Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà không vận dụng trực tiếp được, ta có thể tạo thêm trung điểm của đoạn thẳng để sử dụng được các tính chất về đường trung bình của tam giác, hình th[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề nâng cao
VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN
I Kiến thức cần nhớ
Khi giải tốn hình học, nhiều khơng thể giải trực tiếp mà phải vẽ thêm hình phụ Việc vẽ thêm hình phụ để tạo "cầu nối" giả thiết kết luận công việc phổ biến Tùy thuộc vào toán, dạng toán mà chọn cách vẽ hình phụ khác Có nhiều cách tạo yếu tố phụ, song vẽ hình phụ dựa vào số định hướng sau :
1 Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà khơng vận dụng trực tiếp được, ta tạo thêm trung điểm đoạn thẳng để sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang hay tính chất đường trung tuyến tam giác, tính chất đường chéo hình bình hành
2. Nếu giả thiết có số đo góc 60 hoặc30, ta vẽ thêm tam giác kẻ đường vng góc để sử dụng tính chất tam giác tam giác nửa
3. Nếu giả thiết có số đo góc 45 hoặc135, ta vẽ thêm tam giác vng cân kẻ đường vng góc hình vng để sử dụng tính chất tam giác vng cân hình vng
4. Nếu giả thiết có nhiều đường vng góc, ta kẻ thêm đường vng góc từ vị trí đặc biệt hình vẽ
Ngồi nhiều dựng thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho nhằm tạo cặp tam giác
II Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD Gọi M N tương ứng trung điểm cạnh AD, BC Chứng minh rẳng MN =1
2 (AB + CD) ABCD hình thang
Giải
Gọi K trung điểm đường chéo BD Ta có : MK // AB MK =
2AB ;
NK // CD NK =
2CD
=> MK + NK =
2 (AB + CD)
=> MK + NK = MN
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy ABCD hình thang
Nhận xét
Yếu tố lấy trung điểm đường chéo kết hợp khéo léo yếu tố giả thiết với
Với kĩ thuật trên, giải tốn sau : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD) Gọi P, Q tương ứng trung điểm đường chéo BD AC
Chứng minh PQ =
2 (CD - AB) ABCD hình thang
Ví dụ 2. Cho ABC có góc A tù Bên góc A vẽ đoạn AD vng góc đoạn thẳng AB, vẽ AE vng góc AC Gọi M trung điểm DE Chứng minh AM ⊥ BC
Giải. Cách
Gọi H giao điểm AM BC Vẽ hình bình hành ADNE
Khi M trung điểm DE nên A, M, N thẳng hàng AE // DN suy DN⊥AC, mặt khác AB⊥ AD, suy ADN = BAC
Mặt khác DN = AE = AC nên BAC = ADN (c.g.c) => DAN = ABC Ta lại có DAN + NAB = BAD = 90°
=> ABC + NAB = 90°
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Trên tia đối tia AE lấy AI = AE ; ID cắt AC K Ta có :
BXC + DAE = BAD + DAC + DAE = 180° =>BAC = DAI, suy BAC = DAI (c.g.c)
=>I = C Mà I + AKI = 90°, suy C + CKD = 90°hay ID⊥BC
Mặt khác dễ có AM đường trung bình EDI nên AM // ID, AM⊥BC
Nhận xét. Bài tốn có yếu tố trung điểm M, song không trực tiếp giái Vì phải vẽ thêm hình hình bình hành tạo thêm trung điểm hai cách
Ví dụ 3 Tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC thoả mãn MAB = 15° , MAC = 30°.Tính số đo góc C
Giải (h.47)
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A dựng tam giác ACE Suy AM đường phân giác góc BAC, nên AM đường cao, suy AM⊥CE
Gọi I giao điểm ÀM BC
BEC có MI đường trung bình nên IM // BE mà IM⊥CE nên BE⊥EC, mặt khác
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Do ACB = ACE + ECB = 105°
Nhận xét. Bài tốn có số đo góc 30 nên tất yếu định hướng tạo thêm tam giác III Bài tập tự luyện
1 Cho hình vng ABCD Gọi M ; N trung điểm AB ; BC Các đường thẳng DN CM cắt I
a) Chứng minh CIN vuông ; b) Chứng minh AI = AD
2. Trong hình vng ABCD lấy điểm O cho OA : OB : OC = : : Tính số đo góc AOB
3 Cho hình vng ABCD điểm P nằm tam giác ABC cho BPC = 135°.Chứng minh :
2 2
2.PB + PC = PA
4 Cho hình thang ABCD có AB // CD, C + D = 900, CD > AB Gọi E, F theo thứ tự trung điểm
cạnh AB, CD Chứng minh : EF = CD - AB
5 Cho tứ giác ABCD Gọi A , B , C , D1 1 1 1lần lượt trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đường thẳng AA , BB , CC , DD1 1 1 1đồng quy
6 Về phía ngồi ABC nhọn, dựng tam giác ABD ACE tương ứng vuông cân B C Gọi I trung điểm DE Chứng minh IBC vuông cân I
7 Cho tứ giác ABCD có C = 50°; D = 70° AD = BC Gọi E ; F trung điểm cạnh AB ; CD Tính số đo góc EFD
8 Cho hình vng ABCD có tâm O, Gọi K, E trung điểm AB, OC Chứng minh KE
⊥DE
9 Cho ABC vuông B Trên tia đối tia BA lấy điểm D thoả mãn AD = 3.AB Đường thẳng vng góc với CD D cắt đường thẳng vng góc với AC A E Chứng minh BDE cân
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -