Microsoft Word �S8 C2 CD3 RÚT GÌN PHÂN THèC doc RÚT GỌN PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để bi[.]
RÚT GỌN PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn phân thức cho trước ta làm sau: Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Rút gọn phân thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung Bài 1: Rút gọn phân thức A 17 xy z 34 x y z B D x xz xy yz x xz xy yz E y xy xy y 45 x x 15 x x 3 C x 25 5x x2 G y x2 x3 3x y 3xy y C 2a 2ab ac ad bc bd F x 3x x3 Bài 2: Rút gọn phân thức A ax a x a ax x x a D 4x2 a x 6ax B E x3 x x x3 x y x x2 y 2 x y y2 x 2 Bài 3: Rút gọn phân thức A x3 5x x 4 x 10 x B x 3xy y x3 x y xy y a b C c2 abc b c c a a b F a b c b2 c a c2 a b a b c 2ab D 2 a b c 2ac 3 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Thực tương tự bước chứng minh đẳng thức học CD CD2 Bài 4: Chứng minh đẳng thức a) 3x 2x 2x x 2x2 6x b) x x3 x 12 x Bài 5: Chứng minh đẳng thức a) x5 x x3 x x x 1 b) x xy y x y 2 x xy y x y Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho x y z Bài 6: Cho Rút gọn biểu thức a b c x Bài 7: Cho ax by cz Rút gọn phân thức y z a b c ax by cz A ax by cz bc y z ac x z ab x y 2 Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho cho khơng cịn ẩn ( x,y …đề yêu cầu không phụ thuộc ) Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x A x2 y x y ay ax B 2ax x y 3ay 4ax x y 6ay Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y x xy x y ;x ; y 1 3x y 1 Dạng 5: Bài toán nâng cao x y x2 y Bài 10: Cho x y Chứng minh x y x2 y2 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: A 17 xy z yz 34 x y z x B x xz xy yz D x xz xy yz y xy xy y y x y yx y 4x y 4x y E x z x y x y x z x y x y 45 x x 15 x x 3 x 25 5x x2 x 5 x C 3 x x x 5 x5 x y2 x2 G x 3x y xy y x y x y x y x y Bài 2: ax a x A a ax x ax x3 a a ax x ax x a a ax x a ax x ax x a x a D x3 x x x3 x x x2 x 6 B x x2 4 x3 x2 x x x x2 a x 6ax x a x x a x a 6ax x 3x a a x 3x a a x 3x a 2a 2ab C ac ad bc bd 2a a b a c d b c d x x x 3 E y x x2 y 2 x y y x 2 xy x y xy y x xy x y xy y x 1 2a a b c d a b 2a cd F x2 3x x3 x 1 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x y Bài 3: x3 x x 4 x 10 x x x2 5x x A 2 x x x x x 3 2 x 1 x x x 3 x 1 a b c 2ab D 2 a b c 2ac a 2ab b c a 2ac c b a b c2 a c b2 a b c a b c a b c a b c abc a bc B x 3xy y x3 x y xy y x y x y x x y y2 x y x y x y x y x2 y x y x y x y x y x y x 2y x y x y a b C c2 abc a b c a b c abc abc b c c a a b F a b c b2 c a c2 a b Mau a b c b c a c a b a b c b c b a ac bc a b c bc b c a b c b c a a b c a b b c a c a b 3 b c c a a b F a b b c c a 3 Ta có nhận xét Nếu x y z x3 y z xyz Đặt b c x; c a y; a b z x y z 0 F x y z 3xyz 3 xyz xyz Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức 3x 2x 2x x 3 x 2 3x VT VP 2 x x x x 3 x a) 2 x2 6x x x x 12 x x x 3 x x 3 2x2 6x VT VP 2 x x 12 x x x x 12 x x x 3 x b) Bài 5: Chứng minh đẳng thức x5 a) x x3 x x x 1 Thực phép chia đa thức x5 x 1 x x x x 1 b) x xy y x y 2 x xy y x y VT x xy y 2 x xy xy y x y x y x y x xy y 2 x xy xy y x y x y x y VT VP dpcm Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Cho x x y z rút gọn biểu thức a b c y z a b c ax by cz Đặt x y z k x ka; y kb; z kc a b c x y z a b c ax by cz k a 2 k 2b k 2c a b c aka bkb ckc k a b2 c k a b2 c 2 1 Bài 8: Cho ax by cz rút gọn phân thức A ax by cz bc y z ac x z ab x y 2 Áp dụng đẳng thức x y z x y z xy yz zx ax by cz ax by cz a x b y c z axby axcz bycz a x b y c z 2 axby axcz bycz 1 Biến đổi mẫu thức bc y z ac x z ab x y 2 bcy bcz acx acz abx aby abxy acxz bcyz (2) Thay (1) vào (2) mẫu thức bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x c by ax cz b cz ax by a cz by ax cz by ax a b c 2 2 Vậy A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abc Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x x2 y A x y ay ax x y x y a x y y x x y x y a x y x y 1 a B 2ax x y 3ay 4ax x y 6ay a 1 x y x y 2a 3 a 1 2x Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y x xy x y ;x ; y 1 y 1 3x 3x 1 3x 1 3x y 1 y 1 y 1 x 1 3x y 1 x 1 y 1 3 x x 1 Dạng 5: Bài toán nâng cao Bài 11:cho x y chứng minh x y x2 y x y x2 y2 Do x y nên x y Theo tính chất phân thức, ta có x y x y x y x y x2 y (1) x y x y x y x y 2 x xy y Mặt khác x y nên x xy y x y x2 y x2 y2 (2) Vậy x xy y x y (1)(2) dpcm B.PHIẾU TỰ LUYỆN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z a) 21x y z b) 25 x y x 1 c) 30 xy x 1 3x x 12 x d) 60 xy x 45 xy x Bài 2: Rút gọn phân thức sau x 12 a) 24 x 48 x b) x 2 y y y 2x x2 c) xy yx x xy d) 48 y 12 y y y 64 Bài 3: Rút gọn phân thức sau a) x 3 x2 x b) 3x 3 3x x xy x y c) x xy x y 25 x 2 y3 y y d) y 3y2 y Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức b 2b b a) 3b3 3b 3b b) x a x2 a x 6ax ax a 3x c) x 3x x2 x 1 x x 1 Bài 5: Chứng minh đẳng thức a) xy x 2y y 4x x x2 Bài 6: Cho hai phân thức P Chứng minh P = Q b) x xy y 2 x x y xy y x y xy x y x xy x y x3 Q với x 0; x 1; x y 4x x2 x3 x y Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A 3m 2m m 8 9m 12m b) B n 7n n 1000001 n3 6n n Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính a b c 2 a b c C a b c a c b Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số a) M x2 y2 x y 3x y b) N 5kx x y 3ky (với k số khác ) 25kx 15 x y 15ky x4 x3 x Bài 10: Cho phân thức A x x3 x x a) Thu gọn biểu thức A b) Chứng minh A không âm với giá trị x Dạng 5: Bài toán nâng cao Bài 11: Tìm giá trị ngun u để giá trị biểu thức sau số nguyên a) với u u 2 b) 3u 2u 1 với u 3u Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ A b) Tìm giá trị lớn B x x 2019 với x x2 x x 17 3x x HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z 2 x3 z a) 21x y z 3y c) 3x x 12 x b) 3 x x 12 x x x 5 d) 25 x y x 1 30 xy x 1 60 xy 3x 45 xy x x x 1 4 x 3y Bài 2: Rút gọn phân thức sau Bài 3: Rút gọn phân thức sau Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức a) b 2b b 3b3 3b 3b Bài 5: Chứng minh đẳng thức x a x2 ax b) a x 6ax a x c) x 3x x2 x 1 x x 1 a) xy x 2y y 4x x x2 Bài 6: - Có: P x 3xy y b) 2 x x y xy y x y xy x y x xy x y x Q với x 0; x 1; x y x3 x y 4x 4x2 Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A 3m 2m m 8 9m 12m Thay m=-8 vào A ta được: b) B n 7n n 1000001 n3 6n n Thay n=1000001 vào B ta được: Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính a b c 2 a b c C a b c a c b2 Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số a) M b) (với k số khác ) x2 y x y 3x y N 5kx x y 3ky 25kx 15 x y 15ky Khi số Bài 10: Cho phân thức A x4 x3 x x x3 x x a)Thu gọn biểu thức A b) Chứng minh A không âm với giá trị x Có: Dạng 5: Bài tốn nâng cao Bài 11: Tìm giá trị ngun u để giá trị biểu thức sau số nguyên a) với u u2 Để ngun u2 Ta có bảng u-2 -1 -3 u (TM) (TM) (TM) -1 (TM) -2 -1 (TM) (TM) Vậy nguyên u2 3u 2u 1 với u b) 3u Để 3u 2u nguyên 3u Ta có bảng 3u+1 -1 u (KTM) x x 2019 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ A với x x2 Dấu “=” xảy x- 2019= x=2019 (KTM) Vậy x=2019 b) Tìm giá trị lớn B B x x 17 3x2 x x x 17 10 1 1 3x x 3x x 3 x 2 nhỏ Để B lớn Mà 10 Dấu “=” xảy Vậy MaxB = 41 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== ... u2 Để ngun u2 Ta có bảng u-2 -1 -3 u (TM) (TM) (TM) -1 (TM) -2 -1 (TM) (TM) Vậy nguyên u2 3u 2u 1 với u b) 3u Để 3u 2u nguyên 3u Ta có bảng 3u+1 -1 u (KTM) x x 2019 Bài... LUYỆN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z a) 21x y z b) 25 x y x 1 c) 30 xy x 1 3x x 12 x d) 60 xy x 45 xy x Bài 2: Rút gọn phân thức... Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức