Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân dương và âm, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép toán đã biết về phân [r]
(1)Phần ĐẠI SỐ (2) Chöông I SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC § TẬP HỢP ℚ CÁC SỐ HỮU TỈ A CHUẨN KIẾN THỨC Số hữu tỉ Số hữu tỉ là số viết dạng phân số a với a, b ∈ ℤ , b ≠ b Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số a Để biểu diễn số hữu tỉ với a, b ∈ ℤ , b > 0, ta làm sau : b a) Chia đoạn thẳng đơn vị (đoạn từ điểm đến điểm 1, đoạn từ điểm đến điểm 2, ) thành b phần nhau, lấy đoạn làm đơn vị thì đơn vị baèng ñôn vò cuõ b a biểu diễn điểm M nằm bên phải điểm b và cách điểm đoạn thẳng a đơn vị b) Nếu a > thì số hữu tỉ a biểu diễn điểm N nằm bên trái điểm và b cách điểm đoạn thẳng a đơn vị c) Nếu a < thì số hữu tỉ Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi là điểm x So sánh hai số hữu tỉ • Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có : x = y x < y x > y Chúng ta có thể so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phaân soá roài so saùnh hai phaân soá • Nếu x < y thì trên trục số, điểm x bên trái điểm y • Số hữu tỉ lớn gọi là số hữu tỉ dương ; Số hữu tỉ nhỏ gọi là số hữu tỉ âm ; Số hữu tỉ không là số hữu tỉ dương không là số hữu tỉ âm (3) B LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng HIEÅU YÙ NGHÓA CAÙC KÍ HIEÄU ∈, ∉, ⊂, ℕ , ℤ , ℚ Phöông phaùp giaûi • Dựa vào ý nghĩa các kí hiệu để giải các bài toán đọc kí hiệu, xác định tính đúng sai, điền kí hiệu thích hợp vào ô trống • Chuù yù raèng ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ Caùc ví duï Ví duï Điền dấu (∈, ∉, ⊂) thích hợp vào các ô trống – 2010 ℚ ; ℤ; 2345 ℤ ; – ℚ; 15 185 ℕ ; ℚ; 17 ℕ ℤ ℚ Giaûi – 2010 ∈ 2345 ∈ Ví duï ℚ; ℤ; – ∉ 17 185 ∈ ℤ; ∈ 15 ℕ; ∈ ℚ; ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ℚ; Cách viết nào sau đây đúng ? a) ∈ ℚ; 11 b) d) –2,5 ∈ ℚ ; −511 ∈ ℤ; 522 e) ℤ ⊂ ℚ ; c) 1 ∈ ℚ; f) ℚ ⊂ ℕ Giaûi a) Đúng ; Daïng c) Đúng ; d) Đúng ; e) Đúng BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi • Số hữu tỉ thường biểu diễn dạng phân số tối giản • Để biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta viết số đó dạng phân số tối giản có mẫu dương Mẫu phân số cho ta biết đoạn thẳng đơn vị cần phải chia thaønh bao nhieâu phaàn baèng (4) Caùc ví duï Ví duï Trong các phân số sau, phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? −5 −8 −10 ; ; ; ; 20 −12 25 −15 −15 Giaûi −8 −2 −3 −10 −2 −2 −3 = ; = ; = ; = ; = 20 −12 25 −15 −15 −2 −8 −10 laø : ; ; Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ 20 25 −15 Ta coù : Ví duï Biểu diễn số hữu tỉ −2 treân truïc soá Giaûi −2 −2 = Ta coù : −5 Daïng SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi • Viết các số hữu tỉ dạng phân số có cùng mẫu dương, so sánh các phân số đó • Chuù yù : Neáu x, y, z ∈ ℚ maø x < y vaø y < z thì x < z Caùc ví duï Ví duï So sánh các số hữu tỉ sau : −25 444 a) x = vaø y = ; 35 −777 17 c) x = vaø y = 0,75 20 b) x = –2 110 vaø y = ; −50 Giaûi −25 −5 444 −444 −4 = ,y= = = Vaäy x < y 35 −777 777 −11 110 −110 −11 b) Ta coù : x = –2 = ,y= = = Vaäy x = y 5 −50 50 a) Ta coù : x = (5) c) Ta coù : x = Ví duï 17 15 , y = 0,75 = = Vaäy x > y 20 20 So sánh các số hữu tỉ sau : −7 −3737 −37 vaø ; b) vaø ; a) 2010 19 4141 41 c) 497 −2345 vaø −499 2341 Giaûi −7 >0> 2010 19 497 2345 c) Ta coù : <1< 499 2341 b) Ta coù : a) Ta coù : Daïng TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ x = 3737 −3737 : 101 −37 = = 4141 4141 : 101 41 a LAØ SỐ HỮU TỈ DƯƠNG, ÂM, b Phöông phaùp giaûi a là số hữu tỉ dương và a, b cùng dấu b a • Soá x = là số hữu tỉ âm và a, b khác dấu b a • Soá x = laø soá vaø chæ a = 0, b ≠ b • Soá x = Caùc ví duï Ví duï m − 2009 Với giá trị nào m thì : 2011 a) x laø soá döông b) x laø soá aâm Cho số hữu tỉ x = c) x khoâng laø soá döông, cuõng khoâng laø soá aâm Giaûi a) Do 2011 > 0, neân x laø soá döông : m – 2009 > ⇔ m > 2009 b) Do 2011 ≥ 0, neân x laø soá aâm : m – 2009 < ⇔ m < 2009 c) Do 2011 ≠ 0, neân x khoâng laø soá döông, cuõng khoâng laø soá aâm : x = ⇔ m – 2009 = ⇔ m = 2009 Ví duï 20m + 11 Với giá trị nào m thì : −2010 a) x laø soá döông ? b) x laø soá aâm ? Cho số hữu tỉ x = (6) Giaûi a) Vì –2010 < neân x laø soá döông : 20m + 11 < ⇔ m < – b) Vì –2010 < neân x laø soá aâm : 20m + 11 > ⇔ m > – Daïng TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ SỐ HỮU TỈ x = 11 20 11 20 a LAØ MOÄT SOÁ NGUYEÂN b Phöông phaùp giaûi Số hữu tỉ x = a laø soá nguyeân vaø chæ a chia heát cho b b Caùc ví duï Ví duï Tìm các số nguyên a để số hữu tỉ x = −101 laø moät soá nguyeân a +7 Giaûi x là số nguyên –101 ⋮ (a + 7) , tức là a + là ước –101 Do đó : a + ∈ {1 ; –1 ; 101 ; –101} ⇔ a ∈ {–6 ; –8 ; 94 ; –108} Ví duï Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = 3x − laø moät soá nguyeân x −5 Giaûi t laø soá nguyeân (3x – 8) ⋮ (x – 5) Ta coù 3x – = 3x – 15 + = 3(x – 5) + Do đó (3x – 8) ⋮ (x – 5) ⇔ ⋮ (x – 5) ⇔ x – là ước 7, tức là : x – ∈ {1 ; –1 ; ; –7} ⇔ x ∈ {6 ; ; 12 ; –2} Daïng CHỨNG TỎ MỘT SỐ HỮU TỈ LAØ PHÂN SỐ TỐI GIẢN, TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ HỮU TỈ LAØ MỘT PHÂN SỐ TỐI GIẢN Phöông phaùp giaûi Số hữu tỉ x = a laø phaân soá toái giaûn vaø chæ ÖCLN (a, b) = b Caùc ví duï Ví duï 10 Chứng tỏ số hữu tỉ x = 2m + là phân số tối giản, với m ∈ ℕ 14m + 62 (7) Giaûi Ñaët d = ÖCLN (2m + 9, 14m + 62) (d ∈ ℕ* ) Ta coù 2m + ⋮ d vaø (14m + 62)⋮d , suy 7(2m + 9) ⋮ d vaø (14m + 62) ⋮ d hay (14m + 63) ⋮ d và (14m + 62) ⋮ d Do đó Maø d ∈ ℕ * Neân d = Vaäy x = Ví duï : (14m + 63) – (14m + 62) ⋮ d ⇒ ⋮ d 2m + là phân số tối giản với m ∈ ℕ 14m + 62 Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ y = n −2 laø moät phaân soá toái giaûn 3n + Giaûi Gọi d là ước nguyên tố n – và 3n + Ta có : (3n + 7) – 3(n – 2) ⋮ d ⇒ 13 ⋮ d ⇒ d = 13 Do n – ⋮ 13 neân ñaët n – = 13k (k ∈ ℤ ) ⇔ n = 13k + Vậy n ≠ 13k + (k ∈ ℤ ) thì số hữu tỉ đã cho là phân số tối giản C BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1.1 1.2 1.3 1.4 So sánh các số hữu tỉ sau : −247 −17 −2009 