Đang tải... (xem toàn văn)
Xét tam giác DCH vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên MH = MC tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.[r]
(1)Đề thi chuyên đề nâng cao Môn Toán năm học 2013-2014 ( Thời gian 120 phút) Giáo viên đề: Lê Thị Lợi 3 , 75 −0,6+ + 13 Đề bài: Bài 1: (2 điểm) a) Thực phép tính a) A= 11 11 , 75− 2,2+ + 13 1 1 b M = 1+ (1+2)+ (1+2+3)+ (1+2+3+ 4)+ + 16 (1+2+3+ +16) Bài 2: ( 3,0 điểm) a)Tìm x biết x 27 x b)Cho đa thức : P(x) = x x Tìm giá trị nhỏ đa thức P(x) c) Cho hai đa thức:P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 và Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) Bài (3điểm): Nhà trường dự định chia viết cho ba lớp 7A,7B và 7C tỷ lệ theo số học sinh là 7: 6: Nhưng sau đó vì có học sinh thuyên chuyển ba lớp nên phải chia lại theo tỷ lệ 6:5:4 Như có lớp đã nhận ít theo dự định là 12 Tính số lớp nhận Bài (8 điểm)Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = AH Gọi E là trung điểm đoạn thẳng HC, F là giao điểm DE và AC a) Chứng minh rằng: Ba điểm H,F và trung điểm M DC thẳng hàng b) Chứng minh HF = DC c) Chứng minh rằng: ME//DH d) Cho ABC 60 ; AB 6cm Tính chu vi tam giác ABC 19 A 2 2 2 2 1 2 3 10 Câu 5: (4 điểm) a)Chứng minh rằng: x y z t b)Chứng minh rằng: M = x+ y + z + x + y +t + y + z+ t + x + z +t có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ) Hết (2) B.ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Bài Bài 1: (2 điểm) a) 3 , 75 −0,6+ + 13 A= 11 11 , 75− 2,2+ + 13 3 3 − + + 13 A= 11 11 11 11 − + + 13 1 1 ( − + + ) 13 A ¿ 1 1 11 ( − + + ) 13 A= 11 3 4 16 17 b) M = 1+ + + + .+ 16 2 17 ¿ + + + + .+ 2 2 ¿ ( 1+ 2+ 3+ +17 −1 ) 17 18 ¿ −1 =76 2 ( ) Điểm 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3,0điểm x 27 x 3 81 x a) x 9 x +) x 9 x 12 +) x x x x x x x x 4 b)Ta có :P(x) = Dấu “ = “ xẩy và ( – 2x)(2x+2) 6 x 0 *) x 0 6 x *) 2 x x 3 x 3 x 1 x ( KTM ) x 1 Vậy GTNN P(x) là x 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Ta có : P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 0,25 (3) Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) thì ⇔ Bài 3 điểm 4m = -1 ⇔ 0,25 0,25 m2 + 2m + = m2 – 2m 1 m= Gọi số ba lớp 7A,7B,7C nhận theo dự định tương ứng là x,y,z và số ba lớp nhận thực tế là a,b,c ( Điều kiện : x,y,z,a,b,c, N* ) x y z xyz 18 Theo đề bài ta có x: y: z = 7: 6: hay a b c a b c 15 a: b: c = 6: 5: hay x y z x yz a b c a b c và 90 36 30 24 90 Suy 35 30 25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do số học sinh thuyên chuyển các lớp nên tổng số học sinh không đổi,kéo theo tổng số không đổi nên x + y+ z = a + b + c và ta có x y z a b c k 35 30 25 36 30 24 0,25 x a Từ dãy tỷ số trên, ta nhận xét 35 36 đó x<a nên số lớp 7A nhận nhiều so với dự định.Tương tự số lớp 7B nhận không đổi và số lớp 7C nhận ít so với dự định z c 12 Suy ra: k = 25 24 Vậy : Lớp 7A nhận số là : a = 12 36 = 432 Lớp 7B nhận số là: b = 12 30 = 360 Lớp 7C nhận số là: c = 12 24 = 288 Đối chiếu với điều kiện x,y,z,a,b,c, N* ta có số lớp 7A, 7B, 7C nhận là : 432; 360 ; 288 ( vở) Bài điểm Hình vẽ 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 (4) C E H F M B A D a) Vì AD= AH; EC= EH ( gt) CA và DE là hai trung tuyến Xét CDH có CA và DE là hai trung tuyến F là trọng tâm CDH b) Mà M là trung điểm CD nên đường trung tuyến HM qua trọng tâm F, hay ba điểm H,F,M thẳng hàng Vì F là trọng tâm CDH ( chứng minh trên) HF HM ( tính chất trọng tâm) 0,5 (1) Mặt khác, vì HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác CD CDH vuông H nên HM = 2 1 HM CD CD 3 Từ (1) và (2) suy HF= ( đpcm) c) d) (2) Xét tam giác DCH vuông H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên MH = MC ( tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) Suy MCH cân M Mặt khác E là trung điểm CH ( gt) ME CH ( tính chất đường cao tam giác cân) Vì C,E,B thẳng hàng nên ME CB ME // DH ( DH CB) ( đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 Vì tam giác ABC vuông A và ABC 60 ( gt) nên tam giác ABC 0,5 là nửa tam giác Suy : BC = AB = = 12cm ( tính chất nửa tam giác đều) 0,5 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta được: CA2 AB CB CA2 144 36 108 cm CA 108 =6 0,5 (5) Vậy chu vi tam giác ABC là : AB+BC+CA = 6+12+ 0,5 =18 + ( cm) Bài 5 19 A 2 2 2 2 2 3 10 a) A= A= 0,5 1 1 1 1 2 2 3 10 0,5 102 0,5 A 1 Vì 10 0,5 A = 1- b) 2 12 32 2 42 32 102 92 12.2 22.32 32.42 92.102 x x x Ta có: x + y + z +t < x+ y+ z < x + y ⇒ y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z x y z t y z t z t t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t x + y + z +t x y z t < M <¿ ( + )+( + ) x + y + z +t x+ y x+ y z +t z +t 1,0 0,5 hay: < M < 0,25 Vì và là hai số tự nhiên liên tiếp nên M có giá trị không phải 0,25 là số tự nhiên Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm điểm (6)