MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Hồ Đình Sinh I DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp thấy số phương trình hệ số ẩn Tuy nhiên có hệ số phương trình số ẩn ta sử dụng phương pháp Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: ìx + y + z = ï í ïỵ(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = + xyz ( ) ( Giải: VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ + 3 xyz + 3 ( xyz)2 + xyz = + xyz ) Dấu “=” xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ìï x + + x + + x + = y - + y - + y - í 2 ïỵ x + y + x + y = 80 Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ Ta thấy ta thay x=y-6 phương trình thứ VT=VP Do đó, ta xét trường hợp sau: Nếu x>y-6 VT>VP Nếu x z5 - z + 2z2 Þ ( z - 1)( z + z + 2) < 1ư ỉ Do z + z + = ỗ z - ữ + ( z + 1)2 + > nên z1 Þ x0 Giải hệ phương trình ì xy = a ï í yz = b ï zx = c î Giải: Do abc>0 nên hệ cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM éì bc êïz = a êï ê ïï ab êí y = é ì xy = a c êï êï ê ï ê í yz = b ê ï x = ac ì xy = a ï ê b ê îï ï î xyz = abc Ûê Ûê í yz = b ê ì xy = a êì bc ï( xyz )2 = abc êï ỵ êïz = a ê í yz = b êï êï ê ïï ab ëê î xyz = - abc êí y = c êï êï ac êï x = b ëêïỵ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x + y + xy = ï í x + z + xz = ï y + z + yz = ỵ (*) HD Giải: ì( x + 1)( y + 1) = ï (*) Û í( x + 1)( z + 1) = ï( y + 1)( z + 1) = ỵ Từ em giải tiếp cách dể dàng Ví dụ 3: Giải hệ ì x + yz = x ï í y + zx = y ï z + xy = z ỵ (*) HD Giải: ì x + yz = x ì x + yz = x ï ï (*) Û í x - y + yz - xz = x - y Û í( x - y)( x + y - z - 1) = ï x - z + yz - xy = x - z ï( x - z )( x + z - y - 1) = ỵ ỵ Từ em giải tiếp cách dể dàng BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải hệ phương trình sau: Bài 1: ì xy = ï a) í yz = ï zx = ỵ ì xy + x + y = 11 ï b) í yz + y + z = ï zx + z + x = î ì xy + x + y = ï c) í yz + y + z = -3 ï xz + x + z = -5 ỵ ì xy + xz = ï d) í yz + xy = ï xz + zy = -7 ỵ Bài 2: Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì x ( x + y + z ) = - yz ï a) í y( x + y + z ) = - xy ï z( x + y + z ) = - xy ỵ ì xy + y + x + = ï b) í yz + z + y = ï xz + z + 3x = ỵ ì x + xy + y = ï c) í y + yz + z = ï z + zx + x = ỵ Bài 3: ì x + yz = x ï a) í y + zx = y ï z + xy = z ỵ ì y - xz = b ï b)* í z - xy = b (a,b Ỵ R) ï x - yz = a ỵ ìx2 + y + z = ï c) í y + x + z = ïz2 + x + y = ỵ ìxyz=x+y+z ïyzt=y+z + t ï d) í ï ztx = z + t + x ïỵtxy = t + x + y III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đôi toán phức tạp ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) sau phép đặt a=f(x), b=f(y); c=f(z) … hệ đơn giản Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ì x ( y + z )2 = (3x + x + 1) y z ï 2 2 í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z ï z ( x + y)2 = (5z + z + 1) x y ỵ Giải: Nếu x=0 suy y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) nghiệm hệ Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ chia hai vế cho x y z ta thu ỡổ y + z ử2 1 ùỗ ữ = 3+ + x x ïè yz ø ï 1 ïỉ x + z = 4+ + ớỗ ữ y y ùố xz ứ ù ïỉ x + y = + + ùỗố xy ữứ z z2 ợ x y Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận z ì( a + b )2 = c + c + ï ï í( b + c ) = a + a + ï 2 ïỵ( a + c ) = b + b + (1) (2) (3) Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1 Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 Suy a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta 3b2 - b - = Từ em giải tiếp Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ìï x ( + 21y ) = í ïỵ x ( y - 6) = 21 Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) ta thật khó để thấy được phương hướng giải z ìï z = 21y + í ïỵ y = 21z + Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x = Khi dưa hệ Đây hệ đối xứng loại Các em giải tiếp Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 12 ì xy ïx + y = ï 18 ï yz = í ïy + z ï xz 36 = ï ỵ x + z 13 HD: Nghịch đảo vế phương trình sau đặt ẩn phụ Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: Giải: Hệ cho tương đương với: ì2 x + x y = y ï í2 y + y z = z ï2 z + z x = x î ì2 x = y(1 - x ) ï í2 y = z(1 - y ) ï2 z = x (1 - z ) ỵ Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không nghiệm hệ nên hệ cho tương đương với ì 2x ïy = - x2 ï 2y ï íz = - y2 ï ï 2z ïx = - z2 ỵ (1) (2) (3) pư ỉ -p t x = tan a ; ỗ < a < ÷ 2ø è 2 tan a = tan 2a - tan a tan 2a (2) Û z = = tan 4a - tan 2a tan 4a (3) Û x = = tan 8a = tan a - tan 4a ka Þ tan a = tan 8a Û a = (k Ỵ Z ) -p p -p ka p -7 0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vơ nghiệm Với x0 "x Î R x - x +1 x - x +1 Do g (x) hàm đồng biến nhận x = nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải hệ phương trình sau: ì2 x + = y + y + y ï 1) í2 y + = z + z + z ï2 z + = x + x + x î ì2x3 + x - 18 = y3 + y ï 3) í2 y + 3y - 18 = z + z (Olympic-2009) ï2 z + 3z - 18 = x + x ỵ ì x = y3 + y + y - ï 5) í y = z + z + z - ï z = x3 + x + x - ỵ ì y - x + 27 x - 27 = ï 2) í z - y + 27 y - 27 = ï x - z + 27 z - 27 = ỵ ì y +1 ïx = + x ï ïï z +1 4) í y = + (Olympic-2008) y ï ï ïz = + x + ïỵ z ì x + x + 3x - = y ï 6) í y3 + y + 3y - = z ï z + z + 3z - = x ỵ ì x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = y ïï Bài 7: í y3 + 3y - + ln( y2 - y + 1) = z ï ïỵ z + 3z - + ln( z - z + 1) = x Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM Giải:Ta giả sử (x,y,z) no hệ Xét hàm số f (t ) = t + 3t - + ln(t - t + 1) ta có: f '(t ) = 3t + + 2t - > nên f(t) hàm đồng biến t - t +1 Ta giả sử: x=Max{x,y,z} y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x Vậy ta có x=y=z Vì phương trình x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = có nghiệm x=1 nên hệ cho có nghiệm x=y=z=1 ì x2 - x + log (6 - y) = x ï ï Bài 8: Giải hệ: í y2 - y + log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006) ï ï z - z + log3 (6 - x) = z ỵ ì x ïlog3 (6 - y) = ï x2 - x + ì f ( y) = g( x) ï y ï ï Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) = Û í f ( z) = g( y) y - 2y + ï ï f ( x) = g( z) ỵ ï z ïlog3 (6 - x) = ïỵ z2 - z + Trong f (t ) = log (6 - t ) ; g (t ) = Ta có f(t) hàm nghịch biến, g '(t ) = t t - 2t + 6-t (t - 2t + với t ẻ (-Ơ;6) ) > "t ẻ (-Ơ;6) Þ g(t) hàm đb Nên ta có (x,y,z) nghiệm hệ x=y=z thay vào hệ ta có: log (6 - x) = x x - 2x + phương trình có nghiệm x=3 Vậy nghiệm hệ cho x=y=z=3 Người biên soạn: Hồ Đình Sinh Email: sinhqluu@gmail.com Gửi đăng www.mathvn.com Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Tốn, trường THPT Hùng Vương 12