Chuyên đề Nguyên hàm và Tích phân (Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán)

Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài ❶: NGUYÊN HÀM  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa tính chất .Phương pháp:  Định nghĩa: Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với x thuộc  Tính chất:     Bảng nguyên hàm:  ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪ Phương pháp: Casio ⬧ Xét hiệu: Nhấn shift ⬧ Calc hay ,… St-bs: Duong Hung mệnh đề Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ ln x + + C Ⓒ ln x + + C 2x + Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio:  1  f ( x ) dx =  x + dx =  x + d ( x + ) = ln x + + C Calc: x= 2.5 Lưu ý: Gặp ln có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B Câu 2: Câu 2: Nếu  f ( x )dx = x + x + C hàm số f ( x ) x3 Ⓐ f ( x ) = x + + Cx Ⓑ f ( x ) = 12 x + x + C Ⓒ f ( x ) = 12 x + x Ⓓ f ( x ) = x + Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Thử đạo hàm  Ta có:  Casio f ( x) = (  f ( x )dx ) = ( 4x x3 + x + C ) = 12 x + x Chú ý dễ chọn nhằm câu B Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln Ⓑ ln St-bs: Duong Hung 1 với x  f (1) = Khi giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓒ ln + Ⓓ ln + Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Tư Casio Chọn D  Ta có:  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) = ln x − + C f ( x) =  dx =  2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1 ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − +  Do 1 f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2  f  ( x )dx = f ( 5) − f (1) 5 1  f ( ) = f (1) +  f  ( x )dx = +  f  ( x )dx  Tổng quát: b  f  ( x )dx = f ( b ) − f ( a ) a b  • f ( b ) = f ( a ) +  f  ( x )dx; a b • f ( a ) = f ( b ) −  f  ( x )dx a B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Khẳng định sau sai? Ⓐ Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C  f ( u ) du = F ( u ) + C Ⓑ  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k số k  ) Ⓒ Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) Ⓓ   f1 ( x ) + f ( x ) dx =  f1 ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 2: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = Ⓒ F ( x ) = Câu 3: 5 ( x − 3) Ⓑ F ( x ) + x + 2020 Ⓓ Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Ⓐ  0dx = C ( C số) ( x − 3) = F ( x) = 5 ( x − 3) −1 Ⓑ  dx = ln x + C ( C số) x x +1 + C ( C số) Ⓓ  dx = x + C ( C số)  +1 Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục Xét mệnh đề sau: Ⓒ  x dx = Câu 4:  f ( x ) dx với k số thực khác k (II)   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx (III)   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx  g ( x ) dx (I) k  f ( x ) dx = (IV)  f  ( x ) dx = f ( x ) + C Số mệnh đề Ⓐ Câu 5: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 6: Ⓐ G ( x ) = F ( x ) , x  K Ⓑ G ( x ) = f  ( x ) , x  K Ⓒ F ( x ) = G ( x ) + C , x  K Ⓓ F  ( x ) = f  ( x ) , x  K Mệnh đề sau sai? Ⓐ Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a; b ) C số  f ( x ) dx = F ( x ) + C Ⓑ Mọi hàm số liên tục ( a; b ) có nguyên hàm ( a; b ) Ⓒ F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a; b )  F / ( x ) = f ( x ) , x  ( a; b ) (  f ( x ) dx ) Ⓓ Câu 7: Hàm số f ( x ) = = f ( x) / có nguyên hàm trên: cos x   Ⓑ  − ;  Ⓐ ( 0;  ) Câu 8:   Ⓓ  − ;  Ⓒ ( ; 2 )  2  2 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = 5 Ⓑ F ( x ) +x ( x − 3) = 5 x − 3) x − 3) ( ( Ⓒ Ⓓ F ( x ) = F ( x) = −1 + 2017 5 Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số Câu 9: Ⓐ f ( x ) = e x Ⓑ 3 ex Ⓒ f ( x ) = 3x Câu 10: Nếu  Ⓐ f ( x ) dx = x3 + e x + C f ( x ) Ⓑ x4 + ex x4 f ( x) = + ex 12  f ( x ) dx = 3x + Ⓒ  f ( x ) dx = 3x − f ( x ) = 3x + e x Ⓓ f ( x ) = x + e x Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + Ⓐ Ⓓ f ( x ) = x3 e x −1 f ( x) = Ⓒ f ( x ) = 3x e x +C x2 +C x2 x Ⓑ  f ( x ) dx = Ⓓ  x4 + ln x + C f ( x ) dx = x4 + ln x + C Câu 12: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Ⓐ  cos xdx = sin x + C St-bs: Duong Hung Ⓑ  x e dx = x + C e +1 e +1 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓒ  dx = ln x + C Ⓓ  x e dx = x x e +1 +C x +1 Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + sin x Ⓐ x3 + cos x + C Ⓑ 6x + cos x + C Ⓒ x3 − cos x + C Ⓓ 6x − cos x + C Câu 14: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ 2x + ln x + + C Ⓒ ln x + + C Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Câu 15: Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai? Ⓐ  cos x dx = tan x + C Ⓒ  lnxdx = + C x Ⓑ  e dx = e Ⓓ  sinxdx = − cos x + C x x +C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x + x e2 x x3 + +C Ⓑ F ( x ) = e2 x + x3 + C Ⓒ F ( x ) = 2e + x + C x3 Ⓓ F ( x ) = e + + C Ⓐ F ( x ) = 2x 2x Câu 17: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + 3x + hàm số hàm số sau ? Ⓐ F ( x ) = 3x + 3x + C Ⓒ F ( x ) = x 3x + + 2x + C Ⓑ F ( x ) = x4 + 3x + x + C Ⓓ F ( x ) = x4 x2 + + 2x + C Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = e x (3 + e− x ) Ⓐ F ( x) = 3e x − +C ex Ⓒ F ( x) = 3e x + e x ln e x + C Ⓑ F ( x) = 3e x − x + C Ⓓ F ( x) = 3e x + x + C Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + cos x Ⓐ e x − sin x + C Ⓑ Ⓒ xex−1 − sin x + C Ⓓ e x + sin x + C St-bs: Duong Hung x +1 e + sin x + C x +1 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x x2 Ⓐ F x x2 Ⓒ F x 3x ln x 3x C C 3x Ⓑ F x Ⓓ F x x2 3x ln C 3x.ln C BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A  Dạng ②: Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa -Phương pháp: Xác định nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm cho Thế điều kiện tìm số C  Kết luận cho tốn A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln 1 với x  f (1) = Khi giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓑ ln Ⓒ ln + Ⓓ ln + Lời giải  Casio Chọn D  Ta có: PP nhanh trắc nghiệm  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) dx =  f ( x) =  = ln x − + C 2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1  ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − + 2 b  f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) a b  • F ( b ) = F ( a ) +  f ( x )dx; a b • F ( a ) = F ( b ) −  f ( x )dx a 1 Do f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x thoả mãn F ( ) = Ta có F ( x ) Ⓐ x + 2x − ln Ⓑ x + − 2x ln Ⓒ.1 + ( x − 1) ln Lời giải Ⓓ x2 + 2x − PP nhanh trắc nghiệm  Casio: Thử đáp án Chọn A 2x + C Do ln 20 +C =  C = − Theo giả thiết F ( ) =  + ln ln 2x 2x −1 − = x2 + Vậy F ( x ) = x + ln ln ln  Ta có:  ( x + x ) dx = x + Câu 3: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x Ⓐ F ( x) cos( Ⓒ F ( x) cos( x) 2 x) sin  x thỏa mãn F Ⓓ F ( x) cos( x) PP nhanh trắc nghiệm  Casio: Thử đáp án sin   F x cos( x) Chọn B  Ⓑ F ( x) Lời giải  F   Vậy F ( x) 2 x dx C cos( x) cos  x C C 2 B - Bài tập rèn luyện: Câu Câu Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x3 − x + thỏa mãn F (1) = Ⓐ F ( x) = x − x + 5x − Ⓑ F ( x) = x4 − x2 + 5x + Ⓒ Ⓓ F ( x) = x − x + x + Hàm số f ( x ) = −5 x + x − có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 3) = Tính F ( −3) Ⓐ F ( −3) = 226 Câu F ( x) = x − x − x + Ⓑ F ( −3) = −225 Ⓒ F ( −3) = 451 Ⓓ F ( −3) = 225     Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x F   = Tính P = F   4 6 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ P = Ⓑ Câu Câu Câu Ⓓ P= Ⓐ F ( x ) = x + cos x + 2sin x − Ⓑ F ( x ) = x − cos x + 2sin x Ⓒ Ⓓ F ( x ) = x − cos x + 2sin x + F ( x ) = + cos x + 2sin x Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x +   thỏa mãn F   = cos x 4 Ⓐ F ( x ) = − cos x + tan x + C Ⓑ F ( x ) = − cos x + tan x − + Ⓒ F ( x ) = cos x + tan x + − Ⓓ F ( x ) = − cos x + tan x + − 1 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = e2 x thỏa F (0) =  Giá trị F   2 Ⓑ e+2 Ⓒ e +1 Ⓓ 2e + 1 e+ 2 Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) F (1) = 28  Khẳng định 15 sau đúng? Ⓐ F ( x ) = Ⓑ F ( x ) = x5 x3 + + x Ⓒ F ( x ) = x ( x + 1) Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ F ( 3) =  Câu x5 x3 + + x + C x5 x3 + x + Ⓓ F ( x ) = + Câu Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + sin x + 2cos x thỏa mãn F ( ) = Ⓐ Câu Ⓒ P = P =0 Ⓑ F ( 3) =  Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = F ( ) = Tính F ( 3) x −1 Ⓒ F ( 3) = ln − Ⓓ F ( 3) = ln + thỏa mãn F ( 5) = 2x −1 Ⓐ F ( x ) = 2 x − Ⓑ F ( x ) = 2x −1 + Ⓒ Ⓓ F ( x ) = x − − 10 F ( x ) = 2x −1 + Câu 10 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) thỏa F ( ) = Tính giá trị biểu thức T = log 3F (1) − F ( )  Ⓐ T = Ⓑ T = Ⓒ T = 10 Ⓓ T = −4 BẢNG ĐÁP ÁN St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A  Dạng ③: Phương pháp đổi biến số có đạo hàm liên tục trên -Định lí: Cho hàm số xác định liên tục cho Khi hàm số hàm số nguyên hàm , tức là: -Phương pháp: Từ ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau:  Đặt biến số: đưa việc tính nguyên hàm  Suy ra: đơn giản  A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tìm họ nguyên hàm  cos x sin x dx ta kết Ⓐ − cos2 x + C Ⓑ cos3 x + C Ⓒ − cos3 x + C Lời giải  cos  Casio: xét hiệu x sin x dx = −  cos x d ( cos x ) = − cos3 x + C Câu 2: Nguyên hàm x Ⓐ − sin + C x cos dx x Ⓑ sin + C x Lời giải Chọn A Ⓒ −2sin + C x Ⓓ 2sin + C x PP nhanh trắc nghiệm  Casio: xét hiệu 1 1 cos dx = −  cos d   = − sin + C x x x x dx Câu 3: Tính nguyên hàm I =  x ln x +  Ta có sin x + C PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Ⓓ x Ⓐ I = Ⓒ I = (ln x + 1)3 + C (ln x + 1) + C St-bs: Duong Hung Ⓑ I = ln x + + C Ⓓ I = ln x + + C 10 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 3,14 Câu 10 Ⓑ 13 Ⓒ Ⓓ 8 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = −1 x = , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( −1  x  1) tam giác vng cân có cạnh huyền − x Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B Hướng dẫn giải Lời giải Câu Chọn C Ta có diện tích thiết diện S ( x ) = x − x 3 0 Vậy thể tích phần vật thể  là: V =  S ( x )dx =  x − xdx = 12 Câu Lời giải Chọn B x2 ( − x ) Diện tích thiết diện: S  = 2 x2 ( − x ) 32 4 3 dx =  V =  x ( − x ) dx = x ( − x ) dx =  x − x  =   3 0 4 2 Câu Lời giải Chọn C Tại vị trí có hồnh độ x ( −1  x  1) tam giác thiết diện có cạnh − x ( Do tam giác thiết diện có diện tích S ( x ) = − x = (1 − x ) Vậy thể tích V vật thể  −1 (1 − x ) dx = ) 4 Câu Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 80 10.