Microsoft Word HH8 C1 CD15 HÌNH VUÔNG doc Hình 97 CD A B b)a) Hình 98 D C BA D B OA C HÌNH VUÔNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau (hình[.]
HÌNH VNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ A B Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh (hình 97) D A B C D 90 Tứ giác ABCD hình vuông AB BC CD DA Hình 97 C Từ định nghĩa hình vng suy hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết Ba dấu hiệu từ hình chữ nhật: Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác hình vng Hai dấu hiệu từ hình thoi: Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng Cách vẽ hình vng Có năm cách vẽ hình vng, hay dùng hai cách sau: B A O B D C C D a) A b) Hình 98 Cách (hình 98a): Vẽ đường chéo, dựng đường trung trực đường chéo Lấy trung điểm vừa dựng làm tâm vẽ đường trịn có đường kính đường chéo vừa vẽ, cắt đường trung trực hai điểm ta đường chéo thứ hai Cách (hình 98b): Sử dụng lưới vng để vẽ tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Lưu ý: Cách chứng minh hình vng Cách khơng chứng minh nhận hình vng, ảnh hình vng II.CÁC DẠNG BÀI TẬP A CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA Dạng Nhận dạng hình vng Phương pháp giải Sử dụng hai cách sau: Cách 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề hai đường chéo vng góc đường chéo đường phân giác góc Cách 2: Chứng minh tứ giác hình thoi có thêm dấu hiệu có góc vng hai đường chéo B E Bài Cho hình 99, tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? Lời giải D 45° 45° Tứ giác AEDF hình vng A F C Hình 99 Giải thích: E F 900 Tứ giác AEDF có ba góc Theo hình vẽ A vng nên hình chữ nhật Hình chữ nhật AEDF có AD đường phân giác góc A nên hình vng Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2AD Gọi E , F trung điểm AB CD Gọi M giao điểm AF DE , N giao điểm BF CE a) Tứ giác ADFE hình gì? Vì sao? b) Tứ giác MENF hình gì? Vì sao? Lời giải (hình 100) Đặt AD a AB 2a Áp dụng tính chất cạnh giả thiết vào hình chữ nhật ABCD , A a E a B ta AE EB BC CF FA a a) Tứ giác ADFE hình vng N M a Giải thích: Vì tứ giác ADFE có bốn cạnh nên hình thoi D F Hình 100 C 900 nên hình vng Hình thoi ADFE có A b) Tứ giác MENF hình vng Giải thích: Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác EBCF hình vng Áp dụng tính chất đường chéo vào hai hình vng ADFE MENF , ta được: AF DE ; EC FB M N E 900 450 E E Tứ giác MENF có ba góc vng nên hình chữ nhật Hình chữ nhật MENF lại có EF đường phân giác góc MEN nên hình vng Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC ,CD, DA lấy điểm M , N , P ,Q cho AM BN CP DQ Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng Lời giải (hình 101) Gọi độ dài cạnh hình vng a AM BN CP DO x Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình vng ABCD , ta được: B C D 900 MB NC PD QA a x , nên bốn tam giác vuông MBN , NCP , PDQ,QAM A trường hợp (c-g-c) suy bốn cạnh tương ứng tam giác MN NP PQ QA Tứ giác MNPQ có bốn cạnh nên hình thoi Áp dụng tính chất góc kết hai tam giác vào hai tam giác MBN , NCP ta được: N 900 M 900 N N M1 N A x M (1) Lại có góc BNC góc bẹt hay N N N 1800 BNC (2) 1800 900 900 Từ (1) (2) suy N B x N Q x D P xC Hình 101 Điều chứng tỏ hình thoi MNPQ có góc vng nên hình vng III BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1 Nêu tính chất đường chéo hình vng Chỉ rõ tính chất có hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi Tứ giác có bốn cạnh hai đường chéo vng góc có phải hình vng không? Nếu không sửa lại dấu hiệu để tứ giác hình vng Các câu sau hay sai? a) Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vng b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng c) Hình thoi có hai đường chéo vng góc với hình vng d) Hình thoi có hai đường chéo hình vng Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD DE EC Qua D E kẻ đường vuông góc với BC , chúng cắt AB, AC K H Tứ giác KHED hình gì? Vì sao? Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không Chứng minh tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành hình vng Cho hình vng ABCD Trên AD lấy điểm E , tia đối tia AD lấy điểm F , tia đối tia BA lấy điểm I cho DE AF BI Vẽ hình vng AFGH , H thuộc cạnh AB Chứng minh tứ giác EGIC hình vng Dạng Sử dụng định nghĩa, tính chất hình vng để chứng minh quan hệ nhau, song song, vng góc, thẳng hàng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất bổ đề hình vng Bài Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M , cạnh CD lấy điểm N cho BM CN AM BN A B Lời giải (hình 102) I Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình vng ABCD , ta được: AB BC A B 90 BM CN M D C N Hình 102 ABM BCN (c.g.c), nên AM BN Gọi I giao diểm AM BN Áp dụng tính chất góc vào tam giác vuông ABM BCN kết hai tam giác nhau, ta được: A1 M 90 B1 M 900 A B 1 M I 1800 Áp dụng tính chất góc vào tam giác BIM ta có B 1 Từ (1) (2) suy I 1800 900 900 hay AM BN Bài Bổ đề hình vng Cho hình vng ABCD Nếu điểm M , N , P ,Q nằm đường thẳng AB, BC ,CD DA MP NQ MP NQ Lời giải (hình 103) Ta cần chứng minh toán với điểm M , N , P ,Q nằm cạnh AB, BC ,CD, DA (các trường hợp lại chứng minh tương tự) (1) (2) A K M E Q D H B 1I N O P Hình 103 C Gọi H , K chân đường vng góc kẻ từ M , N đến hai cạnh CD, DA E , I ,O thứ tự giao điểm MH với NK , MP với NQ Áp dụng định nghĩa vào hình vng ABCD tính chất góc đồng vị KN DC , ta B C E K N 900 A Các tứ giác MBHC , KNCD MBNE tứ giác có ba góc vng nên chúng hình chữ nhật a) MP NQ MP NQ Áp dụng tính chất cạnh giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH , KNCD hình vuông ABCD ta được: MH BC , NK CD MH MK MHP NKQ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vng) BC CD, MP NQ MP NQ Áp dụng tính chất góc vào hai tam giác tính chất hai góc đối đỉnh ta có N M E 900 (vì hai tam giác, có hai cặp góc cặp góc thứ ba nhau) 1 O I I2 Vậy MP vng góc với NQ O b) MP NQ MP NQ E 900 suy M N (1) hai tam giác, có Xét hai tam giác MEI NOI có I1 I2 đối đỉnh, O 1 hai cặp góc cặp góc cịn lại K 900 , MH NK (2) theo câu a) Lại có H Từ (1) (2) suy MHB NKQ (c-g-c) nên MP NQ 450 , Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh BC ,CD lấy hai điểm M , N cho MAN tia đối tia DC lấy điểm K cho DK BM Hãy tính: a) Số đo góc KAN b) Chu vi tam giác MCN theo a Lời giải (hình 104) A a) Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình vng ABCD , a 45°1 D 900 A ta AB AD, BM DK B x M x ABM ADK (c-g-c) Áp dụng kết hai tam giác giả thiết, ta có: A A 900 A A A A A 900 450 450 KAN A1 A4 , A2 45 b) Đặt BM DK x KN x DN , MC a x ,CN a DN Từ kết hai tam giác câu a) giả thiết, ta được: K D N Hình 104 C AM AK , AN AN KAN 450 AMN AKN (c-g-c) suy MN KN MAN Vậy chu vi tam giác MCN MC CN NM a x a DN x DN 2a Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M , qua A kẻ AN AM (điểm N thuộc tia đối tia DC ) Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: a) A