Microsoft Word Bài 3 ÐU?NG TH?NG SONG SONG V?I M?T PH?NG doc Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI GIẢNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến[.]
CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI GIẢNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng + Nắm phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Kĩ + Thành thạo kỹ chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng không gian Đường thẳng d song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung Đường thẳng d cắt mặt phẳng chúng có điểm chung Đường thẳng d chứa mặt phẳng đường thẳng d mặt phẳng có hai điểm chung trở lên Tính chất a) Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng d song song với Khi d song song với đường thẳng d nằm b) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu mặt phẳng chứa a cắt theo giao tuyến b b song song với a TOANMATH.com Trang c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng d) Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường song song với đường thẳng SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình Chứng minh đường thẳng d khơng nằm mặt bình hành Chứng minh AB // SCD phẳng song song với đường thẳng d nằm Hướng dẫn giải mặt phẳng đường thẳng d song song với mặt phẳng Ta có AB // CD mà CD SCD AB // SCD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M trung điểm CD, E trung điểm AM F trung điểm BM a) Chứng minh EF song song với mặt phẳng ABC ABD b) Lấy điểm N cạnh AC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng NEF Thiết diện hình gì? Hướng dẫn giải a) Ta có EF đường trung bình tam giác ABM suy EF // AB Do AB ABC nên EF // ABC AB ABD nên EF // ABD b) Kéo dài NE cắt AD P TOANMATH.com Trang Do EF // ABD nên kẻ Px // AB cắt BD Q Kẻ QF cắt BC R Khi hình thang NPQR thiết diện mặt phẳng NEF với tứ diện ABCD Ví dụ Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm ABD M điểm cạnh BC cho BM MC Chứng minh đường thẳng MG song song với mặt phẳng ACD Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AD Ta có G trọng tâm ABD BG BI Mặt khác, M BC BM MC Từ suy BM BC BG BM BI BC Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy GM // CI Mà CI ACD nên GM // ACD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, I trung điểm cạnh SC Chứng minh đường thẳng OI song song với mặt phẳng SAB mặt phẳng SAD Hướng dẫn giải Ta có IO đường trung bình tam giác SAC suy IO // SA Do SA SAB SA SAD từ suy IO // SAB IO // SAD Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, BD a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng ACD b) E điểm nằm miền tam giác ACD Tìm giao điểm đường thẳng BE mặt phẳng AMN Hướng dẫn giải a) Vì M, N trung điểm BC, BD nên MN // CD TOANMATH.com Trang CD ACD Ta có Do MN // ACD MN ACD b) Trong ACD gọi F AE CD Ta có BE ABF Xét ABF AMN , có A ABF AMN Trong BCD có I BF MN I ABF AMN Suy AI ABF AMN Trong ABF gọi H BE AI Suy H BE AMN Ví dụ Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh IJ // BCD Hướng dẫn giải Gọi M, N trung điểm BC BD Khi AI AJ AM AN Suy IJ // MN Mà MN BCD IJ // BCD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Chứng minh: MN // SBC MN // SAD b) Gọi P trung điểm SA Chứng SB, SC song song với MNP c) Gọi K, L trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh KL // SAC Hướng dẫn giải a) Do M, N trung điểm AB CD nên MN đường trung bình hình bình hành ABCD nên MN // AD // BC Từ suy MN // SAD MN // SBC b) Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có PM đường trung bình tam giác SAB suy PM // SB nên SB // MNP Do MN đường trung bình hình bình hành ABCD suy TOANMATH.com Trang O MN Xét tam giác SAC có P, O trung điểm SA AC nên PO đường trung bình tam giác SAC suy PO // SC Từ suy SC // MNP PO MNP c) Gọi I trung điểm BC Do K trọng tâm tam giác ABC IK IA Tương tự L trọng tâm tam giác SBC Từ ta có IL IS IK IL KL // SA nên KL // SAC IA IS Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn khẳng định khẳng định sau A Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Nếu a // P tồn P đường thẳng b để b // a a // P C Nếu a // b b P D Nếu a // P đường thẳng b cắt mặt phẳng P hai đường thẳng a b cắt Câu 2: Cho mặt phẳng đường thẳng d Khẳng định sau sai? A Nếu d // tồn đường thẳng cho // d B Nếu d // b b // d C Nếu d A d d d cắt chéo D Nếu d // c; c d // Câu 3: Cho mệnh đề: a // b, b P a // P a // P , a Q với Q Q P b b // a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu a, b hai đường thẳng chéo có vơ số mặt phẳng chứa a song song với b Số