Giáo án hình học 11 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng vng góc + Nắm định lý ba đường vng góc + Phát biểu vận dụng cách tìm thiết diện quan hệ vng góc  Kĩ + Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Chứng minh hai mặt phẳng vng góc + Xác định thiết diện giải toán liên quan đến chu vi diện tích thiết diện I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng   d vng góc với đường thằng a thuộc mặt phẳng   Kí hiệu: d    hay    d d     d  a, a    Định lí Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng d  a d  b   a      a    , b    a  b  M  Hệ Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác Tính chất Tính chất 1: Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Tính chất 2: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước   Có đường thẳng d qua B vng góc với   Có mặt phẳng   qua A vng góc với d Trang   Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB Tính chất 3:  Một mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng song song đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất 4:  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 5: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Phép chiếu vng góc Cho đường thẳng d    Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng   gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng   M  hình chiếu M lên   Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng   b đường thẳng không thuộc   đồng thời khơng vng góc với   Gọi b hình chiếu b   Khi a  b  a  b TOANMATH.com Trang   Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng    Nếu d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng   90  Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d với hình chiếu d    gọi góc đường thẳng d vả mặt phẳng   Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90  P    Q     P  ,  Q    90 Tính chất  Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a   P    P   Q   a   Q   Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng  P    Q   a   P   a  Q   b   P    Q  a  b   Cho hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng  P  dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Q  đường thẳng nằm  P   A P   P    Q   a   P    A  a  Q  TOANMATH.com Trang    Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng  P    R       R   Q    R    P    Q    Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy - Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ Hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Tất mặt hình chữ nhật Đường chéo d  a  b  c với a, b, c kích thước Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy +) Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc +) Các mặt bên hình chóp tam giác cân +) Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng TOANMATH.com Trang   SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa d     d  a, a    Định lí ba đường a2 vng góc Hai đường thẳng vng góc  a     b     , b       b hình chiếu b   Định lí Hệ d  a; d  b   a    , b     d    a  b  M  ABC :  d  AB  d   ABC  d  AC  Có đường thẳng qua điểm cho a  b  a  b trước vng góc với mặt phẳng cho trước Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tốn 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Cách Chứng minh đường thẳng d vuông Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam góc với hai đường thẳng cắt chứa giác vuông B, cạnh bên SA vng góc với dáy mặt phẳng  P  Chứng minh BC   SAB  Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABC vng B nên BC  AB Do SA   ABC  nên BC  SA  BC  AB  BC  SA  Ta có:   BC   SAB   AB  SA   A  AB, SA   SAB   Cách Chứng minh d song song với a mà a   P  Cách Chứng minh d   Q   Q  //  P  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng  ABC  Chứng minh a) BC   OAH  b) H trực tâm ABC Hướng dẫn giải OA  OB a) Ta có   OA   OBC   OA  BC OA  OC OH   ABC  Mà  nên OH  BC  BC   ABC  TOANMATH.com Trang   Vậy BC   OAH  b) Do OH   ABC  nên OH  AC 1 OB  OA Ta có  nên OB   OAC   OB  AC   OB  OC Từ 1   suy AC   OBH   AC  BH Mặt khác BC   OAH   AH  BC Vậy H trực tâm tam giác ABC Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SD a) Chứng minh AK   SCD  b) Chứng minh AH   SBC  c) Chứng minh SC   AHK  Hướng dẫn giải a) Ta có SA   ABCD   CD  SA ABCD hình chữ nhật nên CD  AD Suy CD   SAD   CD  AK Ta lại có AK  SD Suy AK   SCD  b) Ta có CB  SA (do SA vng góc với đáy) CB  AB (do ABCD hình chữ nhật) Suy CB   SAB  Mà AH   SAB  nên CB  AH Ta lại có AH  SB Suy AH   SBC  c) Ta có AK   SCD  suy AK  SC AH   SCB  suy AH  SC Suy SC   AHK  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, có SA vng góc  ABCD  Gọi H K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD Chứng minh HK   SAC  Hướng dẫn giải Xét SAB vuông A, đường cao AH TOANMATH.com Trang   Ta có SA2  SH SB  SH SA2  1 SB SB Xét SAD vuông A, đường cao AK Ta có SA2  SK SD  SK SA2   2 SD SD  SB  SA2  AB  Mà  SD  SA2  AD  SB  SD  3  AB  AD  Từ 1 ,    3 suy SH SK   HK //BD SB SD Lại có BD  AC (tính chất hình thoi) mà SA   ABCD  , BD   ABCD   BD  SA Suy BD   SAC  mà HK //BD nên HK   SAC  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD ABC D a) Chứng minh AC    ABD  b) Chứng minh AC    CBD  Hướng dẫn giải a) Gọi O, I tâm hình vng ABCD, AABB  BD  AC Ta có   BD   ACC A   BD  AC  1  BD  AA  BA  AB  BA   ABC D   BA  AC      BA  BC  Từ 1   , ta có AC    ABD   BD //BD  BD //  CBD  b) Ta có     ABD  //  CBD   AB //CD  AB //  CBD  TOANMATH.com Trang   Mà AC    ABD  nên AC    CBD  Bài toán 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Chọn mặt phẳng  P  chứa đường thẳng b, sau Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD chứng minh a   P  Từ suy a  b hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SC , SD Chứng minh HK  SC Hướng dẫn giải Ta có CD  AD, CD  SA Suy CD   SAD   CD  AK Mà AK  SD nên AK   SDC   AK  SC Mặt khác AH  SC nên SC   AHK  Suy HK  SC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, SA   ACBD  , AD  2a, AB  BC  a Chứng minh CD  SC Hướng dẫn giải Ta có: SA   ABCD     SA  CD 1 CD   ABCD   Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do  ACI  45 Mặt khác, CID tam giác vuông cân   45 I nên DCI ACD  90 hay AC  CD   Suy  Từ 1   suy CD   SAC   CD  SC TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC hình tam giác vng A có Chú ý: SA   ABC  Chứng minh AC  SB Cách khác để chứng minh Hướng dẫn giải Vì SA   ABC  nên AB hình chiếu vng góc SB  ABC  hai đường thẳng vng góc: Sử dụng định lý ba đường vng góc Mặt khác theo giả thiết AC  AB Suy AC  SB (theo định lý ba đường vng góc) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  AC , DB  DC Chứng minh AD  BC Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC Vì ABC cân A DBC cân D nên ta có AH  BC ; DH  BC  BC   ADH   AD  BC Ví dụ Trong mặt phẳng  P  cho BCD Gọi M trung điểm CD, G điểm thuộc đoạn thẳng BM Lấy điểm A nằm  P  cho G hình chiếu vng góc A  P  Chứng AB  CD Hướng dẫn giải Vì AG   BCD  nên BG hình chiếu vng góc AB  BCD  Mặt khác theo giả thiết BG  CD suy AB  CD (theo định lý ba đường vng góc) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với TOANMATH.com Trang 10   Ta có SO   ABC D   SO  BD  OD hình chiếu vng góc SD lên  ABC D   O  60   SD,  ABCD     SD, OD   SD Từ giả thiết dễ dàng AA OO   SA SO Vì ADC  tam giác vng cân D có DO đường cao nên 1 1      2 2       DO AD DC a a a  DO2  a2 a  DO  2 Áp dụng hệ thức lượng SDO vng O ta có: tan 60  SO a a  SO  OD.tan 60  3 OD 2  OO  2 a a SO   3 Câu 14  AE  CD Gọi E, F trung điểm CD AB    BE  CD     90 Mà  BCD    ACD   CD nên  BCD  ,  ACD   BEA CF  AB Ta có   AB   CFD   DF  AB      Suy  ABC  ,  ABD   CF , FD     , FD  90  CFD Vậy để  ABC    ABD  CF  FE  CD Ta có EAB vng cân E nên EF  AE  Vậy x  AC  CE a2  x2  2 a2  x2 a2  x2 a2  x2   x2  xa 2 3 Câu 15 Gọi ABCD ABC D khối lập phương lớn tạo 27 khối lập phương đơn vị O tâm hình lập TOANMATH.com Trang 36   phương đó, khối lập phương ABCD ABC D có cạnh Ta xét mặt phẳng  P  qua O vng góc với AC  , cắt AC M, cắt AC  M  3 AM AO   Ta có: AC  AC  AM  3 AC    CM  3  4 2 2 Gọi A1 B1C1 D1 mặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt với khối lập phương mặt thứ hai, gọi M  A1C1  MM  7 Ta có A1M  CM    C1M  A1C1  A1M  3 4 Gọi A2 B2C2 D2 mặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt thứ với khối lập phương mặt thứ ba, gọi M  A2C2  MM  5 Ta có A2 M  CM    C2 M  A2C2  A2 M  3 4 Giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  ABCD  cắt cạnh hình vng, giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  A1 B1C1 D1  cắt cạnh hình vng (hình vẽ bên dưới), hình vng có cặp hình vng chung hình lập phương đơn vị nên mặt phẳng  P  cắt ngang khối lập phương mặt Tương tự mặt phẳng  P  cắt ngang khối lập phương mặt Giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  A1 B1C1 D1  cắt cạnh hình vuông, giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng  A2 B2C2 D2  cắt cạnh hình vng (hình vẽ), có cặp hình vng chung với hình lập phương đơn vị, nên suy mặt phẳng  P  cắt ngang khối lập phương mặt thứ hai TOANMATH.com Trang 37   Vậy mặt phẳng  P  cắt ngang (không qua đỉnh)    19 khối lập phương đơn vị Dạng Dùng mối quan hệ vng góc giải tốn thiết diện 1–D 2–B 3–A 4–A 5–B 6–A 7–B 8–D 9–C 10 – C 11 – B 12 – C 13 – A 14 – C 15 – D 16 – A 17 – D 18 – B 19 – C 20 – C 21 – D 22 - A 23 – A 24 – C 25 – D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Gọi I trung điểm AC, kẻ IH  SC Ta có BI  AC , BI  SA  BI  SC Do SC   BIH  hay thiết diện tam giác BIH Mà BI   SAC  nên BI  IH hay thiết diện tam giác vuông Câu   MQ // CD vaø MQ  CD Ta có:   NP // CD vaø NP  CD  Suy MQ // NP MQ  NP  MNPQ hình bình hành Mặt khác PQ // AB MQ // CD, AB  CD nên MQ  PQ Do MNPQ hình chữ nhật Câu  AB  BC Ta có:   BC  SB  SA  BC  BC  SB   P  // BC (1) Vậy   P   SB Mà  P    ABC   MN (2) Từ (1) (2), suy MN // BC Tương tự ta có PQ // BC; PN // SA Do PQ // MN TOANMATH.com Trang 38   Mà SA  BC  PN  NM Vậy thiết diện hình thang vng MNPQ Câu Mặt phẳng  P  vng góc với OH nên  P  song song với SO Suy  P  cắt  SAH  theo giao tuyến đường thẳng qua I song song với SO cắt SH K Từ giả thiết suy  P  song song BC,  P  cắt  ABC   SBC  đường thẳng qua I K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC M, N, Q, P Do thiết diện tứ giác MNPQ Ta có MN PQ song song BC suy I trung điểm MN K trung điểm PQ Mà IK // SO nên IK vng góc với MN PQ Do MNPQ hình thang cân Câu Qua điểm A, ta kẻ đường thẳng vng góc với SB, cắt SB H AD  AB AD  SA Ta có AB  SA  A      AD   SAB   AB, SA   SAB    AD   SAB  nên AD  SB Suy     ADH  Do   SB   SAB  Do AD    AD // BC  BC //   nên     SBC   Hx , với Hx // BC Gọi I giao điểm Hx BC Khi     SBC   HI Suy     SAB   AH ,     SAD   AD,     SCD   ID     SBC   HI Vậy thiết diện cần tìm hình thang AHID Câu Kẻ AE  BC , SA  BC  BC   SAE    SAE    P  Do SA   ABC   SA  AE  SAE vuông A Vậy thiết diện mặt phẳng  P  hình chóp S.ABC tam giác vng SAE TOANMATH.com Trang 39   Ta có: AE  a 1 a a2 (đơn vị diện tích) Suy S SAE  SA AE  a  2 Câu Trong  SAB  , dựng AM  SB  M   P  Lại có: BC  AB, BC  SA  BC  SB Suy BC song song với  P  Trong  SBC  , dựng MN song song với BC  N  SC  , N  P AM   SBC  nên thiết diện hình chóp cắt  P  tam giác AMN vng M Ta có: AM  Mà 2a 4a ; SM  ; SB  a 5 4a MN SM   MN  BC SB 1 4a 2a 4a 10  SAMN  AM MN  (đơn vị diện tích) 2 5 25 Câu Kẻ AC1  SC   AC1 B   SC Thiết diện tam giác AC1 B Ta có AC1  AC.sin  ACS  a  cos  ACS  a  b2  b2  4b  a a  a 1    2ab 4b   Gọi J trung điểm AB Ta có tam giác AC1 B cân C1 , suy C1 J  AB C1 J  AC12  AJ  Do đó: S AC1B  a 3b  a 2b 1 a a2 AB.C1 J  a 3b  a  3b  a 2 2b 4b Câu TOANMATH.com Trang 40   Do AD  BC , SA  BC  BC   SAD  Gọi H  HF  SD Suy BC  AH  EF  AH  SAEF  Mà EF  EF AH BC  a Do H trung điểm SD nên AH  SD 2a   a  S AEF  a 2 Câu 10 Do  P   AB nên  P  // SA Gọi I trung điểm SB  MI // SA  MI   P  Gọi N trung điểm CD  MN  AB  MN   P  Gọi K trung điểm SC  IK // BC , mà MN // BC  MN // IK  IK   P  Vậy thiết diện  P  hình chóp hình thang MNKI vng M Ta có: MI đường trung bình tam giác SAB  MI  IK đường trung bình tam giác SBC  IK  SA  BC  MN đường trung bình hình thang ABCD nên MN   AD  BC   Khi S MNKI  IK  MN 3 MI   15 (đơn vị diện tích) 2 Câu 11 Gọi E trung điểm AD Do ABCD tứ diện nên mặt bên tam giác Do BE  AD, CE  AD   BEC   AD   P    BEC  Gọi F trung điểm BC Ta có: BE  CE  12  3; EF  BE  BF  2 Diện tích thiết diên là: S  EF BC  36 (đơn vị diện tích) Câu 12 TOANMATH.com Trang 41   Gọi E, F trung điểm AD, BC Khi  EF  AD  EF   SAD    SEF    SAD    EF  SA  SO   SEF  Ta có       SEF   SEF    SAD  Vậy thiết diện cần tìm SEF vng E nên S SEF 1 a2  AD   SE.EF   SA2   AB (đơn vị diện tích)  2   Câu 13 Gọi E trung điểm AD Ta có EB  ED nên E thuộc mặt phẳng trung trực BD Gọi F, G, H, I, K trung điểm CD, CC , BC , AB, AA Chứng minh tương tự ta có điểm thuộc mặt phẳng trung trực BD Vậy thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng trung trực BD hình lục giác EFGHIK có cạnh a 2 a 2 3 a  Vậy diện tích thiết diện S       Câu 14 Gọi O  AC  BD, I  AM  SO Trong  SBD  từ I kẻ đường thẳng  song song với BD cắt SB, SD N, P Suy thiết diện tứ giác ANMP  BD  AC  BD   SAC   BD  AM Ta có:   BD  SO Mặt khác: BD // NP Suy AM  NP Suy S ANMP  NP AM  SA  SC  a  SAC vuông cân S +) Tính AM: Ta có:   AC  a 2 a 13 2  Suy AM  SA2  SM  a   a   3  +) Tính NP: TOANMATH.com Trang 42   NP SI SI BD SI   NP  Gọi  k BD SO SO SO           Ta có: AI  AS  SI   SA  k SO AM  AS  SM   SA  SC       A, I, M thẳng hàng  AI  h AM   SA  k SO  hSA  hSC  k       SA  SA  SC  hSA  hSC Ta có NP // BD     1 k   k  h    1 k  h  h    Suy SI 4 4a   NP  BD  SO 5 Vậy S ANMP  1 4a a 13 26a  NP AM  2 15 Câu 15 Gọi E trung điểm AB, suy AECD hình vng nên DE  AC 1 Mặt khác SA   ABCD   SA  DE (2) Từ (1) (2) ta có DE   SAC  mà DE   SDE  nên  SDE    SAC  Do     SDE  Vậy thiết diện tam giác SDE Vì SA   ABCD  nên ADE hình chiếu vng góc tam      giác SDE nên  ABCD   SDE  ,  ABCD   SOA AO  Ta có: cos   SO Suy S SDE a 2 a 2  2a       2  a2 S 3a  ADE   cos  Câu 16 TOANMATH.com Trang 43   Dựng đường cao OH OBC , cắt AD H  Dựng OK  SH Chứng minh BC   SOH    SBC    SOH    SBC    SOH   SH   OK   SBC   OK   SOH  ; OK  SH  Dựng H K  // OK  K   SH  Suy mặt phẳng   mặt phẳng  ADK   Ta có:     ADK     SBC   EF (với EF qua K  song song với BC) K    ADK     SBC   AD // BC  ADK     SAB   AE;  ADK     SCD   DF ;  ADK     SAD   DA Vậy thiết diện cần tìm hình thang EFDA với EF // AD , đường cao H K    a  a Ta có ABC nên OH  OC.sin OCB 2 Tính được: OK  SO.OH a a a 3a 3a SO.OH  , H K   2OK  , SH   ; HK  , HK   2 SH 8 SO  OH Suy SH  HK   K  trung điểm SH  EF  S EFDA BC a  2 1 3a  a  9a   (đơn vị diện tích)  H K  EF  DA     a   2 2  16 Câu 17 Kẻ MN // OA  N  BC  , MQ // SB  Q  SA  , NP // SB  P  SC  Khi thiết diện hình thang MNPQ  MQ // NP  Kẻ BK  OA  K  AC  Do SB  AO nên AO   SBK  Gọi R giao điểm MN BK, I giao điểm PQ SK  MN // AO  MN   SBK   MN  RI (1) Ta có:   AO   SBK   SAB    SBK   SB   SAB    MNPQ   MQ  MQ // RI (2)   SBK    MNPQ   RI  MQ // SB  Từ (1) (2) suy MN  MQ  MNPQ hình thang vng B   60  BMN   60  BMN Ta có: OAB Suy BN  MN  BM  x TOANMATH.com Trang 44   BC  AB  2a cos 60 Sử dụng định lí Ta-lét, ta có: MQ AM a  x ax    MQ  SB  a  x SB AB x a NP CN BN x 2a  x 2a  x 2a  x   1  1   NP  SB  SB BC BC 2a 2a 2a Ta có: S MNPQ 2a  x   ax   x 3 x  4ax MQ  NP  MN       2 Từ suy S MNPQ đạt giá trị lớn x   4a 2a   3 Câu 18 Do  SAB    ABCD  , kẻ SH  AB  SH   ABCD  Gọi O tâm hình bình hành ABCD, kéo dài OH cắt CD P   30 SCD  ;  ABCD    SPH Có HP  CD     Xét tam giác vng SHP có: tan 30  SH 3a a  SH  HP.tan 30   HP Do tam giác SAB nên AB  a Trong mặt phẳng  SDC  qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SD SC P Q, dễ thấy IO đường trung bình SHP nên IO // SH  IO   ABCD  Vậy mặt phẳng  MNPQ  thiết diện cần tìm Dễ thấy MNPQ hình thang có đường cao IO Có IO  S MNPQ SH a CD a , MN  AB  a, QP    2 a  a   a  2   3a (đơn vị diện tích)  16 Câu 19 TOANMATH.com Trang 45   Gọi N trung điểm BC  SB  SC  BC  SN   BC   SAN    AB  AC  BC  AN  M   P  Theo BC   P     P  //  SAN  Kẻ MI // AN , MK // SA Thiết diện  P  tứ diện SABC KMI Vì ABC; SBC hai tam giác cạnh a Nên AN  SM  a  SA Suy SAN tam giác cạnh Suy KMI tam giác cạnh a a b a 3  a b     16  a  Vậy S KMI Câu 20 Gọi K, H hình chiếu vng góc A cạnh SB, SC Vì AH  SC nên AH     BC  AB  BC   SAB   BC  AK Ta có   BC  SA  AK  SB Mặt khác   AK   SBC   AK  SC  AK     AK  BC Suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng   tam giác AHK vuông K Theo giả thiết ta tính AH  a 2a SC  a 2, AK  ; KH  AH  AK  5 Diện tích thiết diện S AHK  a2 AK HK  (đơn vị diện tích) Câu 21 Kẻ AH  SD Do SA   ABCD  nên SA  CD Lại có CD  AD TOANMATH.com nên Trang 46   CD   SAD  Suy CD  AD  AH  SD Từ ta có   AH   SCD    ABH    SCD   AH  CD Vậy  ABH  mặt phẳng    AB     CD   SCD  Ta có       SCD   HK // AB // CD AB CD //   H      SCD   Thiết diện tứ giác AHKB Dễ thấy AHKB hình thang vng A H nên S AHKB  Ta có  AB  HK  AH 1 1    2 AH AS AD a    a   AH  a 3a Trong SCD có HK // CD nên 3a HK SH SH SD SA2 SA2       2 2 2 CD SD SD SD SA  AD 3a  a 3 Suy HE  CD  a 4 Vậy S AHKB  1 3a  3a a     AB HK AH a     2  16 Câu 22 SA  AB  a  SAB cân A Dựng AH  SB  H  SB  Suy H trung điểm SB  BC  AB  BC   SAB   BC  AH Ta có   BC  SA Từ suy AH   SBC  Dựng MQ // AH  Q  HB  , suy Q trung điểm HB AH   SBC   MQ   SBC  Do     QMN   MN     Nhận thấy  BC   SBC       SBC   QP // BC  P  SC   MN // BC  TOANMATH.com Trang 47   Khi thiết diện cần tìm hình thang vng MNPQ Ta có: MN  BC a AH SB a  ; MQ    ; 2 4 QP SQ 3 3a    QP  BC  BC SB 4 Vậy diện tích thiết diện cần tìm là: S MNPQ  5a 2  MN  QP  MQ  32 Câu 23 Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi E  MN  AB F  MN  AD Trong mặt phẳng  ABBA  , gọi H  PE  BB Trong mặt phẳng  ADDA  , gọi K  PF  DD Suy ra, thiết diện hình lập phương ABCD ABC D cắt  MNP  ngũ giác PHMNK Mặt khác, ngũ giác ABMND hình chiếu vng góc ngũ giác PHMNK lên mặt phẳng  ABCD  nên diện tích ngũ giác PHMNK tính cơng thức S ABMND  S PHMNK cos  Suy S PHMNK  S ABMND với  góc tạo  MNP   ABCD  cos  Ta có S ABMND  S ABCD  S CMN  a  a  a 8  MNP    ABCD   MN   MN   ACC A    MNP  ,  ABCD    AI , PI   AIP   I  MN  AC Ta có      ACC A ABCD AI       ACC A  MNP  PI         2 3 22  a   2a  2 Ta có AI  AC  a; PI  AP  AI      a   4 2   Suy cos   S AI 11 11  Vậy S PHMNK  ABMND  a 11 cos  24 PI Câu 24 TOANMATH.com Trang 48   Vì SAC SBC tam giác cân nên  SC  AI  SC   ABI    SC  BI Dựng MQ // SC  Q  AC   MQ   ABI  Do     QMN   MN     Ta cos  MN // AB      ABC   QP  QP // AB; P  BC   AB  ABC    Đặt k  SM MN    k  1  MN  PQ  k AB  k.a SA AB Từ MQ   ABI   MQ  AB  MQ  PQ Do thiết diện cần tìm hình chữ nhật MNPQ Gọi H trung điểm AB  SAB    ABC   Ta có:  SAB    ABC   AB  SH   ABC   SH  HC  HC   ABC     SH  AB  SC  SH  HC  a MQ MA a    k  MQ  1  k  SC  1  k  SC SA Diện tích thiết diện là: a2 a2  k   k  a2 k 1  k     MN MQ    2   S MNPQ Vậy thiết diện đạt diện tích lớn a2 k  hay M, N trung điểm SA, SB Câu 25   // CD; CD   ICD  Ta có   M      ICD  Suy giao tuyến   với  ICD  đường thẳng qua M song song với CD cắt IC L ID N   // AB; AB   JAB  Lại có   M      JAB  Nên giao tuyến   với  JAB  đường thẳng qua M song song với AB cắt JA P JB Q TOANMATH.com Trang 49     // AB  nên giao tuyến với  ABC  đường Ta có  AB   ABC    L      ABC  thẳng qua L song song với AB cắt BC E cắt AC F   // AB  nên giao tuyến với  ABD  đường thẳng qua N song song với AB Tương tự  AB   ABD    N      ABD  cắt BD H cắt AD G Ta có thiết diện EFGH hình bình hành Mà AB  CD nên EFGH hình chữ nhật Xét tam giác ICD có: LN // CD  LN IN  CD ID Xét tam giác ICD có: MN // JD  IN IM  ID IJ Do LN IM 1 b    LN  CD  CD IJ 3 Tương tự PQ JM 2 2a    PQ  AB  3 AB JI Vậy S EFGH  PQ.LN  TOANMATH.com 2ab Trang 50 ... song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 5: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng. .. Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng    Nếu d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng   90  Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d với hình. .. góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng