Chuyên đề nâng cao các bài toán về Phân số - Toán lớp 6

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHỦ ĐỀ ĐOẠN THẲNG, GÓC Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com PHẦN: HÌNH HỌC Chương I ĐOẠN THẲNG § Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng Kiến thức bản: Vị trí điểm đường thẳng (h.1) B - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A ∈ a - Điểm B khơng thuộc đường thẳng a , kí hiệu B∉a a A Ba điểm thẳng hàng chúng có thuộc đường thẳng Ba điểm khơng thẳng hàng chúng Hình khơng thuộc đường thẳng A Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm M D điểm nằm hai điểm lại Trong hình 2, Hình điểm M nằm hai điểm A B Nâng cao Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiểu ( 4, 5, ) điểm thẳng hàng Thí dụ 1: Trên đường thẳng a lấy điểm A , B , C , D theo thứ tự Lấy điểm M ∉ a Hãy gọi tên: a) Tất điểm không thẳng hàng; M b) Tất điểm thẳng hàng; c) Tất điểm nằm điểm khác Giải (h.3) a) Các ba điểm không thẳng hàng là: ( M , A, B ) ; ( M , A, C ) ; ( M , A, D ) ; a A B C D Hình ( M , B, C ) ; ( M , B, D ) ; ( M , C , D ) b) Các ba điểm thẳng hàng là: ( A, B, C ) ; ( A, B, D ) ; ( A, C , D ) ; ( B, C , D ) c) B nằm A C ; B nằm A D ; C nằm A D ; C nằm B D Nhận xét: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -1- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN Website: tailieumontoan.com Có điểm thẳng hàng có nhiêu trường hợp điểm nằm hai điểm khác Thí dụ 2: Vẽ điểm M , N , P , Q thẳng hàng cho đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: M không nằm N P (1) N không nằm M P (2) P không nằm N Q (3) M Q không nằm N P (4) Bằng lập luận chứng tỏ rằng: N P Q Hình a) Điểm P nằm M N b) Điểm N nằm P Q Giải: (h.4) a) Xét điểm thẳng hàng M , N , P thì: M khơng nằm N P (1) N không nằm M P (2) P nằm M N b) P không nằm N Q (3) Q không nằm N P (4) N nằm P Q BÀI TẬP Trong hình có hai đường thẳng m n ba điểm chưa đặt tên Hãy điền chữ A , B , C vào vị trí biết: a) Điểm A khơng thuộc đường thẳng m không thuộc đường thẳng n; m b) Điểm B không thuộc đường thẳng m ; c) điểm C không thuộc đường thẳng n Vẽ đường thẳng p điểm A , B p n a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với điểm A , B ; Hình b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với điểm A , B Hãy vẽ điểm C , D , E , F , G không thẳng hàng ba điểm C , D , E , thằng; ba điểm E , F , G thẳng hàng Vẽ theo cách diễn đạt sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -2- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com a) Điểm I nằm hai điểm A B ; điểm B nằm I K ; b) Hai điểm O , P khơng nằm phía Q ; hai điểm O R nằm khác phía Q P không nằm O R Cho ba điểm A , B , C ; điểm A , B không nằm hai điểm lại Hãy nêu điều kiện để: a) C nằm A B ; b) C không nằm A B Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất Mặt Trời chiếu sáng tới Trái Đất Mặt Trăng Khi ba thiên thể thẳng hàng xảy nhật thực nguyệt thực (là tượng mặt trời mặt trăng sáng nhiên bị che lấp tối đi) Hỏi: a) Khi xảy nhật thực Mặt Trăng vị trí nào? b) Khi xảy nguyệt thực Trái Đất vị trí nào? Xem hình cho biết: Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác? Theo hình 6, ta trồng thành hàng, hàng Hãy vẽ sơ đồ trồng câu thành: a) hàng, hàng cây; A B M F E O D C N b) 10 hàng, hàng Hình § Đường thẳng qua hai điểm Kiến thức bản: Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B (h.7) Ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng chữ in thường, ví dụ a - Dùng hai chữ in thường, ví dụ xy A B Hình - Dùng hai chữ in hoa, ví dụ AB Vị trí hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song Ví dụ hai đường thẳng a , b hình Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -3- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN Website: tailieumontoan.com - Hoặc có điểm chung (gọi hai đường thẳng cắt nhau) Ví dụ hai đường thẳng m n hình m b O a n Hình Hình Nâng cao: Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có điểm chung Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm hai đường thẳng chứng minh đường thẳng cịn lại qua giao điểm Thí dụ 3: Cho trước 12 điểm khơng có điểm thẳng hàng, Vẽ đường thẳng qua cặp điểm a) Hỏi vẽ đường thẳng? b) Nếu thay 12 điểm n điểm ( n ∈  ; n ≥ ) vẽ đường thẳng? Giải: a) Chọn số 12 điểm cho nối điểm với 11 điểm lại ta 11 đường thẳng Làm với tất 12 điểm ta 11.12 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần (vì đường thẳng AB với đường 11.12 = 66 (đường thẳng) thẳng BA một) thực có b) Cũng lập luận trên, với n điểm số đường thẳng vẽ n ( n − 1) Nhận xét: - Với n số điểm cho trước cơng thức n ( n − 1) giúp ta tính số đường thẳng qua tất cặp điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -4- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com - Ngược lại, với n số đường thẳng cho trước (đôi cắt khơng có ba n ( n − 1) đường thẳng đồng quy) cơng thức giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng Thí dụ 4: Cho điểm A , B , C , D ba điểm A , B , C , thẳng hàng, ba điểm B , C , D thẳng hàng Chứng tỏ điểm A , B , C , D thẳng hàng Giải: Ba điểm A , B , C , thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Ba điểm B , C , D thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Hai đường thẳng có hai điểm chung B C nên chúng phải trùng nhau, suy điểm A , B , C , D thẳng hàng BÀI TẬP Cho trước hai điểm A B a) Hãy vẽ đường thẳng m qua A B b) Hãy vẽ đường thẳng n qua A không qua B c) Hãy vẽ đường thẳng p khơng có điểm chung với đường thẳng m 10 Cho trước điểm A , B , C , D khơng có ba điểm thẳng hàng Tìm M cho ba điểm M , A , B thẳng hàng; ba điểm M , C , D thẳng hàng 11 Cho trước điểm Vẽ đường thẳng qua cặp điểm a) Nếu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng? b) Nếu điểm có điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng? 12 Giải bóng đá vơ địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vịng trịn hai lượt Tính tổng số trận đấu 13 Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Biết tổng số đường thẳng vẽ 36 Tính số điểm cho trước 14 Có số đường (thẳng), chúng cắt đơi khơng có ba đường đồng quy Các đường cắt tạo thành 300 ngã tư Hỏi có tất đường? 15 Cho 11 đường thẳng đôi cắt a) Nếu số khơng có ba đường thẳng đồng quy có tất giao điểm chúng? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -5- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com b) Nếu 11 đường thẳng có đường thẳng đồng quy có tất giao điểm chúng? 16 Cho ba đường thẳng m , a , b đồng quy O ; ba đường thẳng n , a , b đồng quy a) Chứng minh đường thẳng m , n , a , b đồng quy O b) Vẽ thêm hai đường thẳng c , d không qua O Hỏi đường thẳng m , n , a , b , c , d có nhiều giao điểm? 17 Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Tìm n biết có thêm điểm (khơng thẳng hàng với điểm số n điểm cho) số đường thẳng vẽ tăng thêm § Tia Kiến thức bản: Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối Nhận xét: x Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối y O Hình 10 Trong hình 10, hai tia Ox , Oy đối Điểm M thuộc tia Ox ( M ≠ O ) O M hai tia OM , Ox trùng (h.11) x Hình 11 Nâng cao: Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A , O , B thẳng hàng Nếu hai tia OA , OB đối gốc O nằm A B Ngược lại, Nếu O nằm A B thì: A O B Hình 12 - Hai tia OA , OB đối - Hai tia AO , AB trùng nhau: hai tia BO , BA trùng Thí dụ 5: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -6- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Cho điểm O nằm hai điểm A B ; điểm M nằm hai điểm A O ; điểm N nằm hai điểm B O a) Nêu tên tia trùng gốc O b) Chứng tỏ điểm O nằm hai điểm M , N Giải: (h.13) a) Điểm M nằm hai điểm A O nên hai tia OA , OM trùng (1) Điểm N nằm hai điểm B O nên hai tia OB , ON trùng (2) A M b) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA , OB đối (3) O N B Hình 13 Từ (1); (2); (3) suy hai tia OM , ON đối điểm O nằm hai điểm M N Nhận xét: Để chứng minh điểm O nằm hai điểm M N ta dùng phương pháp xét tia gốc O Thí dụ cho ta dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác z BÀI TẬP H 18 Xem hình 14 cho biết: a) Những tia chung gốc O ? b) Hai tia đối nhau? x y O c) Hai tia trùng nhau? 19 Cho đường thẳng xy Lấy điểm O ∉ xy ; điểm A ∈ xy điểm B tia Ay ( B khác A ) Hình 14 a) Kể tên tia đối nhau, tia trùng nhau; b) Kể tên hai tia khơng có điểm chung; c) Gọi M điểm di động xy Xác định vị trí M tia Ot qua M không cắt hai tia Ax , By 20 Vẽ hai đường thẳng mn xy cắt O a) Kể tên tia đối nhau; b) Trên tia Ox lấy điểm P , tia Om lấy điểm E ( P E khác O ) Hãy tìm vị trí Q để điểm O nằm P Q ; tìm vị trí F để hai tia OE , OF trùng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -7- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 21 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Lấy điểm A tia Ox , điểm B tia Oy , điểm M nằm O A Giải thích sao: a) Hai tia OA , OB đối nhau? b) Điểm O nằm hai điểm M B ? 22 Cho điểm A , B , C O Biết hai tia OA , OB đối nhau; hai tia OA, OC trùng a) Giải thích điểm A , B , C , O thẳng hàng b) Nếu điểm A nằm C O điểm A có nằm hai điểm B C khơng? Vì sao? 23 Cho điểm O nằm hai điểm A B ; điểm I nằm hai điểm O B Giải thích sao: a) O nằm A I ? b) I nằm A B ? § Đoạn thẳng Độ dài đường thẳng Cộng độ dài hai đường thẳng Kiến thức bản: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm hai điểm A B (h.15) Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương AB = CD ⇔ AB CD có độ dài; A B AB < CD ⇔ AB ngắn CD ; AB > CD ⇔ AB dài CD Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B (h.16) Hình 15 A M B Hình 16 Nâng cao : Mệnh đề sau tương đương với tính chất : Nếu AM + MB ≠ AB điểm M không nằm A B Cộng liên tiếp (h.17) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -8- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm M B A AB Thì AM + MN + NB = B N M Hình 17 Thí dụ : Cho điểm M nằm hai điểm A B Giải thích AM < AB ; MB < AB Giải : (h.18) Vì điểm M nằm hai điểm A B nên AM + MB = AB Do AM > ; BM > nên AM < AB ; BM < AB B M A Hình 18 Thí dụ : Cho ba điểm M , O , N thẳng hàng Điểm N không nằm hai điểm M O Cho biết MN = 3cm ; ON = 1cm , so sánh OM với ON Giải : (h.19) Nếu điểm M nằm hai điểm O N OM + MN = ON (vơ lí) Vậy điểm M khơng Thay số : OM + = nằm giữa O N O M 3cm N 1cm Hình 19 Điểm N khơng nằm M O (đề bài) Suy điểm O nằm hai điểm M N MN ; MO + = ; MO = (cm) Ta có : MO + ON = Do OM > ON (vì > ) Nhận xét : Trong cách giải ví dụ này, để tìm điểm O nằm hai điểm M N ta dùng phương pháp loại trừ Trong ba điểm M , O , N thẳng hàng có điểm nằm hai diểm khác Điểm N không nằm hai điểm lại (đề bài) Điểm M khơng nằm hai điểm cịn lại (tìm nhờ phương pháp phản chứng) Vậy điểm O phải nằm hai điểm lại BÀI TẬP 24 Cho điểm A , B , C , D , E khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đoạn thẳng, đoạn thẳng ? Kết có thay đổi điểm A , B , C , D , E thẳng hàng ? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -9-