mệnh đề là: A B C D Câu 4: Cho hai đường thằng a b chéo Có mặt phẳng chứa a song song với b? TOANMATH.com Trang A B C D Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N theo thứ tự trọng tâm SAB; SCD Khi MN song song với mặt phẳng A SAC B SBD C SAB D ABCD Câu 6: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm ABD M điểm cạnh BC, cho BM MC Đường thẳng MG song song với A ABD B ABC C ACD D BCD Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD E, F trung điểm AB AD Chọn khẳng định khẳng định sau A IJ // SAD B IJ // ABD C IJ // SAB D IJ // SDB Câu 8: Đường thẳng a // P A a // b b // P B a P a C a P b D a // b, b P a P Câu 9: Cho tứ diện ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, AC Xét vị trí tương đối MN mp BCD Khẳng định đúng? A MN song song với BCD B MN cắt BCD C MN chứa BCD D Không xác định vị trí tương đối Câu 10: Cho tứ diện ABCD, gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác BCD ACD Mệnh đề sau sai? A G1G2 // ABD B Ba đường thẳng BG1 , AG2 CD đồng quy C G1G2 // ABC D G1G2 AB Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang Gọi P, Q hai điểm nằm cạnh SA SB cho SP SQ Khẳng định sau đúng? SA SB A PQ cắt ABCD B PQ ABCD C PQ // ABCD D PQ CD chéo Câu 12: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng, có tâm O O Chọn khẳng định khẳng định sau A OO // ABEF B OO // ADF C OO // BDF D OO // ABCD TOANMATH.com Trang Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình Sử dụng định lí: hành ABCD, O tâm hình bình hành ABCD M Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng trung điểm SB Tìm thiết diện mặt phẳng Nếu mặt phẳng chứa d cắt theo giao tuyến song song với d với hình chóp S.ABCD qua M; song song với SD CD Hướng dẫn giải Ta có M M SAB Mặt khác CD // suy SAB Mx Mx // CD Mx SA N Ta lại có MO đường trung bình tam giác SBD nên MO // SD O Suy ABCD Oy, Oy // CD Oy cắt AD BC P, Q Vậy MNPQ thiết diện mặt phẳng với hình chóp S.ABCD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD Trên cạnh BC, CD, AD lấy điểm M, Dựng thiết diện tạo N, P trung điểm chúng MNP với tứ diện ABCD Dựng thiết diện ABCD với mặt ta tìm giao điểm phẳng MNP Hướng dẫn giải Ta có MN đường trung bình tam MNP với tất cạnh tứ diện giác BCD nên MN // BD TOANMATH.com Trang Do P AD nên MNP ABD Px cho Px // BD Px AB Q Khi thiết diện mặt phẳng MNP với tứ diện ABCD tứ giác MNPQ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng AMN c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng AMN Hướng dẫn giải a) Ta có S điểm chung thứ hai mặt phẳng SAD SBC Kéo dài BC cắt AD I Khi I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng SAD SBC Suy SI giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC b) Trong mặt phẳng SBC kéo dài MN cắt SI E Gọi F giao điểm AE SD Ta có F SD F AE mà AE AMN nên F SD AMN c) Ta có MN // BC nên BC // AMN Thiết diện AMN với hình chóp S.ABCD tứ giác AMNF Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi H K trung điểm cạnh CB CD, M điểm cạnh SA Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng MHK Hướng dẫn giải Ta có HK đường trung bình tam giác BCD nên HK // BD TOANMATH.com Trang 10 Gọi E AH BD; nối SE cắt MH F Do HK // BD nên giao tuyến MHK với mặt phẳng SBD đường thẳng qua F song song với BD cắt SB, SD N, I Suy thiết diện MHK với hình chóp S.ABCD ngũ giác MNHKI Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABC Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng IJK Hướng dẫn giải Gọi M N trung điểm BC CD Do K, J trọng tâm tam giác ABC ACD nên AK AJ AM AN Áp dụng định lý Ta-lét suy KJ // MN Suy KIJ BCD Ix , Ix // MN Giả sử Ix cắt BC, CD P Q Vậy thiết diện mặt phẳng KIJ với tứ diện ABCD tứ giác KPQJ 30 M Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, tam giác BCD vng C góc BDC điểm thay đổi cạnh BD; AB BD a; đặt BM x Mặt phẳng qua M song song với AB, CD a) Dựng thiết diện tứ diện với b) Tính diện tích S thiết diện c) Xác định vị trí M BD để S lớn Hướng dẫn giải a) Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AD N TOANMATH.com Trang 11 Qua M, N dựng đường thẳng song song với CD cắt BC, AC Q, P Tứ giác MNPQ thiết diện tạo mặt phẳng với tứ diện ABCD b) Theo cách dựng ta có NP // MQ Mặt khác AB // MNPQ mà AB PQ nằm mặt phẳng ABC nên AB // PQ Suy PQ // MN hay tứ giác MNPQ hình bình hành Ta lại có CD AB MN NP Vậy MNPQ hình chữ nhật a.cos30 a Xét tam giác BCD, có CD BD.cos BDC Do MQ // CD suy Ta có BM MQ BM x a x CD MQ BD CD BD a DM MN DM MN AB DM a x DB AB DB Vậy diện tích thiết diện MNPQ S MN MQ a x x c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a x x Ta có a a x x Suy S a x x a x x a4 a2 a2 a Dấu “=” xảy a x x x hay M trung điểm BD Vậy diện tích thiết diện lớn M trung điểm BD Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc đoạn AC Mặt phẳng qua M song song với AB AD Thiết diện với tứ diện ABCD hình gì? A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình thang D Hình ngũ giác Câu 2: Cho tứ diện ABCD, điểm G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng qua G, song song với AB CD cắt trung tuyến AM tam giác ACD K Chọn khẳng định A cắt tứ diện ABCD theo thiết diện hình tam giác B AK AM C AK AM TOANMATH.com Trang 12 D Giao tuyến CBD cắt CD Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng P qua BD song song với SA Khi mặt phẳng P cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện A hình thang B hình chữ nhật C hình bình hành D tam giác Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua M song song với SB AD, thiết diện hình chóp cắt hình gì? A Hình bình hành B Hình thang C Tứ giác D Ngũ giác Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng IBC A tam giác IBC B hình thang IJBC (J trung điểm SD) C hình thang IGBC (G trung điểm SB) D tứ giác IBCD Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M điểm thuộc đoạn SB (M không trùng với S B) Mặt phẳng ADM cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện A hình bình hành B tam giác C hình chữ nhật D hình thang ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1-B 2-B 11-C 12-B 3-A 4-B 5-D 6-C 7-B 8-D 9-A 10-D Câu Mệnh đề B sai b d chéo Câu Nếu a, b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b nên mệnh đề sai Câu Nếu a, b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b TOANMATH.com Trang 13 Câu Gọi E F trung điểm AB CD Do M; N trọng tâm tam giác SAB, SCD nên S, M, E thẳng hàng; S, N, F thẳng hàng Xét SEF có SM SN nên theo định lý Ta-lét ta có SE SF MN // EF Mà EF ABCD nên MN // ABCD Câu Gọi P trung điểm AD Ta có BG BM nên GM // PC mà PC ACD BP BC Vậy GM // ACD Câu Vì I; J trọng tâm tam giác SAD SAB nên SI SJ IJ // EF SE SF Do EF ABD nên IJ // ABD Câu Câu A sai a nằm P Câu B đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng khơng có điểm chung Câu C sai a P khơng có điểm chung Câu MN // BC BCD MN // BCD TOANMATH.com Trang 14 Câu 10 Gọi M trung điểm CD Xét ABM ta có G G // AB MG1 MG2 D sai MB MA G1G2 AB Vì G1G2 // AB G1G2 // ABD A Vì G1G2 // AB G1G2 // ABC C Ba đường BG1 , AG2 , CD đồng quy M B Câu 11 PQ // AB AB ABCD PQ // ABCD PQ ABCD Câu 12 Có O trung điểm BD; O trung điểm BF nên OO // DF Vì DF ADF nên OO // ADF Dạng Dựng thiết diện song song với đường thẳng 1-A 2-B 3-D 4-B 5-B 6-D Câu ABC có M chung, song song với AB, AB ABC ABC Mx , Mx // AB gọi Mx BC N ACD có M chung, song song với AD, AD ACD ACD My, My // AD My CD P Ta có ABC MN ; ACD MP; BCD NP Thiết diện với tứ diện ABCD tam giác MNP TOANMATH.com Trang 15 Câu qua G, song song với CD BCD HI (giao tuyến qua G song song CD, H BC , I CD ) Tương tự ta ABD IJ cho IJ // AB ACD JN cho JN // CD ABC HN Vậy HNJI Vì G trọng tâm tam giác BCD mà IG // CD nên Mặt khác IJ song song AB nên BG BI BM BC BI AJ BC AD Lại có JK song song DM (vì K AM , M CD ) nên Vậy AK AK AJ AM AD AM Câu Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD I trung điểm AC BD P // SA P SAC OI BD P Khi OI // SA I trung điểm SC P SBC BI P SCD ID Vậy thiết diện tam giác BDI Câu song song với SB nên cắt SAB theo giao tuyến MN với N trung điểm SA song song với AD nên cắt ABCD SAD theo giao tuyến MQ NP với P, Q trung điểm SD MQ // AD Ta thiết diện hình thang MNPQ TOANMATH.com Trang 16 Câu BC // SAD nên giao tuyến IBC SAD IJ (J trung điểm SD) Khi thiết diện hình thang IJCB Câu Ta có M điểm thuộc đoạn SB với M khác S B M ADM SBC AD ADM Suy BC SBC AD // BC ADM SBC Mx cho Mx // BC // AD Gọi N Mx SC ADM cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác AMND Vì MN // AD MN với AD không nên tứ giác AMND hình thang TOANMATH.com Trang 17 ... đối đường thẳng với mặt phẳng không gian Đường thẳng d song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung Đường thẳng d cắt mặt phẳng chúng có điểm chung Đường thẳng d chứa mặt phẳng. .. đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu mặt phẳng chứa a cắt theo giao tuyến b b song song với a TOANMATH.com Trang c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng. .. với Q Q P b b // a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu a, b hai đường thẳng chéo có vơ số mặt phẳng chứa a song