Bài giảng Thống kê kinh doanh: Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên và các phân phối xác suất, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên; Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc; Một số phân phối xác suất thông dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
THỐNG KÊ KINH DOANH (Business Statistics) Chương Đại lượng ngẫu nhiên phân phối xác suất Chương 4: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT IV.1 Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên IV.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc IV.3 Một số phân phối xác suất thông dụng IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Ví dụ mở đầu Công ty bảo hiểm nhân thọ Metropolitan Công ty thành lập năm 1863, thời kỳ đỉnh cao Nội chiến Hoa Kỳ Mục đích ban đầu: bảo đảm dân cho người lính chiến chống lại thương tật phải chịu đựng từ chiến tranh Sau chiến tranh kết thúc, họ thay đổi định hướng định tập trung vào việc bán bảo hiểm nhân thọ Bảo hiểm nhân thọ ví dụ minh họa cho khái niệm “đại lượng ngẫu nhiên” IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN (ĐLNN) Ví dụ 4.1 Gọi X số tiền bồi thường Công ty bảo hiểm Metropolitan trả cho người lính bị thương tật chiến Giả sử sau bảng phân phối xác suất X: Loại thương tật Chết Loại Loại Loại Loại Nhẹ X (nghìn USD) P 100 50 0,001 0,003 40 30 20 0,009 0,13 0,15 0,707 Hãy cho biết số tiền trung bình mà người lính nhận tham gia bảo hiểm? Nếu Công ty cung cấp dịch vụ bảo hiểm đến người lính với giá 8000 USD/người trung bình Cơng ty lời hợp đồng? IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Khái niệm Đại lượng (dt): đo được, tính cách (trong vật lí, tốn học, v.v.) [*] Đại lượng cho tương ứng kết phép thử với số gọi đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) kết phép thử Nói cách khác, đại lượng ngẫu nhiên đại lượng có giá trị thay đổi tuỳ theo phép thử Hay: Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết phép thử ngẫu nhiên Ta thường dùng kí hiệu: X, Y, Z,… để biểu thị cho đại lượng ngẫu nhiên IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Khái niệm (tt): Ví dụ 4.2 Tung xúc xắc, gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc X đại lượng ngẫu nhiên Ví dụ 4.3 a) Số SV vắng (Y) buổi học Y = 0, 1, 2, … b) Số môn thi đậu sinh viên học kì c) Nhiệt độ phịng học ngày đêm d) Số người đến giao dịch ngân hàng (một tháng) e) Chiều cao niên Việt nam thường khoảng 155 cm đến 180 cm IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Các loại đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên chia thành hai loại: rời rạc liên tục ĐLNN X có dạng: X = {x1, x2, ,xn} X = {x1, x2, ,xn, } gọi ĐLNN rời rạc Đại lượng ngẫu nhiên gọi rời rạc có số hữu hạn vô hạn đếm giá trị ĐLNN có giá trị lấp đầy khoảng hay đoạn (trên trục số) gọi ĐLNN liên tục ( hữu hạn vơ hạn) Ta liệt kê giá trị ĐLNN liên tục Các ĐLNN nhiệt độ, diện tích, thể tích, thời gian, … liên tục IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Các loại đại lượng ngẫu nhiên Ví dụ 4.4 Các đại lượng ngẫu nhiên cho Ví dụ 4.2 4.3 thuộc loại ĐLNN rời rạc (discrete ) hay liên tục (continuous random variables)? Ví dụ 4.2 ĐLNN …………………… Ví dụ 4.3 (a) ĐLNN ……………… ; (b) ĐLNN ……………… ; (c) ĐLNN ……………… (d) ĐLNN ……………… ; (e) ĐLNN ……………… IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Phân phối xác suất Để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X ta cần biết giá trị có X xác suất để nhận giá trị Mối quan hệ giá trị có X xác suất tương ứng gọi phân phối xác suất ĐLNN X Đối với ĐLNN rời rạc ta có bảng phân phối xác suất Trường hợp ĐLNN liên tục ta có hàm mật độ phân phối xác suất IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐLNN Phân phối xác suất (tt) a) Bảng phân phối xác suất Cho ĐLNN rời rạc Đặt Khi bảng sau gọi bảng phân phối xác suất X: X x1 x2 xn P p1 p2 pn Tính chất: 10 IV.3 Một số phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson: Giải Ví dụ 4.17: 45 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) Ví dụ 4.18 Biểu đồ phổ điểm thi mơn Hóa kì thi THPT Quốc gia 2018 Điểm Số lượng 470 0.25 0.5 10 0.75 93 239 1.25 658 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3.25 3.5 3.75 4.25 4.5 4.75 1429 2700 4567 7045 9777 12608 15088 17210 18766 20081 21086 22144 22430 22576 22917 Điểm 5.25 5.5 5.75 6.25 6.5 6.75 7.25 7.5 7.75 8.25 8.5 8.75 Số lượng 22686 21638 20888 19340 17540 15528 13001 10650 8445 6609 4884 3615 2546 1766 1050 632 9.25 318 