Chuyên đề Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Microsoft Word S8 C4 CD6 PH¯�NG TRÌNH CHèA D¤U GIÁ TRÊ TUYÆT ÐI doc PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A BÀI GIẢNG 1 NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Với số a, ta có nÕu 0 nÕu 0 a a a a a    [.]

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A BÀI GIẢNG NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Với số a, ta có: a nÕu a  a  a nÕu a  Tương tự vậy, với đa thức ta có:  f ( x ) nÕu f ( x )  f (x)    f ( x ) nÕu f ( x )  Ví dụ Rút gọn biểu thức: a C  3 x  x  x  b D   x  x  x  Giải a Với x  3x  nên ta nhận được: C  3 x  x   x  b Với x  x   nên ta nhận được: D   x  x   11  x GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trong phạm vi kiến thức lớp quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phương trình: f ( x)  k , với k số khơng âm Dạng 2: Phương trình: f ( x)  g ( x ) Dạng 3: Phương trình: f ( x)  g ( x ) Ví dụ Giải phương trình: a x   x  b 5 x  x  21 Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x  x  5 x5     x  x  5 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  5 phương trình có dạng: x   x   x  x    x   x  , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  5 phương trình có dạng:  x   x   x  x  5   x  6  x   , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình có nghiệm x  Cách 2: Với điều kiện: 3x    x   Khi đó, phương trình biến đổi: x   x   3x  2 x    x   (3 x  1)   x  6   x   (lo¹i)    Vậy, phương trình có nghiệm x  b Viết lại phương trình dạng: x  x  21 Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 5x x  5x    5 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x  x  21  x  21  x  , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng: 5 x  x  21  x  21  x  3 , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình có nghiệm x  x  3 Cách 2: Với điều kiện: x  21   x   21 (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 5 x  x  21 3 x  21 x  5 x  (2 x  21)   x  21   x  3 , thỏa mãn (*)    Vậy, phương trình có nghiệm x  x  3 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng tốn 1: PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: a A  x   x hai trường hợp x  x  b B  4 x  x  12 hai trường hợp x  x  c C  x   x  12 x  d D  3x   x  Giải a Ta có: 5 x x  5x    5 x x  Do đó: 3 x   x x  8 x  x  A  3 x   x x   2 x  x  b Ta có:  4 x x  4 x    x x  Do đó:  4 x  x  12 x   6 x  12 x   B  x  x  12 x   x  12 x  c Ta có: x   x  x  Do đó: C  x   x  12   x  d Ta có:  x  x  5 x5     x  x  5 Do đó: 3 x   x  x  5  x  x  5  D 3 x   x  x  5  x  x  5 Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: a A  x   x  x  b B  x    x  x  x  Giải a Với giả thiết x  , ta suy ra: x2 0 x2  x2 Do đó, A viết lại: A  x   3x   x  b Với giả thiết x  , ta suy ra: x3  0 x3  x3  x    x  (3  x) Do đó, B viết lại: B  x   (3  x )  x   x    x  x   x  Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: C  x 1  x   Hướng dẫn: Tạo khoảng chia tương ứng để xét dấu Giải Nhận xét rằng: x 1   x  x    x  2 Do đó, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối C ta cần xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  2 , ta được: C  ( x  1)  2( x  2)   3 x Trường hợp 2: Nếu 2  x  , ta được: C  ( x  1)  2( x  2)   x  Trường hợp 3: Nếu x  , ta được: C  ( x  1)  2( x  2)   x  Dạng toán 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x)  k , với k số không âm Phương pháp Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Khi đó:  f ( x)  k => nghiệm x f ( x)  k    f ( x)  k Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình: Chú ý: Hệ bước có nhờ kiến thức giải phương trình tích (chương III), cụ thể: f ( x)  k  f ( x)  k   f ( x)  k  f ( x )  k   Ví dụ Giải phương trình x   Giải Biến đổi tương đương phương trình: 2 x   2x   x    2x      x   1  x  1  x  Vậy, phương trình có hai nghiệm x  x  Ví dụ Giải phương trình: x2  x2 Giải Điều kiện xác định phương trình x  Ta lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi tương đương phương trình: x2 x  1 x   x  x2 1    x0 x2  x   1  x   ( x  2)  x  Vậy, phương trình có nghiệm x  Cách 2: Biến đổi tương đương phương trình: x   x  x2 1 x   x     x0 x2  x   ( x  2) Vậy, phương trình có nghiệm x  Dạng tốn 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x)  g ( x ) Phương pháp Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Khi đó:  f ( x)  g ( x ) => nghiệm x f ( x)  g ( x )    f ( x)   g ( x ) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a x   x  b x2  x   x 0 x 1 Giải a Biến đổi tương đương phương trình: 2 x   x   x  x  3   x  6   2x   x     x   ( x  3) 2x  x   x  Vậy, phương trình có hai nghiệm x  6 x  b Điều kiện xác định phương trình x  Biến đổi tương đương phương trình:  x2  x  x   x  x   x ( x  1) x2  x   x  x   x 1 x x2  x  x    x( x  1)  x    x 2x    x 1 2x  2 v« nghiƯm Vậy, phương trình có hai nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình: x  3m  x  , với m tham số Giải Biến đổi tương đương phương trình:  x  3m  x  x  3m  x     x  3m  ( x  6)  x  x   3m  x   3m    x  x  6  3m x  m  Vậy, phương trình có hai nghiệm x   3m x  m  Dạng toán 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f ( x)  g ( x ) Phương pháp Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) Bước 2: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu f ( x)  (1) Phương trình có dạng: f ( x)  g ( x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu f ( x)  (2) Phương trình có dạng:  f ( x)  g ( x) => nghiệm x kiểm tra điều kiện (2) Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình Cách 2: Thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) g(x) xác định (nếu cần) g ( x )  Bước 2: Khi đó:  f ( x)  g ( x ) => nghiệm x f ( x)  g ( x )    f ( x)   g ( x ) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ Giải phương trình: x   3x  Giải Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x    x  4 (1) Khi đó, phương trình có dạng: x   3x   x   x  , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu x    x  4 (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x  4)  x   x   x  Vậy, phương trình có nghiệm x  , không thỏa mãn (2) Cách 2: Viết lại phương trình dạng: x    3x Với điều kiện: 5  3x   x  Khi đó, phương trình biến đổi:  x   x    3x x    3x     x   (5  x )  x  lo¹i  Vậy, phương trình có nghiệm x  Chú ý: Qua ví dụ trên, thấy “Cả hai cách giải trình bày có độ phức tạp nhau” Chính vậy, đặt câu hỏi “Trong trường hợp cách tỏ hiệu cách ngược lại?” – Câu trả lời nhận ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: a x  x  b x  x  12 c 3 x  x  d 5 x  16  x Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x x  2x    2 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x  x   x  6 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng: 2 x  x   3x   x  , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình vơ nghiệm Cách 2: Với điều kiện: x60  x  (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 2 x  x   x  6  x  6  x  ( x  6)  3 x    x  , khơng thỏa mãn (*)    Vậy, phương trình vơ nghiệm b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x x  4x    4 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x  x  12  x  , (thỏa mãn) Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng: 4 x  x  12  x  2 , (thỏa mãn) Vậy, phương trình có hai nghiệm x  x  2 Cách 2: Với điều kiện: x  12   x  6 (*) Khi đó, phương trình biến đổi:  x  x  12  x  12 x   x  (2 x  12)   x  12   x  2 , thỏa mãn (*)    Vậy, phương trình có hai nghiệm x  x  2 c Viết lại phương trình dạng: 3x  x  Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 3 x x  3x    3 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x  x   x  8  x  4 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng: 3 x  x   x   x  , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình vơ nghiệm Cách 2: Với điều kiện: (*) x8   x  Khi đó, phương trình biến đổi: 3 x  x   x  8  x  4 3 x  ( x  8)   x    x  , không thỏa mãn (*)    Vậy, phương trình vơ nghiệm d Viết lại phương trình dạng: x  x  16 Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 5 x x  5x    5 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x  3x  16  x  16  x  , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng: 5 x  x  16  x  16  x  2 , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có hai nghiệm x  x  2 Cách 2: Với điều kiện: x  16   x   16 (*) Khi đó, phương trình biến đổi: 5 x  x  16  x  16 x  5 x  (3 x  16)  8 x  16   x  2 , thỏa mãn (*)    Vậy, phương có hai nghiệm x  x  2 Ví dụ Giải phươn g trình sau: a x   x  b x   x  c x   3x  d x   3x  Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x  x  x7     x  x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x   x   x  10 , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng:  x   x   3x   x  Vậy, phương có nghiệm x  , thỏa mãn điều kiện Cách 2: Với điều kiện: 2x    x   (*) Khi đó, phương trình biến đổi:  x  10 lo¹i x   2x   x  10   x   (2 x  3)  3 x    x    Vậy, phương có nghiệm x  b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x  x  4 x4     x  x  4 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  4 phương trình có dạng: x   x   x  , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  4 phương trình có dạng:  x   x   3x   x  , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x  Cách 2: Với điều kiện: 2x    x  (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x  x   2x  x      x   (2 x  5) 3 x   x  (lo¹i)    Vậy, phương có nghiệm x  c Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x  x  3 x3     x  x  3 Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  3 phương trình có dạng: x   x   x   x  , thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  3 phương trình có dạng:  x   x   x  2  x   , không thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x  Cách 2: Với điều kiện: 3x    x  (*) Khi đó, phương trình biến đổi: x   x   3x  2 x    x   (3 x  1)   x  2   x   (lo¹i)    Vậy, phương có nghiệm x  d Viết lại phương trình dạng: x    3x Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có:  x  x  x4     x  x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình có dạng: x    3x  x   x  , không thỏa mãn điều kiện Trường hợp 2: Nếu x  phương trình có dạng:  x    3x  x   x  , thỏa mãn điều kiện Vậy, phương có nghiệm x  Cách 2: Với điều kiện:  3x   x  (*) Khi đó, phương trình biến đổi:  x  (lo¹i)      x 3x 4x   x   (5  3x)   2x      x   Vậy, phương có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình: a x   x  x b x  x   x Giải a Xét hai trường hợp: (1) Trường hợp 1: Nếu x    x  1 Khi đó, phương trình có dạng: x   x2  x  x2   x  1 , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu x    x  1 (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x  1)  x  x  x  x    ( x  1)2   x  1 , khơng thỏa mãn điều kiện (2) Vậy, phương trình có hai nghiệm x  1 b Viết lại phương trình dạng: x2  x  x  Với điều kiện: 2x    x  (*) Khi đó, phương trình biến đổi:  x2  x  2x   x2  x   x2  x  2x      x  x  (2 x  4) x  (x  2)2  x     x  2 kh«ng tháa m·n(*)  x  2 Vậy, phương trình có nghiệm x  Nhận xét: Trong câu a), lựa chọn cách để thực sử dụng cách gặp bất lợi phải giải bất phương trình x  x  Tuy nhiên, khắc phục vấn đề việc “Không giải điều kiện mà tiếp tục thực sau thử lại”, cụ thể: Với điều kiện: (*) x2  x  Khi đó, phương trình biến đổi: x   x2  x  x   x2  x  x2   x  1 x       2  x     x  x   x  1  ( x  1)   x  2x 1  Thử lại:  Với x  ta x  x  12     Với x  1 ta x  x  (1)    ln Vậy, phương trình có hai nghiệm x  1 Trong câu b), lựa chọn cách để thực sử dụng cách gặp bất lợi phải giải bất phương trình x  x  x  x  Tuy nhiên, khắc phục vấn đề việc “Không giải điều kiện mà tiếp tục thực sau thử lại” – Đề nghị bạn đọc tự làm Một câu hỏi đặt ‘Với phương trình có dạng đặc biệt chút (thí dụ: x   x  x  ) ngồi việc lựa chọn hai cách giải cịn có phương pháp giải khác không?” – Câu trả lời “Đương nhiên có” Chú ý: Tiếp theo sử dụng ví dụ để minh họa phương pháp giải phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình: x 1  x   Giải Nhận xét rằng: x 1   x  , x3  x  3, Do đó, để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình cần phải xét ba trường hợp Trường hợp 1: Nếu x  (1) Khi đó, phương trình có dạng: ( x  1)  ( x  3)   2 x    x  , thỏa mãn điều kiện (1) Trường hợp 2: Nếu  x  (2) Khi đó, phương trình có dạng: ( x  1)  ( x  3)    , Trường hợp 3: Nếu x  (3) Khi đó, phương trình có dạng: ( x  1)  ( x  3)   x    x  , thỏa mãn điều kiện (3) Vậy, phương trình có nghiệm  x  Chú ý: Qua kết phương trình trên, nhận thấy điều rraats thú vị nghiệm phương trình đoạn trục số Ví dụ Giải phương trình: x 1  2 x 1 (1) Giải Điều kiện xác định phương trình x  1 Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Đặt t  x 1 , điều kiện t  Khi đó, (1)   t   t  2t    t  t  x 1 x 1  x    x 1      x   3  x  4 Vậy, phương trình có nghiệm x  x  4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được: VT  x 1 x 1 3     VP x 1 x 1 Vậy phương trình tương đương với: x 1 x 1  x     ( x  1)    x 1  x   3  x  4 Vậy, phương trình có nghiệm x  x  4 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1:Rút gọn biểu thức sau: a) A  3   x x  0; b) B  3x  x  x  x  2; c) C  x   x  Bài 2: Giải phương trình:  f (x )  a Phương pháp: f (x )  a (a  0)    f (x )  a a) x   b) 8x   c) x   3 d) 4x   Bài 3: Giải phương trình sau:  f (x )  g (x ) Phương pháp: f (x )  g(x )    f (x )  g(x ) a)  x   x ; b) x   x   0; c) x  x   x   0; d) Bài 4: Giải phương trình:  g(x )    Phương pháp: f (x )  g(x )    f (x )  g(x )    f (x )  g(x )  a) 2x   x b) 3x    x c) x    x d) x    x e) x  3x    x  3x  f) x   x  Bài 5: Giải phương trình: Dạng tốn nâng cao a) x    b) x    c) x    x  d) x   x   3x  e)  x  x   x   x   3x  f) x  x   x   Tự luyện: Bài 6: Giải phương trình: a) x   b) 3x   c)  3x  1 Bài 7: Giải phương trình: a)  3x   x ; b)  x  x   0; c) x  x   x   0; d) d)  4x  x   2x  Bài 8: Giải phương trình sau: a) x   5 x  9; b) x   x  x; c) x  x   x; d) x2  x   x  x 1 Bài 9: Giải phương trình sau: a) x   x   2x   b) x   x   3x c) x   x   d) x  2x   x  2x   Bài 10: Giải phương trình sau: a) | x  1| 2 | x | 2 b) | x  |  | x  1|  x   c) | x  | | x  1| 3 a) S  {3;1} ; b) S      2;   ; c) S    2; 15  LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: a) Vì x  nên | x | 5 x Từ tìm A   5x b) Vì x  nên | x  | x  Mặt khác, ta có | 3 x |2  x nên tìm B  x  x  c) Với x  , ta có C  3x  10 Với x < 7, ta có C  x  x   Bài 2: a) x      x   2 x   x   Vậy tập nghiệm phương trình S  3;7  x   8x      Vậy tập nghiệm phương trình S   ;  c) Vì giá b) 8x       x   8x   2 8 8      trị tuyệt đối lớn nên suy phương trình vơ nghiệm d) 4x    4x    x    3   3 Vậy tập nghiệm phương trình S          Bài 3: HD: a) Trường hợp Xét  5x   6x Tìm x  Trường hợp Xét  5x  6x  Tìm x  11    Vậy x   1;    11  3 1 b) Đưa PT dạng | x  || x  1| Giải x   ;    10   x  x   Giải hai BPT c) Nhận xét: Vì x  x   | x  1| nên PT tương đương với  | x  1| ta x  1  9  d) Tương tự ý a), tìm x   ;   11 13    x  x      Bài 4: a) 2x   x  2x   x  x        x x  x 1     Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 3 x   x   x    1  x  x  3    b) 3x    x  3x    x  x        3x   1  x  x   x    1    Vậy tập nghiệm phương trình S   ;   2      4  x  x    c) x    x  x    x  x  x    2  x   4  x 3  4     7  Vậy tập nghiệm phương trình S    2 x    x  3     7   x  d) x    x  x   x   x   x        x   x   x    Vậy tập nghiệm phương trình S  2  x  3x    x  3x   x  3x  e) x  3x   x  3x       x  3x   x  3x     x  3x   x  3x   0(*) x  3x       2x  6x      x    x  2x  1     x 1   L     x   x  (t.m (*))  Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 2  x   x f) x   x   x    x  3x  3    x     x   3  30 x    3  x  3 30 Vậy tập nghiệm phương trình x  x  3  x  1   x 3 1 Bài 5: a) x        x    2  x   3 Vậy tập nghiệm phương trình S  2; 4 x   x     L   x   1  x   x  1  b) x        x    5  x 1   x   4  x   x      L  x   6 x  7 Vậy tập nghiệm phương trình S  7;5 c) x    x  (1) Giá trị x để biểu thức dấu 1;2 Ta có bảng sau: x x 1 x  2x 2x x 1 x 1 2x 2  x Ta có: x   1  x    x   x  (thỏa mãn)  x   1  x    x    (vơ lí) suy phương trình vơ nghiệm x   1  x    x   x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  0; 3 d) x   x   3x   3; Các giá trị x để biểu thức dấu Ta có bảng sau: 3 x x 3 x  x 5 x  5 x 3 x  Ta có: x  3  1  x   x   3x   x  ( không thỏa mãn) 3  x   1  x   x   3x   x  (thỏa mãn) x   1  x   x   3x   x  1 ( không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  1 e)  x  x   x   (1) Các giá trị x để biểu thức dấu 1;2; x 3 x 5 Ta có bảng sau: x 1 x 1 x x2 x  x 3 x  1  x x  x  Ta có: x    x  x  2  x  3  1  x 1  x x2 x2 x  x 3  x  ( không thỏa mãn) 2  x   1  1  x  x  2  x  3   x   1  1  x  x  2  x  3  x   1  1  x  x   x   13 ( không thỏa mãn) x  x  ( thỏa mãn) 2  x  (thỏa mãn) 2  5   Vậy tập nghiệm phương trình S   ;   2     f) x  x   x   (1) Các giá trị x để biểu thức dấu là: 0;1;2 Ta có bảng sau: x x x x 1 x  x2 x  x x  x  2 x x x 1 x  x 1 Với x   1  x  x  1  x  2   x  (không thỏa mãn) Với  x   1  x  x  1  x  2   x  (thỏa mãn) Với  x   1  x  x  1  x  2   x  (thỏa mãn) Với x   1  x  x  1  x  2   x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  0;1; 4 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== x2 ... phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình: x 1  x   Giải Nhận xét rằng: x 1   x  , x3  x  3, Do đó, để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình. .. phương trình có dạng: ( x  1)  ( x  3)   x    x  , thỏa mãn điều kiện (3) Vậy, phương trình có nghiệm  x  Chú ý: Qua kết phương trình trên, nhận thấy điều rraats thú vị nghiệm phương trình. .. trình có hai nghiệm x  x  2 c Viết lại phương trình dạng: 3x  x  Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: 3 x x  3x    3 x x  Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x  phương trình