Chuyên đề bất đẳng thức CHUY£N §Ò gi¶ng d¹y bÊt ®¼ng thøc C¤Si (B§T gi÷a TB céng vµ TB nh©n) I Lý do Trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT, B§T C«si chiÕm mét vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng Nã kh«ng chØ cã mÆt tron[.]
CHUYÊN Đề giảng dạy bất đẳng thức CÔSi (BĐT TB cộng TB nhân) I Lý Trong chơng trình toán THPT, BĐT Côsi chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Nó mặt chủ đề BĐT mà có mặt hầu hết chủ đề khác toán sơ cấp Đây chủ đề hấp dẫn HS say mê Toán đòi hỏi phải động nÃo, tìm tòi, sáng tạo BT BĐT chứa nhiều tiềm khai thác để rèn luyện khái quát hóa, đặc biệt hóa tơng tự cho HS Mặt khác BĐT nói chung BĐT Côsi nói riêng nội dung quan trọng kỳ thi, đặc biệt kỳ thi ĐH CĐ Đây phần gây cho Hs HS giỏi nhiều bối rối Trong đó, số tiết BĐT Côsi mà HS đợc học lớp tơng đối ít, từ HS đợc vận dụng BĐT Cô si xen kẽ vào phần khác nên cha có cách nhìn tổng thể kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi Các tài liệu tham khảo chủ yếu viết theo lối đa BT lời giải Điều thiếu công đoạn quan trọng suy nghĩ, tìm tòi dự đoán để đến lời giải Từ lí trên, qua trình giảng dạy BĐT Côsi chuyên đề ôn thi ĐH khác, để HS có cách nhìn tổng thể toán sử dụng BĐT Côsi từ nâng cao khả sử dụng BĐT Côsi HS đa số kinh nghiệm dạy BĐT Côsi cho HS II Nội dung 1 BĐT Cô si a, Dạng tổng quát BĐT Côsi Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi 2.1 Kỹ thuật 1: Kü tht ph©n tÝch sè mị VÝ dơ 1: Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: 1, 2, Sau chøng minh dùa vµo kỹ thuật phân tích số mũ em cần suy nghĩ đến toán tổng quát hóa tơng tự Để ý số mũ số hạng tham gia vào toán, ta đến nhận xét: + Sè mị cđa a, b, c, d vÕ ph¶i + Số mũ tử số mẫu số số hạng vế trái đơn vị, số mũ a, b, c, d vế phải Từ nhận xét này, em cần phát toán tỉng qu¸t nh sau: Cho a, b, c, d > 0, CMR Đặc biệt hóa kết ta thu đợc kết quả: 1.2.Kỹ thuật tách số hạng Ví dụ 1: b, Phép CM tơng tự câu a Từ VD ta nghĩ đến dự đoán BT tổng quát: Từ VD ta nghĩ đến dự đoán BT tơng tự: 1.3 Kü tht kiĨm tra dÊu b»ng VÝ dơ 1: Dấu đẳng thức xảy a=b=c 1.4 Kü tht nh©n h»ng sè Tõ viƯc CM dựa vào kỹ thuật nhân số Gv yêu cầu Hs dự đoán toán tơng tự 1.5 Kỹ thuật ghép đôi Ví dụ 1: CMR: Phân tích tơng tự ta đợc đpcm Khai thác toán tổng quát toán tơng tự từ ví dụ 2: 1.6 Kü tht ®ỉi biÕn sè: NhËn xÐt: Trong toán ban đầu, mẫu số phức tạp tử số nên toán khó biến đổi đại số Sau biến đổi trạng thái toán đảo ngợc nên thực phép biến đổi đại số dễ dàng 1.7 Kỹ thuật đánh giá mẫu Nhiều toán đánh giá trực tiếp mẫu số ta đánh giá mẫu trớc, từ giải đợc toán 10 1.8 Kỹ thuật ghép nghịch đảo 11 Bất đẳng thức Côsi số chủ đề khác: Bài toán sử dụng BĐT Côsi chủ đề khó gây cho HS nhiều bối rối nhất, nhng chủ đề hấp dẫn HS say mê toán học Do để nắm vững phần này, việc vận dụng BĐT Cô si chủ đề BĐT GV cần lựa chọn thiết kế toán dùng BĐT Côsi chủ đề khác để HS có nhiều hội vận dụng, từ thành thạo kỹ thuật, đạt tới nghệ thuật việc suy nghĩ, tìm lời giải toán Trong giải PT, BPT vô tỷ VD1: Giải PT: (1) Hớng dẫn giải: Do nhẩm đợc nghiệm (1) x = 2005 x=2005 ta có 12 x-2004=2006-x=1, từ nhờ kỹ thuật phân tích số mũ kỹ thuật kiểm tra dấu Côsi , ta đến lời giải: Trong toán giải PTLG Ví dụ: Giải PT: sin8 2x + cos8 2x = (1) Híng dÉn giải: Do ta nhẩm đợc sin8 2x = cos8 2x = thỏa mÃn PT(1) thỏa mÃn đk : sin2 2x + cos2 2x = 1, tõ ®ã nhê kü thuật phân tích số mũ kiểm tra dấu = Cô si, ta đến lời giải sau: 13 Trong gi¶i PT, BPT mị, logarit VÝ dơ : Giải PT: log3(x2+x+1)- log3x=2x-x2 (1) Nhận xét: Đây PT hỗn hợp đại số loga nên thờng giải theo PP đánh giá Khi biến đổi VT(1) xuất cặp nghịch đảo x nên ta sử dụng BĐT Côsi, từ đến lời giải: Trong hƯ PT, hƯ BPT VÝ dơ 1: Gi¶i hƯ PT: Hớng dẫn giải: Đây hệ có số ẩn nhiều số PT nên thờng giải theo PP đánh giá Dùa vµo cÊu tróc hƯ ta cã nhËn xÐt sau: + Nhẩm đợc nghiệm x=y=z=1 14 + Từ số mị cđa x mn chun vỊ sè mị để sử dụng (1), phải dùng Cô si cho số Từ kết hợp với kỹ thuật phân tích sè mị vµ kü tht kiĨm tra dÊu b»ng ta ®i ®Õn lêi gi¶i: VÝ dơ 2: Gi¶i hƯ BPT: Hớng dẫn giải: Nhờ có nxét x+3y=(x+y)+2y nên ta nghĩ ®Õn viƯc dïng C«si cho VT(1) ®Ĩ sư dơng (2) Trong tam giác 15 Ví dụ : Tìm tính chất tam giác ABC có: Hớng dẫn giải: + Trong vế trái có + Nhờ kỹ thuật phân tích sè mị, ta thÊy tõ sè mị bµi toán, muốn đa số mũ (*) phải dùng Cô si cho số + Do tính cặp đôi số hạng hệ thức tìm đợc nên số tham gia vào Cô si phải có cặp số cặp đôi VT toán Còn lại số đợc tìm nhờ kỹ thuật kiểm tra dấu Từ nhận xét, ta đến lời giải: Trong toán tìm Min, Max 16 Trong bi toán hàm số 17 Trong bi toán hình học , cho với x,y,z mặt cầu đơn vị x2+y2+z2=1 Gọi (P) mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu M cắt Ox, Oy, Oz lần lợt A, B, C cho OA= a > 0, OB = b > 0, OC = c > CMR: Lời giải: Một số tập áp dụng: Bài 1: 18 Một số đề thi §¹i häc 19 ` 20 ... toán 10 1.8 Kỹ thuật ghép nghịch đảo 11 Bất đẳng thức Côsi số chủ đề khác: Bài toán sử dụng BĐT Côsi chủ đề khó gây cho HS nhiều bối rối nhất, nhng chủ đề hấp dẫn HS say mê toán học Do để nắm... BT tổng quát: Từ VD ta nghĩ đến dự đoán BT t¬ng tù: 1.3 Kü tht kiĨm tra dÊu b»ng VÝ dụ 1: Dấu đẳng thức xảy a=b=c 1.4 Kỹ thuật nhân số Từ việc CM dựa vào kỹ thuật nhân số Gv yêu cầu Hs dự đoán... say mê toán học Do để nắm vững phần này, việc vận dụng BĐT Cô si chủ đề BĐT GV cần lựa chọn thiết kế toán dùng BĐT Côsi chủ đề khác để HS có nhiều hội vận dụng, từ thành thạo kỹ thuật, đạt tới