ÑEÀ CÖÔNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Gv bieân soaïn Nguyeãn Duy Tröông – Tröôøng THPT Hoàng Ngöï 1 ÑEÀ CÖÔNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( Giaûng vieân höôùng daãn PGS TS Buøi Xuaân Haûi ) ( ) ( ) ( ) ( )[.]
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( Giảng viên hướng dẫn : PGS-TS Bùi Xuân Haûi ) ⎛A B⎞ ⎟⎟ = det ( AD − BC ) 1) Cho A, B, C, D ∈ M n (R ), với CD = DC CMR : det ⎜⎜ ⎝C D⎠ Giaûi : ⎛ A B ⎞⎛ D O ⎞ ⎛ AD − BC ⎟=⎜ ⎟⎟⎜⎜ • Giả sử D khả nghịch, ta có : ⎜⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎝ C D ⎠⎝ − C D ⎠ ⎝ • Giả sử D không khả nghịch, ta xét ma traän : D + λ.I n ; λ ∈ K ⎛A B ⎞ BD −1 ⎞ ⎟ ⇒ det ⎜⎜ ⎟⎟ = det ( AD − BC ) I n ⎟⎠ ⎝C D⎠ o D + λ.I n không khả nghịch ⇔ det (D + λ.I n ) = ⇒ ∃ vô số λ cho : ⎛A B ⎞ ⎛A B ⎞ ⎟⎟ = det ( AD − BC + λA) ⇒ f ( x ) = det ⎜⎜ ⎟⎟ − det ( AD − BC + λA) det ⎜⎜ ⎝ C D + λ.I n ⎠ ⎝ C D + λ.I n ⎠ có vô số nghiệm ⇒ f (λ ) ≡ ⇒ f (0 ) = ⇒ ñpcm ⎛A B ⎞ ⎟⎟ khả nghịch 2) Cho A, B, C, D ∈ M n (R ), với CD = DC Không sử dụng Bài 1, CMR ma trận X = ⎜⎜ ⎝C D⎠ Y = AD − BC khả nghịch Giải : Dựa vào Bài xong ( thầy cho phép) 3) Ký hiệu K n [t ] không gian véc tơ gồm đa thức K[t ] có bậc ≤ n Cho toán tử tuyến tính : ( ) f : R2 [t ] → R2 [t ], xác định sau : f (Q ) = (2t + 1)Q − t − Q' , ∀Q ∈ R2 [t ] ( ) Hãy tính : f n a0 + a1t + a2 t ? Giải : { } • Gọi B0 = 1, t , t sở tắc R2 [t ] ⎧ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ( ) ( ) [ ( ) ] = + − − = + → = f t t ' t f ⎜ 2⎟ B ⎪ ⎜0⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 • ⎨ f (t ) = (2t + 1).t − t − 1 = + t + t → [ f (t )]B0 = ⎜1⎟ ⇒ A = [ f ]B0 = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎪ ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎪ 2 2 ⎪ f t = (2t + 1).t − t − 2t = 2t + t → f t B0 = ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ • Ta chéo hóa ma trận : A = ⎜ 2 ⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1− λ − λ d + λ −1d1 d1 ↔ d 2 o A − λ I = − λ → − − λ → − 0 1− λ 1− λ 1− λ − λ + 2λ + λ −1 1− λ Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -1- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự − λ2 + 2λ + ⎡⎛ − λ2 + 2λ + ⎞ ⎤ λ −1 ⎟(1 − λ ) − (λ − 1)⎥ = − λ2 + 2λ + (λ − 1) + (2λ − 2) = −2 = (− 2).⎢⎜⎜ ⎟ ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ 1− λ [( ( ) ( ) ] ) ( ) ( ) = −λ3 + 3λ2 − λ − + 2λ − = −λ3 + 3λ2 + λ − = − λ3 + λ + 3λ2 − = −λ λ2 − + λ2 − ( ) = λ2 − (3 − λ ) ⎡λ = ±1 ( nghiệm đơn) • A − λ I = ⇔ ⎢ ⎣λ = • Tìm véc tơ riêng ứng với trị riêng treân : N (3), N (1), N (− 1) ∗ Tìm N (3) : ⎛ − ⎞ d +d ⎛ − ⎞ d +d ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ( A − 3.I ) = ⎜ − 2 ⎟ → ⎜ − ⎟ → ⎜ − ⎟ ⎜0 − ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ ⎪ x1 = x2 ⎪ ⇒ Hệ nghiệm tương ứng ma trận ( A − 3.I ) laø : ⎨ x2 = x3 ⎪ x tùy ý ⎪ ⎩ o Chọn x3 = → x2 = & x1 = ⇒ N (3) = {(1,2,1)} ∗ Tìm N (1) : ⎛ ⎞ d −d ⎛ ⎞ d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟2 ⎜ ⎟ ( A − 1.I ) = ⎜ 2 ⎟ → ⎜ 2 ⎟ → ⎜1 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ x2 = ⎪ ⇒ Hệ nghiệm tương ứng ma trận ( A − 1.I ) laø : ⎨ x1 = − x3 ⎪ x tùy ý ⎩ o Choïn x3 = → x2 = & x1 = −1 ⇒ N (1) = {(- 1,0,1)} ∗ Tìm N (− 1) : 1 ⎞ d ↔ d ⎛1 1 ⎞ ⎛ ⎞ d ⎛ ⎞ d ↔ d ⎛ 1 ⎞ d − d ⎛ ⎜ ⎟2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ d3 + d ⎜ ⎟ ( A + 1.I ) = ⎜ 2 ⎟ → ⎜1 1 ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ − − ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0 2⎟ ⎜0 ⎜0 0⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎧ x1 = − x2 − x3 ⎪ ⇒ Hệ nghiệm tương ứng ma trận ( A + 1.I ) laø : ⎨ x2 = −2 x3 ⎪ x tùy ý ⎩ o Choïn x3 = → x2 = −2 & x1 = ⇒ N (1) = {(1,-2,1)} 1⎞ ⎛1 − ⎜ ⎟ • Ma trận làm chéo ma trận A laø : P = ⎜ − ⎟ ⎜1 1 ⎟⎠ ⎝ • Tìm ma trận nghịch đảo P −1 : Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -2- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 −1 1 0 −2 1 1 0 d →d + d → d →− d → ⇒ P −1 d2 → d2 d3 →d1 −d3 → 0 −1 1 −1 0 −2 −1 0 −1 1 − −1 0 −2 1 − − 2 1 1 −1 − −1 1 ⎛1 ⎜ ⎜4 ⎜ 1 = ⎜− ⎜ 2 ⎜3 ⎜ ⎝4 0 c2 →c2 +c3 → d3 →d + d3 d3 →− d → d →d −d1 d3 → d 0 −1 1 − −1 −1 1 − 2 → 0 −1 − −1 −2 −2 1 − − 2 1 1 0 1 −1 − −1 0 1 4 d →2 d + d d1→− d3 + d1 d →− d → 0 1 1 − 2 4 - ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ - ⎟ 4⎠ ⎛1n 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ • Dạng chéo A : D = P −1 A.P = ⎜ − ⎟ → D n = ⎜ ⎜ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 ⎜ n 0 ⎞⎜ ⎞ ⎛⎜1 ⎛1 − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 n ⇒ An = P.D n P −1 = ⎜ − ⎟.⎜ (− 1) ⎟.⎜ − ⎟ 2 ⎜ ⎜1 ⎟⎜ n ⎟⎜ 1 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎜ ⎝4 (− 1)n 0 ⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 3n ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ - ⎟ 4⎠ ⎡ a0 ⎤ ⇒ f n = An ⎢⎢a1 ⎥⎥ ⎢⎣a2 ⎥⎦ 4) Cho V laø không gian véc tơ thực gồm tất ma trận thực cấp có vết (a) Tìm sở số chiều V ⎛1 ⎞ ⎟⎟ f : V → V định nghóa f ( X ) = XB − BX , ∀X ∈ V (b) Cho B = ⎜⎜ ⎝ 3⎠ b⎞ ⎛a ⎟⎟ CMR f toán tử tuyến tính không gian V tính f n ( A), với A = ⎜⎜ ⎝c − a⎠ Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -3- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự Giải : (a) Tìm sở số chiều V ⎧ ⎫ ⎪⎪⎛1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 ⎞⎪⎪ 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎟⎟; e3 = ⎜⎜ ⎟⎟; e2 = ⎜⎜ ⎟⎟⎬ Đặt : e1 = ⎜⎜ ⎟⎟; ⎜⎜ ⎟⎟; ⎜⎜ • Xét hệ : β = ⎨⎜⎜ − 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ − 1⎠ 0⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎪⎝1 424 123 123 ⎪⎩ e1 ⎪⎭ e2 e3 o β độc lập tuyến tính Thật vaäy : 0⎞ ⎛α α ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0 ⎞ ⎛1 ⎟⎟ = ⇔ α1 = α = α = ⎟⎟ = ⇔ ⎜⎜ ⎟⎟ + α ⎜⎜ ⎟⎟ + α ⎜⎜ Giả sử : α1 ⎜⎜ ⎝1 ⎠ ⎝0 0⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ α − α1 ⎠ o β hệ sinh b⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1 ⎛a ⎟⎟ ⎟⎟ + c⎜⎜ ⎟⎟ + b⎜⎜ ⎟⎟ ∈ V A = a⎜⎜ Thật : ∀A = ⎜⎜ ⎝ − 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝c − a⎠ ⇒ β sở V vaø dim V = ⎛1 ⎞ ⎟⎟ f : V → V định nghóa f ( X ) = XB − BX , ∀X ∈ V (b) Cho B = ⎜⎜ ⎝ 3⎠ b⎞ ⎛a ⎟⎟ CMR f toán tử tuyến tính không gian V tính f n ( A), với A = ⎜⎜ ⎝c − a⎠ • CMR f toán tử tuyến tính không gian V ∀X , Y ∈ V , ∀α , β ∈ R : f (αX + β Y ) = (αX + β Y ).B − B.(αX + β Y ) = αXB − αBX + βYB − βBY = α f ( X ) + β f (Y ) → f toán tử tuyến tính không gian V • Với A ∈ V ta coù : [ f ( A)]β = [ f ]β [ A]β [ ⇒ f n ( A)]β ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = E.⎜ b ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a ⎞ ⎛ m1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = E ⎜ b ⎟ = ⎜ m2 ⎟ → f n ( A) = m1.e1 + m2 e2 + m3 e3 ⎜c ⎟ ⎜m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ n • Tính E n ta suy kết −λ n o E chéo hóa : E − λ I = −4 2−λ = λ (2 + λ )( − λ ) −2−λ o λ = ⇒ e1 = (− 1,0,2) → dim E (0 ) = 1; o λ = −2 ⇒ e2 = (0,0,1) → dim E (− 2) = o λ = ⇒ e3 = (− 1,−1,1) → dim E (2) = 1 0⎞ ⎛ − − 1⎞ ⎛−1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 • Dạng chéo A : D = P E.P với P = ⎜ 0 − ⎟ → P = ⎜ − 1 ⎟ ⎜2 ⎜0 1 ⎟⎠ - ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎛0 (− 2)n ⎞⎟ 2n 0⎞ ⎛0 ⎜ ⎜ ⎟ → D = ⎜ − ⎟ → E n = P.D n P −1 = ⎜ 2n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 n n⎟ n ⎟⎠ ⎜ 2.(− 2)n ( ) ( ) 2 − + − − ⎝ ⎠ ⎝ −1 ( Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 ) -4- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 5) Giả sử Fibonacii xây dựng dãy số với F0 = 1; F1 = Fk +2 = Fk +1 + Fk , ∀k ≥ F Hãy tính số Fibonacii CMR tỉ số k +1 dần tới " tỉ lệ vàng" Fk Giải : ∗ Tính Fk = ? ⎛ Fk ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ Fk ⎞ ⎛ Fk + Fk −1 ⎞ ⎛ Fk +1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟⎟ = u k +1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, ∀k ≥ 0, A = ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ Khi : A.u k = ⎜⎜ • Đặt : u k = ⎜⎜ ⎝1 ⎠ ⎝ Fk −1 ⎠ ⎝ Fk ⎝1 ⎠ ⎠ ⎝ Fk ⎠ ⎝ Fk −1 ⎠ ⎛ 3⎞ • Như : u k +1 = A.u k = = Ak u1 , với u1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 ⎠ • Đa thức đặc trưng ma trận A : PA (α ) = 1− λ = λ2 − λ − 1 −λ ⎛1 + ⎞ ⎜ 0⎟ 1± ⎟ Dạng chéo ma trận A : D = P -1 A.P = ⎜ PA (α ) = ⇔ λ = ⎜ 1− ⎟ ⎜0 ⎟ ⎠ ⎝ − λ1 ⎞ ⎛1 − λ1 ⎞ ⎛ − λ1 ⎞ d2 −(1−λ1 )d1⎛1 ⎛1 − λ1 ⎞ d1 ↔d2 ⎛1 1+ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ : ( A − λ1.I ) = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ → • Tìm E⎜⎜ λ1 = → ⎜1 − λ ⎟ ⎜ − λ + λ + 1⎟ = ⎜ ⎟⎠ − λ1 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝1 ⎝ 1 ⎝ ⎠ o Cho x2 = ⇒ x1 = λ1 ⇒ {e1 = (λ1 ,1)} sở E(λ1 ) ⎛ 1− ⎞ ⎟ : Tương tự ta có : {e2 = (λ2 ,1)} sở E(λ2 ) • Tìm E⎜⎜ λ2 = ⎟ ⎝ ⎠ − λ2 ⎞ ⎛1 ⎛ λ1 λ2 ⎞ ⎟ ⎟⎟ → P −1 = ⎜⎜ • Ma trận làm chéo A : P = ⎜⎜ λ1 ⎟⎠ ⎠ λ1 − λ2 ⎝ − ⎝1 ⎞⎟ − λ2 ⎞ ⎛1 ⎟⎟ ⎟⎟ .