C«NG TY t©n thµnh Mẫu M2 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢN[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG Mẫu M2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Lưu Thị Minh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………… ……… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sơ lí luận………………………………………………………………… 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………………………… 2.3 Biện pháp thực hiện………………………………………………………… 2.4 Kết nghiên cứu…………………………………….……… ………… 17 KẾT LUẬN Kết luận………………………………………….……………………………… 19 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 20 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian mơn học khó nhiều học sinh phổ thơng Nhiều học sinh thấy khó trở nên chán nản học môn học Các em phát biểu “ Trong lí thuyết em hiểu lại khơng áp dụng lí thuyết vào để tự làm tập” Vì vậy, dạy học sinh phần hình học khơng gian, người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn em bước cách tìm hướng giải cho loại tốn để em tự làm khơng áp đặt kết cách làm cho học sinh Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao viết “ Khoảng cách” đơn giản tập yêu cầu với học sinh lại không đơn giản học sinh Nếu người dạy đưa định nghĩa sách giáo khoa cho học sinh làm tập ví dụ chắn nhiều học sinh lúng túng làm tập Trong cấu trúc đề thi trung học phổ thơng quốc gia ln có câu hình học không gian “ khoảng cách” vấn đề hay hỏi đến đề thi Điều làm cho khơng học sinh giáo viên lo lắng Đây toán tương đối khó tất học sinh, sử dụng kiến thức tổng hợp toán giải tam giác tính chất hình học khơng gian Để giải cho khó khăn nêu trên, dựa kinh nghiệm dạy học ôn thi đại học nhiều năm mình, tác giả đưa số định hướng tương đối hiệu dễ hiểu cho học sinh, đề tài ”Sử dụng điểm đặc biệt hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Hàm Rồng giải tốn tính khoảng cách khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải toán thường sử dụng phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng cơng thức tính thể tích, phương pháp tọa độ, nhiên người sử dụng phương pháp góc độ cách nhìn khác Trong phương pháp nêu phương pháp tính trực tiếp phương pháp bản, sử dụng cho học sinh lớp 11 học sinh ôn thi đại học, cao đẳng Và để tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường phải xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng tính đoạn thẳng nối từ điểm đến hình chiếu Tuy nhiên, việc xác định tính skkn khơng phải lúc đơn giản, nên gặp tốn khó học sinh khó để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định, gọi “điểm đặc biệt” tốn Vì vậy, viết tác giả giúp học sinh phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” toán kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách “điểm đặc biệt” 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm khoảng cách không gian: 1.3.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số trường tỉnh 1.4.2 Nghiên cứu tài liệu 1.4.3 Thực nghiệm 1.4.4 Nhận xét skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Để đơn giản cho việc hiểu vận dụng phương pháp, trước tiên viết xin đưa khái niệm “ điểm đặc biệt” đưa vào số tính chất nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm khoảng cách điểm hình chiếu 2.1.1 “Điểm đặc biệt” phương pháp “ Điểm đặc biệt” mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ 1: Nếu hai mặt phẳng thuộc mà không nằm điểm mà dễ tính khoảng cách từ vng góc với điểm điểm đặc biệt Q A H P Ví dụ 2: Cho hình chóp Gọi hình chiếu Khi điểm đặc biệt mặt phẳng lên mặt phẳng S K C A H E B 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng skkn Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ) khoảng cách hai điểm , hình chiếu mặt phẳng (hoặc đường thẳng ) (Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) M M H H P d 2.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) B A a K H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng (Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114) A B P H K Q 2.1.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115) skkn J a P K b Q 2.1.5 Một số tính chất cần lưu ý Tính chất 1: Nếu , , thẳng hàng, thuộc mặt phẳng ta có A B A' B' I Q A A' B' I Q B Tính chất 2: Nếu song song với mặt phẳng A B B' A' Q Tính chất 3: Nếu đường thẳng song với mặt phẳng nằm mặt phẳng , với đường thẳng song điểm tùy ý thuộc skkn a M b Q Tính chất 4: Nếu đường thẳng phẳng với nằm mặt phẳng mặt phẳng , đường thẳng song song với mặt phẳng điểm tùy ý thuộc nằm mặt , M Q' b Q 2.2 Thực trạng đề tài Như tác giả trình bày trên, hình học khơng gian tốn khó, đặc biệt tốn tính khoảng cách Nhiều học sinh khơng biết đâu, dùng phương pháp nào, lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia… Một số học sinh mày mị tìm cách giải tốn có có không Một số học sinh khác gần “lối đi” cho loại tốn Đề tài tác giả mong muốn giúp em bước giải vấn đề 2.3 Biện pháp thực 2.3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm điểm đặc biệt mặt phẳng Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (nhờ tính chất 1, 2) Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , cạnh bên vng góc với mặt đáy cạnh bên khoảng cách từ đến mặt phẳng Phân tích: tạo với đáy góc Tính theo skkn Trong trường hợp điểm điểm đặc biệt mặt phẳng thực việc xác định hình chiếu điểm ta có lời giải sau: Giải: lên mặt phẳng Nên ta tính Cụ thể S H A C I B Gọi trung điểm , hình chiếu Ta có lên Suy Nên Mặt khác Nên , vng góc với đáy , Suy Ví dụ 2: Cho hình chóp hình chiếu vng góc theo khoảng cách từ Phân tích: có đáy lên mặt phẳng đến mặt phẳng Trường hợp điểm hình vng cạnh trung điểm cạnh lên khơng điểm đặc biệt mặt phẳng , điểm lên Tính Nếu gọi nên hình điểm đặc biệt mặt phẳng Nên ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ tính khoảng cách từ điểm đặc biệt thể lời giải sau: Giải: , gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu điểm chiếu , đến mặt phẳng đến mặt phẳng , (nhờ tính chất 1,2) Cụ skkn S B K C I H A D Gọi trung điểm , điểm hình chiếu lên trung điểm nên Gọi hình chiếu điểm lên , hình chiếu lên Ta có , Suy Do Mặt khác: Vì Suy Ví dụ 3: Cho hình chóp Vậy có đáy tam giác vng , ; mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Biết Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo Phân tích: Trường hợp điểm không điểm đặc biệt mặt phẳng nên ta cần tìm điểm đặc biệt mặt phẳng lên đáy điểm đặc biệt mặt phẳng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm cách từ Giải: đến mặt phẳng Giả sử , hình chiếu Nên bước ta đến mặt phẳng tính khoảng , (nhờ tính chất 1,2) Cụ thể ta có lời giải sau: skkn S K C H B I A Gọi hình chiếu lên , Ta có nên Gọi hình chiếu lên , hình chiếu Ta có Suy Mặt khác, sử dụng tính chất đồng dạng hai tam giác Suy Vậy lên ta có Ví dụ 4: Cho lăng trụ có đáy tam giác vng , , Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trọng tâm tam giác , góc đường thẳng với mặt đáy 600 Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phân tích: Ở ví dụ khơng phải điểm đặc biệt mặt phẳng , mà điểm đặc biệt mặt phẳng trọng tâm tam giác Như vậy, để tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (AA’C’C) ta cần thực liên tiếp bước quy từ việc tính khoảng cách điểm B’ điểm B, tiếp điểm đặc biệt G (nhờ tính chất 1, 2) Cụ thể ta có lời giải sau: Giải: 10 skkn B' C' A' H B G C M I A Gọi trọng tâm tam giác , Ta có Gọi hình chiếu lên , H hình chiếu G lên A’I Khi Mà , suy Mặt khác GI song song AB nên Gọi M trung điểm BC, ta có Do CC’ song song AA’ Suy Ví dụ 5: Cho hình chóp Vậy có đáy hình thang, Cạnh bên vng góc với mặt đáy Gọi hình chiếu vng góc lên Tính theo a khoảng cách từ đến mặt phẳng Phân tích: Tương tự ví dụ 4, để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) thực liên tiếp bước quy việc tính khoảng cách từ điểm H điểm B, 11 skkn tiếp đến điểm đặc biệt A, mức độ khó ví dụ Cụ thể lời giải sau: Giải: S H K A D M C B I Ta có Do Gọi I giao điểm hai đường thẳng AB CD, ta có B trung điểm AI Suy Gọi M trung điểm AD Ta có Gọi K hình chiếu Mà Mặt khác: Ví dụ 6: Cho lăng trụ , suy lên A SC Khi có đáy Vậy hình chữ nhật, Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng trùng với giao điểm Tính theo a khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phân tích: Do mặt phẳng nên điểm nằm mặt phẳng đáy điểm đặc biệt mặt phẳng (A’BD) Nên ta quy việc tính khoảng cách từ điểm 12 skkn B’ đến mặt phẳng (A’BD) điểm mặt phẳng (ABCD), ví dụ ta quy tính khoảng cách từ A C đến mặt phẳng (A’BD), tác giả trình bày lời giải quy khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A’BD) Cụ thể lời giải sau: Giải: D' A' C' B' D A O E C B Do B’C song song A’D nên B’C song song mặt phẳng (A’BD) Do Gọi O giao điểm AC BD, suy Gọi E hình chiếu C lên BD suy Mà Vậy 2.3.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm cách quy việc tính khoảng cách hai dường thẳng chéo tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( nhờ tính chất 3,4) Bước tiếp tục cơng việc tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trình bày mục 2.3.1 Ví dụ 7: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, vng góc với mặt phẳng , góc đường thẳng mặt phẳng 450 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng Phân tích: Đây tốn khoảng cách hai đường thẳng chéo hai đường thẳng khơng vng góc với nên ta cần quy tốn tính khoảng cách 13 skkn từ điểm đến mặt phẳng nhờ tính chất Ta chọn mặt phẳng (P) chứa SB song song với AC để quy toán tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) mặt phẳng (P) có điểm đặc biệt A Từ ta có lời giải cụ thể sau: Giải: S H A D M d B C Gọi d đường thẳng qua B song song với AC Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy Gọi M hình chiếu A lên d, H hình chiếu A lên SM .Do Ta có Vì nên Mà Vậy Ví dụ 8: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng điểm thuộc cạnh cho Góc đường thẳng mặt phẳng 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng theo a Phân tích: Trường hợp ta chọn mặt phẳng (P) chứa SA song song với BC để quy tốn tính khoảng cách từ điểm đường thẳng BC đến (P) Vì điểm đặc biệt mặt phẳng (P) điểm H nên ta chọn điểm B thuộc đường thẳng BC để dễ dàng quy điểm H Từ ta có lời giải cụ thể sau: Giải: 14 skkn M Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Gọi N, K hình chiếu H lên d SN Theo giả thiết HA = 2HB nên Ta có Gọi trung điểm Khi Suy , có Mà Vậy Ví dụ 9: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, Gọi trung điểm Hình chiếu lên mặt phẳng trùng với giao điểm Biết góc đường thẳng với đáy 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo SC AN, ta cần tìm mặt phẳng chứa đường song song với đường để đưa toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ở ví dụ ta chọn mặt phẳng (SMC) mặt phẳng chứa điểm S biết hình chiếu lấy điểm hình chiếu làm điểm đặc biệt Lời giải cụ thể sau: 15 skkn Giải: S N E K A D H M I B C Gọi E trung điểm SC, ta có AMEN hình bình hành, suy AN song song ME nên AN song song mặt phẳng (SMC) Do Gọi H giao điểm AC DM, ta có Gọi I hình chiếu H lên MC K hình chiếu H lên SI Ta có Suy Mặt khác: Suy Ví dụ 10: Vậy Cho hình chóp tứ giác có đáy hình chữ nhật, Các cạnh bên hình chóp Gọi trung điểm cạnh Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo MN SP, tốn ta cần tìm hai mặt phẳng song song chứa MN SP Sau sử dụng tính chất để quy tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giải: 16 skkn S P K M A E I D H B N C Gọi H giao điểm AC BD, SA = SB = SC = SD nên H hình chiếu S lên (ABCD) Gọi E trung điểm AB, NE song song với AD, EM song song với SA Suy Gọi I trung điểm AD, K hình chiếu H lên SI Khi Suy Mặt khác: Vậy 17 skkn 2.3.2 Bài tập đề xuất Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm SA đến mặt phẳng (SCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DM SC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc Cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh CC’ Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm AB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB CM 18 skkn 2.4 Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tác giả thấy có hiệu đáng kể Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tốn tính khoảng cách hình khơng gian sau: 2.4.1 Về mặt định lượng: Trước sử dụng phương pháp điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách Lớp 11B10 – sĩ số 42 Số lượng Phần trăm Không giải 31 74% Giải 11 26% % LỚP 11B10 Sau sử dụng phương pháp điểm đặc biệt giải tốn tính khoảng cách Lớp 11B10 – sĩ số 42 Số lượng Phần trăm Không giải 13 32% Giải 29 68% 19 skkn ... thi đại học nhiều năm mình, tác giả đưa số định hướng tương đối hiệu dễ hiểu cho học sinh, đề tài ? ?Sử dụng điểm đặc biệt hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Hàm Rồng giải tốn tính khoảng cách. .. định ? ?điểm đặc biệt? ?? toán kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách ? ?điểm đặc biệt? ?? 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm khoảng cách không gian: ... Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo Phân tích: Trường hợp điểm không điểm đặc biệt mặt phẳng nên ta cần tìm điểm đặc biệt mặt phẳng lên đáy điểm đặc biệt mặt phẳng tìm cách quy việc tính