Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí do chọn chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao) trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều c[.]
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn chuyên đề Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải (đặc biệt giải cao) kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện việc làm khó khăn, vất vả tốn nhiều cơng sức thầy trị Việc tìm phương pháp bồi dưỡng hiệu cần thiết khơng giúp học sinh học tập dễ dàng mà rèn cho em lĩnh kiên cường, tự tin bước vào kỳ thi Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình bồi dưỡng với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…Do việc tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thơng minh, xác cần thiết giáo viên học sinh Vì việc chọn chuyên đề: “Phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8” trường THCS Hồng Châu thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, giúp học sinh có kiến thức lựa chọn phương pháp giải tốn liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8” giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu + Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề nhà trường + Hệ thống hoá số phương pháp “Phân tích đa thức thành nhân tử” + Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài + Phân tích rút học kinh nghiệm Phạm vi đối tượng nghiên cứu 4.1) Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu b Nhóm học sinh giỏi mơn Toán lớp trường THCS Hồng Châu 4.2) Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp “Phân tích đa thức thành nhân tử” giải toán bậc THCS Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu tài liệu + Phương pháp điều tra, khảo sát + Phương pháp thử nghiệm + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Giả thuyết khoa học Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng chuyên đề, giúp cho giáo viên giảng dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán nâng cao chất lượng mũi nhọn trường THCS Hồng Châu đặc biệt mơn Tốn PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: 1) Phương pháp đặt nhân tử nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C) 2) Phương pháp dùng thức: Dùng hạng tử số thực có dạng giống đẳng thức 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp số thực số thực chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức nhằm mục đích: + Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm + Nhóm áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn số thực 4) Phối hợp phương pháp bản: Vận dụng phát triển kĩ kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 5) Phương pháp tìm nghiệm đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự 6) Phương pháp thêm bớt hạng tử: Sử dụng cho tậpkhông thể áp dụng ba phương pháp học để giải 7) Phương pháp tách hạng tử: 8) Phương pháp đặt biến phụ: 9) Phương pháp hệ số bất định: Đó đồng hệ số hai vế để từ suy hệ số cần tìm phân tích đa thức thành nhân tử CƠ SỞ THỰC TIỄN “Phân tích đa thức thành nhân tử” loại tốn mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết cách áp dụng “Phân tích đa thức thành nhân tử” để giải toán nào? Có phương pháp nào? Các tốn ứng dụng “Phân tích đa thức thành nhân tử” dạng tốn hay khó, vận dung nhiều toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, cơng tác tự bồi dưỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu phương pháp giải toán có ứng dụng “Phân tích đa thức thành nhân tử” thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS THỰC TRẠNG HIỆN NAY a) Thuận lợi: - Là giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn - Chúng tơi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy - Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức b) Khó khăn: - Học sinh chưa hiểu sâu rộng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo - Khi gặp số tốn học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết theo hướng ? Khơng biết liên hệ cho đề với kiến thức học - Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp vào dạng toán khác - Trình bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, lơgic - Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, máy móc thiếu sáng tạo gặp tốn khó 4) CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: * Quy trình cách thức: - Xây dựng kế hoạch thực từ đầu năm học - Tổ chức thi tuyển chọn em có khiếu mơn Đặc biệt phải học mơn Tốn - Tổ chức cho học ơn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh ( Đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần ) - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà - Thổi vào học sinh tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường tâm thi đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh giỏi Động viên, khích lệ học sinh thường xuyên liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học - Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng toán ơn tập Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, phương pháp làm toán dạng phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó Người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải dạng tập mà cần phải thơng qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ tơi mạnh dạn chọn chun đề " Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác * Khảo sát thực tiễn Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lung tung, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau: Xếp loại Giỏi Tổng số HS Khá Yếu Trung bình SL % SL % SL % SL % 0 50 50 0 Thông qua kết khảo sát tơi suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tôi mạnh dạn nêu số biện pháp đây: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I Kiến thức Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức hiểu chất việc phân tích đa thức thành nhân tử như: + Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức đa thức khác Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) + Biết thực thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp…, + Các quy tắc đổi dấu đa thức + Vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ II Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) Các phương pháp thông thường + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể để phân tích đa thước thành nhân tử Ví dụ1: M1 Phân tích thành nhân tử = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: M2 Phân tích thành nhân tử = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức khơng ? + Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M3 khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phương pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a – 2b) Như M3 phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: M4 = xy(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2) + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức khơng thể phân tích nữa) 2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phương pháp phân tích thành nhân tử thơng thường (đã học SGK) kết hợp phương pháp sau để làm tốn khó + Phương pháp tách hạng tử + Phương pháp thêm, bớt hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp tìm nghiệm đa thức + Phương pháp dùng hệ số bất định 2.1 Phương pháp tách hạng tử * Dạng1: Đa thức bậc hai a) Ví dụ bản: Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 - 11x + 28 Lời giải: x2 - 11x + 28 = x2 - 4x - 7x + 28 = x(x-4) - 7(x-4) = (x-4)(x-7) Ở ví dụ ta tách hạng tử thứ sau: -11 = -4 + (-7) cho (-4).(-7) = 1.28 = 28 * Tổng quát: Cách tách xuất phát từ đẳng thức: (x-a)(x-b) = x2 – (a + b)x + a.b (x+a)(x+b) = x2 + (a + b)x + a.b Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x2 – 5x – 24 Lời giải: -24 = (-8) x2 – 5x – 24 = x2 – 8x + 3x – 24 = (x2 – 8x) + (3x – 24) = x(x – 8) + 3( x – 8) = ( x – 8) ( x + 3) b) Một số ví dụ khai thác Ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x4 – 5x2 – 36 Trong ví dụ đa thức bậc nhiên lại khuyết hạng tử bậc lẻ nên đa thức trùng phương Chúng ta giải với đa thức bậc hai hai ví dụ trước Lời giải: -36 = (-9) x4 – 5x2 – 36 = x4 – 9x2 + 4x2 – 36 = (x4 – 9x2) + ( 4x2 – 36) = x2(x2 – 9) + 4(x2 – 9) = (x2 – 9)( x2 + 4) Ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x2 + 14xy + 48y2 Lời giải: x2 + 14xy + 48y2 = x2 + 6xy + 8xy + 48y2 = (x2 + 6xy) + (8xy + 48y2) = x (x + 6y) + 8y(x + 6y) = (x + 6y)( x + 8y) Ví dụ 10: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: 3x2 + 8x + Lời giải: 3.4 = 12 = 2.6 = 2+ 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x (3x + 2) + 2(3x + 2) = (3x + 2) (x + 2) c) Phương pháp tổng quát phân tích đa thức dạng: ax2 + bx + c gồm bước sau: + Tách hệ số b = m +n cho m n = a.c + Dùng phương pháp nhóm hạng tử làm xuất nhân tử chung * Ngoài tốn khơng tách hạng tử thứ hai mà tách hạng tử thứ hạng tử tự Ví dụ 11: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: 10 = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 19: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 20: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết : x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – Đặt x - 1 ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] + x x x2 x2 1 = y x2 + = y2 + 2, x x2 A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 21: A = ( x2 + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2 = ( x2 + y + z ) + 2( xy + yz +zx) ( x2 + y + z ) + ( xy + yz +zx)2 Đặt x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: B = 2(x4 + y4 +z4) - (x2 + y2 +z2)2 - 2(x2 + y2 +z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 Lời giải: Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 15 Ta lại có: a – b2 = - 2(x2y2 + y2z2 + z2x2) b – c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: B = - 4(x2y2 + y2z2 + z2x2) + (xy + yz + zx)2 = -4x2y2 - 4y2z2 - 4z2x2 + 4x2y2 + 4y2z2 + 4z2x2 + 2 2 2 2 2 2 2 = −4 x y − y z − z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) Ví dụ 23: (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) −12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + C = (m + c)3 – m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn − 4c3 − 3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi ta có: D1 = y2 + 4y - 12 Ta dùng phương pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x D phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) (x2 + x+ 6) Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào phương pháp nêu Chú ý có tam thức khơng thể phân tích tiếp nh : x2 + x + = (x + ) + Do khơng phân tích tiếp Cịn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) 2.4 Phương pháp tìm nghiệm đa thức 16 Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp dựa vào phương pháp nêu Các phương pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d đa thức có x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét tổng hệ số ta xét ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước d làm cho đa thức có giá trị ước nghiệ Ví dụ 24 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – = ( ( x − ) x2 + x + ( x3 − 2x2 ) + ( x2 − 2x ) + ( 2x − 4) = x2 ( x − 2) + x(x − 2) + 2(x − 2) = ) Cách 2: ( )( ) x3 − x2 − = x3 − − x2 + = x3 − − x2 − = ( x − 2)( x2 + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) ( ) = ( x − ) x2 + x + − ( x + 2) = ( x − 2)( x2 + x + 2) Ví dụ 25 Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 khơng nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x +15x - 17 = (3x3 – x2) - (6x2 – 2x) + (15x-5) = x2 (3x −1) − x(3x −1) + 5(3x −1) = (3x −1)( x − x + 5) Vì x − x + = ( x − x + 1) + = ( x −1)2 + với x nên không phân tích thành nhân tử Ví dụ 26 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 27 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Ví dụ 28: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xét tổng hệ số ta thấy a + b + c = + + (-4) = x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau dùng phương pháp học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 29: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Ta thấy tổng hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = có x = -2 nghiệm E2 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ số phương pháp để phối kết hợp với phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích tốn khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức giải phương trình 18 2.5 Phương pháp hệ số bất định: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 26 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = −6 ac + b + d = 12 ad + bc = −14 đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd = Xét bd = với b, d Z, b 1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành a + c = −6 ac = −8 2c = −8 c = −4 a + c = − 14 ac = a = −2 bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 27 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a − = −3 b − 2a = −7 a = b = −5 c − 2b = c = −4 − c = = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 19 Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 28 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – ac = 12 bc + ad = −10 a = c = 3c − a = bd = −12 b = −6 d = d − b = 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 3) Một số tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (ab − 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 − 4x2 + 12x − 27 ; d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + ; e) x4 − 2x3 + 2x − Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 − 2x − 4y2 − 4y ; c) x2(1 − x2) − − 4x2 ; b) x4 + 2x3 − 4x − ; d) (1 + 2x)(1 − 2x) − x(x + 2)(x − 2) ; e) x2 + y2 − x2y2 + xy − x − y Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ; c) c(a + 2b)3 − b(2a + b)3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) xy(x + y) − yz(y + z) + xz(x − z) ; 20 ... tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, ... tìm phân tích đa thức thành nhân tử CƠ SỞ THỰC TIỄN ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử? ?? loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết cách áp dụng ? ?Phân tích đa thức thành. .. phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng,