(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp tứ giác nội tiếp

Cơ sở thực tế: Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng.. Mà đa số các em rất sợhọc hình, m

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài.

1.1 Cơ sở lý luận:

Trong lĩnh vực giáo dục, một số vấn đề được quan tâm và bàn luận sôi nổi

từ nhiều thập niên qua là: Đổi mới phương pháp dạy học Ở Nghị quyết IV, khóa

II năm 1993, Đảng ta đã đề ra nhiệm vụ: “Phải đổi mới phương pháp dạy học ởtất cả các cấp học, bậc học” và đến Nghị quyết TWII, khóa VIII lại tiếp tụckhẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyềnthụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học” Định hướng trênđây đã được pháp chế hóa trong Luật giáo dục tại điều 24.2 ghi rõ: “Phươngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạocủa học sinh phù hợp đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phươngpháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào cuộc sống, tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập của học sinh

Bước sang thế kỉ XXI, khi nền khoa học công nghệ phát triển như vũ bãothì ngành Giáo dục có nhiệm vụ vô cùng nặng nề là phải làm sao đào tạo đượcthế hệ tương lai phải là người biết hành động một cách năng động và sáng tạo

Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì ở tất cả các cấp học, ngành học đều phải ápdụng phương pháp dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực của người học”bởi đây là nhân tố mới có vai trò thúc đẩy nhà trường phát triển gắn kết, hòanhập với sự phát triển của công nghệ, tạo nguồn lực đem lại lợi ích to lớn chotoàn xã hội

1.2 Cơ sở thực tế:

Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề

tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng Đóng vai trò làđơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9 Mà đa số các em rất sợhọc hình, một số mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn lànhư thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?

Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếpđường tròn Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ởmột đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý vềmối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau.Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ các phương phápchứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp

để giải một số bài toán hay và khó như sau:

Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định

Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình

Như vậy, có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một

cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp đọc tài liệu

- Thống kê, lập bảng số liệu đối sánh

- Rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A5 trường THCS Phương Trung

- Phạm vi nghiên cứu : Được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm

ở bộ môn Hình Học lớp 9, trong học kì 2 năm học 2016-2017

5 Kế hoạch nghiên cứu

6 Khảo sát thực trạng khi chưa thực hiện đề tài.

Khi được phân công dạy môn Toán tại lớp 9A5, ngay từ đầu năm tôi đãtiến hành khảo sát thực tế, kết quả như sau:

* Số liệu điều tra trước khi thực hiện:

a Điều tra, khảo sát về tâm lý, sở thích:

Lớp 9A5: Tổng số 44 học sinh Tôi đưa ra câu hỏi khảo sát như sau: “Mônhọc em yêu thích ? ”

Ta thấy tỉ lệ học sinh yêu thích học Hình Học còn thấp, tỉ lệ học sinhkhông thích học Hình Học lại cao hơn

b Điều tra qua vở bài tập của học sinh:

Tôi thu và kiểm tra 44 vở bài tập của học sinh

Kết quả:

Không làm bài tập Làm bài tập qua loa, đối phó

(chép trong sách giải bài tập)

PHẦN B: NỘI DUNG

TÊN ĐỀ TÀI: “PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP”

1 Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu.

Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luậnkhoa học sau:

1.1 Về phương pháp chúng ta dùng phương pháp phân tích – tổng hợp:

Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứngminh A  B, ta chứng minh rằng A  A1  A2   B

Các quan hệ kéo theo nói trên được trình bày dưới dạng: A1  A2 (lí do)hoặc: (lí do) A1  A2

Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thường:

a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A  A1, từ A1  A2 , Và cuốicùng suy ra Am

b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thểchứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta cóthể chứng minh Bn

Nếu chứng minh được Am  Bn thì bài toán chứng minh A  B đượcchứng minh với sơ đồ sau: A  A1  A2  … Am  Bn  …. B2  B1

 B

1.2 Một số phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau.

* Phương pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đường thẳngsong song…

* Phương pháp 2: Áp dụng định lý góc có cạnh tương ứng song song hayvuông góc

* Phương pháp 3: Là hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng

* Phương pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến vàmột dây cung)…

Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù đểchứng minh hai góc bằng nhau

1.3 Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc.

Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho , trong đó AB là mộtđoạn cho trước là đường tròn đường kính AB

Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB chotrước một có số đo không đổi bằng  (0o <  < 180o) là hai cung tròn đốixứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn AB

1.4 Định lý thuận, đảo về “Tứ giác nôị tíêp một đường tròn”

Trang 87, 88 SGK Toán 9 tập 2

1.5 Tính chất của tam giác đồng dạng

1.6 Dựa vào định nghĩa đường tròn.

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

2.1 Đặc điểm nhà trường

Trường THCS Phương Trung thuộc địa bàn xã Phương Trung, là trường

có số lượng học sinh khá đông, đứng thứ nhất trong huyện Tổng số cán bộ, giáoviên, nhân viên hiện tại là 65 người Tổ Khoa Học Tự Nhiên có 28 người, sốgiáo viên có chuyên môn giảng dạy môn Toán là 17, trong đó có 4 giáo viên hợpđồng

Trường nằm trên địa bàn đông dân với nhiều thành phần kinh tế khácnhau và khá phức tạp, do đó có ảnh hưởng đến nhận thức và học tập của họcsinh Một số phụ huynh rất quan tâm đến việc học tập của con em mình nhưngmột số vẫn còn thờ ơ, chưa có sự phối hợp với nhà trường trong việc giáo dục ýthức học cho các em Trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, nhiều giáo viêngiảng dạy lâu năm có kinh nghiệm; đội ngũ giáo viên trẻ giàu nhiệt huyết, chuẩn

về trình độ chuyên môn

Ban lãnh đạo nhà trường đã tạo được một khối đoàn kết nhất trí cao trongtập thể sư phạm Chi bộ nhà trường chỉ đạo kịp thời, sâu sát Chính quyền, côngđoàn, đoàn thanh niên phối hợp với nhau nhịp nhàng, chặt chẽ, trên cơ sở tôn trọnglẫn nhau, đã góp phần thúc đẩy nhà trường thực hiện tốt kế hoạch năm học do hộinghị cán bộ, viên chức đề ra Hội Khuyến học, Ban đại diện cha mẹ học sinh hoạtđộng có hiệu quả góp phần thúc đẩy nhà trường không ngừng phát triển

2.2 Những ưu điểm và bất cập khi thực hiện vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Những ưu điểm :

Việc đổi mới phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” đã vàđang được áp dụng trong nhà trường giúp học sinh phát huy được vai trò chủđộng của mình trong việc lĩnh hội kiến thức, kích thích khả năng sáng tạo củahọc sinh trong quá trình học tập Cùng với việc đổi mới về phương pháp, một sốphương tiện, kĩ thuật dạy học hiện đại cũng đã được áp dụng vào quá trình giảngdạy của giáo viên trên lớp giúp giờ học sinh động và mang lại hiệu quả cho giờhọc

Hàng năm, Sở giáo dục và Đào tạo Hà Nội, phòng giáo dục đào tạo huyệnThanh Oai đều tổ chức các chuyên đề tập huấn cho giáo viên môn Toán vớimục đích nâng cao chất lượng học tập ở bộ môn này

2.2.2 Những bất cập:

Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếphoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bùnhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộcmột đường tròn, … Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức

chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lýđảo về tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khihọc xong chương III hình học 9 Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáoviên đối với học sinh.

Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ởđịnh lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệthoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiênchưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nộitiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp mộtđường tròn Trong nhiều bài tập không hề yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp.nhưng nếu chúng ta chứng minh tứ giác nội tiếp thì lại được chứng minh đượcyêu cầu của bài toán rất rễ dàng

3 Những giải pháp :

      3.1 Học sinh nắm được phương pháp để học tốt môn Hình học lớp 9

Đối với các bạn học sinh cấp 2, đặc biệt là các bạn học sinh lớp 9 mônToán là môn học khó đạt điểm cao bởi có rất nhiều kiến thức và các bài toán vẽhình, tính toán phức tạp Để học giỏi môn Hình học lớp 9 nói riêng và môn Toán

9 nói chung, ta cần lưu ý thêm những điều sau đây:

3.1.1 Nắm thật chắc lý thuyết.

Chương trình Toán lớp 9 có rất nhiều lý thuyết, định nghĩa, định lý, do đóbạn phải nắm thật chắc lý thuyết, thuộc các định lý thì mới có thể hiểu và ápdụng chúng vào các bài tập Đặc biệt chương trình Hình học lớp 9 bạn phải nắmthật chắc phần lý thuyết như các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giácvuông, các tỷ số lượng giác cuả góc nhọn trong hình vuông…đặc biệt là các lýthuyết về đường tròn, các bạn phải nắm được các các định nghĩa như: góc nộitiếp, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau Nếu bạn không nhuần nhuyễn các địnhnghĩa, các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, các quy định về góc với đườngtròn v.v…thì bạn không thể sáng tạo trong khi giải toán hình học

3.1.2 Rèn luyện kỹ năng vẽ hình

Đối với môn Hình học lớp 9, để làm được bài một cách chính xác bạn cầnđọc thật kỹ đề bài Khi vẽ hình nên vẽ hình bằng bút chì để có thể dễ dàng sửalại các lỗi sai Nên vẽ hình thật to và rõ ràng để làm bài được dễ dàng hơn

3.1.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán.

Để có kỹ năng giải Toán hình học 9 một cách nhanh chóng và chính xácbạn cần làm thật nhiều bài tập, trước hết là các ví dụ cơ bản trong sách giáokhoa và sách bài tập, sau đó nên làm các bài tập tổng hợp và nâng cao Trong

mỗi bài tập nên rút ra các làm tổng quát cho các dạng bài để không bị bỡ ngỡkhi gặp những bài tương tự, ngoài ra các bạn còn phải đọc sách tham khảo để cóđược những bài toán và các dạng toán riêng.

3.1.4.Đọc nhiều sách tham khảo

Có rất nhiều sách tham khảo chương trình Hình học lớp 9 để tìm đọc vàluyện các bài tập Nên chọn các loại sách có các ví dụ cơ bản, dễ hiểu với cáchlàm khoa học và có phần giải thích rõ ràng để nắm được các ý quan trọng vàcách làm bài

3.2.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có

bốn đỉnh nằm trờn đường tròn đó.

* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và

(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

3.2.2.Định lý.

* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.

3.2.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm

đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới

một góc 

3.2.4 Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.

Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định

Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình

3.3 - Bài tập minh họa.

3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

O

C B

D A

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’

Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

Chứng minh:

Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC

Xét BB’C có : (GT)OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền

 OB’ = OB = OC = r (1)Xét BC’C có : (GT)Tương tự trên  OC’ = OB = OC = r (2)

Cho tam giác ABC nhọn và nội

tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’

a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội

(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà : (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Cho  ABC cân ở A nội tiếp (O).

Trên tia đối của tia AB lấy điểm M,

trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao

N A

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.

tại G; OH AD tại H

Hãy tìm các tứ giác nội tiếp

trong hình vẽ bên

Chứng minh:

* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:

AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là:

AEFC; AHGC; BEHD; BFGDThật vậy: Xét tứ giác AEFC

Ta có: (cùng phụ với )

(Hai góc nội tiếp cùng chắn )

 Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự

* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180 0

F

H E

D

Thật vậy: Ta có : (Hai góc nội tiếp cùng chắn )

(vì cùng phụ với ) (Hai góc nội tiếp cùng chắn )

3.3.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Bài toán 1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b Ví dụ: (Bài toán về đường tròn Euler)

Chứng minh rằng, trong

một tam giác bất kì, ba trung

điểm của các cạnh, ba chân của

các đường cao, ba trung điểm của

các đoạn thẳng nối trực tâm với

đỉnh đều ở trờn một đường tròn

Chứng minh:

Ta có: ME là đường trung bình của AHC

ND là đường trung bình của BHC

Lại có : ME // CH (vì ME là đường trung bình của AHC)

MN // AB (vì MN là đường trung bình của HAB)

Mà CH  AB (giả thiết)

 ME  MN (2)

Từ (1) và (2)  Tứ giác MNDE là hình chữ nhật

Gọi O là trung điểm của MD  O cũng là trung điểm của NE

Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)

Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)

Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM)

(Điều phải chứng minh)

c.Bài tập:

1 Cho hình bình hành ABCD có nhọn Đường tròn tâm A bán kính ABcắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đườngthẳng AB ở điểm thứ hai K Chứng minh rằng:

a DE = DK

b Năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn

2 Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung

ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E  (O); B,B’, D, F  (O’)) Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD vàA’B’ H là giao điểm của MN là OO’ Chứng minh rằng:

a MN  OO’

b Năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn

c Năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.

a Phương pháp:

Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định: Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.

b Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên

đường kính ấy (C khác O) Điểm M chuyển động trên đường tròn Đường vuônggóc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F Chứng minh rằng đườngtròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A