12345 a) vaø b) vaø −249 −18 2008 −12347 89 44444 2413 −409 c) vaø d) vaø 110 55555 −4824 822 a c Cho > (b > 0, d > 0) Chứng minh ad > bc b d a c a a +c c Chứng minh > (b > 0, d > 0) thì > > b d b b +d d Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, g thoả mãn a < b < c < d < e < g Chứng minh : a +b a) < a +b +c +d +e + g 1.5 Cho số hữu tỉ x = a) x laø soá aâm ? b) a +c +e < a +b +c +d +e + g a − 2010 Với giá trị nào a thì : 1963 b) x laø soá döông ? c) x khoâng laø soá döông vaø cuõng khoâng laø soá aâm ? 1.6 Cho a, b ∈ ℤ , b > a) So sánh hai số hữu tỉ a a + 2010 vaø b b + 2010 11 (8) b) So sánh hai số hữu tỉ a a +m vaø với m ∈ ℕ * b b +m 7x − (x ≠ –2) Với giá trị nguyên nào x thì a là số nguyên ? x +2 4m + 1.8 a) Chứng tỏ số hữu tỉ a = là phân số tối giản, với m ∈ ℕ 12m + 22 10n + b) Chứng tỏ số hữu tỉ b = là phân số tối giản, với n ∈ ℕ 15n + 14 n−3 laø moät phaân soá toái giaûn 1.9 a) Tìm các số tự nhiên để số hữu tỉ x = 5n + n −7 b) Tìm các số tự nhiên n để số hữu tỉ y = laø moät phaân soá toái giaûn 11n + x −9 1.10 Cho số hữu tỉ a = 3x + a) Với giá trị nguyên nào x thì a là số nguyên ? 1.7 Cho số hữu tỉ a = b) Tìm các số tự nhiên x để số hữu tỉ a là phân số tối giản 1.11 Tìm số tự nhiên n nhỏ để các phân số sau tối giản ; ; ; ; ; n +2 n +3 n +4 n +5 n +6 n +7 99 b) ; ; ; ; n +4 n +5 n +6 n + 102 a) § CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ A CHUẨN KIẾN THỨC Cộng, trừ hai số hữu tỉ Viết hai số hữu tỉ x, y dạng : a a ,y= (a, b, m ∈ ℤ ; m > 0) m m a b a +b a b a −b x+y= + = x–y= – = m m m m m m x= Quy taéc “chuyeån veá” Khi chuyển số hạng từ vế này sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó Với x, y, z ∈ ℚ thì : x + y = z ⇒ x = z – y Chuù yù Trong ℚ có tổng đại số, đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng cách tùy ý các tổng đại số ℤ 12 (9) B LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng CỘNG, TRỪ HAI SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi Viết hai số hữu tỉ dạng hai phân số có cùng mẫu dương áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số Caùc ví duï Ví duï Tính : −5 −7 a) + 13 13 b) −3 + 14 21 c) 1313 −1011 + 1515 5055 Giaûi −5 −7 −5 + (−7) −12 −3 −9 −9 + −5 + = = b) + = + = = 13 13 13 13 14 21 42 42 42 42 1313 −1011 13 −1 13 −3 13 + (−3) 10 c) = + = + = = = + 1515 5055 15 15 15 15 15 a) Ví duï Tính : a) − 15 10 b) (–5) – c) 2,5 – Giaûi a) 21 − 21 −17 − = − = = 15 10 30 30 30 30 c) 2,5 – Daïng = 10 4 b) (–5) – = 35 7 37 13 VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TỔNG HOẶC HIỆU CỦA HAI SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi Để giải bài toán dạng này, thường : – Viết số hữu tỉ đã cho dạng phân số có mẫu dương – Viết tử phân số này thành tổng hiệu hai số nguyên Từ đó viết số hữu tỉ đã cho dạng tổng hiệu hai số hữu tỉ Caùc ví duï Ví duï −7 dạng sau : 20 a) Tổng hai số hữu tỉ âm b) Hiệu hai số hữu tỉ dương Hãy viết số hữu tỉ 13 (10) Giaûi a) −7 −5 + (−2) −5 −2 −1 −1 = = + = + 20 20 20 20 10 Ví duï Hãy viết số hữu tỉ b) −7 − 8 = = − = − 20 20 20 20 20 −1 dạng tổng hai số hữu tỉ âm Giaûi −1 −4 −3 + (−1) −3 −1 = = = + 20 20 20 20 Ta coù : Daïng TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỔNG HOẶC HIỆU Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc “chuyển vế”, quy tắc cộng, trừ phân số để tìm số chưa biết tổng hiệu Caùc ví duï Ví duï Tìm x, bieát : a) x + −3 = 12 b) x – = −5 c) −3 –x= d) –x + = 15 10 Giaûi −3 −3 −9 −11 = ⇒x= − ⇒x= − ⇒ x= 12 8 12 24 24 24 −5 −5 −5 −5 18 13 b) x – = ⇒x= +2= ⇒x= + ⇒x= 9 9 9 −3 −3 −3 −7 c) –x= ⇒ –x = − ⇒ –x = − ⇒ –x = ⇒x= 15 10 10 10 10 10 10 1 3 d) –x + = ⇒ –x = − ⇒ –x = − ⇒ –x = ⇒x=– 2 10 10 10 10 a) x + Ví duï Tính toång x + y bieát : x – 223 11 = vaø −y = 12 669 88 Giaûi 3 19 223 11 11 223 = ⇒x= + = ; –y= ⇒ –y = − ⇒y= 12 8 12 24 669 88 88 669 24 19 24 Vaäy x + y = + = = 24 24 24 x– 14 (11) Daïng TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phöông phaùp giaûi • • Trường hợp : Không có dấu ngoặc Có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng cách thích hợp, tính Trường hợp : – Cách Tính giá trị biểu thức dấu ngoặc trước – Cách Bỏ dấu ngoặc nhóm các số hạng cách thích hợp Caùc ví duï Ví duï Tính : a) −5 17 41 + + − 12 37 12 37 b) 43 − + − − 101 Giaûi a) 17 41 −5 17 41 + + − = − + + − = + (–1) = 12 37 12 37 12 12 37 37 b) −1 43 −2 43 43 − + − − = + − − = + − − = 101 101 6 101 Ví duï 43 101 5 8 2 Tính : − + – + − + − − 10 7 Giaûi Caùch 5 8 2 − + – + − + − − 10 3 3 7 35 189 42 15 14 24 28 210 42 = − + + − + − − = –2 – = 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 Caùch 5 8 2 − + – + − + − − 10 7 5 = − + – – + + − – 10 7 5 4 8 = (9 – – 10) + + − + − − + = –3 + + = –2 3 3 7 7 15 (12) C BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 2.1 Tìm x, bieát : −5 –x= – 1 −1 = , – y = vaø z – = Tính toång x + y – z bieát : x – Tính : 13 3 a) − + – − − + b) – − + + − + + 19 511 12 511 19 25 191 51 191 51 a) x – 2.2 2.3 2.4 b) Tính : 1 1 1 a) − − − – – – 199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1 b) – 2.5 = − 15 10 2 2 − − – – − 3.5 5.7 7.9 61.63 63.65 11 7 ;− ; Cho x ∈ − ; − ; − , y ∈ ; 20 10 21 a) Tìm giá trị lớn x + y b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa x + y 1 1 + + – = x (x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) x 2010 2.6 Tìm x, bieát : 2.7 Cho 301 số hữu tỉ, đó số bất kì nào có tổng là số hữu tỉ âm a) Chứng minh tổng 301 số đó là số âm b) Có thể khẳng định tất 301 số đó là số âm không ? a) Coù toàn taïi hay khoâng moät daõy goàm baûy soá, cho hai soá lieân tieáp naøo cuõng coù toång laø soá döông, coøn toång cuûa caû baûy soá laïi laø soá aâm ? b) Coù toàn taïi hay khoâng moät daõy goàm chín soá cho ba soá lieân tieáp naøo cuõng coù toång laø soá döông, coøn toång cuûa caû chín soá laïi laø soá aâm ? 2.8 16 (13) § NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A CHUẨN KIẾN THỨC Nhân hai số hữu tỉ a c a c a c Với x = , y = ta coù x.y = = b d b d b.d Chia hai số hữu tỉ a c a c a d a d (y ≠ 0) ta coù x : y = : = = Với x = , y = b d b d b c b.c Chuù yù : a) Pheùp nhaân ℚ coù caùc tính chaát cô baûn nhö pheùp nhaân ℤ : giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối phép nhân phép cộng Mọi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo b) Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số x và y, x hay x : y y kí hieäu laø B LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng NHÂN, CHIA HAI SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi Viết hai số hữu tỉ, dạng hai phân số áp dụng quy tắc nhân, chia phân số Caùc ví duï Ví duï Tính : a) 4,5 1 b) −2 14 Giaûi 4 −4 9.(−4) a) 4,5 − = ⋅ = = –2 9 2.9 Ví duï 1 15 b) −2 = 14 14 11 Tính : a) − :1 15 10 b) 1.5 1.2 −7 : (–3,5) 11 Giaûi 11 a) − :1 15 10 11 10 15 11 b) −7 : (–3,5) 11 11 11 17 (14) Daïng VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TÍCH HOẶC THƯƠNG CỦA HAI SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi Để giải bài toán dạng này, ta thường viết số hữu tỉ đã cho dạng phân số Viết tử và mẫu phân số dạng tích hai số nguyên Từ đó viết số hữu tỉ đã cho dạng tích thương hai số hữu tỉ Caùc ví duï Ví duï −11 các dạng sau : 81 a) Tích hai số hữu tỉ b) Thương hai số hữu tỉ Hãy viết số hữu tỉ Giaûi a) −11 −1 11 = 81 27 Ví duï b) −11 −1 27 = : 81 11 các dạng sau : a) Tích hai số hữu tỉ âm b) Thương hai số hữu tỉ âm Hãy viết số hữu tỉ Giaûi a) Daïng b) −1 −7 = : 4 TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG MỘT TÍCH HOẶC THƯƠNG Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc nhân, chia phân số để tìm số chưa biết tích thương Caùc ví duï Ví duï Tìm x, bieát : 3 a) x − = 21 7 2 15 c) x : − = − 16 28 b) x = 9 d) −4 :x = − Giaûi 3 5 3 −7 −5 a) x − = ⇒x= : − ⇒ x = ⇒ x = 21 21 21 7 18 (15) 28 14 28 28 14 28 b) x = ⇒ x = ⇒x= : ⇒x= ⇒ x = 9 9 9 14 2 15 −15 c) x : − = − ⇒x= − ⇒ x = 5 16 16 d) −4 −4 :x = − ⇒ x = : − ⇒ x = 7 5 Ví duï ⇒x= 10 −3 −13 10 Tính x – y, bieát : x − ,y: = = 13 26 39 Giaûi −3 −3 Ta coù : x − ⇒x=– : − ⇒ x = = 13 26 26 13 26 13 ⇒x= −13 10 10 −13 −2 = ⇒y= ⇒y= 39 39 3 −2 −16 25 Do đó : x – y = − = − = 24 24 24 y: Daïng TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc thực các phép tính, thứ tự thực các phép tính và tính chaát cuûa caùc pheùp tính Caùc ví duï Ví duï Tính : a) −4 −39 −1 – + : − 13 25 42 b) −4 −5 ⋅ : − +1 – 45 15 27 Giaûi a) b) −4 −39 −1 −4 −1 −6 −4 – + : − = + + ⋅ = + + 13 25 42 42 35 −20 21 = + + = 35 35 35 35 : 45 15 – 5 15 −5 −5 = : = – 27 45 27 45 15 27 −5 −5 −5 = − + − = − = − = 3 27 27 27 27 27 19 (16) Ví duï Tính : −5 −5 a) 12 : + : 4 − − 115 6115 b) + 7 7 − − 115 6115 Giaûi −5 −5 −5 : + : = 12 + : = 15 = –21 5 −5 1 4 4 − − − − 115 6115 3 115 6115 b) + = + = + = 7 7 7 1 − − 7 − − 115 6115 115 6115 a) 12 Daïng TÌM SOÁ CHÖA BIEÁT TRONG MOÄT PHEÙP TÍNH Phöông phaùp giaûi Vận dụng quy tắc thực các phép tính, thứ tự thực các phép tính và tính chất các phép tính, từ đó giúp tìm số chưa biết phép tính Caùc ví duï Ví duï Tìm x, bieát : −2 a) x − : = 7 b) −3 : x − = 35 25 Giaûi −2 −2 −2 a) x − : = ⇒x– = ⋅ ⇒x– =− ⇒x = + ⇒x= 7 7 7 7 7 −3 −3 −10 −13 b) : x − = ⇒x– = : ⇒x – = ⇒x = 35 25 35 25 14 Ví duï Tìm x, bieát : a) x– x= 21 b) x +1 x +2 x + + + = –3 1974 1973 1972 Giaûi a) 20 5 x– x= ⇒ x− x = ⇒– x = ⇒x= : − ⇒ x = –5 21 21 21 21 21 21 21 21 (17) b) x +1 x +2 x + x +1 x +2 x +3 + + = –3 ⇒ +1+ +1+ +1 = 1974 1973 1972 1974 1973 1972 x + 1975 x + 1975 x + 1975 ⇒ + + =0 1974 1973 1972 1 ⇒ (x + 1975) + + = ⇒ x = –1975 1974 1973 1972 (Vì 1 + + ≠ 0) 1974 1973 1972 C BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 3.1 3.2 Thực phép tính : 1 1 1 a) − − − − − − 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 23.27 1 1 1 1 1 b) −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 10 1 1 − − – – c) – 5.10 10.15 15.20 95.100 1 1 1 1 d) + + + + + + + : + 1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50 Tìm x, bieát : a) 3.3 3.4 −33 x+ x = 25 2 −3 b) x − + : x = 2 3 x +5 x +6 x +7 + + = −3 2005 2004 2003 1 1 + + + + Chứng minh <A< 1.2 3.4 5.6 99.100 12 Tìm các số hữu tỉ x, y cho : Cho A = a) x – y = 2(x + y) = x : y 3.5 c) b) x + y = xy = x : y Tìm x, bieát : 1 4 a) x − ⋅ x + > 5 7 3.6 3.7 2 b) x + (x + 2) < 3 −19 a) Cho x, y, z ∈ ℚ , thoả mãn : x + y = ;y+z= ; z + x = Tìm x, y, z 12 24 xy 12 yz zx b) Cho x, y, z thoả mãn : = ; = –6 ; = –4 Tìm x, y, z x +y y +z z +x Cho 206 số hữu tỉ đó tích bất kì số nào là số âm Chứng minh raèng : a) Tích 206 số đó là số dương b) Tất 206 số đó là số âm 21 (18) § GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN A CHUẨN KIẾN THỨC Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x, kí hiệu x, xác định sau : x neáu x ≥ x = −x neáu x < Nhaän xeùt : Với x ∈ ℚ luôn có x ≥ 0, x = –x, x ≥ x và x ≥ –x Trên trục số, x là khoảng cách từ điểm biểu diễn x tới gốc O Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân dương và âm, ta có thể viết chúng dạng phân số thập phân làm theo quy tắc các phép toán đã biết phân số • Trong thực hành, cộng, trừ, nhân hai số thập phân ta thường áp dụng quy tắc tìm giá trị tuyệt đối kết quả, đặt dấu “+” “–” trước kết nhận cộng, trừ, nhân hai số nguyên • Khi chia soá thaäp phaân x cho soá thaäp phaân y (y ≠ 0), ta aùp duïng quy taéc : Thương hai số thập phân x và y là thương x và y với dấu “+” đằng trước x và y cùng dấu, và dấu “–” đằng trước x và y khác dấu B LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng TÌM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi Ghi nhớ rằngx = 0, x = ; x = x x > ; x = –x x < Caùc ví duï Ví duï Tính x, bieát : a) x = 13 b) x = −73 161 c) x = –5,8 Giaûi a) x = Ví duï 22 = 13 13 Tính 25 b) x = 25 −73 73 = 161 161 c) x = –5,8 = 5,8 (19) Giaûi 25 Daïng −6 −6 20 12 = + − = + − = 25 25 25 25 25 25 25 TÌM MỘT SỐ KHI BIẾT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA SỐ ĐÓ Phöông phaùp giaûi Lưu ý x = a với x ∈ ℚ : Nếu a = thì x = ; a > thì x = a x = –a ; a < thì x ∈ ∅ Caùc ví duï Ví duï Tính x, bieát : a) x = b) x = c) x = –8,7 Giaûi 4 ⇒x= x = – 7 c) x = –8,7 ⇒ x ∈ ∅ a) x = Ví duï b) x = ⇒ x = Tính x, bieát : a) x b) x + 0,8 – 2,9 = Giaûi 2 −1 13 = ⇒x– = x – = ⇒x= x = 5 20 20 b) x + 0,8 – 2,9 = ⇒ x + 0,8 = 2,9 a) x− ⇒ x + 0,8 = 2,9 x + 0,8 = –2,9 ⇒ x = 2,1 x = –3,7 Daïng TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phöông phaùp giaûi • Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta làm sau : – Chứng minh A ≥ m với m là số – Chæ A = m 23 (20) – Keát luaän giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø m • Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta làm sau : – Chứng minh A ≤ n với n là số – Chæ A = n • – Kết luận giá trị lớn A là n Löu yù raèng : x ≥ Daáu “=” xaûy ⇔ x = –x = x ≥ x Daáu “=” xaûy ⇔ x ≥ Caùc ví duï Ví duï Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau : a) A = x + b) B = x + 2,8 – 6,9 17 Giaûi a) Ta có x ≥ Do đó x + 4 ≥ hay A ≥ Daáu “=” xaûy ⇔ x = 17 17 17 17 b) Ta có x + 2,8 ≥ Do đó x + 2,8 – 6,9 ≥ –6,9 hay B ≥ –6,9 Dấu “=” xảy Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø : x + 2,8 = ⇔ x = –2,8 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa B laø –6,9 Ví duï Tìm giá trị lớn các biểu thức sau : 141 a) A = – x + b) B = 18,9 – x – 2,5 272 319 Giaûi 141 141 141 ≤ hay A ≤ , khoâng 272 272 319 272 8 141 đổi Dấu “=” xảy : x + =0⇔x=– Vậy giá trị lớn A là 319 319 272 b) Ta có : –x – 2,5 ≤ 0, đó 18,9 – x – 2,5 ≤ 18,9 hay B ≤ 18,9 không đổi a) Ta coù : x 319 Do đó : x Dấu “=” xảy x – 2,5 = ⇔ x = 2,5 Vậy giá trị lớn B là 18,9 Ví duï Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau : a) A = x + – x + b) B = x – 2010 + x – 1963 Giaûi 1 27 a) Ta có x + ≥ x + Do đó A ≥ x + –x+ hay A ≥ , không đổi 5 35 24 (21) −1 27 ≥0⇔x≥ Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø 5 35 b) Ta có x – 2010 = 2010 – x ≥ 2010 – x và x – 1963 ≥ x – 1963 Do đó Daáu “=” xaûy : x + B ≥ 2010 − x + x − 1963 hay B ≥ 47, không đổi Dấu “=” xảy : 2010 – x ≥ vaø x – 1963 ≥ ⇔ 2010 ≥ x ≥ 1963 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa B laø 47 SAI LẦM THƯỜNG GẶP : Ta có : x – 2010≥ 0, x – 1963≥ Do đó B ≥ Rồi vội vàng kết luận, giá trị nhỏ B là Sai chỗ, không có giá trị x nào để đồng thời có x – 2010 = và x – 1963 = Daïng CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC SỐ THẬP PHÂN Phöông phaùp giaûi Vận dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân và các tính chất caùc pheùp tính Caùc ví duï Ví duï Tính : a) –8,42 + 5,17 b) 9,2.(–0,3) c) 4,28 – 9,5 d) –15,244 : 3,7 Giaûi a) –8,42 + 5,17 = –3,25 b) 9,2.(–0,3) = –2,76 c) 4,28 – 9,5 = –5,22 d) –15,244 : 3,7 = –4,12 Ví duï Tính cách hợp lí : a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29 b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8) Giaûi a) –28,4.14,71 + (–28,4).85,29 = (–28,4).(14,71 + 85,29) = –28,4.100 = –2840 b) (5,23 + 72,9 – 47,8) – (12,9 + 3,23 – 46,8) = 5,23 + 72,9 – 47,8 – 12,9 + 3,23 + 46,8 = (5,23 – 3,23) + (72,9 – 12,9) + (–47,8 + 46,8) = + 60 + (–1) = 61 25 (22) Daïng TÌM PHẦN NGUYÊN, PHẦN LẺ CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Phöông phaùp giaûi – Löu yù raèng : Phần nguyên số hữu tỉ x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn không vượt quaù x Vaäy [x] ≤ x < [x] + – Phần lẻ số hữu tỉ x, kí hiệu {x} là hiệu x – [x] Vậy ≤ {x} < Caùc ví duï Ví duï 3 9 15 Tìm ; ; [–8,7] ; [–4] ; [2010] ; − 5 2 4 Giaûi 3 9 15 = ; = ; [–8,7] = –9 ; [–4] = –4 ; [2010] = 2010 ; − = –4 5 2 4 Ví duï Tìm [x], bieát : a) < x < 47 b) – 26 < x < –5 Giaûi a) Ta coù < x < Ví duï 47 < neân [x] = b) Ta coù –6 < – 26 < x < –5 neân [x] = –6 Tìm {x }, bieát : a) x = 15 b) x = 9,3 c) x = – 21 d) x = –14,2 Giaûi 15 15 nên [x] = Do đó {x} = x – [x] = –3= 4 b) x = 9,3 nên [x] = Do đó {x} = x – [x] = 9,3 – = 0,3 a) x = 21 21 nên [x] = –3 Do đó {x} = x – [x] = – – (–3) = 8 d) x = –14,2 nên [x] = –15 Do đó {x} = x – [x] = –14,2 – (–15) = 0,8 c) x = – 26 (23) C BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 4.1 Tìm x ∈ ℚ , bieát : 4.2 = 20 c) 0,9 – x = 5,8 d) x – = 9,7 Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau : b) B = x + – a) A = x – + 11 c) C = x + 5,8 – 2,4 d) D = 5 – x + 8,5 a) x – 4.3 4.4 = 5 b) x + Tìm giá trị lớn các biểu thức sau : 12 a) A = –x + + b) B = 19,8 – x – 5,3 19 13 c) C = –2,8 – x + 8,11 d) D = –x – + 31 Tìm x, y, z ∈ ℚ bieát : + y – + z + = 11 b) x – + x + y – + y – z + = 5 c) x + y – 2,8 + y + z + 4 + z + x – 1,4 = a) x + 4.5 Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau : a) A = x – 20 + x – 2010 b) B = x + 8,9 + x – 1,2 c) C = x – 3 + x – 5 + x – 91 4.6 4.7 d) D = x – + x – + x – 3 −5 ; x = –7 2 b) Tìm {x} bieát : x = 8,2 ; x = ;x=– a) Cho biết [x] = [y] Chứng minh –1 < x – y < a) Tìm [x] bieát : x = 8,7 ; x = n n + b) Cho n ∈ ℕ Chứng minh + = n 2 27 (24) § LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A CHUẨN KIẾN THỨC Luỹ thừa với số mũ tự nhiên Cho n là số tự nhiên khác và 1, x là số hữu tỉ bất kì Luỹ thừa bậc n số x, kí hiệu xn, là tích n thừa số x x n = x x x x (x ∈ ℚ , n ∈ ℕ , n ≠ vaø 1) n thừa số (xn gọi là luỹ thừa, x là số, n là số mũ) x1 = x ; x0 = (x ≠ 0) n Neáu x = a a an thì = n b b b Quy ước : x0 = (x ∈ ℚ , x ≠ 0) ; x1 = x Tích và thương hai luỹ thừa cùng số • Khi nhân hai luỹ thừa cùng số, ta giữ nguyên số và cộng hai số mũ : x m x n = x m +n • Khi chia hai luỹ thừa cùng số khác 0, ta giữ nguyên số và lấy số mũ luỹ thừa bị chia trừ số mũ luỹ thừa chia : xm : xn = xm – n (x ≠ 0, m ≥ n) Luỹ thừa luỹ thừa Khi tính luỹ thừa luỹ thừa, ta giữ nguyên số và nhân hai số mũ : (xm)n = xm.n Luỹ thừa tích Luỹ thừa tích tích các luỹ thừa : (x.y)n = xn.yn Luỹ thừa thương Luỹ thừa thương thương các luỹ thừa : (x : y)n = xn : yn (y ≠ 0) Luỹ thừa với số mũ nguyên âm : x–n = x n (n ∈ ℕ *, x ≠ 0) B LUYEÄN KÓ NAÊNG GIAÛI CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng TÍNH Phöông phaùp giaûi Vận dụng định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên các công thức tích và thương hai luỹ thừa cùng số, luỹ thừa luỹ thừa, luỹ thừa tích, luỹ thừa thương cùng với thứ tự thực các phép tính, tính chất các phép tính và quy tắc dấu ngoặc 28 (25) 29 (26)