CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN FOURIER CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN FOURIER CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI GV: ThS Đinh Thị Thái Mai CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.1 Hệ thống liên tục • Tín hiệu dạng sin hệ thống LTI • Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Đáp ứng hệ thống LTI với tín hiệu dạng sin • Xem xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(t) tín hiệu vào x(t)=ejωt Đáp ứng hệ thống tính sau: ∞ ∞ − jωτ jω(t −τ ) jωt jωt (t) * x(t) ∫ h(τ )e= y(t) h= dτ e ∫ h(τ )= e dτ H (ω)e −∞ −∞ H(ω) đáp ứng tần số: H (ω) = ∞ − jωτ h ( τ ) e dτ ∫ −∞ đặc trưng cho đáp ứng hệ thống với tần số ω tín hiệu vào dạng sin CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Tín hiệu có tần số với tần số tín hiệu vào dạng sin • Sự thay đổi biên độ pha tín hiệu so với tín hiệu vào đặc trưng đáp ứng tần số H(ω) với hai thành phần sau đây: = H (ω) Re[H (ω)]2 + Im[H (ω)]2 gọi đáp ứng biên độ ϕ(ω) = a tan Im[H (ω)] Re[H (ω)] gọi đáp ứng pha hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Khi ta biểu diễn tín hiệu dạng sau đây: = y(t) H = (ω) e jϕ(ω)e jωt H (ω) e j[ωt +ϕ(ω)] nghĩa so với tín hiệu vào tín hiệu có biên độ lớn gấp |H(ω)| lần lệch pha góc φ(ω) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn • Một tín hiệu tuần hồn với chu kỳ T biểu diễn cách xác chuỗi Fourier đây: x(t) = ∞ jkωot c e ∑ k k = −∞ ω0=2π/T tần số tín hiệu x(t) • Nói cách khác, tín hiệu tuần hồn biểu diễn tổ hợp tuyến tính tín hiệu dạng sin phức có tần số số nguyên lần tần số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn Điều kiện hội tụ • Điều kiện để sai số bình phương trung bình x(t) biểu diễn chuỗi Fourier x(t) khơng x(t) phải tín hiệu cơng suất, nghĩa là: T ( ) x t dt < ∞ ∫ T0 • Điều kiện hội tụ điểm (điều kiện Dirichlet): • x(t) bị chặn • Số điểm cực trị chu kỳ x(t) hữu hạn • Số điểm khơng liên tục chu kỳ x(t) hữu hạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn Biểu diễn đáp ứng hệ LTI • Đáp ứng hệ LTI có đáp ứng tần số H(ω) với thành phần ejkω0t H(kω0)ejkω0t → đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x(t) biểu diễn sau: ∞ y(t) = ∑ ck H (kω0)e jkω0t k = −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Tính trực giao thành phần ejkω0t • Hai tín hiệu f(t) g(t) tuần hồn với chu kỳ T gọi trực giao điều kiện sau thỏa mãn: T * f ( t ) g (t)dt = ∫ • Hai tín hiệu ejkω0t ejlω0t với tần số ω0 = 2π/T trực giao k≠l: T ∀k ≠ l : ∫ e jkω0te− jlω0tdt = 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Tính hệ số chuỗi Fourier • Các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu tuần hồn x(t) tính cách sử dụng tính chất trực giao tín hiệu thành phần {ejkω0t } sau: ∞ T T 0 l = −∞ − jkω0t = x ( t ) e dt ∫ jlω0t − jkω0t = c e ∫ ∑ l e dt ∞ T l = −∞ jlω0t − jkω0t = c e ∑ l ∫ e dt ckT T → ck =∫ x(t)e− jkω0tdt T0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Tính đạo hàm: ∞ dx(t) jkω0t x(t) ∑ cke = → = dt k = −∞ ∞ jkω0t ( jk ω c ) e ∑ 0k k = −∞ • Tính tích phân: ∞ x(t) = ∑ce k = −∞ CuuDuongThanCong.com k jkω0t → t ∞ −∞ k = −∞ ∫ x(τ )dτ = ∑ ck jkω0t e jkω0 https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Cơng thức Parseval: ∞ 2 x(t) dt = ∑ ck ∫ T0 k = −∞ T Giá trị |ck|2 coi đại diện cho cơng suất tín hiệu thành phần ejkω0t tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số ωk = kωk (k Є Z) cho ta biết phân bố cơng suất tín hiệu x(t) gọi phổ mật độ công suất x(t) Chú ý: phổ mật độ công suất tín hiệu tuần hồn hàm theo tần số rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hồn • Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hồn x(t) có biểu diễn chuỗi Fourier x(t) = ∞ jkω0t c e ∑ k k = −∞ phổ mật độ cơng suất x(t) hàm chẵn, 2 c−k Ngoài ra: nghĩa là: ∀k : ck = c−*k • Nếu x(t) tín hiệu thực: ∀k : ck = c−k • Nếu x(t) tín hiệu thực chẵn: ∀k : ck = • Nếu x(t) tín hiệu thực lẻ: ∀k : ck = −c−k CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier • Vì ω0 →0 nên ω = kω0 biến liên tục, ta viết lại biểu thức phần trước sau: ∞ x(t) ∞ c(ω) jωt jωt lim= = ∫ c(ω)e dω lim ∫ e dω ω0 →0 ω0 −∞ ω0 →0 −∞ ω0 đó, c(ω) hàm theo tần số liên tục xác định sau: π /ω0 ω0 − jωt c (ω ) = lim x ( t ) e dt ∫ ω0 →0 2π −π /ω0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Biến đổi Fourier • Đặt X(ω) = 2πc(ω)/ω0, có cơng thức biến đổi Fourier tín hiệu x(t): = X (ω) F= [x(t)] ∞ ∫ x(t)e− jωtdt −∞ • Cơng thức biến đổi Fourier nghịch: −1 x(t) = F [X(ω)]= 2π CuuDuongThanCong.com ∞ ∫ X (ω)e jωtdω −∞ https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Cách biểu diễn khác biến đổi Fourier tín hiệu x(t), với biến số f thay cho tần số góc ω: ∞ = X ( f ) F= [x(t)] ∫ x(t)e− j2π ftdt −∞ • Cơng thức biến đổi Fourier nghịch tương đương ∞ x(t) = F −1[X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf −∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Hàm X(ω) gọi phổ (Fourier) tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm biểu diễn = X (ω) Re[ X (ω)]2 + Im[ X (ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm Im[ X (ω)] Re[ X ( )] ω ϕ(ω) = arctan gọi phổ pha tín hiệu x(t) theo tần số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Điều kiện hội tụ • Điều kiện để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: ∞ ∫ x(t) dt < ∞ −∞ • Điều kiện để tín hiệu khơi phục từ biến đổi Fourier tín hiệu x(t) hội tụ x(t) thời điểm, ngoại trừ điểm khơng liên tục (Điều kiện Dirichlet): • ∫ x(t) dt < ∞ ∞ −∞ • Số điểm cực trị x(t) hữu hạn • Số điểm không liên tục x(t) hữu hạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Biến đổi Fourier tín hiệu khơng tuần hồn • Các tính chất biến đổi Fourier • Tính tuyến tính: F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω) • Dịch thời gian • Dịch tần số − jωt0 F[x(t − t0)] = X (ω)e jγ t F[x(t)e= ] X (ω − γ ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt