Chuyên đề SỐ HỌC Diễn đàn Toán học Chuyên đề SỐ HỌC Chế bản Trần Quốc Nhật Hân
Chuyên đề SỐ HỌC Diễn đàn Toán học Chuyên đề SỐ HỌC Chế Trần Quốc Nhật Hân [perfectstrong] Trần Trung Kiên [Ispectorgadget] Phạm Quang Toàn [Phạm Quang Toàn] Lê Hữu Điền Khuê [Nesbit] Đinh Ngọc Thạch [T*genie*] c 2012 Diễn đàn Toán học Lời giới thiệu Bạn đọc thân mến, Số học phân môn quan trọng tốn học gắn bó với xun suốt q trình học Tốn từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông Chúng ta tiếp xúc với Số học bắt đầu khái niệm đơn giản tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ giúp làm quen dễ dàng với kì diệu số vấn đề đòi hỏi nhiều tư đồng dư, số nguyên tố, phương trình Diophantine mà tiếng định lý lớn Fermat , từ tầm vi mô đến vĩ mô, từ cậu bé lớp bi bô chia hết Giáo sư thiên tài Andrew Wiles (người giải tốn Fermat), thấy thở Số học Số học quan trọng lạ thay số chuyên đề viết lại khơng nhiều đem so với kho tàng đồ sộ viết bất đẳng thức diễn đàn mạng Xuất phát từ thiếu hụt để kỉ niệm trịn năm Diễn đàn Toán học khai trương trang chủ (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên tập chúng tơi với nhiều thành viên tích cực diễn đàn chung tay biên soạn chuyên đề gửi đến bạn đọc Chuyên đề tập hợp viết riêng lẻ tác giả Nguyễn Mạnh Trùng Dương (duongld) , Nguyễn Trần Huy (yeutoan11), Nguyễn Trung Hiếu (nguyentrunghieua), Phạm Quang Toàn (Phạm Quang Toàn), Trần Nguyễn Thiết Quân (L Lawliet), Trần Trung Kiên (Ispectorgadget), Nguyễn Đình Tùng (tungc3sp) góp sức i ii gián tiếp nhiều thành viên tích cực Diễn đàn Toán học Nguyen Lam Thinh, nguyenta98, Karl Heinrich Marx, The Gunner, perfectstrong Kiến thức đề cập chun đề khơng giúp bạn phần hiểu sâu số khái niệm Số học trao đổi bạn nhiều dạng tập hay khó từ cấp độ dễ đến tốn kì thi Học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Chuyên đề gồm chương Chương đề cập đến khái niệm Ước Bội Số nguyên tố số tốn giới thiệu chương Chương nói sâu Các tốn chia hết Phương trình nghiệm ngun, Phương trình đồng dư phác họa chương Hệ thặng dư định lý Thặng dư Trung Hoa gửi đến qua chương trước kết thúc chuyên đề Một số toán số học hay VMF chương Do thời gian chuẩn bị gấp rút nội dung chuyên đề chưa đầu tư thật tỉ mỉ cịn nhiều sai sót viết, mong bạn đọc thông cảm Mọi ủng hộ, đóng góp, phê bình độc giả nguồn động viên tinh thần to lớn cho ban biên tập cho tác giả để phiên cập nhật sau chuyên đề tốt hơn, đóng góp nhiều cho kho tàng học thuật cộng đồng tốn mạng Chúng tơi hi vọng qua chuyên đề giúp bạn tìm thêm cảm hứng số học thêm yêu vẻ đẹp số Mọi trao đổi góy ý xin gửi địa email : contact@diendantoanhoc.net Trân trọng, Nhóm biên tập Chun đề Số học Diễn đàn Tốn học Chuyên đề Số học Mục lục i Lời giới thiệu Chương Ước Bội 1.1 1.2 1.3 Chương Số Nguyên Tố 2.1 2.2 2.3 2.4 29 Một số kiến thức số nguyên tố Một số toán số nguyên tố 13 Bài tập 19 Phụ lục: Bạn nên biết 24 Chương Bài toán chia hết 3.1 3.2 57 Ước số, ước số chung, ước số chung lớn Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ Bài tập đề nghị Lý thuyết 29 Phương pháp giải toán chia hết Chương Phương trình nghiệm nguyên iii 31 iv Mục lục 4.1 4.2 4.3 89 Xét tính chia hết 57 Sử dụng bất đẳng thức 74 Nguyên tắc cực hạn, lùi vơ hạn 86 Chương Phương trình đồng dư 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 103 Phương trình đồng dư tuyến tính 89 Phương trình đồng dư bậc cao 90 Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn 90 Bậc phương trình đồng dư 95 Bài tập 95 Ứng dụng định lý Euler để giải phương trình đồng dư 96 Bài tập 101 Chương Hệ thặng dư định lý Thặng dư Trung Hoa 6.1 6.2 6.3 6.4 129 Một số kí hiệu sử dụng viết 103 Hệ thặng dư 104 Định lí thặng dư Trung Hoa 117 Bài tập đề nghị & gợi ý – đáp số 125 Chương Một số toán số học hay VMF 7.1 7.2 141 Diễn đàn Toán học m3 + 17 3n 129 c(ac + 1)2 = (5c + 2)(2c + b) 136 Tài liệu tham khảo Chuyên đề Số học Chương Ước Bội 1.1 1.2 1.3 Ước số, ước số chung, ước số chung lớn Bội số, bội số chung, bội số chung nhỏ Bài tập đề nghị Nguyễn Mạnh Trùng Dương (duongld) Nguyễn Trần Huy (yeutoan11) Ước bội khái niệm quan trọng chương trình số học THCS Chuyên đề giới thiệu khái niệm tính chất ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội, bội số chung, bội chung nhỏ Một số tập đề nghị vấn đề đề cập đến cuối viết 1.1 Ước số, ước số chung, ước số chung lớn Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm ước số, ước số chung ước số chung lớn kèm theo vài tính chất chúng Một số tập ví dụ cho bạn đọc tham khảo đưa 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Số tự nhiên d 6= gọi ước số số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d chia hết a, kí hiệu d|a Tập hợp ước a là: U (a) = {d ∈ N : d|a} △ 1.1 Ước số, ước số chung, ước số chung lớn Tính chất 1.1– Nếu U (a) = {1; a} a số nguyên tố Định nghĩa 1.2 Nếu U (a) U (b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Ta kí hiệu: U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)} = {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))} Tính chất 1.2– Nếu U SC(a; b) = {1} a b nguyên tố nhau. Định nghĩa 1.3 Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b (a; b ∈ Z) d phần tử lớn tập U SC(a; b) Ký hiệu ước chung lớn a b U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b) △ 1.1.2 Tính chất Sau số tính chất ước chung lớn nhất: • Nếu (a1 ; a2 ; ; an ) = ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố • Nếu (am ; ak ) = 1, ∀m 6= k, {m; k} ∈ {1; 2; ; n} ta nói a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố (a; b) a b ; • c ∈ U SC(a; b) = c c c a b ; = • d = (a; b) ⇔ d d • (ca; cb) = c(a; b) • (a; b) = b|ac b|c • (a; b) = (a; c) = (a; bc) = • (a; b; c) = ((a; b); c) • Cho a > b > – Nếu a = b.q (a; b) = b – Nếu a = bq + r(r 6= 0) (a; b) = (b; r) Diễn đàn Toán học Chuyên đề Số học