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung      Thể tích vật thể B V =  x cos xdx = x sin x −  sin xdx = x sin x 03 + cos x 03 = 0 3 − Câu Lời giải Chọn D ( sin x Diện tích tam giác S ( x ) =   0 ) = sin x Vậy thể tích V =  S ( x ) dx =  sin xdx = Câu Chọn C Lời giải 1 0 Ta có: V =  S ( x)dx =   x ( e x − 1)  dx =  x ( e x − 1) dx   du = dx u = x  Đặt:  x x dv = ( e − 1) dx v = e − x  x2  1 Do đó: V = x ( e − x ) −  ( e − x )dx = e − −  e x −  = e − − e + + = 0 2  x 1 x Câu Chọn B Lời giải   2 Ta tích vật thể V cần tính là: V =  S ( x ) dx = −   (1 + sin x ) cosxdx − Đặt t = sinx  dt = cosx dx Đổi cận: x = −   t = −1; x =   t = 1  t3   V =  (1 + t ) dt =  t +  =  −1  −1 Câu 10 Chọn B Lời giải St-bs: Duong Hung 81 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    Thể tích vật thể cần tìm là: V =  S ( x ) dx = −1  (1 − x ) dx = −1  Dạng ②: Bài tốn Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền quay quanh trục giới hạn ;  Phương pháp giải: áp dụng công thức: A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a ;b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a  b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức b b b b a a a a Ⓐ V =   f ( x)dx Ⓑ V =   f ( x)dx Ⓒ V =   f ( x)dx Ⓓ V = 2  f ( x)dx Lời giải Chọn B PP nhanh trắc nghiệm  Công thức b  x  [a; b] ta có V =   f ( x)dx a Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2ln x, y = 0, x = 1, x = e Ⓐ  Ⓑ e − St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e − ) Ⓓ 4 ( e − ) 82 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Casio e  Có V = 4  ln xdx = 4 I 1  u = ln x du = ln x dx   Đặt  x = v x d d  v = x e  Suy I = x ln x − 2 ln xdx = e − 2I' e 1  u = ln x du = dx   Đặt  x dv = dx v = x  e  Suy I' = x ln x −  dx = e − e + = e  Suy I = e −  Vậy V = 4 ( e − ) Câu 3: Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường: y = sin x ; Ox ; x = ; x =  Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích Ⓐ 2 Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ  Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A   Thể tích khối trịn xoay  V =   sin x.dx =    (1 − cos2 x ).dx =   − = sin x x  0 2 2   B - Bài tập rèn luyện: Câu Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = x ln x, trục Ox, x = 1, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox Ⓐ  ( e2 + 1)  ( e − 1) Ⓑ St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e + 1) Ⓓ  ( e2 − 1) 83 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y x quay xung quanh trục Ox Ⓐ 2ln Câu 4 Ⓑ V = 2 Ⓓ 2ln Ⓒ V = Ⓓ V = Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = , x =  Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hoành tích V bao nhiêu? Ⓐ V = 2 Câu Ⓒ 2 ln  Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? Ⓐ V = Câu Ⓑ 2 ln  ln x , trục Ox đường thẳng Ⓑ V = 2 ( + 1) Ⓒ V = 2 Ⓓ V = ( + 1) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 Ⓐ V =   ( x + 3) dx Ⓑ V =   ( x + 3) dx 2 0 2 Ⓒ V =  ( x + 3) dx Ⓓ V =  ( x2 + 3) dx Câu 6: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường thẳng y = x + 2, y = 0, x = 1, x = Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 2 Ⓐ V =   ( x + ) dx Ⓑ V =  ( x + ) dx Ⓒ V =   ( x + ) dx Ⓓ V =  ( x + ) dx 2 2 1 Câu 7: Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) , xung quanh trục Ox b Ⓐ V =   f ( x )dx a Câu 8: b Ⓑ V =  f ( x )dx a b b a a Ⓒ V =   f ( x )dx Ⓓ V =  f ( x ) dx Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox Ⓐ Câu 9: V = − 2e Ⓑ V = ( − 2e )  Ⓒ V = e2 − Ⓓ V = ( e2 − )  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x − x , y = 16 16 81 16 Ⓐ Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ 15 15 10 15 St-bs: Duong Hung 84 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , y = 0, x =  4   Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 7 Câu 11: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy = 9, y = 0, x = 1, x = Ⓐ 54 Ⓑ 6 Ⓒ 12 Ⓓ Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos ( x ) , y = 0, x = 0, x =  ( + )  ( sin + )  sin +  +2 Ⓓ 8 Câu 13: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos2 x, y = 0, x = 0, x =  Ⓐ Ⓑ 3 Ⓑ 2 Ⓐ 1.D 2.C A 11.A 12.B 13.C B Ⓒ  3 Ⓒ BẢNG ĐÁP ÁN A A 7.A Ⓓ 8.D 9.C 10.D  Dạng ③: Bài tốn Thể tích vật thể trịn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: trục ; quay quanh  Phương pháp giải: ① Giải phương trình: có nghiệm ② Khi thể tích cần tìm : ③ Casio: A - Bài tập minh họa: St-bs: Duong Hung 85 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay quanh trục Ox 2 Ⓐ   4x dx −   x dx Ⓑ   ( x2 − x ) dx 0 2 Ⓒ   4x dx +   x dx Ⓓ   ( x − x ) dx 0 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B   Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) d x = x2 = x   x = 2 ( ) 2 Thể tích khối tròn xoay   ( 2x ) − x  dx   2 0 =   4x 2dx −   x 4dx Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − x , y = − x quanh quanh trục hồnh là: Câu 2: Ⓐ Ⓑ 27 421  15 Ⓒ Lời giải Ⓓ 30 125  PP nhanh trắc nghiệm Chọn B   Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x = −1  x2 − 2x = − x2  2x2 − 2x − =   x =  Do quay quanh trục hồnh khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x , trục hoành, x = 0; x = nằm khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x , trục hoành, x = 0; x =  Vậy thể tích cần tính bằng:   2 2 V =    − x dx −   x − x dx  +   − x −1  −1  203 38 256 421 = − + =  15 15 15 15 ( ) ( ) ( )  Chú ý phần dễ thiếu phần V1 =   ( − x ) dx 2 dx B - Bài tập tham khảo rèn luyện: St-bs: Duong Hung 86 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào? Câu 1: b Ⓐ V =   f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓑ V =    f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓒ V =    f 22 ( x ) − f12 ( x ) dx a b Ⓓ V =    f1 ( x ) − f ( x ) dx a Lời giải Chọn B Do f1 ( x )  f ( x ) x  ( a; b ) nên Chọn B Câu 2: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox Ⓐ   ( x2 − x ) dx 2 0 2 Ⓑ   x 2dx −   x 4dx Ⓒ   x 2dx +   x 4dx Ⓓ   ( x − x ) dx Lời giải Chọn A x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x =   x = 2 Vậy thể tích khối trịn xoay tính: V =   ( x − x ) dx Cho hình ( H ) giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol Câu 3: đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A ( 2; ) , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ Ⓒ 16 15 2 32 22 Ⓓ Ⓑ Lời giải Chọn A Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A ( 2; ) nên có phương trình y = x Tiếp tuyến Parabol A ( 2; ) có phương trình y = ( x − ) + = x − Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V =   ( x (x ) 2 x dx = 32 ; = ) 2 dx −   ( x − ) dx 2  x3  16 1 ( x − ) dx = 161 ( x − x + 1) dx = 16  − x + x  = 2 St-bs: Duong Hung 87 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Vậy V =   ( x ) 2  32 16  16 dx −   ( x − ) dx =   −  =   15 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm 1− x số y = x, y = , y = (phần tơ đậm màu đen hình vẽ bên) x Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành 5 Ⓐ V =   − 2ln  Ⓑ V =   + 2ln  3 3   2 Ⓒ V =   ln −  Ⓓ V =   ln +  3 3   Lời giải Chọn A 1− x Phương trình hồnh độ giao điểm y = x y = là: x x   x  1− x   2x =  x=    x = x 2 x + x − =    x = −1 x  Phương trình hồnh độ giao điểm y = x y = là: x =    x = 2 x + x − = 1− x Phương trình hồnh độ giao điểm y = y = là: x x  x  1− x   x = =0  x x = 1 − x = Câu 4: 1 x3  1− x    1  d x = + − 1 dx =  +    − + 1 dx    V =   x dx +       x   1 x  1 x 1 x 2 2 2 Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = x − , y = x − , x = , x = quanh trục Ox 32π 32π 32π 22π Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 15 Lời giải Chọn A Câu 5: 2 Ta có V1 = π  ( x − ) dx = 256 32 π , V2 = π  ( x − ) dx = π 15 0 32π Vậy thể tích cần tìm V = V1 − V2 = Câu 6: 2 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , y = x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng: 32 Ⓐ 15 Ⓑ 64 15 St-bs: Duong Hung 88 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓒ 21 15 Ⓓ 16 15 Lời giải Chọn B x = Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − x =   x =  y = x2   y = 2x Khi quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn  x =   x = 2 64 Do thể tích khối trịn xoay là: V =   ( x ) − ( x ) dx = 15 Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) giới hạn đường Câu 7: y = x ; y = x quanh trục Ox 9 3 Ⓐ V = Ⓑ V = 10 10 Ⓒ V =  10 Ⓓ V = 7 10 Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm x = x  x4 − x =  x ( x − 1) ( x + x + 1) =  x = x = Khi đó: Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( H ) V = ( x ) dx −   ( x ) dx = 310 2 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x −1 , trục tọa độ phần đường thẳng y = − x với x  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Câu 8: e2 − Ⓐ V = + 2e Ⓑ V =  ( 5e2 − 3) 6e2 Ⓒ V = + e −1  e Ⓓ V = + e2 − 2e Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y = e x −1 đường thẳng y = − x : e x−1 = − x  x = (Vì y = e x −1 hàm đồng biến nên phương trình có tối đa y = − x hàm nghịch biến tập xác định nghiệm Mặt khác x = thỏa mãn pt nên nghiệm pt đó) Đường thẳng y = − x cắt trục hoành x = V =   (e ) x −1 2 dx +   ( − x ) dx  ( 5e − 1)  x3  +   − 2x +  = 6e  1 = e x−2 Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x − x + y = − x − x + Ⓐ  Ⓑ  −1 St-bs: Duong Hung Ⓒ 3 Ⓓ 2 89 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải Chọn C x = Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 − x + = − x − x +  x − x =   x = Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị 1 V =   ( x − x − ) − ( − x − x + ) dx =   −12 x3 + 36 x − 24 x dx 2 2 =  ( −12 x ( + 36 x − 24 x ) dx =  −3x3 + 12 x3 − 12 x ) = 3 Câu 10: Gọi ( H ) hình giới hạn nhánh parabol y = x (với x  ), đường thẳng y = − x + trục hoành Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ V = 52 15 Ⓑ V = 17 Ⓒ V = 51 17 Ⓓ V = 53 17 Lời giải Chọn A x = Phương trình hoành độ giao điểm: x = − x +   x = −  Thể tích khối trịn xoay tạo ( H ) : V =   ( − x + 3) dx +   x 4dx = 52  15 Câu 11: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x + y − = ; y = x ; y = quay quanh trục Ox 6 2 5 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng cho chia làm phần sau: Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V1 =   x dx =  x2 =  Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = − x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V2 =   ( − x ) ( x − 2) dx =  2 =  Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V = V1 + V2 = 5 Câu 12: Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x = y , y = − x + x = quay quanh trục Ox có giá trị kết sau đây? Ⓐ V =  Ⓑ V =  Ⓒ V = 32  15 Ⓓ V = 11  Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 90 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x = y  y = x2 ( x  0)   Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường:  y = − x +   y = − x + x = x =    x = ( nhận ) Phương trình hồnh độ giao điểm: x = − x +  x2 + x − =    x = −2 ( loại ) Thể tích vật trịn xoay sinh hình ( H ) quay quanh trục Ox là: ( )  V =   ( − x + ) − ( x ) dx =   ( x − x + − x ) dx = 2 32  (đvtt) 15 Câu 13: Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x (− )  x  trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox Ⓐ V = 8 − 2 Ⓑ V = 8 + 22 Ⓒ V = 8 − 22 Ⓓ V = 4 + 22 Lời giải Chọn D Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V =  = 8 Thể tích nửa khối cầu V1 = 4 ( ) x  x = − x2    x = x + x − = Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung Xét phương trình: trịn có phương trình y = − x , hai đường thẳng x = 0, x = quanh Ox V2 =   ( − x − x ) dx = 22 22 Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V1 =  = 8 x   Xét phương trình: x = − x    x = x + x − = Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = V1 + V2 = 4 + ( ) Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = − x đường thẳng y = quanh Ox V2 =   xdx +  = 2 +  ( − x ) dx 2 12 − 28 22  = 4 − 3 St-bs: Duong Hung 91 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 22   22 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = V1 − V2 = 8 −  4 −  = 6 + 3   Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = , y = x , y = x − Ⓐ 8 Ⓑ 16 3 Ⓒ 10 Ⓓ 8 Lời giải Chọn B 0 = x  x =  Ta có: 0 = x −  x =   x = x−2 x = Dựa vào hoành độ giao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y = x , y = x = 0; x = Phần thứ hai giới hạn y = x , y = x − x = 2; x = Thể tích vật thể bằng: V = ( ) x 4 ( ) dx +   ( x − ) − x dx =   xdx +   x − ( x − ) dx 2 2  x ( x − )3  16 x2 = +  −  =   3  2 Câu 15: Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x đường tròn x + y = (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 44 Ⓒ 15 5 V = Ⓑ V = 22  15 Ⓓ V = Lời giải Chọn A  x2 = x = Với y = x thay vào phương trình đường trịn ta x + x =    x = − x = −    y = − − x2 Hơn x + y =    y = − x  y = − x2   x = −1 Thể tích cần tìm thể tích vật thể trịn xoay ( H1 ) :  quay quanh Ox bỏ phần thể = x  Ox   y = x2   x = −1 tích ( H ) :  quay quanh Ox x =  Ox St-bs: Duong Hung 92 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1 Do V =     −1 ( − x2 )  44 dx −  ( x ) dx  = −1  15 Câu 16: Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo hình vẽ) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 8 Ⓑ V = 10 8 Ⓒ V = Ⓓ V = 16 Lời giải Chọn D Gọi hình phẳng giới hạn đường x = , x = , f ( x ) = x trục hoành ( D2 ) hình phẳng giới hạn đường x = , x = , g ( x ) = x − trục hồnh Kí hiệu V1 , V2 tương ứng thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( D1 ) , ( D2 ) quanh trục hoành 4 4 Khi đó, V = V1 − V2 =   f ( x ) dx −   g ( x ) dx =   xdx −   ( x − ) dx = 8 − 0 2 8 16 = 3 Câu 17: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) = xung quanh trục hoành Ⓐ 6 Ⓑ 6 Ⓒ 3 Ⓓ 6 Lời giải Chọn A ( C ) : x + ( y − 3) =  ( y − 3) = − x 2  y − = − x2  y = + − x2    y − = − − x  y = − − x Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) ( = xung quanh trục hoành V =   + 1− x −1 ) dx −   (3 − 2 −1 St-bs: Duong Hung ) dx =  6 = 6 1− x 2 93 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 94 ... Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài ❶: NGUYÊN HÀM  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa tính chất .Phương pháp:  Định nghĩa: Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với x... Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT  Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa .Phương pháp:  Nhận xét: Tích phân hàm số từ a... kí hiệu hay Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số  Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm hàm số thường gặp A - Bài tập minh họa: b Câu 1: Tính tích phân  dx