Chuyên đề Chữ số tận cùng Toán lớp 6

1 CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG A TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1 a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng[.]

1 CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0,  1,  5,  6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4,  9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi c) Các số có chữ số tận 3,  7,  9 nâng lên lũy thừa bậc 4n   n    chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2,  4,  8 nâng lên lũy thừa bậc 4n   n   chữ số tận Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x  a m , trước hết ta xác định chữ số tận a : - Nếu chữ số tận a 0,  1,  5,  6 x có chữ số tận 0,  1,  5,  6 - Nếu chữ số tận a 3,  7,  9 : Phân tích: a m  a 4n r  a n a r với r  0, 1, 2, Từ tính chất 1c  chữ số tận x chữ số tận ar - Nếu chữ số tận a 2,  4,  8 : trường hợp Từ tính chất 1d  chữ số tận x chữ số tận 6a r Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n  n    chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0,  1,  4,  5,  6,  9 nâng lên lũy thừa bậc 4n  không thay đổi chữ số tận Tính chất 4:   Nếu a   a ,  a 100  chia hết cho 125 Chứng minh: Do a 20  chia hết cho 25 nên a 20 ,  a 40 ,  a 60,  a 80 chia cho 25 có số dư  a 20   a 40   a 60   a 80   1 chia hết cho    Vậy a 100   1     a 20   1   a 80   a 60   a 40   a 20   1 chia hết cho 125 * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số A  n k với n, k  N   k - Giả sử A  10q  r Khi đó, A k  10q  r  10t p  r k với r  ;  r  Suy ra, chữ số cuối A chữ số cuối số r k - Nếu A  100a  bc  abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A  1000a  bcd  abcd bcd ba chữ số cuối A - Nếu A  10m.am  am 1 a  am a1a am 1 a m chữ số cuối A Tìm hai chữ số tận Việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 100 Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x  a n : Trước hết, ta có nhận xét sau: 220  76  mod 100 320  01 mod 100 65  76 mod 100  01 mod 100 Mà: 76n  76 mod 100 với n  , 5n  25  mod 100 với n  Suy kết sau với k   * : a 20k  00 mod 100 a  mod 10 , a 20k  01 mod 100 a  1; 3; 7; mod 10 , a 20k  25 mod 100 a  mod 10 , a 20k  76 mod 100 a  2; 4; 6; mod 100 Vậy để tìm hai chữ số tận a n ta lấy số mũ n chia cho 20 Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); ; 512 ; 992 có tận 01 - Các số 220 ;  65 ; 18 ; 242 ; 68 ; 742 có tận 76 - Số 26n   n  1 có tận 76 - Các số có chữ số tận 01;25; 76 nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận không thay đổi (1) - Các số 320 ; ; 910 ;512 ; 815 ;992 có chữ số tận 01 (2) - Các số 410 ; 65 ;184 ;242 ; 68 ; 742 có chữ số tận 76 (3) n - Số 26 (n  1) có chữ số tận 76 (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x  a m , trước hết ta xác định chữ số tận a Dạng CHÚ Ý: - 410 có chữ số tận 76 - 52 có chữ số tận 25 - 820 có chữ số tận 76 - 910 có chữ số tận 01 Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Giả sử n  100k  r với  r  100 , đó: a n  a 100k r  a 100  a r k  Giả sử: a  x mod 10 , x  0, 1, 2, , 9 Ta có: a 100  10k  x  100  x 100   mod 1000 Vậy chữ số tận a 100 chữ số tận x 100 Dùng quy nạp với n  , ta có: 625n  625 mod 1000 , 376n  376  mod 1000 - Nếu x  x 100  000  mod 1000 - Nếu x  x  54  625  x 100  54   625  mod  103  25 - Nếu x  1; 3; 7; ta có tương ứng:  x  1; 81; 2401; 6561  mod  40  x 100  40k  1  mod 103 25  - Nếu x  2; 4; 6; x 100  2100      Ta có: x , 125  nên x 100  1  mod 125 (Định lí Euler) Giả sử chữ số tận x 100 abc ta có: x 100  1000k  abc  abc  abc  1  mod  125 Trong số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy x 100  376  mod  1000 Do ta có kết sau:      a 100k  000  mod  103 a  mod 10   a 100k  001  mod  103 a  1; 3; 7; mod 10       a 100k  625 mod  10 a  mod 10   a 100k  376  mod  103 a  2; 4; 6; mod 10  Vậy để tìm ba chữ số tận a n ta tìm chữ số tận số mũ n Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận ฀ Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001; 376; 625 ฀ Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm chữ số tận Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận số sau: a ) 3240 b) 20182019 c )27 50 d ) 20192020 Phân tích: - Ta biết số tận 2;4;6;8 nâng lên lũy thừa 4n cho tận Còn số tận 1;3;7;9 nâng lên lũy thừa 4n cho tận - Để đưa lũy thừa 4n em cần viết số mũ dạng cơng thức phép chia có dư với số chia - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) Để tìm chữ số tận 3240 ta tìm chữ số tận 240 Ta xét 240 , ta có 240  24.10  Vậy 3240 có chữ số tận b) Để tìm chữ số tận 20182019 ta tìm chữ số tận 82019   Ta xét, ta có 82019  4.502     Vậy 20182019 có tận c) Chữ số tận 2750 chữ số tận 50   Ta có 50  4.12    49  Vậy chữ số tận 2750 d) Chữ số tận 20192020 chữ số tận 92020 Ta có 92020  94.505  Vậy chữ số tận 20192020 Bình luận: Với phần d) ta giải sau: Vì chữ số tận mà nâng lên lũy thừa chẵn tận 1, 20192020 có tận 2021 Với cách giải ta hồn tồn mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số 20192020 2019 2050 2020 , ,… Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận 32020 Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải Ta thấy 34  81 , số tận nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận nên ta phân tích 32020  34.505  81505 Vậy số 32020 có chữ số tận Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận số sau 24 2015 a )2625 b)20132014 c)7850 5152 Phân tích: Trong ta viết số mũ dạng 4n , dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư phép chia số mũ cho Lời giải a) Trước hết ta tìm số dư phép chia 2524 chia cho     Ta có 25  mod  2524  mod  2524  4k  k  N *  24 Suy ra, 2625  264k 1  264k  26   26  24 Vậy 2625 có tận Nhận xét: Trong phần rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận nâng lên lũy thừa ln có tận ’ lời giải đơn giản b) Tương tự, ta tìm số dư chia số mũ 2013 cho      2014  mod  20142015  22015 mod  2015   mod   2014 2015 2.1002 1002  Ta có 2 2  2     20142015  4k k  N * 2015 Do 20132014 2015 Vậy 20132014    20134k  20134k  có tận 52 c) Trước hết ta tìm số dư phép chia 5051 chia cho       Ta có 50  mod ; 502  mod ; 50k  mod k  2   Suy 5051  mod n  N  52   Mà 5152 số lẻ nên 5051  mod  5051  4m (m  N ) 52 Từ ta có 7850 Vậy 7850 5152 5152 52  784m  784m  có tận Bình luận: Với tốn dạng lũy thừa tầng ta ln ý tìm cách viết số mũ dạng cơng thức phép chia có dư với số chia Tuy nhiên, tận số đặc biệt như: 0;1;5;6 ta nhận xét mà không cần quan tâm đến giá trị số mũ Còn tận ta xem xét tính chẵn lẻ số mũ để suy kết Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận a )7 89  481 b )22014.91955 Lời giải a) Ta có: 789  4.21.7  7.240121 nên số có số tận 81  42.40.4  1640.4 nên số có số tận Vậy số 789  481 có chữ số tận b) Ta có: 22014  24.506.22  16506.4 nên số có số tận 91955  92.977.9  81977.9 nên số có số tận Vậy số 22014.91955 có chữ số tận Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận tích sau: b) 1.3.5 2019 2020 a )2627.2728 200202 c) 8.18.28.38 198 d ) 1.3.9.11.13.17 2019 100 Phân tích: Để tìm chữ số tận tích ta tìm chữ số tận thừa số nhóm thừa số Lời giải a) Ta thấy 26 có tận , mà số tận nâng lên lũy thừa tận Do đó, 2627 có tận Có 2728  27 4.7  Suy 2627  2728    Vậy tích có tận Khai thác: - Vì tích có tận nên ta yêu cầu khác sau: 2627  2728  số tự nhiên 10 Chứng minh số - Nếu để ý đến công thức lũy thừa tích ta làm sau:   2627  2728  2627  2727  27  26  27  27  27    46   463   27    27   27 b) Ta biết tích với số lẻ có tận , tích     2019 có tận Mặt khác, số có tận nâng lên lũy thừa tận Vậy 1     2019 2020 có tận Khai thác: Ta biết tích hai số tự nhiên liên tiếp có tận số sau: 0;2;6 đó, ta tốn sau: Tìm tất số tự nhiên n cho: a ) n  n  1     2019 2020 ; b) 2n  12n  2  1     2019 2020 c) Đặt A   18  28  38   198 Số thừa số tích là: 198  8 : 10   20 (số hạng) (1) Ta thấy tích thừa số có tận có tận Vì có 20 thừa số ta kết hợp nhóm nhóm có thừa số, tích nhóm có chữ số tận Do kết tích A có chữ số tận Mà số có tận nâng lên lũy thừa có tận , suy 202 A200 có tận Vậy lũy thừa tích có tận Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận A chữ số tận     ( 20 thừa số), ta quy việc tìm chữ số tận 20 200202 - Ta có mở rộng tốn cách cho tăng số lượng thừa số tích - Hồn tồn tương tự, ta thay đổi chữ số tận thừa số tích chữ số khác Chẳng hạn, tìm chữ số tận số sau: A  2  12  22   2022 2020 100200 B  7  17  27   2017 d) Ta để ý nhóm    9;11  13  17  19; ;2011  2013  2017  2019 có tận giống nhau, nên ta tìm chữ số tận nhóm Ta có     Có số nhóm là: (2011  1) : 10   202 (nhóm) 10 Suy 1    11  13  17   2019   9     9  9  1  Vậy 1     11  13  17   2019   1  nên có tận 202  4502 450 100 100 Khai thác: Ta thấy tất thừa số tích khơng chia hết cho , nên ta thay đổi cách phát biểu toán sau: Cho số A  1      11  13  15   2019 , sau gạch bỏ tất số chia hết cho A, ta số B Tìm chữ số tận B100 - Bài tốn thay đổi thừa số lẻ thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận số B  2     12  14  16   2018 2019 Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận tổng sau: S    21    35   49         20048009 Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật số mũ số hạng S, số mũ chia dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng 4n  có tận khơng đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n 4n  – 2   1 , n thuộc 2; 3; ;2004 ) Theo tính chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: 2     9  199.1     9      200 1     9   9009 Vậy chữ số tận tổng S Tổng qt hóa: Tìm chữ số tận tổng sau: S  21    35   49         n 4n 21 Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng T  23  37  411   20048011 Lời giải: ... chữ số tận a Dạng CHÚ Ý: - 410 có chữ số tận 76 - 52 có chữ số tận 25 4 - 820 có chữ số tận 76 - 910 có chữ số tận 01 Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số. .. a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 8; số có chữ. .. số gồm chữ số nên viết chúng liên tiếp ta có 90.2  180 (chữ số) Mà  121  180 nên chữ số tận H phải số có hai chữ số Số chữ số số có chữ số viết H là: 121   112 (chữ số) Số số có chữ số viết