Đang tải... (xem toàn văn)
PhÇn A §Æt vÊn ®Ò SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC GÓP PHẦN PHÁT[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC GĨP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS THIẾT ỐNG Người thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thiết Ống SKKN thuộc mơn: Tốn skkn Bá Thước, năm 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: b Đối với học sinh: 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lí luận b Phương pháp kiểm tra c Phương pháp thực nghiệm sư phạm d Phương pháp phân tích, tổng hợp NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp cụ thể 2.3.2 Các bước tổ chức thực 2.3.3 Tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với thân, với đồng nghiệp nhà trường 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 a Đối với giáo viên .20 b Đối với nhà trường 20 c Đối với phòng giáo dục đào tạo 20 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 skkn skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong trình phát triển, xã hội ln đề u cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy học tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Trong mơn tốn học hình học có nhiều ứng dụng thực tiễn song việc hình thành việc chứng minh định lý, giải tập hình học vấn đề khó học sinh THCS Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường THCS Thiết Ống nhận thấy phần lớn em học sinh có tư tưởng ngại học mơn hình môn đại số, điều dễ hiểu lẽ mơn hình mơn học u cầu học sinh phải có khả tư trừu tượng cao, kỹ kinh nghiệm học sinh phải đạt đến mức độ định, song học sinh THCS nói chung học sinh lớp nói riêng khả tư trừu tượng, kỹ giải toán em cịn yếu, kinh nghiệm giải tốn cịn chưa nhiều Giải tốn hình khó, việc giải tốn hình học mà lời giải phải vẽ thêm đường phụ tốn khó khăn học sinh lớp 7, tốn hình phải kẻ thêm đường phụ không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn kinh nghiệm đạt đến mức độ cao để tạo đường phụ liên kết tường minh mối liên hệ toán học điều kiện cho đề (gt) điều kiện cần phải tìm, cần phải chứng minh (kl) Nó địi hỏi học sinh phải thực thao tác tư duy, phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá… Để kẻ thêm đường phụ cho tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ giải tốn, thể tình tốn học phù hợp với định nghĩa, định lý đó… hay ta thường gọi việc quy lạ quen, mà khoảng cách từ lạ đến quen yêu cầu mức độ sáng tạo lớn Do việc giúp học sinh giải tốt tốn hình có kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh lớp bước đầu trang bị cho em kỹ việc giải tập hình học khơng lớp mà lớp học cao Vậy nên qua tìm tòi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm giảng dạy cho học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thiết Ống - Bá Thước thân nung nấu, trăn trở viết thành SKKN “Một số giải pháp rèn luyện kỹ kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình học góp phần phát triển tư cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống” 1.2 Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Tìm giải pháp, hình thức dạy học bồi dưỡng nhằm đạt hiệu cao skkn - Nâng cao trình độ chun mơn cụ thể thành thạo kĩ giải toán liên quan đến vẽ đường phụ phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tốn kẻ đường phụ nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến tốn kẽ đường phụ - Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lịng say mê ý chí vươn lên học tập, tu dưỡng học sinh nói chung - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh có ý thức khai thác toán vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập Thơng qua việc giải tốn kẻ đường phụ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt phần toán kẻ thêm đường phụ 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Một số giải pháp rèn luyện kỹ kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình học góp phần phát triển tư cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống - Đề tài áp dụng cho học sinh lớp dạy, luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm bồi dưỡng học sinh giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lí luận Thơng qua tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, sách tham khảo, số vấn đề phát triển toán Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS, nâng cao phát triển Tốn 7, phương pháp giải tốn hình học 7, báo toán học tuổi trẻ b Phương pháp kiểm tra Qua kiểm tra trắc nghiệm tự luận học sinh để nắm bắt kiến thức, kĩ việc giải tốn chứng minh hình học sinh lớp Đặc biệt lưu ý tới sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải q trình giải tốn hình học c Phương pháp thực nghiệm sư phạm Thông qua việc giảng dạy hàng ngày thân kết học tập học sinh việc ứng dụng học sinh để làm tập d Phương pháp phân tích, tổng hợp Từ thực tế giảng dạy, làm học sinh, khóa học để phân tích kĩ điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ học sinh Thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp để tổng hợp lại giảng chi tiết, cụ thể để cung cấp cho học sinh cách hiệu NỘI DUNG skkn 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Hoạt động dạy học nhà trường tiến hành kế hoạch cụ thể chi tiết Tốn học mơn học khó, học sinh học vận dụng vào giải tập cần có linh hoạt bài, trường hợp Hình học lại khó hơn, trừu tượng hình vẽ, rắc rối suy luận nên yêu cầu học sinh phải chăm luyện tập Do đại đa số học sinh ngại học mơn Hình Các tốn kẽ thêm đường phụ phần nhỏ Hình học THCS lớp 7, phần lí thuyết ngắn gọn vận dụng vào giải dạng tập vơ vàn, mà dạng toán áp dụng SGK SBT ít, không đáp ứng yêu cầu học tập rèn luyện học sinh, đòi hỏi học sinh phải tự mua sách nghiên cứu sách nâng cao nhà Khi gặp dạng tập khơng có lời giải dẫn chi tiết, việc làm làm cho học sinh thụ động chán nản, khơng muốn tự tìm tịi suy luận Trong trình giảng dạy thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung cho việc kẻ thêm đường phụ, mà sáng tạo giải tốn, việc kẻ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn gọn công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc kẻ thêm đường phụ phải tuân thủ theo phép dựng hình bản, nhiều giáo viên tìm cách kẻ thêm đường phụ khơng giải thích rõ cho học sinh hiểu lại phải kẻ giải toán? em chưa trang bị hệ thống tập kẻ đường phụ thông thường, nên gặp phải tập phức tạp học sinh không nghĩ cách làm khác gặp toán tương em chưa biết cách cho việc kẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng kẻ thêm đường phụ Vậy giáo viên phải hướng dẫn để học sinh có cách nhận biết số tốn hình học cần phải kẻ thêm đường phụ, từ tiếp xúc với tốn em chủ động tư tìm hướng giải cho toán, việc học sinh tự tìm tịi cách giải tập đồng thời phát triển, xây dựng tập tốt Chính vấn đề đặt làm mà tiết học có tập cần vẽ thêm đường phụ chứng minh giáo viên cần khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh, để em nắm kiến thức Có tiết học phong phú chất lượng Mơn Hình học có khả giúp học sinh rèn luyện óc trừu tượng, khả tư xác việc tìm kiến thức Có tác dụng rèn luyện cho học sinh phương pháp thực hành, phương pháp suy luận, phương pháp xử lí thơng tin, tính cần cù chịu khó q trình học tập mơn Vì để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức nâng cao chất lượng học tập học sinh chọn đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình dạy học sinh giải số tốn Hình học lớp 7, tơi thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây: - Khó khăn việc giải tập địi hỏi phải vẽ thêm đường phụ; - Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ; skkn - Vẽ đường phụ tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rắc rối, gây khó khăn cho việc giải toán; - Sau vẽ thêm đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem lại kẻ thêm đường phụ Ta biết chương trình hình học lớp hoc sinh trang bị chủ yếu kiến thức đường thẳng tam giác (cách chứng minh tam giác nhau, yếu tố tam giác tính vng góc, song song, nhau, đồng quy đường, đoạn thẳng ) Nhìn chung để làm dạng toán ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh, cặp góc tương ứng Tuy nhiên thực hành giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần chứng minh cho đề bài, mà nhiều ta phải tạo thêm đường phụ xuất tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì u cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm đường phụ để giải toán đặt Qua thực tế giảng dạy tơi tích luỹ số cách kẻ thêm đường phụ đơn giản thiết thực hướng dẫn học sinh giải tốn hiệu Trong năm phân cơng giảng dạy khảo sát chất lượng phân môn hình học lớp trường THCS Thiết Ống Kết nhìn chung em chưa nắm cách giải tập cách lập luận chưa tốt, cách phát hình cịn chậm đặc biệt gặp phải tập hình có kẻ thêm đường phụ chưa biết cách giải Từ thực trạng cho thấy số học sinh điểm trung bình cịn nhiều, số học sinh giỏi ít, chứng tỏ khả nắm vận dụng kiến thức vào giải tốn hình học đa số học sinh nhiều hạn chế Kết khảo sát trước thực đề tài năm 2020 – 2021: Lớp Sĩ số Giỏi SL % Khá SL Trung bình % SL % Yếu SL Kém % SL % 4,8 17 20,2 28 33,4 30 35,7 5,9% 84 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp cụ thể - Ra đề cho học sinh làm kiểm tra khảo sát để đánh giá chất lượng học sinh kiến thức giải toán vẽ thêm đường phụ - Cung cấp toàn kiến thức cho học sinh - Điều tra mức độ hứng thú học giải toán cách vẽ thêm đường phụ học sinh - Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể skkn - Hệ thống toán theo dạng đưa toán từ dễ đến khó, sau giảng giải cụ thể cho học sinh dạng để từ học sinh nắm vững kiến thức cách vận dụng vào giải toán tương tự - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập - Thực đổi phương pháp dạy học, sử dụng tối đa đồ dùng dạy học - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán tập vẽ thêm đường phụ trình dạy học 2.3.2 Các bước tổ chức thực - Phân dạng toán vẽ thêm đường phụ nhằm nâng cao chất lượng học sinh - Tham khảo tài liệu biện soạn đưa dạng từ dễ đến khó - Trao đổi với đồng nghiệp bạn bè để hoàn thiện dạng tốn phương pháp giải để hồn thiện giảng 2.3.3 Tổ chức thực Để học sinh nắm vững dạng tốn hình học lớp có kĩ giải thành thạo dạng, q trình giảng dạy tơi phân tốn hình học lớp thành dạng để dạy cho học sinh sau: Dạng Cách kẻ thêm đường, đoạn thẳng: a) Mục đích: Kẻ thêm đường, đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, xuất tam giác cân, tam giác đều, đường thẳng song song, đường thẳng vng góc b) Một số cách kẻ thêm đường, đoạn thẳng: Cách Kẻ thêm đoạn thẳng để nối hai điểm có hình vẽ Ví dụ 1: Cho hình vẽ 1, AB//CD; AD//BC Chứng minh AB = DC; AD = BC Phân tích: Để chứng minh AB = CD ta cần tìm hai tam giác chứa hai cạnh Nhưng (Hình 1a) lại khơng có hai tam giác Đường phụ cần kẻ đoạn nối A với C B với D ( Hình 1b) giáo viên hướng dẫn để học sinh phát điều Giải: Trong Hình 1, nối AC a a Xét ∆ADC ∆CBA có: b b A1= C1 (so le trong, AB//DC) AC chung A2= C2 (so le trong, AD//BC) c c d d a) b) Nên ∆ADC = ∆CBA (g.c.g) Hình Suy AB = DC; AD = BC Nhận xét: Tuy hình đơn giản bước đầu học sinh lớp tập chứng minh tốn hình học, kỹ tư khả phân tích skkn vấn đề em nhiều hạn chế nên giáo viên nhập vai người học sinh đặt vấn cần thiết toán cần kẻ đường phụ để tạo hai tam giác Cách Kẻ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A Trên AB lấy điểm E, tia đối tia CA lấy điểm F cho BE = CF, gọi M giao điểm BC EF Chứng minh M trung điểm EF Phân tích: Để chứng minh M trung điểm EF, học sinh hiểu phải chứng minh EM = MF, tương ứng học sinh cần chứng minh hai tam giác chứa hai tam giác có chứa hai cạnh ME Và MF tương ứng Đường phụ cần kẻ đường thẳng kẻ từ E song song với AC (hoặc kẻ từ F song song với AB) giáo viên hướng dẫn để học sinh phát điều (hình 2) Giải: a a Từ E kẻ EK//AC Suy EKB = ACB (đồng vị) ACB = ABC (∆ABC cân) e e EKB =ABC suy ∆ BKE cân E m m c EK = EB = CF b c k b Xét ∆ EKM ∆ FCM có: b) a) f EK = CF f E2 = F2 Hình K1= C1 ∆ EKM = ∆ FCM (g.c.g) EM = FM M trung điểm EF.(đpcm) Hướng phát triển: Khi học sinh hiểu cách kẻ đường phụ EK để giải tập trên, nhằm phát huy tính sáng tạo củng cố niềm tin cho học sinh ta đưa thêm tập cấp độ tương tự nâng cao dần A ví dụ: Bài tốn vận dụng: Cho ∆ ABC nhọn AB 900, AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ tia Bx vng góc với BC; tia Bx lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA; tia By lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh DA EC Phân tích: Để chứng minh DA EC, ta Có thể sử dụng tính chất từ song song đến vng góc, khó tìm đường thẳng thứ ba hình vẽ có quan hệ vng góc song song với DA EC (H 6a) x x d d a a h c b c b k a) e Hình y b) e y Ta nghĩ đến việc chứng minh góc tạo hai đường thẳng 90 Như cần vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng Kéo dài DA cắt BC EC theo thứ tự H K (H 6b) Ta chứng minh HKC = 900 Ta dễ dàng chứng minh ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy BDA = BCE Nên để chứng minh HKC = 900 ta chứng minh HKC = HBD (vì HBD = 900) Giải Kéo dài DA cắt BC EC H K Xét ∆ABD ∆EBC có: AB = BE (gt) skkn DBA = EBC (cùng phụ với ABE) AD = BC (gt) Suy ∆ABD = ∆EBC (c.g.c) Do BDA = BCE Xét ∆HBD ∆KHC Có: BDH = BCE (chứng minh trên) AHB = CHK (đối đỉnh) Suy HKC = HBD = 900 hay HK EC Vậy DA EC (đpcm) Dạng Cách kẻ thêm đường phân giác, vẽ góc góc cho trước a) Mục đích Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hai góc nhau, hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều,… b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,…) vào hai tam giác có mối liên hệ góc, cạnh a a Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có Â = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E, gọi I giao điểm d d e e BD CE Chứng minh rằng: i i a) BC = BE + DC b) Tam giác EDI tam giác cân b b c m c) Tam giác MED tam giác gì? b) a) Phân tích: Dễ dàng tính Hình 0 BIC = 120 , BIE = CID = 60 Để chứng minh BC = BE + DC ta gợi cho cho học sinh tư theo hai hướng sau: Cách 1: Trên BC lấy điểm M cho BE = BM, chứng minh MC = DC Cách 2: Kẻ tia phân giác IM góc BIC, chứng minh BE= BM; DC = MC Từ cách gợi ý học sinh tự kẻ đường phụ đưa lời giải Ở tơi trình bày cách thứ hai: a) Trong ∆ABC có B + C = 1800 – A hay B + C = 1800 – 600 = 1200 Trong ∆IBC có :BIC = 1800 – IBM – ICM = 1800 – ( B + C ) =1800 - 600 = 1200 Kẻ tia phân giác góc BIC ta có BIM = CIM = 600 Do đó: ∆BIM = ∆BIE (g.c.g) Suy BE = BM ; CD = CM Vậy BE + DC = BM + MC = BC (đpcm) skkn c 10 b) Theo câu a) ∆BIM = ∆BIE (g.c.g) ∆BIM = ∆BIE (g.c.g) nên ta có IE = IM; ID = IM suy ID = IE Vậy ∆EID cân I c) Theo câu b chứng minh MIE = MID suy ME = MD Vậy MED cân M Dạng Cách kẻ thêm đường thẳng song song a) Mục đích: Kẻ thêm đường thẳng song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị hai góc phía bù nhau, đặc biệt hai tam giác b)Sử dụng nào?.Ta thường dùng cách có đường thẳng song song hình vẽ tập so sánh độ dài đoạn thẳng Ví dụ 7: (định lý đường trung bình tam giác) Cho tam giác ABC có M, N trung điểm AB AC Chứng minh MN//BC MN = BC Cho tam giác ABC có M trung điểm AB Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC N Chứng minh N trung điểm AC Phân tích: Để chứng minh MN//BC MN = BC, ta phải tìm hai tam giác có chứa hai góc hai cạnh mà ta cần chứng minh Nhưng vấn đề đặt hình khơng có tam giác có yếu tố đề bài, giáo viên hướng dẫn cho HS thấy cần thiết kẻ thêm đường phụ a a M N M b c N b K c b) a) Hình Căn vào chứng minh MN//BC nên ta cần tạo cặp góc nhau, nên ta kẻ CK//AB (H 8b).Từ ta chứng minh cho ∆AMN = ∆CKN sau chứng minh ∆BMC = ∆KCM để điều phải chứng minh Giải: Kẻ Cx//AB cắt MN kéo dài K Ta chứng minh ∆AMN = ∆CKN (g.c.g) Suy CK = AM = MB; MN = NK = MK (1) Ta lại chứng minh ∆BMC = ∆KCM (c.g.c) Suy BC = MK; KMC = MCB MK//BC (2) Từ (1) (2) ta có: MN//= BC Chứng minh hồn toàn tương tự Kẻ Cx//AB cắt MN kéo dài K Xét ∆BMC ∆KCM có: skkn 11 MC chung BMC = MCK (so le trong, CK//MB) KMC = BCM (so le trong, MN//Bc) Suy ∆ BMC = ∆ KCM (g.c.g) CK = BM = AM Ta lại chứng minh ∆AMN = ∆CKN (c.g.c) AN = NC Vậy N trung điểm AC Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến CE, tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA Chứng minh CD = 2CE Phân tích: Để chứng minh CD = 2CE ta thấy chứng minh trực tiếp, ta phải tạo đường thẳng CE mà có liên quan đến CD chứng minh CD Hoặc tạo đường thẳng CD chứng minh cho CE Ta nhận thấy dựng điểm F cho FC = FD = CD, ta chứng minh FC FD CE ta suy điều phải chứng minh Tương tự ta kẻ trung tuyến BK chứng minh BK = CE, mà BK = DC A Giải: Hình Dựng BF trung tuyến BCD K E BF đường trung bình ACD B BF//AC BF= EBC = FBC = ACB hay BF = BE = C AC AB = F AC D Hình Ta có: BCE = BCF (c.g.c) CE = CF mà CF = CD (cách dựng) CF = CD (đpcm) Ví dụ 9: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AH Gọi E hình chiếu H AC, lấy I trung điểm HE Chứng minh BE vng góc với AI A Phân tích: Để chứng minh BE AI giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh tư chúng cắt tạo góc 900, dựa vào tính chất ba đường cao tam giác dựa vào dấu hiệu từ song song đến vng góc Nhưng tất nhiên với tập E gợi ý cho học sinh vận dụng kiến thức đường trung F I bình tính chất ba đường cao tam giác B C H Giải : Hình 10 Lấy F trung điểm EC Chứng Hình 10 minh IF đường trung bình HEC Suy IF AH, lại có HEAF, I trực tâm AHF Suy AI HF (1) skkn 12 Dễ dàng chứng minh HF đường trung bình BEC Suy HF//BE (2) Từ (1) (2) suy AI//BE Nhận xét: Trong tập yêu cầu chứng minh song song, vng góc, so sánh đoạn thẳng ta thường kẻ thêm đường phụ đường trung bình Trong giảng dạy để học sinh nắm phương pháp giáo viên đưa thêm số VD để minh hoạ cho vấn đề Bài toán vận dụng: Cho ABC nhọn, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi M N chân đường vng góc kẻ từ O đến BC AC Chứng minh AH = OM; A BH = ON Phân tích: HS cần nắm kiến thức N K tính chất đường cao, đường trung trực H tam giác O Theo giả thiết nhận thấy M, N trung C B M điểm BC AC, cịn kết luận Hình 11 chứng minh AH = OM; BH = ON gợi ý cho nên kẻ đường phụ để tạo đường trung bình tam giác Vậy đường phụ lấy K cho O trung điểm KC OM đường trung bình BKC Suy OM= BK dễ dàng chứng minh BK = AH AH = OM Chứng minh tương tự ta có BH = ON A Bài toán vận dụng: Cho ABC nhọn, H trực tâm, M trung điểm BC Qua H kẻ Q F đường thẳng vng góc với HM đường thẳng H cắt AB, AC E F Chứng E minh HE = HF Phân tích: Theo