Skkn phương pháp tứ giác nội tiếp

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP Lĩnh vực mơn: Tốn Cấp học: Trung học sở NĂM HỌC: 2016 - 2017 skkn Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài 1.1 Cơ sở lý luận: Trong lĩnh vực giáo dục, số vấn đề quan tâm bàn luận sôi từ nhiều thập niên qua là: Đổi phương pháp dạy học Ở Nghị IV, khóa II năm 1993, Đảng ta đề nhiệm vụ: “Phải đổi phương pháp dạy học tất cấp học, bậc học” đến Nghị TWII, khóa VIII lại tiếp tục khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư sáng tạo người học” Định hướng pháp chế hóa Luật giáo dục điều 24.2 ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh phù hợp đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào sống, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh Bước sang kỉ XXI, khoa học công nghệ phát triển vũ bão ngành Giáo dục có nhiệm vụ vô nặng nề phải đào tạo hệ tương lai phải người biết hành động cách động sáng tạo Để thực nhiệm vụ tất cấp học, ngành học phải áp dụng phương pháp dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực người học” nhân tố có vai trò thúc đẩy nhà trường phát triển gắn kết, hịa nhập với phát triển cơng nghệ, tạo nguồn lực đem lại lợi ích to lớn cho tồn xã hội 1.2 Cơ sở thực tế: Đối với học sinh lớp học toán đường trịn chun đề tứ giác nội tiếp tốn liên quan quan trọng Đóng vai trò đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung Hình Học lớp Mà đa số em sợ học hình, số biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn nào, cịn biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ? Ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đường trịn suy góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với hay vận dụng Định lý mối liên hệ giữ loại góc đường trịn để tìm cặp góc Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta vận dụng để giải số tốn hay khó Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm skkn 1/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải số tốn hay khó sau: Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình Như vậy, giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp đường tròn” Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp đọc tài liệu - Thống kê, lập bảng số liệu đối sánh - Rút kinh nghiệm trình giảng dạy Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A5 trường THCS Phương Trung - Phạm vi nghiên cứu : Được gói gọn với đơn vị kiến thức trọng tâm mơn Hình Học lớp 9, học kì năm học 2016-2017 Kế hoạch nghiên cứu Tháng 9-10 : Khảo sát thực tế Tháng 11-12: Nghiên cứu tìm giải pháp giảng dạy cho phương pháp tứ giác nội tiếp Các tháng lại áp dụng giải pháp tìm để nâng cao hiệu việc vận dụng chứng minh tập Hình Học lớp Khảo sát thực trạng chưa thực đề tài Khi phân cơng dạy mơn Tốn lớp 9A5, từ đầu năm tiến hành khảo sát thực tế, kết sau: * Số liệu điều tra trước thực hiện: a Điều tra, khảo sát tâm lý, sở thích: Lớp 9A5: Tổng số 44 học sinh Tơi đưa câu hỏi khảo sát sau: “Môn học em u thích ? ” Kết quả: Khơng thích Bình thường Thích 24/44 15/44 5/44 (54,55%) (34,09%) (11,36%) Nhận xét: skkn 2/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Ta thấy tỉ lệ học sinh u thích học Hình Học cịn thấp, tỉ lệ học sinh khơng thích học Hình Học lại cao b Điều tra qua tập học sinh: Tôi thu kiểm tra 44 tập học sinh Kết quả: Không làm tập Làm tập qua loa, đối phó Làm tập (chép sách giải tập) 20/44 14/44 10/44 (45,46%) (31,81%) (22,73%) Nhận xét: Tỉ lệ học sinh làm tập trước đến lớp thấp, học sinh không làm tập chiếm tỉ lệ cao * Kết khảo sát chất lượng đầu năm: Lớp 9A5 TS TB HS (%) 44 Phân loại (%) G % K % TB % Y % Kém 4,5 11,4 27 61,4 10 22,7 % Từ kết luận: Nhiều em khơng thích học hình, khơng biết chứng minh hình.Vì kết khảo sát chất lượng đầu năm em thấp, điểm có chủ yếu phần đại số skkn 3/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp PHẦN B: NỘI DUNG TÊN ĐỀ TÀI: “PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP” Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu Để nghiên cứu viết đề tài vào sở lí luận khoa học sau: 1.1 Về phương pháp dùng phương pháp phân tích – tổng hợp: Giả sử A giả thiết toán, B kết luận toán: Để chứng minh A  B, ta chứng minh A  A1  A2   B Các quan hệ kéo theo nói trình bày dạng: A  A2 (lí do) hoặc: (lí do) A1  A2 Trong q trình tìm lời giải tốn, ta thường: a - Khai thác giả thiết toán : Từ A  A1, từ A1  A2 , Và cuối suy Am b - Phân tích lên từ kết luận toán: Để chứng minh B ta chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta chứng minh B2,…, cuối ta chứng minh Bn Nếu chứng minh Am  Bn tốn chứng minh A  B chứng minh với sơ đồ sau: A  A1  A2  … Am  Bn  …. B2  B1  B 1.2 Một số phương pháp chứng minh hai góc * Phương pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) hai đường thẳng song song… * Phương pháp 2: Áp dụng định lý góc có cạnh tương ứng song song hay vng góc * Phương pháp 3: Là hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng * Phương pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc tia tiếp tuyến dây cung)… Ngồi ta cịn sử dụng phương pháp bắc cầu, phụ, bù để chứng minh hai góc 1.3 Các tốn quỹ tích cung chứa góc Bài tốn 1: Quỹ tích điểm M cho , AB đoạn cho trước đường trịn đường kính AB Bài tốn 2: Quỹ tích điểm M tạo với hai mút đoạn thẳng AB cho trước có số đo khơng đổi  (0o <  < 180o) hai cung tròn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc  dựng đoạn AB 1.4 Định lý thuận, đảo “Tứ giác nơị tíêp đường trịn” Trang 87, 88 SGK Toán tập skkn 4/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp 1.5 Tính chất tam giác đồng dạng 1.6 Dựa vào định nghĩa đường tròn Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.1 Đặc điểm nhà trường Trường THCS Phương Trung thuộc địa bàn xã Phương Trung, trường có số lượng học sinh đông, đứng thứ huyện Tổng số cán bộ, giáo viên, nhân viên 65 người Tổ Khoa Học Tự Nhiên có 28 người, số giáo viên có chun mơn giảng dạy mơn Tốn 17, có giáo viên hợp đồng Trường nằm địa bàn đông dân với nhiều thành phần kinh tế khác phức tạp, có ảnh hưởng đến nhận thức học tập học sinh Một số phụ huynh quan tâm đến việc học tập em số cịn thờ ơ, chưa có phối hợp với nhà trường việc giáo dục ý thức học cho em Trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, nhiều giáo viên giảng dạy lâu năm có kinh nghiệm; đội ngũ giáo viên trẻ giàu nhiệt huyết, chuẩn trình độ chun mơn           Ban lãnh đạo nhà trường tạo khối đoàn kết trí cao tập thể sư phạm Chi nhà trường đạo kịp thời, sâu sát Chính quyền, cơng đồn, đồn niên phối hợp với nhịp nhàng, chặt chẽ, sở tôn trọng lẫn nhau, góp phần thúc đẩy nhà trường thực tốt kế hoạch năm học hội nghị cán bộ, viên chức đề Hội Khuyến học, Ban đại diện cha mẹ học sinh  hoạt động có hiệu quả góp phần thúc đẩy nhà trường không ngừng phát triển 2.2 Những ưu điểm bất cập thực vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Những ưu điểm : Việc đổi phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” áp dụng nhà trường giúp học sinh phát huy vai trò chủ động việc lĩnh hội kiến thức, kích thích khả sáng tạo học sinh trình học tập Cùng với việc đổi phương pháp, số phương tiện, kĩ thuật dạy học đại áp dụng vào trình giảng dạy giáo viên lớp giúp học sinh động mang lại hiệu cho học Hàng năm, Sở giáo dục Đào tạo Hà Nội, phòng giáo dục đào tạo huyện Thanh Oai tổ chức chuyên đề tập huấn cho giáo viên mơn Tốn với mục đích nâng cao chất lượng học tập mơn 2.2.2 Những bất cập: Khi giải tốn hình học lớp đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh điểm thuộc đường tròn, … Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức skkn 5/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp chắn quỹ tích cung chứa góc, quan hệ góc đường trịn, định lý đảo tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống kiến thức sau học xong chương III hình học Đây việc làm quan trọng giáo viên học sinh Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK tốn tập SGK đặc biệt hố, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Trong nhiều tập không yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp lại chứng minh yêu cầu toán rễ dàng Những giải pháp: 3.1 Học sinh nắm phương pháp để học tốt mơn Hình học lớp Đối với bạn học sinh cấp 2, đặc biệt bạn học sinh lớp mơn Tốn mơn học khó đạt điểm cao có nhiều kiến thức tốn vẽ hình, tính tốn phức tạp Để học giỏi mơn Hình học lớp nói riêng mơn Tốn nói chung, ta cần lưu ý thêm điều sau đây:   3.1.1.Nắm thật lý thuyết Chương trình Tốn lớp có nhiều lý thuyết, định nghĩa, định lý, bạn phải nắm thật lý thuyết, thuộc định lý hiểu áp dụng chúng vào tập Đặc biệt chương trình Hình học lớp  bạn phải nắm thật phần lý thuyết hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, tỷ số lượng giác cuả góc nhọn hình vng…đặc biệt lý thuyết đường tròn, bạn phải nắm các định nghĩa như: góc nội tiếp, tính chất tiếp tuyến cắt Nếu bạn khơng nhuần nhuyễn định nghĩa, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, quy định góc với đường trịn v.v…thì bạn khơng thể sáng tạo giải tốn hình học   3.1.2 Rèn luyện kỹ vẽ hình Đối với mơn Hình học lớp 9, để làm cách xác bạn cần đọc thật kỹ đề Khi vẽ hình nên vẽ hình bút chì để dễ dàng sửa lại lỗi sai Nên vẽ hình thật to rõ ràng để làm dễ dàng 3.1.3 Rèn luyện kỹ giải tốn Để có kỹ giải Tốn hình học cách nhanh chóng xác bạn cần làm thật nhiều tập, trước hết ví dụ sách giáo khoa sách tập, sau nên làm tập tổng hợp nâng cao Trong   skkn 6/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp tập nên rút làm tổng quát cho dạng để không bị bỡ ngỡ gặp tương tự, ngồi bạn cịn phải đọc sách tham khảo để có tốn dạng toán riêng 3.1.4.Đọc nhiều sách tham khảo Có nhiều sách tham khảo chương trình Hình học lớp để tìm đọc luyện tập Nên chọn loại sách có ví dụ bản, dễ hiểu với cách làm khoa học có phần giải thích rõ ràng để nắm ý quan trọng cách làm 3.2 – Kiến thức 3.2.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm trờn đường trịn B A O * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD C D 3.2.2.Định lý * Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o * Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o tứ giác nội tiếp đường tròn 3.2.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  3.2.4 Một số tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình 3.3 - Bài tập minh họa 3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa skkn 7/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Bài toán 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Chứng minh: Cách 1: Lấy O trung điểm cạnh BC A B' C' Xét BB’C có : (GT) OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh O B C huyền  OB’ = OB = OC = r Xét BC’C có : (1) (GT) Tương tự  OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn Cách 2: Ta có: BB’  AC (GT)  CC’  AB (GT)   B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng  B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC’B’C nội tiếp đường trịn đường kính BC Phương pháp 2: Dựa vào định lý Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BB’, CC’ a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp b/ Tia AO cắt (O) D cắt B’C’ I Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp A C' B' I O C B D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a  (Tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp) Mà : (hai góc nội tiếp chắn cung AB) skkn 8/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp   Tứ giác BDIC’ nội tiếp đường trịn (Tổng số đo hai góc đối tứ giác 1800) Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài tốn 3: M Cho  ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp A O B C N Chứng minh: Ta có:  ABC cân A O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC  AOC cân O (vì OA = OC)  Mà nên  Xét OAM OCN có : OA = OC; (chứng minh trên) AM = CN (giả thiết)  OAM = OCN (c.g.c)  hay  Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề M N nhìn cạnh OA góc) Phương pháp 4: Dựa vào đặc điểm tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Bài toán 4: skkn 9/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Lại có : ME // CH (vì ME đường trung bình AHC) MN // AB (vì MN đường trung bình HAB) Mà CH  AB (giả thiết)  ME  MN (2) Từ (1) (2)  Tứ giác MNDE hình chữ nhật Gọi O trung điểm MD  O trung điểm NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tương tự ta hình chữ nhật FMPD nội tiếp (O; OM) Vì Vì  I  (O; OM)  L; K  (O; OM) Vậy ta có : điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM) (Điều phải chứng minh) c.Bài tập: Cho hình bình hành ABCD