Chuyên đề về Phân tích đa thức thành nhân tử

Microsoft Word S8 C1 CD3 PHÂN TÍCH A THèC THÀNH NHÂN Tì doc PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A LÝ THUYẾT 1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhâ[.]

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A LÝ THUYẾT: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp B CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3  x  x b) x y  xy  12 x y c) 2xy  x  y   x  y  x  d) x  y  x  y Giải a) Ta có: x  x  x  x  x  x   b) Ta có: x y  xy  12 x y  xy  x  y  xy  c) Ta có: xy  x  y   x  y  x   xy  x  y   x  x  y   x  x  y  y  x  d) Ta có: x  y  x  y  x   y    x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y  1   x  y  x  y  1 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x     x b) xy  y  x  c) x  xy  y d) x  y  x  y Giải a) Ta có:  x     x   x     x       x    x      x   x   1 x   1   x   x  3 x  1 b) Ta có: xy  y  x   3xy  x   y  x  y  1   y  1   y  1 x   c) Ta có: x  xy  y  x  xy  xy  y  x  x  y   y  x  y    x  y  x  y  d) Ta có: x  y  x  y   x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x     x     x   2 b) x  xy  y d) x  x  y   y  x  y  c) x  x  y  y Giải a) Ta có:  x     x     x   2   x  2   x2  4   x     x   2   x     x   x     x   x     x   2   x   x   x     x   x   x    x  x  2  x  x  2  x  x   x    x2 b) Ta có: x  xy  y  x  y  xy  y   x2  y2   y  x  y    x  y  x  y   y  x  y    x  y  x  y  y    x  y  x  y  c) Ta có: x  x  y  y  x  y  x  y   x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   d) Ta có: x  x  y   y  x  y    x  y  x  y    x  y  x  y    x  y  Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Lưu ý: Với số toán chưa tường minh để áp dụng đẳng thức ta phải thực “thêm, bớt” số hạng tử để xuất dạng áp dụng đẳng thức Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  b) x  12 x  24 x  16 c)  x  y    x  y  3 c) x  x  Giải 1  1 a) Ta có: x  x   x  x    x   4  2 2 b) Ta có: x  12 x  24 x  16   x3  x  12 x     x3  3.x 2  3.4.x  23    x   c) Ta có:  x  y    x  y  3   x3  x y  xy  y    x3  x y  xy  y   x y  y3  y 3x  y  d) Ta có: x  x    x  x  1   x  x   x       x  1  x   x   x  x   x   Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  c) b) x3  x  16 2 a  b 36 d) x  x  y  y Giải a) Ta có: x   x  x   x   x    x 2   x   x  x   x    x  x   x  x   b) Ta có: x3  x  16  x3  x  12 x   12 x  24     x    12  x     x    x    12   x    x  x   2 2 1  1  1  1  c) Ta có: a  b   a    b    a  b   a  b  36  6  6  2  6 d) Ta có: x  x  y  y  x2  2x   y  y 1   x  x  1   y  y  1   x  1   y  1   x   y  1 x   y  1 2   x  y  x  y   Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  a   25 b) 125a  75a  15a  c) x8  x  d) x  x  x  Giải a) Ta có:  x  a   25   x  a   52   x  a   x  a   2 b) Ta có: 125a  75a  15a     5a    5a   3.5a   1  5a  3 c) Ta có: x8  x   x  x   x   x  1  x   x   x  x   x    x  x  1 x  x  1 d) Ta có: x  x  x   x  x  x  x   x  x  1   x  x  1  x  x  1 x  1   x  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1   x  x  1     x  x  1 x  x  1  x  1      x  x  1  x  x   x  1    x  x  1 x  x  x  x  1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  81 b) x8  98 x  c) x  x  d) x  x  Giải a) Ta có: x  81  x  36 x  81  36 x   x    36 x   x     x  2   x   x  x   x    x  x   x  x   b) Ta có: x8  98 x    x8  x  1  96 x   x  1  16 x  x  1  64 x  16 x  x  1  32 x   x   x   16 x  x   x    x  x  1  16 x  x  1   x  x  1   x  x  2   x  x3  x  x  1 x  x3  x  x  1 c) Ta có: x  x    x  x    x  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1 x3  1   x  x  1  x  x  1  x  x  1 x  1   x  x  1   x  x  1  x  x  1  x3  1  1   x  x  1 x  x  x  x  1 d) x  x    x  x    x5  x    x  x  1  x  x  1 x  1  x  x  1   x  x  1   x  x  1  x  1  x  x   x  x  1  x  x  1   x  x  1   x  x  1  x5  x  x  x    x3  x   1   x  x  1 x5  x  x3  x  1 Lưu ý: Các đa thức có dạng x3 m 1  x 3n   Ví dụ như: x  x  ; x  x5  ; x8  x  ; x5  x  ; x8  x  ; … có nhân tử chung x  x  Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  y  y b) x  xy  12 xy  y c) x3  x  xy  y  y d) 16 x  x  y  Giải a) Ta có: x  x  y  y  x  y   x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   b) Ta có: x  xy  12 xy  y  x  12 xy  xy  y  x  x  y   y  x  y   x  x  y  x  y   y  x  y    x  y   x3  xy  y  c) Ta có: x3  x  xy  y  y  x3  y  x  xy  y   x  y   x  xy  y    x  xy  y    x  xy  y   x  y  1 d) Ta có: 16 x  x  y    x    x    y `  x   1 2  y2   2x  1 y   2x  2 1 y    x   y  x   y  Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) ax  2bxy  2bx  axy b)  x  x c) x  x  y  y  d) x  x  20 x  16 Giải a) Ta có: ax  2bxy  2bx  axy  ax  2bx  axy  2bxy   a  2b  x  xy  a  2b    a  2b   x  xy   x  a  2b  x  y  b) Ta có:  x  x   x  x     x  1    x  1  x  1    x   x  c) Ta có: x  x  y  y   x  x   y  y    x  1   y  1   x   y   x   y   2   x  y  1 x  y  3 d) Ta có: x  x  20 x  16  x  16  x3  20 x   x  24    x3  20 x    x   x    x  x     x   x   x    x    x  1 x   Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  y  x  y b) x3  y 1  x   x  y  1  y c) a x  a y  x  y d) x  x  1  x  x     x  1 Giải a) Ta có: x  y  x  y   x  y    x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  x  y   b) Ta có: x3  y 1  x   x  y  1  y  x  y  3x y  xy  x  y   x  x y  3xy  y    x  y    x  y    x  y    x  y   x  y   1     x  y  x  y  1 x  y  1 c) Ta có: a x  a y  x  y   a x  a y    x  y   a2  x  y    x  y    x  y   a2  7 d) Ta có: x  x  1  x  x     x  1 2 2   x  x  1   x  1   x  x     x  1  x    x  x       x    x  1  x    x    x  x  1   Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x   x   x  10   128 b) x  x  x  x  Giải a) Ta có: x  x   x   x  10   128   x  x  10    x   x     128   x  10 x    x  10 x  24   128 Đặt x  10 x  12  t , phương trình (*) trở thành:  t  12  t  12   128  t  144  128  t  16   t   t     x  10 x   x  10 x  16    x   x    x  10 x   b) Giả sử x  ta có: (*)   x  x3  x  x   x  x  x     x x      6   x  x     x     x x     Đặt t  x  (*) 1 x   t  , phương trình (*) trở thành: x x     6 x  x     x      x  t   6t   x x     2 1    2  x  t  3   xt  x    x  x    x    x  x  1 x    Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: x  x3  x  x   x   x3  x    x  x  1  x  x  x  1   3x  1   x  x  1 2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  2 b)  x  y  z    x  y  z    x  y  z   x  y  z    x  y  z  2 Giải a) Ta có:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  2   x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z    xy  yz  zx  (*) Đặt a  x  y  z , b  xy  yz  zx , phương trình (*) trở thành: a  a  2b   b  a  2ab  b   a  b    x  y  z   xy  yz  zx  2 b) Ta có:  x4  y  z    x2  y  z    x2  y  z   x  y  z    x  y  z  2 Đặt a  x  y  z , b  x  y  z , c  x  y  z , ta có: 2a  b  2bc  c  2a  2b  b  2bc  c   a  b    b  c  Mặt khác ta có: a  b2  x4  y  z   x2  y  z  2 (1)  x4  y  z   x4  y4  z  x2 y  y z  2z x2   2  x y  y z  z x  b  c  x2  y  z   x  y  z   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   2  xy  yz  zx  Do đó: (1)   a  b    b  c   4 x y  y z  z x  x y  y z  z x  x yz  xy z  xyz  8xyz  x  y  z  Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a)  x  y    y  z    z  x  3 b)  a  b  c    a  b  c   4c 2 Giải a) Đặt x  y  a , y  z  b , z  x  c  a  b  c  ta có:  x  y   y  z   z  x 3  a  b3  c   a  b   3a 2b  3ab  c3     a  b  c   a  b    a  b  c  c  3a 2b  3ab  3ab  a  b   3  x  y  y  z  x  y  y  z   3  x  y  y  z  x  z  b) Ta có:  a  b  c    a  b  c   4c 2   a  b  c    a  b  c  2c  a  b  c  2c    a  b  c    a  b  3c  a  b  c    a  b  c  a  b  c  a  b  3c    a  b  c  2a  2b  2c    a  b  c  a  b  c  Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  b) x  11x  c) x3  x  x  d) x  y  x  xy  y Giải a) Ta có: x  x   x  x  x   x  x  1   x  1   x  1 x  3 b) Ta có: x  11x   x  x  x   x  x  1   3x  1   x  1 x  3 c) Ta có: x3  x  x   x3  x  x  x  x   x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x   d) Ta có: x  y  x  xy  y  x  xy  y  x  y   x  y    x  y    x  y  x  y   Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x  x  b) x  x  c) x  x  x d) x  x  13 x  Giải a) Ta có: x  x   x  x  x   x  x  1   x  1   x  1 x  1 b) Ta có: x  x   x3  x  x  x  3x   x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x  3 c) Ta có: x  x  x  x  x  x    x  x  x  3x    x  x  x     x     x  x  3 x   d) Ta có: x  x  13 x   x3  x  x  10 x  x    x    x  x  3   x    x  x  x  3   x    x  x  1   x  1    x   x  1 x  3 Lưu ý: Khi thực tách đa thức để nhóm thành nhân tử chung ta thực bước sau: Bước 1: Thực nhẩm nghiệm đa thức (thường nghiệm x  1 ; x  2 thỏa mãn) Ví dụ: x  x  , với x  thay vào ta     x  nghiệm đa thức Bước 2: Thực tách đa thức để có nhân tử chung nghiệm đa thức Ví dụ: Thực tách đa thức để có x  nhân tử chung Hướng dẫn giải – đáp số Cộng vế theo vế hai hẳng đẳng thức ta : a  3a  5a  17  b3  3b  5b  11   a  3a  3a   b3  3b  3b    a  b      a  1   b  1   a   b  1  3   a  b    a  a   b2  b     2 1  1  Vì a  a   b  b     a     b      a  b  2  2  10 Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh rằng: a  b  1 c  1  b  a  1 c  1  c  a  1 b  1  4abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái, ta có : a  b  1 c  1  b  a  1 c  1  c  a  1 b  1  a  b c  b  c  1  b  a c  a  c  1  c  a b  a  b  1  ab c  ab  ac  a  a bc  a b  bc  b  a b c  a c  b c  a   a  b  c    a b  ab2  a b c    ac  a c  a bc    bc  b c  ab c   abc  ab  a  b  abc   ac  c  a  abc   bc  c  b  abc   abc  abc  abc  abc  4abc D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Dạng 1: Sử dụng đẳng thức để phân tích thành tích rút gọn biểu thức cho trước Bài 1: Viết biểu thức sau dạng tích: a) x  y b) a  b3 c) 64 y  125 x Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: 1   a)  x  y  x  xy  y  3   d) 27 x   1  b)  x    x  x    9  c)  x    x  x    x    x  x   d)  x  y   x  xy  y    x  y   x  xy  y  Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: a)  x  1   x  1  x  x  1 b)  x  3   x  3  x  x     x  1 c)  x    x  x  25    x  3   x    x  x     x  1 d)  x  y    x  y  16 x  20 xy  25 y    y  x  Dạng 2: Tìm x Bài 4: Tìm x, biết: a) ( x  1)( x  x  1)  x( x  2)( x  2)  b)  x  1   x  1   x  1  10 3 c)  x  3  x  3x    x  x    x   d)  x  1   x  3  x  3x     x    Bài 5: Tìm x, biết: a)  x    x  x    x  x    15 b)  x     x    x  x  16    x  1  49 c)  x  1    x    x  x   3x  x    16   d)  x  3   x  3 x  3x    x  1  15 Dạng 3: Tính nhanh 3 Bài 6: Tính nhanh a) 293 b) 1013 Bài 7: Tính nhanh a) 17  33 b) 243  64 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức Bài 8: a) Tính giá trị phân thức I  b) Tính giá trị phân thức M  x3  x  1 x2  x  x3  x  2 x2  x  c) Tính giá trị biểu thức K  27   x  3  x  x   x  3 Bài 9: a) Cho x  y  x  y  Tính x  y b) Cho x  y  x  y  15 Tính x  y Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x a) A   x  3  x  x     x  1 b) B   x  3  x  3x     20  x  c) C  y  3 y     y  1  y  y  1   6 y  1 2 Bài 11: a) Cho a , b số tự nhiên Chứng minh rằng: a  b chia hết cho a  b chia hết cho b) Cho A  13  23  33   103 Chứng minh rằng: A11 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ ... c  a   a  b  c    a b  ab2  a b c    ac  a c  a bc    bc  b c  ab c   abc  ab  a  b  abc   ac  c  a  abc   bc  c  b  abc   abc  abc  abc  abc  4abc D.PHIẾU... b  c  c)  a    3 6a   a   6a  a   a    a  3  a  3 2 2 Phân tích ? ?a thức sau thành nhân tử : a ) 3a  3b  a  2ab  b c)4b c   b  c  a  b )a  2ab  b  2a  2b  Hướng... a  b  c   x  12 xy  36 y    a  b  c  x  y  d )ax  a  xa  x  ax  x  a    x  a    x  a  ax  1 Phân tích ? ?a thức thành nhân tử : a) x3   x   3x  b )a  a  a