Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn căn thức bậc hai toán 9

1 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 2 I Lý do chọn chuyên đề 2 II Mục đích nghiên cứu 3 III Phạm vi nghiên cứu 3 IV Đối tượng nghiên cứu 4 V Phương pháp nghiên cứu 4 PHẦN II NỘI DUNG I Cơ sở lý[.]

MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn chuyên đề II Mục đích nghiên cứu III Phạm vi nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Thực trạng IV Nội dung chuyên đề V Hiệu chuyên đề 21 VI Bài dạy minh họa 22 PHẦN III: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 26 27 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Qua năm giảng dạy trường THCS Tôi nhận thấy rằng em học sinh, nhất lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử vào trường chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau Mà kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức không thể thiếu đó chương thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức thực phép tính Phần lớn em không làm bài, vì em chưa nhận thấy biểu thức đã cho có liên quan đến kiến thức rất quan trọng hằng đẳng thức mà em đã học lớp Trong đại số hằng đẳng thức đáng nhớ nội dung rất quan trọng cần thiết Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán nhu cầu không thể thiếu học chương đại số cho tất học sinh phổ thông Tuy nhiên vận dụng hằng đẳng thức học sinh thường gặp phải khó khăn mà đó có thể nguyên nhân hạn chế việc tiếp thu kiến thức tốn, ngun nhân dẫn đến tình trạng do: - Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức đã học lớp - Kỹ vận dụng hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa lớp chưa thành thạo - Kỹ biến đổi tính tốn giải tốn thức bậc hai đa số học sinh yếu Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, tơi đã phát rằng cịn rất nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai kém.Việc giúp học sinh nhận dạng giải thành thạo dạng toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai điều rất cần thiết cấp bách nó mang tính đột phá mang tính thời rất cao, giúp em có am hiểu vững trắc lượng kiến thức bậc hai tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau Với ước vọng để tìm hướng khắc phục, chúng có suy nghĩ nhiều đến giải pháp mà thân đã tích cực áp dụng trình giảng dạy như: - Hướng dẫn chu đáo tập nhà - Tăng cường tập nhà kiểm tra thường xuyên - Cố gắng dành thời gian để hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng toán rút gọn biểu thức lớp Với giải pháp mang lại kết chưa cao Để thay đổi trạng trên, chuyên đề chúng đưa giải pháp đó “Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” nhằm phát huy lực lựa chọn phương pháp phù hợp cho dạng, kiểu khác nhau, đồng thời giúp em hiểu sâu sắc vận dụng có hiệu Để thực giải pháp này, giáo viên cần đưa dạng toán rút gọn biểu thức bản, thường gặp chương trình, hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải gọn, dễ hiểu, dễ nhớ đối với có nhiều cách giải Trên sở phân tích đề bài, giáo viên cần giúp đỡ cho học sinh giải quyết vấn đề mà em hay lúng túng, không xác định hướng giải Xuất phát từ tình hình đó, qua năm giảng dạy học hỏi đồng nghiệp, rút số kinh nghiệm cho thân để có thể truyền dạy cho em kiến thức để có thể giải quyết vấn đề khó khăn Chính vì tơi mới chọn chuyên đề "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu chuyên đề “ Sử dụng hằng đẳng thức, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” giúp giáo viên quan tâm đến phương pháp dạy học tích cực rất rễ thực - Giúp giáo viên toán Trung học sở nói chung giáo viên dạy toán Trung học sở nói riêng có thêm thông tin phương pháp tích cực nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa biện pháp tối ưu áp dụng phương pháp vào dạy học - Qua chuyên đề tơi muốn giúp giáo viên tốn có thêm nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu đào sâu suy nghĩ tư lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả tiềm tàng người học sinh - Qua sáng kiến tự đúc rút cho thân mình kinh nghiệm để làm luận cho phương pháp dạy học mới năm tiếp theo III PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Trong sáng kiến nêu số tập rút gọn biểu thức chứa mà học sinh thường làm chương I - Đại số Phân tích cách biến đổi để đưa dạng hằng đẳng thức đưa biểu thức dấu Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải toán bậc hai IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Chuyên đề áp dụng cho học sinh lớp học sinh khá, giỏi mơn tốn thực giờ luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức thực phép tính có chứa V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Đọc sách, tham khảo tài liệu Thực tế chuyên đề, thảo luận đồng nghiệp Dạy học thực tiễn lớp để rút kinh nghiệm Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân đã rút số vấn đề có liên quan đến nội dung chuyên đề Trong trình thực chuyên đề đã sử dụng phương pháp sau: - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó - Điều tra toàn diện đối tượng học sinh lớp khối với tổng số 50 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý em học mơn tốn, quan điểm em tìm hiểu vấn đề giải toán có liên quan đến bậc hai (bằng hệ thống phiếu câu hỏi trắc nghiệm) - Thực nghiệm giáo dục giải mới, tiết luyện tập, tiết trả kiểm tra , đã đưa vấn đề hướng dẫn học sinh trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào đó yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy.Từ đó tổ chức có hiệu giờ dạy tiếp theo PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Đào tạo thế hệ trẻ trở thành người động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội thế giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã quan tâm.Vấn đề khơng nằm ngồi mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nước ta giai đoạn lịch sử Để đáp ứng yêu cầu thời đại khoa học kĩ thuật phát triển Tại nghị quyết hội nghị lần thứ ban chấp hành Trung ương khóa VIII giải pháp chủ yếu giáo dục đào tạo đã rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Chính vì địi hỏi từng môn nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng học sinh Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, dưới tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải quyết nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học vào tập thực tiễn II CƠ SỞ THỰC TIỄN Trong trường THCS mơn Tốn mơn nhiều học sinh cho khó từ đó khơng thích học Qua trình giảng dạy gần gũi học sinh nắm học sinh thường chưa hiểu công thức không dám hỏi bạn bè thầy cô giáo Với học sinh lớp thì việc giải dạng toán “Tìm x dấu để giải phương trình, toán bậc hai, toán rút gọn “gặp nhiều sai xót em khai phương không lấy giá trị tuyệt đối, không chú ý đến điều kiện tồn bậc hai, biểu