giả thiết nhận thấy M B M trung điểm BC, kết luận chứng 12 minh EH =FH Gợi ý cho nên kẻ đường phụ để tạo raHình đường trung bình tam giác, từ chứng tam giác Vậy đường phụ lấy Q cho H trung điểm QC MH đường trung bình BQC HM//BQ mà HM EF BQ EF, lại có BE QH Vậy E trực tâm tam giác QBH Chứng minh QEH = CFH, suy HE =HF Dạng Cách kẻ thêm đường vng góc a) Mục đích: Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông tạo hai tam giác vuông skkn C 13 b) Sử dụng nào? Ta thường kẻ đường vng góc hình vẽ có góc có số đo cụ thể (chẳng hạn góc 300; 450, 600 ) có đường phân giác,… Cách Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo nửa tam giác Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo 30 0, 600, 1200, 1500 - Nếu cho góc 300(hoặc 600), ta thường kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có góc 300 600 - Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có chứa góc kề bù Ví dụ 10: Cho ∆ABC có Â = 1200, AB = 10cm, AC = 15cm Tính BC B Phân tích: B Dễ thấy: 10 BAx = 1800 – 1200 = 600 10 120 120 (H 9a) nên ta nghĩ đến việc kẻ BH AC nhằm A x 15 C A H x tạo nửa tam giác từ dễ dàng tìm lời giải Giải: 15 C Hình 13 Kẻ BH AC Vì BAC > 900 nên A nằm H C Ta có BAH = 1800 – 1200 = 600 HBA = 300 Trong tam giác vng BAH có HBA = 300 nên HA = (cm) Áp dụng định lý Pitago ta có BH2 = AB2 – AH2 = 102 – 52 = 75 (cm) BC2 = HB2 + CH2 = 75 + 202 = 475 BC = (cm) Bài toán vận dụng: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C trung điểm, nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ay Cx cho góc BAy = 30 ; góc BCx = 450 Gọi K giao điểm cuả Ay Cx Chứng minh: a AKC = BAK K Q b Tính số đo góc ABK Phân tích: a Dễ dàng c/m AKC = 150 nên AKC = 45 30 A BAK C B Hình 14 b GV gợi ý để HS phát cách kẻ đường phụ để tạo nửa tam giác Kẻ BQ AK BQ = AB (cạnh đối diện với góc 300) Suy BCQ nên ABQ = 600 Và CQK cân Q suy BQK vuông cân Q QBK = 450 skkn 14 Vậy ABK = ABQ + QBK = 600 + 450 = 1050 Bài toán vận dụng: Cho tam giác ABC có ABC = 450, BCA = 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính số đo góc ADB Phân tích: H Kẻ DH Vng góc với AC ACD = 600 CDH = 30 Nên CH= CH = BC Tam giác BCH cân C B A D C CBH = 30 ABH = 15 Mà BAH = 15 nên tam giác AHB cân H Hình 15 Do tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750 Cách Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông cân Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo 450, 1350 Ví dụ 11: Cho ∆ABC có BC = 20 cm; AB = 16 cm, góc B = 450 Tính AC Phân tích: Theo giả thiết AB = 16 cm, B = 450 nên ta có A thể nghĩ đến việc tạo tam giác vng cân có AB cạnh huyền Kẻ AH BC ∆ABH vuông cân H, từ ta tìm 16 lời giải dễ dàng Giải 45 Kẻ AH BC, ta có ∆ABH vng H mà B = 45 nên 20 B H C ∆ABH vuông cân H Hình 16 HA = HB Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHB AHC, ta có: AB = HB2 + AH2 hay 2HA2 = 2HB2 = (16 )2 = 2.162 HA = HB = 16 (cm) Vì HB < BC nên H nằm B C HC = BC – HB = 20 – 16 = (cm) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng AHC, ta có: AC2 = HC2 + AH2 = 162 + 42 = 272 AC = (cm) 16,49 (cm) Vậy AC 16,49 (cm) Cách Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vng Ví dụ 12: Cho hình thang vng A = D = 900, đáy lớn CD = 11 cm, đáy nhỏ AB = 5cm, AD = cm Tính BC Phân tích:Rõ ràng theo hình vẽ (H 17a) ta khơng thể tính BC, vấn đề đặt yêu cầu HS cần vẽ thêm đường phụ Nhưng vẽ xuất C phát từ đâu?Căn vào giả thiết, C A = D = 90 , từ kẻ đường vng góc từ B (hoặc C) hợp lí B B 11 H 11 A skkn D A D 15 Hình 17 a) b) Giải: Kẻ BH CD (H CD) Ta có: AB//DH (Cùng vng góc với AD) Dễ dàng ∆ABD = ∆HDB (Cạnh huyền – góc nhọn) DH = AB = cm, AD = BH = cm Vì H nằm C D nên CH = CD – DH = 11 – = cm Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng BHC, ta có: BC2 = BH2 + HC2 = 82 + 62 = 100 BC = 10 cm Cách Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng Ví dụ 13: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác vng cân A ∆ABD ∆ACE Qua A kẻ đường thẳng d DE cắt BC I Chứng minh rằng: I trung điểm BC Phân tích: Ta nhận thấy hình vẽ có góc nhau: HAD = BAI; HEA = CAI Hơn lại có: AB = AD; AE = AC Điều nghĩ đến tạo tam giác vuông với tam giác AHD AHE? Kết hợp với điều kiện ta nên kẻ đường vng góc từ B C đến AI hợp lí E E H H D D A A P B B I C C I Q Hình 18 Giải: Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ B C đến AI, ta có: ∆AHD = ∆BPA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy AH = BP Tương tư lại có: ∆AHE = ∆CQA (cạnh huyền – góc nhọn) skkn 16 Suy AH = QC Từ dễ dàng chứng minh ∆BPI = ∆CQI (g.c.g) Suy IB = IC Vậy I trung điểm BC Dạng Cách vẽ tam giác a) Mục đích Đây cách đặc biệt, tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ góc nhau, cạnh ta vec tam giác cân đặc biệt tam giác b) Sử dụng nào? Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với tập tính tốn số đo góc, trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định như: - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vuông cân - Tam giác vng có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền… Sau ta nghĩ đến việc tính số đo góc cần tìm thơng qua mối liên hệ với góc hình chứa góc có số đo hồn tồn xác định nêu Ví dụ 14:Cho ∆ABC Cân A, Â = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính số đo góc ACD Phân tích: A A A 20 20 20 D D D E B C a) B B C Hình 19 b) C c) Dễ tính B = C = 800 = 600 + 200 = 600 +Â Từ giả thiết cho ta nghĩ đến việc dựng tam giác BEC (H 19b) Dễ chứng minh được: +) ∆ADC = ∆CEA (c.g.c) ACD = EAC +) ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) EAB = EAC Từ đó: ACD = EAC = EAB = BAC = 100 Giải: skkn K 17 Cách 1:(H.19a)∆ABC cân A nên ABC = ACB = = (1800-Â) (1800 -200) = 800 Dựng E thuộc miền ∆ABC cho ∆BEC đều, ta có BC = BE = EC BCE = CDE = BEC =600 Suy ACE = ACB – BCE = 800– 600 = 200 Từ chứng minh được: ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) Suy AE phân giác EAB = EAC = BAC = 100 Ta lại chứng minh được: ∆ADC = ∆CEA(c.g.c) Suy ACD = CAE = 100 Cách 2: (H.19a) ∆ABC cân A nên ABC = ACB = = (1800 -Â) (1800 -200)=800 Dựng K thuộc miền ∆ABC cho ∆AKC đều, ta có: Ta chứng minh ∆AKD = ∆BAC (c.g.c) Suy KD = AC AKD = BAC = 200 Do đó: DKC = AKC – DKA = 600- 200 = 400 Do KD = KA nên suy ∆KDC cân K Suy KDC = KCD = (1800 - DKC) = Vậy ACD = KCD – ACK = 700- 600 = 100 Nhận xét: So A E 20 (1800 - 400) =700 với A 20 D D K E B C B C e ) d) H× nh19 13 Hình cho học sinh có nhiều hướng kẻ thêm đường phụ - Ta gợi ý thêm cho học sinh cách dựng khác nửa hình sau + Trong (H 19d) ta dựng tam giác ADE + Trong (Hình 19e) ta dựng tam giác ABK Ví dụ 15: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm E nằm tam giác cho EAC = ECA = 150 Tính số đo góc AEB? skkn ... kỹ kẻ thêm đường phụ để giải toán hình học góp phần phát triển tư cho học sinh lớp trường THCS Thiết Ống - Đề tài áp dụng cho học sinh lớp dạy, luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm bồi dưỡng học. .. phương pháp để giải tập Thơng qua việc giải toán kẻ đường phụ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt phần toán kẻ thêm đường phụ 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu - Một số giải pháp rèn luyện kỹ. .. giúp học sinh giải tốt tốn hình có kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh lớp bước đầu trang bị cho em kỹ việc giải tập hình học khơng lớp mà lớp học