AM AN M b) Ba điểm B, I , D thẳng hàng Lời giải I a) Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình vng ABCD , ta được: A1 A2 B N B D 900 A B D A A 900 AB AD ABM ADN (c-g-c) A A AB AD A D C Hình 105a Do AM AN b) Cách (hình 105a): Nối IA, IC IA IC đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hai tam giác vng AMN ,CMN Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vng định nghĩa hình IA IC MN vuông ta BA BC Điều chứng tỏ hai điểm B I cách hai điểm A C nên BI đường trung trực đoạn AC Mặt khác theo tính chất đường chéo hình vng BD trung trực AC mà đoạn AC có đường trung trực nên BI trùng với BD hay B, I , D thẳng hàng Cách (hình 101): Qua M kẻ MP BD (1) (điểm P DC ) suy DI MP (2) A Lại có NI MI (3) theo giả thiết Từ (2) (3) suy ND DP (4) B H theo định lí đường trung bình M I Từ (3) (4) ta có DI đường trung bình tam giác NMP Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác NMP ta DI MP (5) N Từ (1) (5) suy B, I , D thẳng hàng, từ điểm I ngồi đường D P C Hình 105b thẳng MP kẻ đường thẳng song song với MP H (2) đồng vị Cách 3: Qua M kẻ MH ND (1) (điểm H BD ) D 1 Mà BD đường chéo hình vng ABCD nên BD đường phân giác hai góc vng B D H 450 (3) D 1 Từ (2) (3) ta có BM MH (4) tam giác, đối diện với hai góc hai cạnh Kết hợp (1) với (4) ta tứ giác NHMD có hai cạnh đối song song nên hình bình hành Áp dụng tính chất đường chéo vào hình bình hành NHMD , ta đường chéo DH qua trung điểm I đường chéo NM nên BD qua I Điều chứng tỏ B, I , D thẳng hàng III BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm nằm C D Tia phân giác góc DAE cắt CD F Kẻ FH AE (H AE ), FH cắt BC K a) Tính độ dài AH b) Tính số đo góc FAK Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm BC ,CD I giao điểm AN , DM Chứng minh rằng: a) AN DM ; b) BA BI Cho hình vng cạnh dài 1m Vẽ hình vng thứ hai nhận đường chéo hình vng cho làm cạnh Tính độ dài đường chéo hình vng 10 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB lấy điểm M , tia đối tia DC lấy điểm N cho BM DN Vẽ hình bình hành MANF , gọi O trung điểm AF Chứng minh rằng: a) Tứ giác MANF hình vng b) F thuộc tia phân giác góc MCN c) AC CF d) Tứ giác BOFC hình thang Dạng Tìm điều kiện để hình trở thành hình vng Phương pháp giải -sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vng -nếu tốn u cầu tìm vị trí điểm để hình trở thành hình vng ta làm sau: giả sử hình hình vng dựa vào tính chất hình vng để vị trí cần tìm Bài Cho tam giác ABC , D điểm nằm B C Qua D kẻ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt cạnh AC AB thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Điểm D vị trí cạnh BC tứ giác AEDF hình thoi? c) Nếu tam giác ABC vng A tứ giác AEDF hình gì? Điểm D vị trí cạnh BC tứ A giác AEDF hình vng? F E Lời giải (hình 106) a) Tứ giác AEDF hình bình hành DF AB DF AE DE AC DE AF Giải thích: Từ giả thiết Tứ giác AEDF có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Giả sử AEDF hình thoi theo tính chất vẽ đường chéo hình thoi AD đường phân giác góc A Vậy D giao điểm tia phân giác góc A với cạnh BC tứ giác AEDF hình thoi c) Nếu tam giác ABC vng A hình bình hành AEDF hình chữ nhật Nếu tam giác ABC vuông A D giao điểm tia phân giác góc A với cạnh BC AEDF vừa hình chữ nhật vừa hình thoi nên hình vng Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P ,Q trung điểm cạnh AB, BC ,CD DA Hai đường chéo AC BD phải thoả mãn điều kiện để M , N , P ,Q bốn đỉnh của: a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vng? Lời giải (hình 107) Trước hết ta chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành (xem Ví dụ 1, Dạng 1, Chủ đề 5) a) A MNPQ hình chữ nhật MN NP M AC BD (vì MN AC , NP BD ) Q Điều kiện cần tìm hai đường chéo AC , BD vng góc với b) N MNPQ hình thoi MN NP AC BD (vì MN 1 AC , NP BD ) 2 D B P C Hình 107 Điều kiện cần tìm đường chéo AC BD c) AC BD MN PQ MNPQ hình vng MN PQ AC BD Điều kiện cần tìm đường chéo AC , BD vng góc với III BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 11 Cho tam giác ABC cân A , đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC , K điểm đối xứng với M qua điểm I a) Tứ giác AMCK hình gì? Vì sao? b) Tứ giác AKMB hình gì? Vì sao? c) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AMCK hình vng 12 Cho hình thoi ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo Qua B vẽ đường thẳng song song với AC , qua C vẽ đường thẳng song song với BD , hai đường thẳng cắt K a) Tứ giác OBKC hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AB OK c) Tìm điều kiện hình thoi ABCD để tứ giác OBKC hình vng 600 Gọi E , F thứ tự trung điểm BC , AD 13 Cho hình bình hành ABCD có BC 2AB A a) Tứ giác ECDF hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ABED hình gì? Vì sao? c) Tính số đo góc AED HƯỚNG DẪN BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 Hình vng có tính chất sau đường chéo a) Hai đường chéo cắt trung điểm đường (có hình bình hành) b) Hai đường chéo (có hình chữ nhật) c) Hai đường chéo vng góc với (có hình thoi) d) Hai đường chéo đường phân giác góc hình vng (có hình thoi) Câu trả lời không Phải sửa lại dấu hiệu đường chéo là: Hai đường chéo cắt trung điểm A đường vng góc với Các câu là: a, b, d Câu sai c (hình 169) Tứ giác KHED hình vuông 450 nên tam giác cân, Giải thích: Tam giác vng BDK có B K B H D C E Hình 169 BD DK Chứng minh tương tự, HE EC Vì BD DE EC theo giả thiết, nên: KD DE EH Tứ giác KHED có KD HE , KD HE nên hình bình hành A B N 900 nên hình chữ nhật Hình bình hành lại có D 450 nên vuông cân N (hình 170) Vì NCD có C1 D P M Hình chữ nhật lại có KD DE nên hình vng Q D C Hình 170 900 ND NC (1) Suy N Q 900 Tứ giác MNPQ có ba góc Chứng minh tương tự, P vng nên hình chữ nhật AMD BPC (g-c-g) MD PC (2) F A Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta NM NP G B H Như hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề nên hình vng E D Hình 171 C I (hình 171) Chứng minh bốn tam giác vuông EFG , IHG ,CBI ,CDE để suy EG GI IC CE C1 C3 900 Sau chứng minh ECI (hình 172) a) ADF AHF (cạnh huyền, góc nhọn) AH AD a b) A AHK ABK (cạnh huyền, cạnh góc vng) A A 12 B a K a Kết hợp với giả thiết, ta có: A A 900 450 FAK D F E C Hình 172 (hình 173) a) Áp dụng định nghĩa giả thiết vào hình vng ABCD ta được: AD DC , D C DN CM ADN DCM (c-g-c) D A 1 N 900 Vì ADN vuông D , nên A 1 A B (1) D vào đẳng thức (1) ta D N 900 Thay A 1 1 M I Điều chứng tỏ tam giác DIN vuông I hay AN DM b) Gọi giao điểm DM với AB K , K D N C Hình 173 DMC KMB (g-c-g) BK DC Lại có AB DC nên AB BK suy IB trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng AIK Do IB BA F (hình 174) Xét hình vng ABCD có AB BC 1m 1m Ta dựng hình vng nhận đường chéo AC làm cạnh để tính đường chéo hình vng A Trên tia đối tia BA lấy điểm E , tia đối tia BC lấy điểm F cho BE BF 1m Ta tứ giác AFEC có hai đường chéo nhau, vng góc với cắt trung điểm B 1m 1m D C Hình 174 1m E đường nên hình vng cạnh AC Hình vng có đường chéo AE 2m 10.(hình 175) a) ABM ADN (c-g-c) A A AM AN , A 12 B Hình bình hành MANF có hai cạnh kề nên hình thoi 900 Do góc A2 phụ với góc A3 nên góc A1 phụ với A2 hay MAN K N Điều chứng tỏ hình thoi MANF hình vng có C D O M góc vng b) Kẻ FH , FK theo thứ tự vng góc với hai đường thẳng BC , NC thu tứ giác KCHF có ba góc vng nên F H Hình 175 hình chữ nhật, suy 900 KFH F phụ 900 góc hình vng nên F Lại có NFM với F2 Từ FKN FHM (cạnh huyền, góc nhọn) FH FK Điều chứng tỏ điểm F cách hai cạnh CM ,CN góc MCN nên F thuộc tia phân giác góc MCN c) Theo tính chất đường chéo hình vng từ câu b), ta có 450 ACF 900 AC CF C1 C C 450 OB CF d) Tương tự ta có B A Tứ giác BOFC có hai cạnh đối song song nên hình thang K 11.(hình 176) a) Tứ giác AMCK hình chủ nhật I Giải thích: Tứ giác AMCK có hai đường chéo cắt trung điểm B đường nên hình bình hành 900 theo tính chất tam Hình bình hành lại có AMC giác cân nên hình chữ nhật b) Tứ giác AKMB hình bình hành có hai cạnh đối AK , BM song song c) M Hình 176 Hình chữ nhật AMCK hình vng AM MC AM BC C ABC vuông A 12.(hình 177) a) Tứ giác BOCK hình chữ nhật Giải thích: B K Tứ giác BOCK có cạnh đối song song nên hình 900 hai bình hành Hình bình hành lại có BOC đường chéo hình thoi vng góc với O A C O Vậy hình chữ nhật b) Tứ giác ABKO có hai cạnh đối AO BK song D song BK song song OC Hình 177 Suy AB OK c) Hình chữ nhật BOCK hình vuông BO OC BD AC ABCD hình vng Điều kiện cần tìm ABCD hình vng 13.(hình 178) a) M A Tứ giác ECDF hình thoi có bốn cạnh B D 600 nên hình thang cân b) Hình thang ABED có A c) AED có EF AF FD nên AED 900 D 60° N C Hình 178 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Bài 1: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lấy điểm E, F, G, H cho AE BF CG DH Chứng minh EFGH hình vng Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2AD Gọi E, F theo thứ tụ trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE a) Tứ giác ADFE hình gì? Vì sao? b) Tứ giác EMFN hình gì? Vì sao? Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD AD AB 2AD Vẽ tam giác vuông cân ABI , CDK Iˆ Kˆ 90 , I K nằm hình chữ nhật Gọi E giao điểm AI DK, F giao điểm BI CK Chứng minh rằng: a) EF song song với CD b) EKFI hình vng Bài 4: Cho hình bình hành ABCD.Ở phía ngồi hình bình hành vẽ hình vng ADEF ABGH Gọi O giao điểm đường chéo hình vuông ADEF Chứng minh ODC a) OAH b) OH OC c) OH OC Bài 5: Cho hình vng ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh AN = DM AN DM b) Chứng minh đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao tạo thành hình vuông c) Gọi E giao điểm DM AN Chứng minh CE = CD Bài 6: Cho tứ giác ABCD có ADC BCD 90 AD BC Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi E, F cạnh AB, AD cho AE DF Chứng minh DE CF DE CF ˆ 90 , đường cao BD CE cắt H Tia phân giác Bài 8: Cho tam giác ABC cân A A góc ABD cắt EC AC theo thứ tự M P Tia phân giác góc ACE cắt DB AB theo thứ tự Q N Chứng minh rằng: ACE a) ABD c) Tam giác BOC vuông cân b) BH CH d) MNPQ hình vng Bài 9: Cho hình vng ABCD Lấy điểm M tùy ý cạnh BC Từ M, vẽ đường thẳng cắt cạnh CD AMK Chứng minh KAM 450 K cho: AMB HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Chỉ AH BE CF DG Từ suy ra: AEH BFE CGF DHG (c-g-c) Do HE EF FG GH (1) Mặt khác, AEH BFE BEF AHE Suy AEH BEF 900 FEH 900 (2) (1), (2) suy EFGH hình vng Bài 2: a) E, F trung điểm AB, CD nên ta có EF // AD //BC , dễ thấy ADFE hình chữ nhật Mặt khác AD AE AB Vậy ADFE hình vuông b) Chứng minh tương tự câu a, ta có BCFE hình vng Do hai tam giác MEF NEF hai tam giác vuông cân M, N từ suy EMFN hình vuông Bài 3: a) Tam giác KCD cân K nên KD KC (1) ΔEAD ΔFBC (g.c.g) nên DE CF (2) Từ (1) (2) suy ra: KD DE KC CF KE KF 45 Tam giác vuông KEF có KE KF nên E 45 EF//CD (2 góc đồng vị nhau) Ta lại có: D 90 D 45 nên AED b) Tam giác EAD có A 1 ˆ Iˆ 90 nên EKFI hình chữ nhật Tứ giác EKFI có Eˆ K Lại có KE KF EKFI hình vng Bài 4: a) Ta có : OA OD (tính chất đường chéo hình vng) ; AH DC ( AH AB , AB //CD ) Vậy ODC (góc có cạnh tương ứng vng góc) OAH b) Xét OAH ODC : OA = OD (tính chất đường chéo hình vng) ODC ( câu a) OAH AH DC (cùng AB ) Vậy OAH ODC (c.g.c) suy OH OC 2 O 90 (tính chất đường chéo hình vng ), nên O mà O c) OAH ODC O1 1 O 90 Vậy OH OC O Bài 5: a) Xét hai tam giác ABN DAM vng B A, có AB AD BN AM , ABN DAM ADM suy AN DM BAN 900 Mà BAN DAN 900 , ADM DAN 90 , hay AED Vậy ta có AN DM AN DM b) Giả sử đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao tạo thành tứ giác EFGH MB // DP MB DP MBPD hình bình hành Suy BP // DM AN BP Tương tự ta có CQ DM F H 900 Như tứ giác EFGH có E * Ta chứng minh EF EH : Dễ thấy EM đường trung bình tam giác ABF, E trung điểm AF Tương tự H trung điểm DE Xét hai tam giác ABF DAE vng F E, có: ADE (vì ABN DAM ) Suy ABF DAE AF DE AB DA ; BAF Từ ta có EF = EH Vậy EFGH hình vng c) H trung điểm DE CH DE , ta suy CDE cân C, CE CD Bài 6: Trong tam giác ABC, MN đường trung bình nên MN Lập luận tương tự, ta có PQ BC 1 BC, MQ AD, NP AD 2 Theo giả thiết, AD = BC suy MN QP MQ NP Vậy MNPQ hình thoi (1) Mặt khác ta có: DCB, NPC ADC (góc đồng vị) DPQ theo giả thiết DCB ADC 90 , suy NPC 90 Do ta góc DPQ 90 (2) QPN Từ (1) (2) cho ta MNPQ hình vng Bài 7: Gọi I giao điểm DE CF Xét hai tam giác ADE DCF có: AD DC (vì ABCD hình vng) FDC 90 EAD AE DF (theo giả thiết) Vậy ADE DCF , ta có: DCF DE CF ADE Mặt khác DCF DFC 90 , suy ADE DFC 90 DIF 90 Vậy DE CF Bài 8: ACE (cùng phụ với A ˆ ) a) ABD ACB mà ABD ACE (chứng minh trên) b) Ta có: ABC ABD ACB ACE B C ABC 3 BH CH C ,B C c) Tam giác OBC có B 3 2 B C C OBC OCB nên B 3 ΔOBC cân O (1) B nên ta có: Mặt khác, C B C C B B B C 90 B 3 2 3 90 (2) BOC Từ (1) (2) suy ΔOBC vuông cân d) Tam giác OBC cân O nên OB OC (3) ΔBMH ΔCQH (g.c.g), BM CQ (4) Từ (3) (4) suy ra: OB BM OC CQ OM OQ Mà ΔBNQ cân B có đường cao BO đường trung tuyến nên O trung điểm QN hay ON OQ Tương tự ta có OP OM OM ON OQ OP MNPQ hình thoi Ta lại có: MP NQ nên MNPQ hình vng Bài 9: MA phân giác góc BMK nên MA trục đối xứng hai đường thẳng MK MB Gọi I điểm đối xứng K qua MA, suy I thuộc đường thẳng BC Ta có AI AK , AB AD Hai tam giác vuông ABI ADK có hai cạnh nên ABI = ADK KAD Từ ta có IAB IAB BAK KAD BAK 90 Vậy ta có: MAK IAK 45 IAK ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== ... 900 MB NC PD QA a x , nên bốn tam giác vuông MBN , NCP , PDQ,QAM A trường hợp (c-g-c) suy bốn cạnh tương ứng tam giác MN NP PQ QA Tứ giác MNPQ có bốn cạnh nên hình thoi Áp... góc cặp góc cịn lại K 900 , MH NK (2) theo câu a) Lại có H Từ (1) (2) suy MHB NKQ (c-g-c) nên MP NQ 450 , Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh BC ,CD lấy hai điểm M... hình vng ABCD , a 45°1 D 900 A ta AB AD, BM DK B x M x ABM ADK (c-g-c) Áp dụng kết hai tam giác giả thiết, ta có: A A 900 A A A A A