thức liên hợp toán trục thức mẫu , nên dẫn đến kết sai bỏ xót nghiệm Chính vì mà gặp dạng tốn học sinh thường ngại, lúng túng khơng tự tin hay né tránh nên kết kiểm tra phần thường thấp III THỰC TRẠNG Ở kì thi học kì I, học kì II, ôn thi vào lớp 10, vào trường chuyên, học sinh thường gặp đề thi có nội dung rút gọn biểu thức thực phép tính có chứa thức bậc hai Muốn giải tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ đã học lớp phải biết vận dụng chúng vào từng loại tập Cái khó em học bảy hằng đẳng thức đáng nhớ lớp viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đã học lớp Chính vì số em cịn ́u khơng nhận thấy điểm nên không làm tập rút gọn Vì ta phải cho học sinh nhận thấy mối quan hệ qua lại hằng đẳng thức đáng nhớ lớp hằng đẳng thức lớp để em có thể tự mình phát vận dụng nó vào việc giải tập IV NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Lý Thuyết Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, ta cần cho học sinh học kỹ bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp (theo thứ tự): 1) Bình phương tổng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương hiệu: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương: a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lập phương tổng: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương hiệu: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 7) Hiệu hai lập phương: a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) Biết vận dụng nó để đưa những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp (theo thứ tự) viết dưới dạng có dấu căn: 1) a + ab + b = 2) a − a + = ( ( a+ b ) a −1 ) 2 ( a ) − ( b ) = ( a + b ).( 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 5)1 − a a = (1) − ( a ) = (1 − a ) (1 + 3) a − b = 2 3 3 a− b ( ) b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) * Chú ý: +a;b>0 + Hằng đẳng thức số 4; lớp sử dụng lớp 9, nên không đưa vào phần ghi nhớ lớp + Khi làm điều học sinh có để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai Bài tập vận dụng *Sách giáo khoa lớp và sách bài tập tập đưa rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai sau: Bài toán 1: Chứng minh các đẳng thức sau:  1− a a  − a  + a  a)   − a  =  1− a   Với a ≥ 0; a ≠ Nhận xét đề bài: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau: ( a ) = (1 − a ) (1 + a + a ) − ( a ) = (1 − a ) (1 + a ) − a a = 13 − − a = 12 tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3; lớp Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái: Giải 1− a a 1− a  VT =  + a     1− a  1− a  ( )( )  1− a 1+ a + a    1− a     = + a    1− a 1+ a 1− a        = + a + a   1+ a  ( ) ( )( ) Đến ta lại thấy xuất hđt: (1 + a + a ) = (1 + a ) tương tự hđt số lớp Tiếp tục biến đổi ta kết quả: VT = (1 + a ) a+b a 2b b) =a b a + 2ab + b (1 + a ) = = VP ðpcm với a+b >0 b  Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 hđt số lớp Áp dụng vào toán ta biến đổi vế trái: Giải a+b a b4 a+b VT = = 2 b a + 2ab + b b a b4 ( a + b) 2 a + b ab a+b b a = = = a = VP a+b a+b b b Vi a + b  ðpcm Bài toán 2: Rút gọn biểu thức: P= a + b − ab : a− b a+ b * Nhận xét: a + b − ab = a − ab + b = ( a− b ) Giải P= = a + b − ab : a− b a+ b a − ab + b : a− b a+ b ( a) = ( = − ab + ( b) a− b a− b ) : a+ b a− b a+ b  ( a − b )( a + b ) = ( a) −( b) = 2 = a −b Vậy P = a – b (với a > 0, b > 0, a ≠ b) Bài toán 3: Cho biểu thức:  1− a a   1+ a a  P =  + a   − a   1− a   1+ a  a) Rút gọn P b) Tìm a để P  − * Nhận xét: ( a ) = (1 − a )(1 + a = + ( a ) = (1 + a )(1 − 1− a a = 1− 1+ a Giải ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ ) a + a) a +a  1− a a   1+ a P=  1− a + a        1+ 1 −  1 + a  = + a  1− a   1+        1− a 1+ a + a = +  1− a  ( ) ( ( )( )  a    − a    a − a a ) a (   1+ a     ( a + a + a )  (1 − a + a − = (1 + a + a )  (1 − a + a ) = (1 + a )  (1 − a ) = (1 + a )  (1 − a )    = 1+ a )(1 − 1+ a +a a )− ) a  a   2 = (1 − a ) Vậy P = (1 − a ) Bài toán 4: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:  a +1  M = + : a −1  a − a +1 a− a a − a = a ( a − 1) Nhận xét: a − a +1 = ( ) a −1 với a,b ≥ a ≠ có dạng hđt số lớp Áp dụng vào toán: Giải    1  a +1 1   M = + : = + :  a −1 a − a +1  a a −1 a −1 a− a   (   1+ a   M = :  a a −1    ( M = a −1 a ) ( = 1− a )   a +1 1+ a   =  a a −1  a −1   ) 1 Vi ( ) ( ) a −1 ( a +1 ) a −1 2 a +1 a 0 Bài toán 5: Cho biểu thức: P= x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Với x ≥ ; x ≠ Nhận xét: Bài toán cho có hằng đẳng thức: ( )( ) − x = + x − x dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P Giải x +1 a) P = P= P= P= x −2 ( x + )( x +2 + ) x +1 2+5 x = 4− x x +2 +2 x ( x +1 x + x −2 x +2 ) ( x −2 − 2+5 x − ) 2+5 x x−4 x−4 x+2 x + x + + 2x − x − − x x−4 3x − x = x−4 b) P =  x ( x −2 x ( ( x +2 x −2 )( = ) ( x = 2( x +2 =23 ) ) x ) x + 2)  x +2 x =  x = 16 Bài toán 6: Chứng minh các đẳng thức sau a) a b +b a : = a −b ab a− b Với a, b > ; a ≠ b  a+ a   a− a  b) 1 +  1 −  = − a a + a −    Với a ≥ a ≠ Nhận xét: Hai câu gồm có hđt số & lớp 9: a b + b a = ab a a = a ( ( a+ b ) ) a 1 Áp dụng vào tốn, ta biến đổi vế trái cịn gặp thêm dạng hđt số lớp 8: Giải c)VT = a b +b a ab : a− b ab ( a+ b  a+ a   a− d )VT = 1 +  1 −  a + a −      ( )( ) = + a − a = 12 − ) ( ) ( a) −( b) ab  a ( a + 1)   a ( a − 1)  a   1 −  = 1+ = ( a) a +1 = − a = VP   a −1 ðpcm Bài toán 7: Cho biểu thức Q=   a b − 1 + : 2 2 a −b  a − b  a − a − b2 a 10 a− b = Với a > b >   = a − b = VP ðpcm ( A= a+ b ) − ab a− b a) ÐK : a; b  ; a  b ( b) A = A= A= a+ b ) − ab a− b a − ab + b a− b ( − − ) ( ( a b +b a ab − a b +b a ab ) a+ b = ( a− b a− b ) − ab − ( a+ b ) a + b = a − b − a − b = −2 b Vậy biểu thức A khơng phụ thuộc vào a Bài tốn 11: Cho biểu thức:   2x +1   + x3 x B =  − − x       x −1 x + x +   1+ x  a) Rút gọn B b) Tìm x để B = Với x ≥ ; x ≠ Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau: ( x − 1)( x + = (1 + x )(1 − x3 − = + x3 ) Áp dụng vào toán ta có: x + x) x +1 Giải   2x +   + x3 x a) B =  − − x       x −1 x + x +1 1+ x  (   1+ 2x + x  B= −  x −1 x + x +1 x + x +1    2x + − x x −1   1− x + x − x B=  x −1 x + x +1    ( (  B=    B=   b) ( )( )( ) ) ( ) ( 2x + − x + )( x −1 x + )   1− x + x x +1   x ) ( ( x + x + 1)  − x ( ) ( x − 1)( x + x + 1)  B=3 x −1 =  = ) x −1 x =  x = 16 13 )( x 1− 1+ x x+x )− ( a+ b ab a− b ) a− b − a + ab + b − ab =  x   ) Bài toán 12: Cho biểu thức:  x x +   x +1  C =  + −  :   Với x > ; x ≠ x   3+ x 9− x   x −3 x a) Rút gọn C b) Tìm x cho C < -1 Nhận xét: Bài toán cho gồm có hằng đẳng thức sau: ( )( 9− x = 3− x 3+ x ( x−3 x = x x −3 ) ) Áp dụng vào toán ta có: Giải  x x +   x +1  a )C =  + −  :   x  3+ x 9− x   x −3 x C C C C     x x+9 x +1     = + : − 3+ x x 3+ x 3− x   x x −3      x − x + x +   x +1− x −      :  =  x − x + x +  :  x +1− x +  =  3+ x 3− x     3+ x 3− x    x x −3 x x −3                x x +3 x −3  : x +  =     =  3+ x 3− x   x     x −3 3− x x +2             x x −3  −3    = −3 x =  x −3   x +2  x +2     ( ( ( )( ( ( ( 4− x ( x +2 ) ) ( x +2  Vi ( ( ( ) ( −3 x ( ) ) )  ) )( C  −1  b) )( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ( ( ( ) ( )( ( ) −3 x  −1  ) x +2 ) +1   −3 x + 2 ( ) ) ( ) ) x +2 x +2 ( ) )0 ) x +  ( x  ) nên : − x   x  16 Bài toán 13: Rút gọn: P= x x+y y x+ y − ( x− y ) Với x ≥ 0; y ≥ x2 + y2 > Nhận xét: toán có hđt sau: x x + y y = ( x + y )( x − xy + y ) Áp dụng vào toán 14 Giải P= x x+y y x+ ( P = x− y − ( x− y ) ) ( = ( x+ y )( x − x+ ) xy + y − x − xy + y = x − xy + y y )− (x − xy + y xy + y − x + xy − y = ) xy Bài toán 14: Chứng minh đẳng thức  a +1 a −1  + =  : a −1  a − a +1 a a− a Với a > ; a ≠ Nhận xét: toán cho gồm có hđt sau: a− a = a ( a − a +1 = ) a −1 ( ) a −1 Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái: Giải    a +1 1    VT =  + : = + :  a −1  a − a +  a a −1 a −1  a− a   (   1+ a   VT = :  a a −1    ( ) ( )   a +1 1+ a   =  a a −1  a −1   ( ) ) ( ) a −1 a +1 ( = x+2 ( )( x + 1) Áp dụng vào toán ta có lời giải: x + = ( x + 1) x −1 Giải 15 a −1 = VT a Nhận xét: toán cho gồm có hđt sau: x −1 = ) a −1 Bài toán 15: Rút gọn biểu thức:  x −2 x +  (1 − x ) P =  −  x − x + x +   a +1 ðpcm ÐK : x  ; x    x −2 x +  (1 − x )  P =  − =  x − x + x +     ( )( ( ) ( )( ) ( )( ) )(  x − x +1 − x + P =   x −1 x +1   x+ x −2 x −2− x+ x −2 P =   x −1 x +1    1− x − ) −2 x   ( P= =  ( x − 1) x +    ( ) ( x −2 ( )( x −1 − ) ( x +1  x +  (1 − x )  x +1   ) ) x −  (1 − x )2     x +  (1 − x )    x ( x − 1) ) x +1 = − x ( )( x − 1) = − x ( ( x + 1) x +1 ) ( x −1 = x 1− x ) MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH Bài 1: Rút gọn a+ b a− b 4b + − a− b a + b a −b Với a, b >0 ; a ≠ b Nhận xét: toán cho có hằng đẳng thức: a −b = ( a+ b )( a− b ) Áp dụng vào toán ta có: Giải a+ b a− b ( = = + a− b a+ b − 4b a−b ) + ( a − b ) − 4b ( a + b )( a − b ) a+ b 2 a + ab + b + a − ab + b − 4b ( a+ b )( a− b ) = ( 2a − 2b a+ b )( a− b ) = (a − b) a−b =2 Bài 2: Cho biểu thức a− a  a +a P =  +   −  + a   a −1  a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Trong điều kiện đó, hãy rút gọn P Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a − a = a ( a − 1) Áp dụng vào toán ta có: 16 Giải a− a  a +a P =  +  −   + a   a −1  a) ÐK : a  ; a  a− a  a +a b) P =  +  −   + a   a −1   a a −1  a 1+ a P= +  −   a −1 1+ a   ( ) ( )  =   ( )( ) a + 2 − a = 22 − ( a) Bài 3: Cho biểu thức M = x + + x2 − x − + x2 − a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M x = -5 Nhận xét: Bài toán cho có hđt sau: x − = x − x + x+3= ( x+3 )  x  −3 voi Áp dụng vào toán ta có: Giải M = x + + x2 − x − + x2 − a) ÐK :  x  −3 b) Rút gon : * Nêu x  )( x − ) ( x − 3) + ( x + )( x − ) 2x − + x − ( x + ) ( x + ) + x −  = ( x + ) ( x + ) + M = ( x − ) + ( x + )( x − ) ( x − ) ( x + ) + ( x + 3) = x + M = ( x − 3) x − M = x + + x2 − ( = x+3 ) +2 ( x+3 17 x − 3   x−3  = 4−a * Nêu x  −3 M = M = x + + x2 − 2x − + − ( )( x+3   ( x − 3) −2 M =− x2 − ( ( = − ( x + 3) + ( x + )( x − ) ( x − 3) + ( x + )( x − ) ) x + − x − 3 −  = + x+3 x −3 )=− x − 3) ( x+3 ) ( )( ( )( )( ) x +  x + − x − 3     x−3 x+3 −2 x−3   ) x+3 x −3 c) Khi x = −5 ta co : M =− −5 + −2 1 =− =− =− −5 − −8 Bài 4: Cho biểu thức M = a + a2 − a − a2 − − a − a2 − a + a2 − a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị M a = Nhận xét: Bài toán cho có dạng hđt số ; ; lớp Áp dụng hđt, ta có lời giải Giải ÐK :  a  −1 a)M = a + a −1 a − a2 − (a + M = a2 − − a − a −1 a + a2 − ) − (a − a − ( a − 1) a2 − ) = ( ) ( − )( a + a + a2 − (a − a2 − a − a2 − a2 − ) ) 2 = a + a a − + a − − a + 2a a − − a + = 4a a − 1 b) Khi a = Ta co : M = 4a a − = 4.9 80 = 36 16.5 = 144 Bài 5:Cho biểu thức   x   x P = 1 + −  :   x +   x − x x + x − x −   voi x  ; x  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P < c) Tính giá trị P nếu x = 2002 − 2001 Nhận xét: Sau phân tích đa thức thành nhân tử quy đồng mẫu thức ta có hđt dạng số lớp 9: 18 Giải  x   a ) P =  + : x +      x +1+ x   x − = : x +   x − x x + x − x −    x +1+ x   P =   :  x +         x  =  x +1+ x  :  x +1− x  − x +   ( x + 1) x −  x − ( x + 1) x −      ( ( − x −1 )  x  x ( x + 1) − ( x + 1)  ( ) )  = x + + x )  ( x − 1)   x + + x   ( x + 1) x − P =   x +    x −1  ( b) P   x +1+ x ( ) x −1 1 x +1+ x ( ) x −1 −1   x +1+ x − x +1 ( ) x −1 0 ( x+2 ) x −1 0 Vi : x +  nên : x −   x    x  x +1+ x c) Voi x = 2002 − 2001 ta co P = P= ( 2002 − 2001 + + ( ) ( ) 2001 − ) x −1 = 2002 − 2001 + + 2002 − 2001 2002 − 2001 − = 2001 − − 2002 − 2001 + + 2001 − 2002 − 2001 = 2001 − − 2001 − Bài 6: Cho biểu thức  1   1 A= −  1 −  1− a 1+ a   a  a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A a = 1/4 Nhận xét: Sau quy đồng ta có hđt sau: (1 − a )(1 + a ) = − a Áp dụng vào toán ta có lời giải: Giải ÐK : a  ; a  ( ) ( )(   1    1+ a − 1− a a) A =  − − =   a   1− a 1+ a 1− a 1+ a    1+ a −1+ a  a −1 a  a −1 A =     = =− 1− a a   a  1− a  a  2 b) Khi a = ta co : A = − =− = − = −4 a ( 19 ) )   a −    a   Bài 7: Rút gọn cho biểu thức Y= x2 − x 2x + x +1− x + x +1 x Với x >0 Nhận xét: Sau đặt nhân tử chung thì xuất hđt sau: x2 − x = x   ( x) − 1 = x  ( )( ) x −1 x + x +1 Áp dụng vào toán ta có lời giải Giải Y= x2 − x x + x +1 Y= x ( +1− ) 2x + x ( x x = ( )( ) + 1− x (2 x −1 x + x +1 x + x +1 ) ) x +1 x x −1 +1− x +1 = x − x +1− x −1 = x − x Bài 8: Rút gọn biểu thức  a    K =  − +  :    a −1 a − a   a +1 a −1 Nhận xét: Bài toán cho có hđt: a − = ( a + 1)( a − 1) Áp dụng vào toán ta có Giải ÐK : a  ; a    a     a K =  − + −  :  = a a −1  a −1 a − a   a +1 a −1  a −1 (  a −1 K =  a a −1  (   :     ) (   a −1 =   a +1 a a −1   a −1+ )( a −1 ) ( ) )   : +   a +1   x+2+ x + x+2− x − x3 + 3x x +6 Nhận xét: Bài toán cho gồm có hđt sau: ( )( x + − x ) = ( x + x = x ( x + 3) x + = ( x + 3) x+2+ x x+2 ) −( x) Áp dụng vào toán ta có lời giải Giải 20 )( a −1  a − ( )   a − a −1  = =   a +  a ( a − 1) a  Bài 9: Rút gọn biểu thức A= ( = x+2− x =   a +1   ) ... nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai kém.Việc giúp học sinh nhận dạng giải thành thạo dạng toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai điều rất cần thiết cấp bách... đẳng thức đáng nhớ lớp viết dưới dạng biểu thức chứa chữ, không có chứa căn, mà lớp tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức. .. +a;b>0 + Hằng đẳng thức số 4; lớp sử dụng lớp 9, nên không đưa vào phần ghi nhớ lớp + Khi làm điều học sinh có để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai Bài tập vận dụng