Microsoft Word S8 C4 CD6 PH¯�NG TRÌNH CHèA D¤U GIÁ TRÊ TUYÆT ÐI doc PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A BÀI GIẢNG 1 NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Với số a, ta có nÕu 0 nÕu 0 a a a a a [.]
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A BÀI GIẢNG NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Với số a, ta có: a nÕu a a a nÕu a Tương tự vậy, với đa thức ta có: f ( x ) nÕu f ( x ) f (x) f ( x ) nÕu f ( x ) Ví dụ Rút gọn biểu thức: a C 3 x x x b D x x x Giải a Với x 3x nên ta nhận được: C 3 x x x b Với x x nên ta nhận được: D x x 11 x GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trong phạm vi kiến thức lớp quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phương trình: f ( x) k , với k số khơng âm Dạng 2: Phương trình: f ( x) g ( x ) Dạng 3: Phương trình: f ( x) g ( x ) Ví dụ Giải phương trình: a x x b 5 x x 21 Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x 5 x5 x x 5 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x 5 phương trình có dạng: x x x x x x , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x 5 phương trình có dạng: x x x x 5 x 6 x , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình có nghiệm x Cách 2: Với điều kiện: 3x x Khi đó, phương trình biến đổi: x x 3x 2 x x (3 x 1) x 6 x (lo¹i) Vậy, phương trình có nghiệm x b Viết lại phương trình dạng: x x 21 Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 5x x 5x 5 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x x 21 x 21 x , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: 5 x x 21 x 21 x 3 , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình có nghiệm x x 3 Cách 2: Với điều kiện: x 21 x 21 (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 5 x x 21 3 x 21 x 5 x (2 x 21) x 21 x 3 , thỏa mãn (*) Vậy, phương trình có nghiệm x x 3 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng tốn 1: PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: a A x x hai trường hợp x x b B 4 x x 12 hai trường hợp x x c C x x 12 x d D 3x x Giải a Ta có: 5 x x 5x 5 x x Do đó: 3 x x x 8 x x A 3 x x x 2 x x b Ta có: 4 x x 4 x x x Do đó: 4 x x 12 x 6 x 12 x B x x 12 x x 12 x c Ta có: x x x Do đó: C x x 12 x d Ta có: x x 5 x5 x x 5 Do đó: 3 x x x 5 x x 5 D 3 x x x 5 x x 5 Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: a A x x x b B x x x x Giải a Với giả thiết x , ta suy ra: x2 0 x2 x2 Do đó, A viết lại: A x 3x x b Với giả thiết x , ta suy ra: x3 0 x3 x3 x x (3 x) Do đó, B viết lại: B x (3 x ) x x x x x Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: C x 1 x Hướng dẫn: Tạo khoảng chia tương ứng để xét dấu Giải Nhận xét rằng: x 1 x x x 2 Do đó, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối C ta cần xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x 2 , ta được: C ( x 1) 2( x 2) 3 x Trường hợp 2: Nếu 2 x , ta được: C ( x 1) 2( x 2) x Trường hợp 3: Nếu x , ta được: C ( x 1) 2( x 2) x Dạng toán 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x) k , với k số không âm Phương pháp Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Khi đó: f ( x) k => nghiệm x f ( x) k f ( x) k Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình: Chú ý: Hệ bước có nhờ kiến thức giải phương trình tích (chương III), cụ thể: f ( x) k f ( x) k f ( x) k f ( x ) k Ví dụ Giải phương trình x Giải Biến đổi tương đương phương trình: 2 x 2x x 2x x 1 x 1 x Vậy, phương trình có hai nghiệm x x Ví dụ Giải phương trình: x2 x2 Giải Điều kiện xác định phương trình x Ta lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi tương đương phương trình: x2 x 1 x x x2 1 x0 x2 x 1 x ( x 2) x Vậy, phương trình có nghiệm x Cách 2: Biến đổi tương đương phương trình: x x x2 1 x x x0 x2 x ( x 2) Vậy, phương trình có nghiệm x Dạng tốn 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x) g ( x ) Phương pháp Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Khi đó: f ( x) g ( x ) => nghiệm x f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x ) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a x x b x2 x x 0 x 1 Giải a Biến đổi tương đương phương trình: 2 x x x x 3 x 6 2x x x ( x 3) 2x x x Vậy, phương trình có hai nghiệm x 6 x b Điều kiện xác định phương trình x Biến đổi tương đương phương trình: x2 x x x x x ( x 1) x2 x x x x 1 x x2 x x x( x 1) x x 2x x 1 2x 2 v« nghiƯm Vậy, phương trình có hai nghiệm x Ví dụ Giải phương trình: x 3m x , với m tham số Giải Biến đổi tương đương phương trình: x 3m x x 3m x x 3m ( x 6) x x 3m x 3m x x 6 3m x m Vậy, phương trình có hai nghiệm x 3m x m Dạng toán 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x) g ( x ) Phương pháp Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu f ( x) (1) Phương trình có dạng: f ( x) g ( x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu f ( x) (2) Phương trình có dạng: f ( x) g ( x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (2) Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình Cách 2: Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) g ( x ) Bước 2: Khi đó: f ( x) g ( x ) => nghiệm x f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x ) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ Giải phương trình: x 3x Giải Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x x 4 (1) Khi đó, phương trình có dạng: x 3x x x , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu x x 4 (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x 4) x x x Vậy, phương trình có nghiệm x , không thỏa mãn (2) Cách 2: Viết lại phương trình dạng: x 3x Với điều kiện: 5 3x x Khi đó, phương trình biến đổi: x x 3x x 3x x (5 x ) x lo¹i Vậy, phương trình có nghiệm x Chú ý: Qua ví dụ trên, thấy “Cả hai cách giải trình bày có độ phức tạp nhau” Chính vậy, đặt câu hỏi “Trong trường hợp cách tỏ hiệu cách ngược lại?” – Câu trả lời nhận ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: a x x b x x 12 c 3 x x d 5 x 16 x Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x 2x 2 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x x x 6 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: 2 x x 3x x , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình vơ nghiệm Cách 2: Với điều kiện: x60 x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 2 x x x 6 x 6 x ( x 6) 3 x x , khơng thỏa mãn (*) Vậy, phương trình vơ nghiệm b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x 4x 4 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x x 12 x , (thỏa mãn) Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: 4 x x 12 x 2 , (thỏa mãn) Vậy, phương trình có hai nghiệm x x 2 Cách 2: Với điều kiện: x 12 x 6 (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x x 12 x 12 x x (2 x 12) x 12 x 2 , thỏa mãn (*) Vậy, phương trình có hai nghiệm x x 2 c Viết lại phương trình dạng: 3x x Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 3 x x 3x 3 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x x x 8 x 4 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: 3 x x x x , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình vơ nghiệm Cách 2: Với điều kiện: (*) x8 x Khi đó, phương trình biến đổi: 3 x x x 8 x 4 3 x ( x 8) x x , không thỏa mãn (*) Vậy, phương trình vơ nghiệm d Viết lại phương trình dạng: x x 16 Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 5 x x 5x 5 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x 3x 16 x 16 x , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: 5 x x 16 x 16 x 2 , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có hai nghiệm x x 2 Cách 2: Với điều kiện: x 16 x 16 (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 5 x x 16 x 16 x 5 x (3 x 16) 8 x 16 x 2 , thỏa mãn (*) Vậy, phương có hai nghiệm x x 2 Ví dụ Giải phươn g trình sau: a x x b x x c x 3x d x 3x Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x x7 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x x x 10 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: x x 3x x Vậy, phương có nghiệm x , thỏa mãn điều kiện Cách 2: Với điều kiện: 2x x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x 10 lo¹i x 2x x 10 x (2 x 3) 3 x x Vậy, phương có nghiệm x b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x 4 x4 x x 4 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x 4 phương trình có dạng: x x x , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x 4 phương trình có dạng: x x 3x x , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x Cách 2: Với điều kiện: 2x x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x x 2x x x (2 x 5) 3 x x (lo¹i) Vậy, phương có nghiệm x c Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x 3 x3 x x 3 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x 3 phương trình có dạng: x x x x , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x 3 phương trình có dạng: x x x 2 x , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x Cách 2: Với điều kiện: 3x x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x x 3x 2 x x (3 x 1) x 2 x (lo¹i) Vậy, phương có nghiệm x d Viết lại phương trình dạng: x 3x Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: x x x4 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình có dạng: x 3x x x , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x phương trình có dạng: x 3x x x , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x Cách 2: Với điều kiện: 3x x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x (lo¹i) x 3x 4x x (5 3x) 2x x Vậy, phương có nghiệm x Ví dụ Giải phương trình: a x x x b x x x Giải a Xét hai trường hợp: (1) Trường hợp 1: Nếu x x 1 Khi đó, phương trình có dạng: x x2 x x2 x 1 , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu x x 1 (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x 1) x x x x ( x 1)2 x 1 , khơng thỏa mãn điều kiện (2) Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1 b Viết lại phương trình dạng: x2 x x Với điều kiện: 2x x (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x2 x 2x x2 x x2 x 2x x x (2 x 4) x (x 2)2 x x 2 kh«ng tháa m·n(*) x 2 Vậy, phương trình có nghiệm x Nhận xét: Trong câu a), lựa chọn cách để thực sử dụng cách gặp bất lợi phải giải bất phương trình x x Tuy nhiên, khắc phục vấn đề việc “Không giải điều kiện mà tiếp tục thực sau thử lại”, cụ thể: Với điều kiện: (*) x2 x Khi đó, phương trình biến đổi: x x2 x x x2 x x2 x 1 x 2 x x x x 1 ( x 1) x 2x 1 Thử lại: Với x ta x x 12 Với x 1 ta x x (1) ln Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1 Trong câu b), lựa chọn cách để thực sử dụng cách gặp bất lợi phải giải bất phương trình x x x x Tuy nhiên, khắc phục vấn đề việc “Không giải điều kiện mà tiếp tục thực sau thử lại” – Đề nghị bạn đọc tự làm Một câu hỏi đặt ‘Với phương trình có dạng đặc biệt chút (thí dụ: x x x ) ngồi việc lựa chọn hai cách giải cịn có phương pháp giải khác không?” – Câu trả lời “Đương nhiên có” Chú ý: Tiếp theo sử dụng ví dụ để minh họa phương pháp giải phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình: x 1 x Giải Nhận xét rằng: x 1 x , x3 x 3, Do đó, để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình cần phải xét ba trường hợp Trường hợp 1: Nếu x (1) Khi đó, phương trình có dạng: ( x 1) ( x 3) 2 x x , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu x (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x 1) ( x 3) , Trường hợp 3: Nếu x (3) Khi đó, phương trình có dạng: ( x 1) ( x 3) x x , thỏa mãn điều kiện (3) Vậy, phương trình có nghiệm x Chú ý: Qua kết phương trình trên, nhận thấy điều rraats thú vị nghiệm phương trình đoạn trục số Ví dụ Giải phương trình: x 1 2 x 1 (1) Giải Điều kiện xác định phương trình x 1 Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Đặt t x 1 , điều kiện t Khi đó, (1) t t 2t t t x 1 x 1 x x 1 x 3 x 4 Vậy, phương trình có nghiệm x x 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được: VT x 1 x 1 3 VP x 1 x 1 Vậy phương trình tương đương với: x 1 x 1 x ( x 1) x 1 x 3 x 4 Vậy, phương trình có nghiệm x x 4 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1:Rút gọn biểu thức sau: a) A 3 x x 0; b) B 3x x x x 2; c) C x x Bài 2: Giải phương trình: f (x ) a Phương pháp: f (x ) a (a 0) f (x ) a a) x b) 8x c) x 3 d) 4x Bài 3: Giải phương trình sau: f (x ) g (x ) Phương pháp: f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) a) x x ; b) x x 0; c) x x x 0; d) Bài 4: Giải phương trình: g(x ) Phương pháp: f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) a) 2x x b) 3x x c) x x d) x x e) x 3x x 3x f) x x Bài 5: Giải phương trình: Dạng tốn nâng cao a) x b) x c) x x d) x x 3x e) x x x x 3x f) x x x Tự luyện: Bài 6: Giải phương trình: a) x b) 3x c) 3x 1 Bài 7: Giải phương trình: a) 3x x ; b) x x 0; c) x x x 0; d) d) 4x x 2x Bài 8: Giải phương trình sau: a) x 5 x 9; b) x x x; c) x x x; d) x2 x x x 1 Bài 9: Giải phương trình sau: a) x x 2x b) x x 3x c) x x d) x 2x x 2x Bài 10: Giải phương trình sau: a) | x 1| 2 | x | 2 b) | x | | x 1| x c) | x | | x 1| 3 a) S {3;1} ; b) S 2; ; c) S 2; 15 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: a) Vì x nên | x | 5 x Từ tìm A 5x b) Vì x nên | x | x Mặt khác, ta có | 3 x |2 x nên tìm B x x c) Với x , ta có C 3x 10 Với x < 7, ta có C x x Bài 2: a) x x 2 x x Vậy tập nghiệm phương trình S 3;7 x 8x Vậy tập nghiệm phương trình S ; c) Vì giá b) 8x x 8x 2 8 8 trị tuyệt đối lớn nên suy phương trình vơ nghiệm d) 4x 4x x 3 3 Vậy tập nghiệm phương trình S Bài 3: HD: a) Trường hợp Xét 5x 6x Tìm x Trường hợp Xét 5x 6x Tìm x 11 Vậy x 1; 11 3 1 b) Đưa PT dạng | x || x 1| Giải x ; 10 x x Giải hai BPT c) Nhận xét: Vì x x | x 1| nên PT tương đương với | x 1| ta x 1 9 d) Tương tự ý a), tìm x ; 11 13 x x Bài 4: a) 2x x 2x x x x x x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 3 x x x 1 x x 3 b) 3x x 3x x x 3x 1 x x x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S ; 2 4 x x c) x x x x x x 2 x 4 x 3 4 7 Vậy tập nghiệm phương trình S 2 x x 3 7 x d) x x x x x x x x x Vậy tập nghiệm phương trình S 2 x 3x x 3x x 3x e) x 3x x 3x x 3x x 3x x 3x x 3x 0(*) x 3x 2x 6x x x 2x 1 x 1 L x x (t.m (*)) Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 2 x x f) x x x x 3x 3 x x 3 30 x 3 x 3 30 Vậy tập nghiệm phương trình x x 3 x 1 x 3 1 Bài 5: a) x x 2 x 3 Vậy tập nghiệm phương trình S 2; 4 x x L x 1 x x 1 b) x x 5 x 1 x 4 x x L x 6 x 7 Vậy tập nghiệm phương trình S 7;5 c) x x (1) Giá trị x để biểu thức dấu 1;2 Ta có bảng sau: x x 1 x 2x 2x x 1 x 1 2x 2 x Ta có: x 1 x x x (thỏa mãn) x 1 x x (vơ lí) suy phương trình vơ nghiệm x 1 x x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S 0; 3 d) x x 3x 3; Các giá trị x để biểu thức dấu Ta có bảng sau: 3 x x 3 x x 5 x 5 x 3 x Ta có: x 3 1 x x 3x x ( không thỏa mãn) 3 x 1 x x 3x x (thỏa mãn) x 1 x x 3x x 1 ( không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S 1 e) x x x (1) Các giá trị x để biểu thức dấu 1;2; x 3 x 5 Ta có bảng sau: x 1 x 1 x x2 x x 3 x 1 x x x Ta có: x x x 2 x 3 1 x 1 x x2 x2 x x 3 x ( không thỏa mãn) 2 x 1 1 x x 2 x 3 x 1 1 x x 2 x 3 x 1 1 x x x 13 ( không thỏa mãn) x x ( thỏa mãn) 2 x (thỏa mãn) 2 5 Vậy tập nghiệm phương trình S ; 2 f) x x x (1) Các giá trị x để biểu thức dấu là: 0;1;2 Ta có bảng sau: x x x x 1 x x2 x x x x 2 x x x 1 x x 1 Với x 1 x x 1 x 2 x (không thỏa mãn) Với x 1 x x 1 x 2 x (thỏa mãn) Với x 1 x x 1 x 2 x (thỏa mãn) Với x 1 x x 1 x 2 x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S 0;1; 4 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== x2 ... phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình: x 1 x Giải Nhận xét rằng: x 1 x , x3 x 3, Do đó, để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình. .. phương trình có dạng: ( x 1) ( x 3) x x , thỏa mãn điều kiện (3) Vậy, phương trình có nghiệm x Chú ý: Qua kết phương trình trên, nhận thấy điều rraats thú vị nghiệm phương trình. .. trình có hai nghiệm x x 2 c Viết lại phương trình dạng: 3x x Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 3 x x 3x 3 x x Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x phương trình