có nhọn Đường trịn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng: a DE = DK b Năm điểm A, D, C, K, E thuộc đường tròn Cho hai đường tròn (O) (O’) nhau.Kẻ tiếp tuyến chung AB A’B’, tiếp tuyến chung CD EF (A, A’, C, E  (O); B, B’, D, F  (O’)) Gọi M giao điểm AB EF, N giao điểm CD A’B’ H giao điểm MN OO’ Chứng minh rằng: a MN  OO’ b Năm điểm O’, B, M, H, F thuộc đường tròn c Năm điểm O, A, M, E, H thuộc đường trịn Bài tốn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh đường tròn (ABC) qua điểm cố định: Cách 1: Ta xét thêm điểm D cố định chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Từ suy điều phải chứng minh Cách 2: Ta chọn điểm đường trịn (ABC) sau ta chứng minh điểm chọn điểm cố định b Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm C cố định đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường trịn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A skkn 12/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh: Gọi K giao điểm đường tròn qua ba điểm A, E, F với AB Nối K với F Ta có E ( nửa số đo M cung KE) ( phụ với ) F O  K C A  K đối xứng với B qua C Do B C hai điểm cố định nên suy K cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm K cố định Ví dụ 2: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB, AC E F Khi điểm D di động BC, chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A Chứng minh: Ta có : B B E O A D C F (AB tiếp tuyến với (O) B) (GT)  Hai đỉnh B D nhìn đoạn OE góc vng  Tứ giác EBOD nội tiếp đường tròn  (1) (cùng chắn cung OB) Chứng minh tương tự ta có : Tứ giác ODCF nội tiếp đường trịn  (2) (góc đỉnh góc đỉnh đối diện) Từ (1) (2)   Tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn (Tứ giác có góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) skkn 13/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm O cố định c Bài tập: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I điểm cung BC khơng chứa A Vẽ (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ (O 2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1) (O2) a/ Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng b/ Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định khác A Bài toán Chứng minh quan hệ đại lượng a Phương pháp: Một số toán đề cập tới quan hệ đại lượng như: - Chứng minh hệ thức hình học - Chứng tỉ số đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng nhau, đoạn gấp đôi đoạn kia….) chứng minh tổng hiệu góc khơng đổi b Ví dụ: Định lý Ptoleme Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích hai cặp cạnh đối Chứng minh: Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Thật Lấy E  BD cho B A E O   DAE  CAB (g g) AD DE   AC BC D  AD BC = AC DE (1) Tương tự:  BAE  CAD (g g)   BE AC = CD AB (2) Từ (1) (2)  AD BC + AB CD = AC DE + EB AC  AD BC + AB CD = AC DB (ĐPCM) c Bài tập skkn 14/26 C Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp 1.Sử dụng Định lý Ptoleme để chứng minh ( Định lý Carnot) Chứng minh tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn đến bacạnh tam giác tổng bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Cho  ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH E a.Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn b.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh: BE = CD c Gọi M trung điểm BC, đường thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm  ABC Bài toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm a Các bước giải tốn quỹ tích: Bước1: Chứng minh phần thuận Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H + Giới hạn quỹ tích Bước 2: chứng minh phần đảo Chứng minh điểm hình H đề có tính chất cho Bước 3: Kết luận B A b Ví dụ : Cho hình vng ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD BC M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H N O H M D l K C Chứng minh: Phần thuận: Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm) Vì DK = DM (GT) nên CK = AM  CK = CN Lại có tứ giác MHKD tứ giác NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng)   Vậy H nằm đường trịn đường kính DC skkn 15/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Giới hạn: Vì đường thẳng xy quay quanh O phải cắt hai cạnh AD BC M N nên điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng Phần đảo: Lấy điểm H nửa đường trịn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt AD BC M N Lấy điểm K CD cho DK = DM Ta phải chứng minh H hình chiếu K MN Thật vậy, Vì ; nên tứ giác HOCD nội tiếp  Mặt khác nên  Tứ giác HKDM nội tiếp   KH  NM  H hình chiếu K MN Kết luận: Vậy quỹ tích điểm H nửa đường trịn đường kính CD, nửa đường trịn nằm hình vng Bài tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE  AB, DF  AC Xác định vị trí điểm D để: a/ EF có độ dài nhỏ b/ EF có độ dài lớn Chứng minh: Gọi O trung điểm AD Tứ giác AEDF có : A a  Tứ giác AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM  EF  ME = MF E B (quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung) skkn 16/26 F M Đặt Ta có : O D C Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Xét  MOE có  EM = OE sin a  EF = OE sin a  EF = AD sin a (*) ( AD = 2OE) a/ Do a không đổi nên từ (*) suy EF nhỏ  AD nhỏ  AD  BC  D hình chiếu A BC b/ Vì D  BC AB < AC nên AD  AC Từ (*)  EF lớn  AD lớn  D trùng với C 3.4 Ứng dụng vào công tác giảng dạy - Về tâm lý HS học không thụ động phải tìm tổng hai góc đối diện tứ giác 180o kết luận tứ giác nội tiếp Phát huy tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp hình thành dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm cách giải khác cho tốn hình học - Ngoài kết học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp ta dùng tính chất để ứng dụng chứng minh hình học có sử dụng kết tứ giác nội tiếp: 3.4.1.Ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh góc , đẳng thức tích đoạn thẳng , bất đẳng thức diện tích hình, … Ví dụ : Từ kết ví dụ ( tốn 4) ta dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải toán : Giữ nguyên giả thiết bổ xung thêm M giao điểm IK với AB Kết luận chứng minh SAMN ≤ SABC (với SAMN, SABC thứ tự ký hiệu diện tích tam giác AMN tam giác ABC ) Ta phân tích giải tiếp sau (hình vẽ ví dụ tốn 4) => AMN tam giác vuông Tứ giác HNCK nội tiếp => cân A => AM = AN (1) Lại chứng minh AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Từ (1) (2) => AM = AN =AH Do SAMN = 1 AM AN = AH2 SABC = AB AC 2 Xét ABC vng A có : 1 AB  AC 2 AB AC       AH AB AC AB AC AB AC AB AC S ABC skkn 17/26 Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp Hay: 1   SAMN  SABC ( đpcm) 2.S AMN S ABC 3.4.2.Ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng vng góc: Ví dụ: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Dường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai B C (AB I BC IB =IC ( I E ) Vì IK trung trực AC, KF trung trực AE  KA = KC = KE => (cùng )  Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có (Các góc nội tiếp chắn cung tính chất đường trung trực ) hay => tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4) (4) Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm Chú ý : Ở ví dụ kẻ đường cao AH tam giác ABC Hình vẽ ứng với điểm E thuộc đoạn HC trường hợp E thuộc đoạn HB E nằm đoạn BC chứng minh tương tự 3.4.4 Bài tập: Cho  ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M điểm tròn cung ABC Vẽ MD  BC; ME  AC; MF  AB Xác định vị trí M để EF có độ dài lớn Cho đường trịn (O), điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B,C hai tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua hai điểm A O cắt đường tròn E F (E nằm A O) BB’, CC’ hai đường kính đường trịn (O) Gọi K giao điểm thứ hai AB’ với đường tròn(O) Chứng minh: a) Tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) AE.AF=AB’.AK c) d) Tam giác FB’C’ tam giác cân Cho đoạn thẳng AB cố định điểm M nằm A B Qua M kẻ tia Mx AB, Mx lấy điểm C D cho MC=MA MD=MB Vẽ đường skkn 19/26 C Đề tài SKKN:Phương pháp tứ giác nội tiếp trịn (O1) đường kính AC đường trịn (O2) đường kính BD Hai đường trịn cắt điểm N (khác điểm M) Chứng minh: a) Ba điểm A, N, D thẳng hàng ba điểm B,N, C thẳng hàng b) D trực tâm tam giác ABC c) Khi M chuyển động đoạn AB đường thẳng MN qua điểm cố định Cho đường trịn (O) đường kính BC Trên tia đối tia BC lấy điểm A Qua A vẽ đường thẳng d AC Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) cho MB