – x + y 2x  y   miền nghiệm hệ bất phương trình  x  2y  x  y   A 0; B 1; C 2; D Lời giải Đáp án B 2x  y   Bài tốn cho trở thành tìm nghiệm (x; y) hệ bất phương trình  x  2y  x  y   cho biểu thức F = – x + y đạt giá trị nhỏ Trước hết ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình cho: Ta có ba đường thẳng: d1: – 2x + y = 2; d2: – x + 2y = d3: x + y = +) Lấy O(0; 0) có – 2.0 + = < Do miền nghiệm bất phương trình – 2x + y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d1 +) Lấy O(0; 0) có – + 2.0 = < Do miền nghiệm bất phương trình – x + 2y ≥ nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d2 +) Lấy O(0; 0) có + = < Do miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d3 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) C(2; 3) hình vẽ sau: Ta chứng minh biểu thức F = – x + y có giá trị nhỏ đỉnh tam giác ABC Tại điểm A, với x = 0, y = F = – + = Tại điểm B, với x = 1, y = F = – + = Tại điểm C, với x = 2, y = F = – + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức F x = y = Bài 15 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau:  x  2y  a)   x  y  3; x  y   b)  x  2y  x  1;  3x  2y   c)  x  2y  2 2x  y   Lời giải a) Ta có hai đường thẳng: d1: x – 2y = 3; d2: x + y = – +) Lấy O(0; 0) không thuộc vào đường thẳng d1 có – 2.0 = < Do miền nghiệm bất phương trình x – 2y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d1 +) Lấy O(0; 0) khơng thuộc đường thẳng d2 có + = > – Do miền nghiệm bất phương trình x + y ≥ – nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d2 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền khơng tơ màu hình vẽ sau: b) Ta có ba đường thẳng: d1: x + y = 5; d2: x – 2y = d3: x = – +) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d1 có + = < Do miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d1 +) Lấy O(0; 0) khơng thuộc đường thẳng d2 có – 2.0 = < Do miền nghiệm bất phương trình x – 2y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d2 +) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d3 có ≥ – Do miền nghiệm bất phương trình x ≥ – nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d3 Miền nghiệm hệ bất phương trình biểu diễn phần khơng tơ màu hình vẽ sau: c) Ta có ba đường thẳng: d1: – 3x + 2y = 6; d2: x – 2y = – d3: 2x + y = +) Lấy O(0; 0) không thuộc đường thẳng d1 có – 3.0 + 2.0 = < Do miền nghiệm bất phương trình – 3x + 2y < nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) không kể bờ đường thẳng d1 +) Lấy O(0; 0) khơng thuộc đường thẳng d2 có – 2.0 = > – Do miền nghiệm bất phương trình x – 2y ≥ – nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ đường thẳng d2 +) Lấy O(0; 0) khơng thuộc đường thẳng d3 có 2.0 + < Do miền nghiệm bất phương trình 2x + y < nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) không kể bờ đường thẳng d3 Miền nghiệm hệ bất phương trình biểu diễn miền khơng tơ màu hình vẽ sau: Bài 16 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn có miền nghiệm miền đa giác không bị gạch Hình 10a, 10b Lời giải Xét Hình 10a): Ta có: Đường thẳng d1 qua hai điểm O A trục tung Oy có phương trình x = Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm bên phải trục tung nên điểm B thỏa mãn bất phương trình x ≥ (1) Đường thẳng d2 qua hai điểm O B trục hồnh Ox có phương trình y = Ta thấy điểm B thuộc miền nghiệm nằm trục hoành nên điểm B thỏa mãn bất phương trình y ≥ (2) Đường thẳng d3 qua hai điểm A(0; 6) B(3; 0) có phương trình là: x y    2x  y  Ta thấy điểm O(0; 0) có 2.0 + = < thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ (3) Từ (1), (2) (3) miền nghiệm tam giác OAB biểu diễn cho hệ bất phương trình: x   y  2x  y   Xét Hình 10b): Ta có: Đường thẳng d1 qua hai điểm A(0; 3) B(9; 3) song song với trục hoành có phương trình y = Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có < nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≤ (1) Đường thẳng d2 qua hai điểm A(0; 3) D(– 5; – 2) cắt hai trục tọa độ Ox Oy điểm có tọa độ (– 3; 0) (0; 3) có phương trình là: x y    x  y  3 3 Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có – = > – nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≥ – Đường thẳng d3 qua hai điểm B(9; 3) C(4; – 2) song song với đường thẳng d2 có phương trình là: x – y = c Vì đường thẳng qua B(9; 3) nên ta có: – = c hay c = Khi phương trình d3 x – y = Ta thấy điểm O(0; 0) có – = < thuộc miền nghiệm nên điểm O thỏa mãn bất phương trình x – y ≤ (3) Đường thẳng d1 qua hai điểm C(4; – 2) D(– 5; – 2) song song với trục hồnh có phương trình y = – Ta thấy điểm O thuộc miền nghiệm có > – nên điểm O thỏa mãn bất phương trình y ≥ – (4) Từ (1), (2), (3) (4) miền nghiệm tứ giác ABCD biểu diễn cho hệ bất phương trình: y   y  2   x  y     x  y  Bài 17 trang 30 SBT Toán 10 tập 1: x  y  3x  2y  12  a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  x    y0 b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (III) cho F = 3x + 7y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Lời giải a) Ta vẽ bốn đường thẳng: d1: x + y = đường thẳng qua hai điểm có tọa độ (0; 5) (5; 0); d2: 3x + 2y = 12 đường thẳng qua hai điểm có tọa độ (4; 0) (0; 6); d3: x = đường thẳng song song với trục tung qua điểm (1; 0); d4: y = trục hoành Ta xác định miền nghiệm bất phương trình hệ, gạch phần không thuộc miền nghiệm bất phương trình Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác ABCD với A(1; 0), B(1; 4), C(2; 3) D(4; 0) hình vẽ sau: b) Ta có biểu thức F = 3x + 7y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Tại A(1; 0) với x = y = F = 3.1 + 7.0 = 3; Tại B(1; 4) với x = y = F = 3.1 + 7.4 = 31; Tại C(2; 3) với x = y = F = 3.2 + 7.3 = 27; Tại D(4; 0) với x = y = F = 3.4 + 7.0 = 12 Vậy giá trị lớn F 31 x = y = 4, giá trị nhỏ F x = y = Bài 18 trang 31 SBT Toán 10 tập 1: Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X Y Để đạt lợi nhuận khoản X phải đầu tư 100 triệu đồng số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ số tiền cho khoản X Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn để mơ tả hai khoản đầu tư biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình vừa tìm Lời giải Gọi x (triệu đồng) số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X y (triệu đồng) số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0) Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X Y nên ta có x + y ≤ 400 Để đạt lợi nhuận khoản X phải đầu tư 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ số tiền cho X nên ta có y ≥ x hay x – y ≤  x  y  400  Từ ta có hệ bất phương trình sau:  x  100 x  y   Ta vẽ bốn đường thẳng: d1: x + y = 400 đường thẳng qua hai điểm có tọa độ (400; 0) (0; 400); d2: x = 100 đường thẳng song song với trục Oy qua điểm có tọa độ (100; 0); d3: x – y = đường thẳng qua hai điểm có tọa độ (0; 0) (1; 1) Ta xác định miền nghiệm bất phương trình hệ, gạch phần không thuộc miền nghiệm bất phương trình Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác ABCD với hình vẽ sau: Bài 19 trang 31 SBT Toán 10 tập 1: Một phân xưởng may áo vest quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm Biết may áo vest hết 2m vải cần 20 giờ; quần âu hết 1,5 m vải cần Xí nghiệp giao sử dụng không 900 m vải số công không vượt 000 Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán không nhỏ số lượng áo không vượt lần số lượng áo Khi xuất thị trường, áo lãi 350 nghìn đồng, quần lãi 100 nghìn đồng Phân xưởng cần may áo vest quần âu để thu tiền lãi cao (biết thị trường tiêu thụ ln đón nhận sản phẩm xí nghiệp) Lời giải Gọi số lượng áo bán x (cái) (x ∈ ℕ) Số lượng quần bán y (cái) (y ∈ ℕ) Số mét vải để may x áo y quần là: 2x + 1,5y (m) Vì xí nghiệp giao sử dụng khơng q 900 m vải nên ta có: 2x + 1,5y ≤ 900 (1) Số để may x áo y quần là: 20x + 5y (giờ) Vì số cơng khơng vượt q 000 nên ta có: 20x + 5y ≤ 6000 hay 4x + y ≤ 1200 (2) Theo khảo sát thị trường, ta có: Số lượng quần bán khơng nhỏ số lượng áo y ≥ x (4) Số lượng quần không vượt lần số lượng áo y ≤ 2x (5) Từ (1), (2), (3) (4) nên ta có hệ bất phương trình: 2x  1,5y  900 2x  1,5y  900 4x  y  1200 4x  y  1200   y  x x  y     y  2x 2x  y  x  x    y   y  Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC với O(0; 0), A(180; 360), B(200; 250), C(240; 240) Tiền lãi bán x áo y quần 350x + 100y (nghìn đồng) Đặt T = 350x + 100y Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn đỉnh tứ giác OABC Tính giá trị biểu thức T đỉnh tứ giác: Tại O(0; 0), với x = y = T = 350.0 + 100.0 = 0; Tại A(180; 360), với x = 180 y = 360 T = 350.180 + 100.360 = 99 000; Tại B(225; 300), với x = 225 y = 300 T = 350.225 + 100.300 = 108 750; Tại C(240; 240), với x = 240 y = 240 T = 350.240 + 100.240 = 108 000; Ta T đạt giá trị lớn 108 750 000 đồng x = 225, y = 300 Vậy để thu tiền lãi cao phân xưởng cần may 225 áo vest, 300 quần âu  ... – 5. (– 2) > ⇔ 10 > (luôn đúng); (2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – ⇔ – > – (luôn đúng); (3) ⇔ + (– 2) < – ⇔ – < – (luôn đúng) Do cặp số (0; – ) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho Bài 13 trang 30 SBT. .. trình cho +) Thay x = – y = – vào bất phương trình (1) (2) hệ, ta được: (1) ⇔ – + (– 1) ≤ ⇔ – ≤ (luôn đúng); (2) ⇔ 2. (– 1) – 3. (– 1) > – ⇔ > – (luôn đúng) Do cặp số (– 1; – 1) nghiệm hệ bất phương... – 2. (– 1) < ⇔ < (vơ lí); (2) ⇔ + 3. (– 1) > – ⇔ – > – (vơ lí); (3) ⇔ + (– 1) < ⇔ – < (ln đúng) Do cặp số (0; – 1) không nghiệm hệ bất phương trình cho Vậy (– 1; 0) nghiệm hệ phương trình cho Bài