⎜⎜ λ ⎠ ⎜ λ2 k ⎟ λ1 − λ2 ⎝ − 1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ λ1k +1 − λ2 k +1 − λ1k +1.λ2 + λ1.λ2 k +1 ⎞ ⎛ λ1k +1 λ2 k +1 ⎞ ⎛1 − λ2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎜ = k ⎟ ⎜−1 k k k k ⎟ ⎜ λ λ1 − λ2 ⎜⎝ λ1k λ λ − λ2 ⎠ ⎝ ⎠ − λ1 λ2 + λ1.λ2 ⎝ λ1 − λ2 ⎠ + + + + k k k k ⎛λ − λ2 − λ1 λ2 + λ1.λ2 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⇒ u k +1 = Ak u1 = k k ⎟ ⎜⎝1 ⎟⎠ λ1 − λ2 ⎜⎝ λ1k − λ2 k − λ1 λ2 + λ1.λ2 ⎠ + + + + k k k k ⎛ 3.λ − 3.λ2 − λ1 λ2 + λ1.λ2 ⎞⎟ ⎜ = λ1 − λ2 ⎜⎝ 3.λ1k − 3.λ2 k − λ1k λ2 + λ1.λ2 k ⎟⎠ ⇒ A = P.D.P −1 ⇒ A = P.D P k k −1 λ2 ⎞ ⎛⎜ λ1k ⎛ λ1 = ⎜⎜ ⎝1 − λ1k +1.λ2 + λ1.λ2 k +1 ⎞⎟ − λ1k λ2 + λ1.λ2 k ⎟⎠ ⎛ + ⎞⎤ ⎡ k ⎛ 1− ⎞ ⎟ − λ2 k ⎜ − ⎟⎥ − λ1k λ2 + λ1.λ2 k = ⎢λ1 ⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎠ ⎟⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎛ 3.λ1k +1 − 3.λ2 k +1 ⎛ Fk +1 ⎞ ⎟⎟ = u k +1 = • ⎜⎜ ⎜ λ1 − λ2 ⎜⎝ 3.λ1k − 3.λ2 k ⎝ Fk ⎠ ⇒ Fk = = λ1 k +1 ( 3.λ1k − 3.λ2 k λ1 − λ2 + λ2 k +1 ⎛1 + ⎞ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k +1 ) ⎛1 − ⎞ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k +1 ⎛1 + ⎞ ⎟ Vaäy : Fk = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k +1 Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 ⎛1 − ⎞ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k +1 -5- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự ∗ CM : Fk +1 dần tới " tỉ lệ vàng" : Fk k +2 k +3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ λ1 + ⎜⎜ − ⎟⎟ λ1 + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ1 ⎠ = lim = lim k +2 + k k →∞ k →∞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ k +1 λ1 + ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ1 ⎠ k +2 Fk +1 k →∞ F k Ta có : lim • Do − < − → λ1 Fk +1 1+ = λ1 = ≈ 1,618 k →∞ F k < nên lim Fk +1 dần tới " tỉ lệ vàng" Fk ⎛1 a b ⎞ ⎜ ⎟ 6) Hãy tìm đk đ/v số thực a, b, c cho ma trận sau chéo hóa : A = ⎜ c ⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎝ ⎠ Giải : 1− λ a b • Đa thức đặc trưng A : PA (λ ) = A − λ I = − λ c = (1 − λ )( − λ )2 = −(λ − 1)(λ − 2)2 0 2−λ • A chéo hóa ⇔ m A (λ ) = (λ − 1)(λ − 2) ⇔ ( A − 1.I )( A − 2.I ) = ⎛0 a b⎞ ⎛ −1 a b⎞ ⎛ 0 ac ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧a tùy ý ⇔ ⎜ c ⎟.⎜ 0 c ⎟ = ⇔ ⎜ 0 c ⎟ = ⇔ ⎨ = c ⎩ ⎜0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7) Cho R trường số thực f : R → R toán tử tuyến tính không gian véc tơ R xác định công thức : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + x3 ,−2 x1 + x2 ,−2 x1 + x2 + x3 ), phần tử ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R (a) CMR : Toán tử f chéo hóa R tìm sở R cho ma trận biểu diễn toán tử f sở ma trận chéo (b) Với số nguyên n ≥ 2, CMR tồn toán tử g : R → R cho g n = f Giải : (a) CMR : Toán tử f chéo hóa R tìm sở R cho ma trận biểu diễn toán tử f sở ma trận chéo • CMR : Toán tử f chéo hóa R o Xét sở : B0 = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)} : A = [ f ]B0 ⎛1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 0⎟ ⎜− 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1− λ −1 λ − 2) o Đa thức đặc trưng A laø : PA (λ ) = A − λ I = − − λ = −(λ − 3)2 (λ − 1)( −2 2−λ ⎡λ = o PA (λ ) = ⇔ ⎢⎢λ = → m A (λ ) = (λ − 3)( λ − 1)( λ − 2) ⎢⎣λ = ( đa thức tối tiểu ) Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -6- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự ⇒ A chéo hóa ⇒ toán tử f chéo hóa treân R ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ • Dạng chéo A : D = P A.P = ⎜ ⎟ ⎜0 3⎟ ⎝ ⎠ −1 − d − 1⎞ ⎛ − 1 ⎞ d 2↔2d ⎛1 − ⎞ d +2 d ⎛1 − ⎞ dd1−−dd2 ⎛1 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ • Tìm E(1) : ( A − 1.I ) = ⎜ − 2 ⎟ → ⎜ − 1⎟ → ⎜ − 1⎟ → ⎜ − 1 ⎟ ⎜− 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ x1 = x2 = x3 ⇒ E(1) = {e'1 = (1,1,1)} ⎛ − − 1⎞ d − d ⎛ − ⎜ ⎟ 2⎜ • Tìm E(2 ) : ( A − 2.I ) = ⎜ − ⎟ → ⎜ − ⎜− ⎟ ⎜0 ⎝ ⎝ ⎠ ⎧ x = x1 ⇒⎨ ⇒ E(2 ) = {e'2 = (1,2,3)} = x x ⎩ ⎛ − − 1 ⎞ dd3−−dd2 ⎛ ⎜ ⎟ 2⎜ • Tìm E(3) : ( A − 3.I ) = ⎜ − 0 ⎟ → ⎜1 ⎜ − −1⎟ ⎜0 ⎝ ⎠ ⎝ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎟ d1+ d2 ⎜ ⎟ ⎟ → ⎜ − 0⎟ ⎜ 0 0⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ −1 ⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎟ d1 +d3 ⎜ ⎟ 0 ⎟ → ⎜1 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ − 1⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎧ x1 = ⇒⎨ ⇒ E(3) = {e'3 = (0,1,1)} ⎩ x3 = x2 Vậy : sở {e'1 , e'2 , e'3 } sở cần tìm 8) Đối với ma trận đưa dạng tam giác rõ ma trận khả nghịch P làm tam giác hóa : ⎛3 − 1⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ ⎜ (a) A = ⎜ ⎟; (b) B = ⎜ − ⎜1 − ⎟ ⎜1 ⎝ ⎠ ⎝ Giaûi : − 2⎞ ⎟ 1⎟ ⎟⎠ ⎛3 − 1⎞ ⎜ ⎟ (a) A = ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ ⎠ − λ −1 1 = −(λ − )2 (λ − 1) • Đa thức dặc trưng cuûa A : PA (λ ) = A − λ.I = − λ −1 − λ • Khi đó, ∃ B = (u1 , u , u3 ) sở R cho : A' = [f ]B ⎛1 ⎜ có dạng tam giác : A' = P A.P = ⎜ ⎜0 ⎝ • Tìm u1 : Ta có : f (u1 ) = u1 ⇔ f (u1 ) − u1 = ⇔ ( A − I d )u1 = −1 ⇔ −1 1 −1 −1 → 0 0 −1 0 d −d1 d3 −d1 d1 + d3 − d3 → −1 a b⎞ ⎟ c⎟ ⎟⎠ −1 ⎧ x1 = 0 0 ⇒⎨ → u1 = (0,1,1) x x = ⎩ 0 Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -7- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự • Tìm u : Ta có : f (u ) = 2u + au1 ⇔ f (u ) − 2u = au1 ⇔ ( A − I )u = au1 −1 ⇔ −2 a −1 a d − d1 d3 −d1 → −1 0 −1 a 0 −1 a −1 a ⎧ x = x2 + a → 0 −1 a ⇒ ⎨ → u = (1,1,0 ) x3 = a ⎩ 0 0 d + d1 d3 −d (a = ) • Tìm u3 : Ta có : f (u3 ) = 2u3 + bu1 + cu ⇔ f (u3 ) − 2u3 = bu1 + cu ⇔ ( A − I )u3 = bu1 + cu −1 c ⇔ −2 b+c −1 b d − d3 d1 −d3 0 0 −1 → ⎧ x1 = ⎪ ⇒ ⎨ x2 = → u3 = (2,1,1) ⎪x = ⎩ c−b c−b 0b 0 → 0 −1 d1 −d 00 c b (b = c = 1) ⎛0 2⎞ ⎜ ⎟ • Ma trận làm chéo A : P = ⎜1 1 ⎟ → P −1 = ? ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 • Dạng chéo A : A' = P A.P = ⎜ ⎟ ⎜0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 ⎜ (b) B = ⎜ − ⎜1 ⎝ − 2⎞ ⎟ 1⎟ ⎟⎠ 3−λ −2 = −(λ − 1)3 • Đa thức dặc trưng B : PB (λ ) = B − λ.I = − − λ 1 −λ • Khi ñoù, ∃ C = (u1 , u , u3 ) sở R cho : B' = [f ]C ⎛1 ⎜ có dạng tam giác treân : B' = P −1 A.P = ⎜ ⎜0 ⎝ • Tìm u1 : Ta có : f (u1 ) = u1 ⇔ f (u1 ) − u1 = ⇔ ( A − I )u1 = −2 ⇔ −1 −1 1 −1 d −d1 d3 −d1 d1 → 0 a b⎞ ⎟ c ⎟ ⎟⎠ −1 ⎧ x = x3 = 0 ⇒⎨ → u1 = (1,0,1) x2 = ⎩ 00 • Tìm u : Ta có : f (u ) = u + au1 ⇔ f (u ) − u = au1 ⇔ ( A − I )u = au1 2 −2 a ⇔ −1 −1 1 −1 a d3 − d d1 −2 d → 0 a ⎧ x2 = x3 = (a = 0) → u2 = (0,1,1) −1 −1 ⇒ ⎨ x1 = ⎩ 0 a • Tìm u3 : Ta có : f (u3 ) = u3 + cu + bu1 ⇔ f (u3 ) − u3 = cu + bu1 ⇔ ( A − I )u3 = cu2 + bu1 2 −2 b ⇔ −1 −1 c 1 −1 b + c d3 − d d1 −2 d → 0 b − 2c ⎧ x2 = −1 ⎪ −1 −1 c ⇒ ⎨ x1 = (b = c = 0) → u3 = (1,−1,0) ⎪x = 0 0 b ⎩ Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -8- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ • Ma trận làm chéo B : P = ⎜ − 1⎟ → P −1 = ? ⎜1 ⎟⎠ ⎝ ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 • Dạng chéo B : B ' = P B.P = ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ 19) Trong KG Euclid R với tích thông thường cho véc tơ : u1 = (2,1,−2,4), u = (− 2,1,−1,−6), u3 = (− 2,3,−4,−8) Goïi W = (u1 , u , u3 ) không gian R sinh véc tơ u1 , u , u3 W ⊥ không gian R trực giao với W (a) Tìm sở cho không gian W W ⊥ (b) Cho u = (5,5,−3,1) ∈ R Tìm hình chiếu trực giao prw (u ) u xuống W khoảng cách d (u , W ) từ u đến W Giải : (a) Tìm sở cho không gian W vaø W ⊥ ⎧u1 = (2,1,−2,4) ⎛2 − ⎞ d + d ⎛ − ⎞ d −2 d ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎪ • Ta có : ⎨u = (− 2,1,−1,−6) Xeùt ⎜ − − − ⎟ → ⎜ − − ⎟ → ⎜ − − ⎟ ⎪u = (− 2,3,−4,−8) ⎜ − − − ⎟ d3 + d1 ⎜ − − ⎟ ⎜0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎩ ⇒ dim w = & {u '1 = (2,1,−2,4); u '2 = (0,2,−3,−2)} sở W • Tìm sở cho W ⊥ : o Ta coù : dimW ⊥ = − = ⎧⎪ v, u '1 = ⎧2 x1 + x2 − x3 + x4 = ⎧v ⊥ u '1 o v = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ w ⊥ → ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ x2 − x3 − x4 = ⎪⎩ v, u '2 = ⎩v ⊥ u '2 ⎩ o Cho x4 = 1, x3 = ⇒ x2 = 1, x1 = − o Cho x4 = 0, x3 = ⇒ x2 = 3, x1 = 20) Cho A ∈ O(n, R ) CMR, neáu det A = phần tử aij A phần bù đại số Giải : ⎧ ⎪ A = aij ⎪ ⎪ i+ j Nhắ c lạ i : • ⎨Phần bù : Cij = (− 1) det (i / j ) → Định thức xóa dòng i coät j ⎪ ⎪ A−1 = Adj ( A) ⎪⎩ A ( ) • Ta có : AT = A−1 = Adj ( A) = Adj ( A)( Vì A = 1) A • Do A ∈ O(n, R ) neân : A AT = I n ⇒ A−1 = AT ⇒ AT = Adj ( A) • So sánh ma trận AT = Adj ( A) → Tại vị trí (i, j) ta có : aij = Cij Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 -9- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 21) Cho f phép biến đổi trực giao không gian Euclid E (a) CMR : Ker( f - Id E ) = Im ( f − Id E )⊥ (b) CMR (f − Id E )2 = f = Id E Giaûi : (a) CMR : Ker( f - Id E ) = Im ( f − Id E )⊥ • ∀x ∈ Ker( f - Id E ) ⇒ f ( x ) = x • Với u ∈ E, x, f (u ) − u = f ( x ), f (u ) − u = f ( x ), f (u ) − f ( x ), u = x, u − x, u = (Do f trực giao nên f (x ), f (u ) • u, f (u ) = u, u = u = x, u ) ⇔ u + f (u ) − u 2 − f (u ) =2u ⇔ u + f (u ) = u 2 ⇔ u + f (u ) = u (*) Theo BÑT tam giác ta có : u + f (u ) ≤ u + f (u ) = u • Dấu xảy ⇔ u = λ f (u ) Maø u = f (u ) ⇒ λ = ±1 ⎧λ = → thỏa (*) •⎨ ⇒ f (u ) = u ⎩λ = −1 → khoâng thỏa (*) * Cách khác : • f (u ) − u, f (u ) − u = f (u ), f (u ) − u − u, f (u ) − u = f (u ), f (u ) − f (u ), u = u, u − f (u ), u = u − f (u ), u = ⇒ f (u ) − u = ⇒ f (u ) = u (b) CMR neáu (f − Id E )2 = f = Id E • ( f − Id E )( f − Id E )( x ) = 0, ∀x ∈ E ⇒ Im( f − Id E ) ⊂ ker ( f − Id E ) • Theo câu (a) ta coù : ker ( f − Id E ) = Im( f − Id E )⊥ ⇒ Im( f − Id E ) ⊂ Im( f − Id E )⊥ ⇔ Im( f − Id E ) = ⇔ f = Id E 22) Xây dựng sở trực chuẩn R từ véc tơ riêng toán tử f : R → R có ma trận biểu diễn sở tắc : ⎛5 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜−1 ⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎠ Giải : • Tìm trị riêng λ cuûa A −1 − λ −1 − λ − λ −1 d ↔ d1 d +(5−λ )d1 Xeùt : PA (λ ) = ⇔ − − λ = ⇔ − λ − = ⇔ (5 − λ )2 − + 2(5 − λ ) = d3 + d1 2 2−λ 2 2−λ + 2(5 − λ ) − λ ⇔− (4 − λ )(6 − λ ) 2(6 − λ ) ⎡λ = (đơn ) = ⇔ (6 − λ )2 (− λ ) = ⇔ ⎢ 2(6 − λ ) − λ ⎣λ = (keùp ) • Tìm E(0) : ⎛−1 ⎞ ⎛−1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A − 0.I = ⎜ 24 12 ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o Cho x3 = → x2 = −1; x1 = −1 ⇒ v1 = (− 1;−1;2) Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 - 10 - Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự • Tìm E(6) : ⎛ − − ⎞ ⎛ − − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A − 6.I = ⎜ − − ⎟ → ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 − 4⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o Cho x3 = → x2 = 0; x1 = ⇒ v2 = (2;0;1) o Cho x3 = → x2 = 1; x1 = −1 ⇒ v3 = (− 1;1;0) ⇒ B = (v1 , v2 , v3 ) sở R ⎧v1 = (− 1;−1;2) ⎪ • Ta có : ⎨v2 = (2;0;1) ⎪v = (− 1;1;0) ⎩ • Trực giao hóa B : o u1 = v1 = (− 1;−1;2 ) o u = v2 + λu1 với λ = − o u3 = v3 + λ1u1 + λ2u v2 , u1 u1 = ⇒ u = v2 ⎧ ⎪λ1 = − ⎪ với ⎨ ⎪λ = − ⎪ ⎩ v3 , u1 u2 v3 , u u2 = = ⇒ u3 = v3 + ⎛ 2⎞ u = ⎜ − ,1, ⎟ ⎝ 5⎠ • Trực chuẩn hóa B : ⎧ ⎪w1 = ⎪ ⎪⎪ ⎨w2 = ⎪ ⎪ ⎪w3 = ⎪⎩ u1 ⎛ 1 ⎞ ,− , = ⎜− ⎟ u1 ⎝ 6 6⎠ u2 ⎛ ⎞ ,0, =⎜ ⎟ u2 ⎝ 5⎠ → (w1 , w2 , w3 ) sở trực chuẩn R u3 ⎛ ⎞ , , = ⎜− ⎟ u3 ⎝ 30 30 30 ⎠ 23) Toán tử f : R → R có ma trận sở tắc laø : ⎛1 − − ⎞ ⎟ 1⎜ A = ⎜ − − 2⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ − − 1⎠ Hãy CMR f toán tử trực giao không gian Euclid R với tích vô hướng tắc Giải : 2⎞ ⎛1 − − ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜3 ⎜ 2⎟ • Ta có : A = ⎜ − − ⎟ Goïi B0 = (e1 , e2 , e3 ) sở tắc R ⇒ B0 sở trực chuẩn R 3⎟ ⎜ 3 ⎜− − 1⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 - 11 - Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự • Ta CM : B = ( f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )) sở trực chuẩn R ⎧ 2⎞ ⎛1 ⎪ f (e1 ) = ⎜ , − , − ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 2⎞ ⎛ • Ta coù : ⎨ f (e2 ) = ⎜ − , , − ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎪ ⎪ 1⎞ ⎛ ⎟ ⎪ f (e3 ) = ⎜ − , − , 3⎠ ⎝ ⎩ 2⎞ ⎛1 − − ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎛1 − − ⎞ ⎜3 ⎛1 − − ⎞ d − d ⎛1 − − ⎞ ⎟ d2 + d1⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 3d1 ⎜ • Xeùt : ⎜ − − ⎟ →⎜ − − ⎟ → ⎜ − − ⎟ → ⎜ − − ⎟ d3 + d1 ⎟ 3d ⎜ ⎜ − − 3⎟ ⎜0 ⎜ 3 d − − 1⎟ ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜− − ⎟ ⎝ ⎟ ⎜ 3⎠ ⎝ ⇒ Heä { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ñltt ⇒ B sở R 2 ⎧ ⎪ f (e1 ), f (e2 ) = − − + = ⎪ 2 ⎪ • Ta có : ⎨ f (e1 ), f (e3 ) = − − + = ⇒ B sở trực giao R 9 ⎪ 2 ⎪ ⎪ f (e2 ), f (e3 ) = − − + = ⎩ 2 ⎧ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ f (e1 ) = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎪ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎪ 2 ⎪ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ • ⎨ f (e2 ) = ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⇒ B sở trực chuẩn R ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎪ ⎪ 2 ⎪ f (e ) = ⎛ ⎞ + ⎛ − ⎞ + ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎩ • Do f biến CSTC B0 thành CSTC B R ⇒ f toán tử trực giao ( đpcm) Lớp Cao học Toán K14 – Trường Đại Học Cần Thơ – Niên khóa: 2007 - 2010 - 12 - ... , ∀X ∈ V (b) Cho B = ⎜⎜ ⎝ 3⎠ b⎞ ⎛a ⎟⎟ CMR f toán tử tuyến tính không gian V tính f n ( A), với A = ⎜⎜ ⎝c − a⎠ • CMR f toán tử tuyến tính không gian V ∀X , Y ∈ V , ∀α , β ∈ R : f (αX + β Y ) =... không gian véc tơ thực gồm tất ma trận thực cấp có vết (a) Tìm sở số chiều V ⎛1 ⎞ ⎟⎟ f : V → V định nghóa f ( X ) = XB − BX , ∀X ∈ V (b) Cho B = ⎜⎜ ⎝ 3⎠ b⎞ ⎛a ⎟⎟ CMR f toán tử tuyến tính không... c ⎟ = ⇔ ⎨ = c ⎩ ⎜0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7) Cho R trường số thực f : R → R toán tử tuyến tính không gian véc tơ R xác định công thức : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + x3 ,−2 x1 + x2 ,−2