9.5 128 9.75 48 10 16 HÓA HỌC 25000 20000 (Hình chng Gauss) 15000 10000 5000 0.25 0.5 0.75 1.25 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3.25 3.5 3.75 4.25 4.5 4.75 5.25 5.5 5.75 6.25 6.5 6.75 7.25 7.5 7.75 8.25 8.5 8.75 9.25 9.5 9.75 10 Điểm thi mơn hóa ví dụ phân phối chuẩn 46 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) Hàm mật độ xác suất Phân phối chuẩn nhà toán học Đức Karl Gauss tìm nên cịn gọi phân phối Gauss Đường màu đỏ phân phối chuẩn tắc E(X) = Mod(X) = Med(X) = Đối xứng, hình chng 47 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) Đại lượng ngẫu nhiên LIÊN TỤC X gọi có phân phối chuẩn hàm mật độ có dạng: 𝟐 𝟐 Kí hiệu: X N(;2) Khi đó: Trường hợp đặc biệt ta có phân phối chuẩn tắc/chính tắc/chuẩn hóa (Standard normal probability distribution) với hàm mật độ: 𝟐 (Hàm Gauss) 48 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) (tt) Phân phối chuẩn tắc (Standard normal probability distribution) Hàm mật độ xác suất (PDF) • f(x) 0, x • Tổng diện tích bên đồ thị PDF Hàm phân phối tích lũy (CDF) (hay Hàm phân bố tích lũy, Hàm cộng dồn xác suất) 49 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) (tt) 𝟐 Tích phân Laplace (được gọi Hàm Laplace, tra bảng giá trị có sẵn) Khi (u) hàm số lẻ (đối xứng qua gốc 0) nên: (Xem biểu đồ minh họa slide kế tiếp) Nếu X Do đó, ta cần tìm hiểu phân phối chuẩn tắc ln có 50 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) (tt) Nếu X N(;2) thì: CHÚ Ý: Rất nhiều đại lượng ngẫu nhiên tuân theo PP CHUẨN gần chuẩn như: chiều cao, cân nặng niên, trí thơng minh (IQ) trẻ em, điểm thi thí sinh… Laplace 51 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (Normal distribution) (tt) Quy tắc k-sigma: 68 – 95 – 99,7 Hầu hết giá trị X nằm khoảng 4 P(-4 ≤ X ≤ 4) 52 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Phân phối chuẩn (tt) Ví dụ 4.19 Giả sử chiều cao (X) trẻ em Việt Nam tuân theo phân phối chuẩn: X = Tìm xác suất để trẻ em VN có chiều cao nằm khoảng (1,2; 1,4) C1: PDF Giải Theo cơng thức ta có: Laplace C2: Gauss C3: Laplace 53 IV.3 Một số PP xác suất thơng dụng Phân phối chuẩn (tt) Ví dụ 4.20 Tuổi thọ loại thiết bị (đơn vị: năm) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, với tuổi thọ trung bình 4,5 năm độ lệch chuẩn 1,5 năm Thiết bị coi chất lượng tuổi thọ năm a) Tính tỷ lệ thiết bị chất lượng b) Một công ty mua 500 thiết bị sử dụng, tính xác suất 500 thiết bị có hai thiết bị chất lượng (Đề thi Học kỳ 15.2A) 54 IV.3 Một số PP xác suất thơng dụng Phân phối chuẩn (tt) Ví dụ 4.20 Ta có: X = Giải a) Để tìm tỷ lệ thiết bị chất lượng (tuổi thọ năm), ta áp dụng công thức (slide 50): viết hoa Laplace Lưu ý: thay (-4) trở lên (?) 𝟐 𝟐 55 IV.3 Một số PP xác suất thơng dụng Phân phối chuẩn (tt) Ví dụ 4.20 Ta có: X = Giải b) 56 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Mối quan hệ phân phối chuẩn phân phối nhị thức Cho X ~ B(n; p) Nếu n lớn, p không bé (gần 0) hay lớn (gần 1), ta xấp xỉ Khi đó: , với hàm Gauss , với hàm Laplace Cả hàm Gauss Laplace có bảng tra 57 IV.3 Một số PP xác suất thông dụng Mối quan hệ phân phối chuẩn phân phối nhị thức Ví dụ 4.21 Xác suất thi đậu môn XSTK sinh viên trường đại học 0,7 Học kì có 1200 sinh viên thi mơn Tìm xác suất có: a) 860 sinh viên đậu; b) Ít 860 sinh viên đậu; c) Từ 850 đến 870 sinh viên đậu 58 CỦNG CỐ KIẾN THỨC ĐÃ HỌC IV.1 ĐỊNH NGHĨA PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Các loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc liên tục Phân phối xác suất: * Bảng phân phối xác suất (rời rạc) * Hàm mật độ phân phối xác suất (liên tục) IV.2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Kì vọng, Phương sai, độ lệch chuẩn IV.3 MỘT SỐ P PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nhị thức, Poisson, Chuẩn (Chuẩn tắc) 59 ... 20081 21086 22 144 2 243 0 22576 22917 Điểm 5.25 5.5 5.75 6.25 6.5 6.75 7.25 7.5 7.75 8.25 8.5 8.75 Số lượng 22686 21638 20888 19 340 17 540 15528 13001 10650 844 5 6609 48 84 3615 2 546 1766 1050 632... 2018 Điểm Số lượng 47 0 0.25 0.5 10 0.75 93 239 1.25 658 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3.25 3.5 3.75 4. 25 4. 5 4. 75 142 9 2700 45 67 7 045 9777 12608 15088 17210 18766 20081 21086 22 144 2 243 0 22576 22917 Điểm... Ví dụ 4. 7 Biểu đồ phổ điểm thi mơn Hóa kì thi THPT Quốc gia 2018 Điểm Số lượng 47 0 0.25 0.5 10 0.75 93 239 1.25 658 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3.25 3.5 3.75 4. 25 4. 5 4. 75 142 9 2700 45 67 7 045 9777