Phaàn 1 MÔÛ ÑAÀU Moät soá phöông phaùp giaûi baøi toaùn cöïc trò ñaïi soá I) CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÌM CÖÏC TRÒ CUÛA MOÄT BIEÅU THÖÙC a) Phöông phaùp 1 PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG CAÙC BAÁT ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN[.]
Một số phương pháp giải toán cực trị đại số I) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC: a) Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Phương pháp: -Cho A = f(x) có miền xác định D Để tìm GTLN GTNN A ta sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh f(x) M f(x) ≥ m, từ suy GTLN GTNN A - Đây phương pháp thường sử dụng , nhiều bất đẳng thức học sinh học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” ứng dụng rộng rãi nhiều dạng loại toán , đặc biệt dạng toán tìm cực trị Khi sử dụng bất đẳng thức biết ta cần lưu ý điều kiện để bất đẳng thức trở thành đẳng thức *Các bất đẳng thức thường dùng : Bất đẳng thức Cô-si hệ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối , Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ : Với a,b,c số dương, tìm GTNN biểu thức: P= (Thi HSG lớp – huyện Phù Mỹ- năm học 20022003) Hướng dẫn: Thực phép nhân biểu thức ta được: P= Ta thấy tổng có dạng hóan vị vòng quanh tích số hạng ta sử dụng BĐT Cô si để khử biến, đó: P≥ Þ P = Û a=b=c Ví dụ : Cho 3x – 4y = Tìm GTNN S = 3x2 + 4y2 Hướng dẫn : Khi tìm cực trị biểu thức có điều kiện ràng buộc biến , ta thường sử dụng hợp lý BĐT biết để ghép điều kiện vào biểu thức cần tìm cực trị S = 3.x2 + y2 = 3x – 4y = Do ta áp dụng BĐT Bu nhi a côpxki cho số : Giải : Theo BĐT Bu-nhi-a-cốpxki , ta có : Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Dấu đẳng thức xảy : Vaäy Min S = Û x = , y = -1 Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0, z > x2007 + y2007 + z2007 = Tìm GTLN cuûa : E = x2 + y2 + z2 Hướng dẫn : Ta thấy x2 = , để sử dụng giả 2007 2007 2007 thiết x +y +z = , ta áp dụng BĐT Cô-si để hạ bậc biểu thức điều kiện sử dụng quy tắc cộng BĐT chiều Giải : p dụng BĐT Cô-si cho 2005số hai số x2007 , ta có : Þ Tương tự E = x + y2 + z Vaäy Max E = Û x = y = z = Bài tập tham khảo: Cho x1,x2 hai nghiệm phương trình : 2x2 + 2mx + m2 - = Tìm GTLN A = (Thi HSG lớp – TP Hồ Chí Minh – năm học 2003-2004) Cho a , b , c ,x thoả Tìm GTLN GTNN x ? b) Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẦN CÁC BIẾN VÀO TRONG CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG Phương pháp: - Sử dụng đẳng thức (a b)2 ; (a b c)2, … phương pháp tách hạng tử , thêm- bớt hạng tử để đưa dần biến vào bình phương tổng, đưa biểu thức cho dạng A2+B2+ + m để suy GTNN -A2 -B2 - + M để suy GTLN biểu thức - Phương pháp thường sử dụng để tìm cực trị đa thức bậc hai Khi sử dụng phương pháp cần lưu ý điều kiện xảy đồng thời biến để A = 0, B = 0, Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x + 1)2 + (x – 3)2 Hướng daãn: A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = 2(x – 1)2 + 8 Vaäy Min A = x = Ví dụ2: Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – Hướng dẫn: B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – = - (x + y – 3)2 – 4(x – 1)2 – (y – 2)2 + 16 16 Nguyễn Văn Anh – Tổ Toán – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Vậy Max B = 16 x= 1; y = Ví dụ3: Tìm gia trị nhỏ C= x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy Hướng dẫn: C= x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz = (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2 = (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ Vaäy Min C = x = y = z = Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ D = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2008 Hướng dẫn: 4D = 4x2 +4 xy + 4y2 – 12x – 12y + 8032 = (4x2 + y2 + + 4xy – 12x – 6y) + (3y – 6y + ) + 8020 = Dấu đẳng thức xảy Vậy MinD = 2005 x = y = Ví dụ 5: Cho x, y liên hệ với hệ thức: x + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = (1) Hãy tìm GTLN, GTNN E = x + y + Hướng dẫn: (1) (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (2) Vì 4y2 ≥ 0, y (2x + 2y + 7)2 ≤ (x + y + 5)(x + y + 2) ≤ (Vì x + y + > x + y + , (x;y) ) Vaäy minE= -4 y = 0, x = -5 ; maxE = -1 y = 0, x = -2 Bài tập tham khảo: Tìm GTNN biểu thức : F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y 8z + 2008 Cho x + y + z = Tìm GTLN biểu thức : G = xy + yz + zx c) Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ HÀM SỐ Phương pháp:: -Dùng kỹ biện luận phương trình để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) sau: Giả sử y = yo (yo số) Xét phương trình yo = f(x) f(x) – yo = (1) Trong x ẩn số , yo tham số yo thuộc miền giá trị f phương trình (1) có nghiệm m yo m y Kết luaän: Max y = M Min y = m - Phương pháp thường chuyển xét điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai với ≥ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1: Tìm GTLN GTNN biểu thức: y = Hướng dẫn: Vì x2 + > với x , nên y xác định với x Do , để y đạt giá trị y o phương trình : y o (x2 + 1) = x2 + (yo – Nguyễn Văn Anh – Tổ Toán – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số 1)x2 + yo – = (1) phải có nghiệm ẩn x Khi ta xét trường hợp: +/ Nếu yo = (1) x = Vậy yo = thuộc miền giá trị f(x) (1) +/ Nếu yo (1) có nghiệm = - yo2 + yo + ( yo- 5) (yo + 1) -1 yo (y 1) Với yo = -1 , từ (1) ; Từ (1) vaø (2) suy ra: (2) Min y = -1 x = - ; Max y = Ví dụ : Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – = (1) Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = -2x + y + (2) Hướng dẫn : Để thành lập phương trình có ẩn x y P tham số ,ta cần rút x y phương trình (2) vào phương trình (1) nhằm khử bớt ẩn , đơn giản ta nên rút y y = 2x + P - 36x2 + 16(2x + P - 5)2 – = 100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – = (3) (3) có nghiệm ’ ≥ 576 (P - 5)2 ≤ 900 Với P= P= : Từ (3) x = x= - Vaäy max P= ; (2) y = ;y= (x,y) = (- ; ) , P = (x,y) = ( ; ) Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN biểu thức : C = Hướng dẫn : Điều kiện : 2 Đặt z = ,y= z + y = (1) Ta cần tìm GTLN , GTNN d = 4z + 3y với 2C = d + Điều kiện : z, y < d < Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta : 25z2 – 8dz + d2 – = Để phương trình có nghiệm z d2 25 d + GTLN d (thoả) + d = 4z + 3y GTLN C ,khi z = Đẳng thức xảy 4z = 3y Thay vào (1) ta Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức (thỏa) Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Khi GTNN d GTNN C Bài tập tham khảo: Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = Tìm GTLN GTNN biểu thức : Q = d) Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP XÉT BIỂU THỨC PHỤ Phương pháp:: Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị việc tìm cực trị biểu thức sau đơn giản Để tìm cực trị A , ta xét biểu thức phụ khác : - A; ; A2; biểu thức B sai khác với A số Ví dụ : -A lớn lớn A nhỏ B nhỏ (B > 0) C lớn C2 lớn ( C > 0), Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = Hướng dẫn : - Ta thấy A>0 với x thuộc MXĐ A - Biểu thức A nghịch đảo biểu thức B= với B dương, ta thay việc tìm cực trị A thành tìm cực trị B đơn giản Giải : Điều kiện : Ta có : A > Xét biểu thức : B = = Min B = Max B = 5+2 Ta có : Khi Max A = Khi Min A = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : C = Hướng dẫn: Biểu thức C xác định với giá trị x , ngòai việc tìm cực trị phương pháp miền giá trị hàm số , ta tách biểu thức C để xét biểu thức phụ: Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số C= 3- = - D Khi , D ≥ x nên ta co:ù maxC = – minD, C = – maxD + D ≥ minD = max C = x=0 + minC = x4 + ≥ 2x2 x4 + 2x2 + ≥ 4x2 D ≤ maxD = x=1 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ – năm học 2004-2005) Hướng dẫn: Đặt A = A2 = Trong (Thi HSG lớp , suy ra: , tiếp tục áp dụng BĐT Cô si cho số dương để hạ bậc số mũ loại bỏ thức, tương tự cho hai số lại Cộng theo vế ba BĐT chiều ta A2 ≥ A ≥ minA = a=b=c=1 Ví dụ : Tìm giá trị lớn : A = Hướng dẫn : Ta thấy A>0 với x, ta thay việc tìm cực trị A việc tìm cực trị A2 để làm bớt dấu Giải : Điều kiện : Xét hiệu : Do (1) nên 2x + > A>0 Xét A2 = Hiển nhiên A2 A2 = 0, dấu “=” không xảy A > = = A2 Do A > neân A = Khi : (x+1)(6-x) = (x+2)(3-x) x = Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ C = Với < x < Phân tích:- Với < x < C > Nếu quy đồng mẫu chuyễn thành phân thức, có điều kiện < x < nên việc tìm cực trị khó khăn Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số - Ta cần tìm biểu thức D sai khác với C số D sử dụng BĐT để khử biến Giải : Xét biểu thức : D = p dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương : D D=2 (1) (2) (1) Như Min D = Ta có : C – D = Do : Min C = Bài tập tham khảo: Tìm GTNN,GTLN biểu thức y = Tìm GTNN,GTLN biểu thức A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ e) Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp:: - Để đơn giản hoá biểu thức xét để khai thác hết giả thiết ta đổi biến số tìm cực trị biến Cần lưu ý biến số có điều kiện giới hạn ta phải kiểm soát điều kiện - Phương pháp thường sử dụng với biểu thức có chứa biểu thức giống biến, đặt biến số biểu thưcù giống - Phương pháp thường ứng dụng việc tìm cực trị biểu thức nhiều biến kèm theo điều kiện Nếu khéo léo đổi biến , ta làm giảm số biến đưa việc xét biểu thức phức tạp biểu thức quen thuộc, đơn giản hơn, phù hợp với kiến thức bậc trung học sở Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1:Tìm GTNN biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: Ta thấy x – chênh lệch so với x-1 x-3 đơn vị , ta đặt biến số y = x -2 Khi A = 2y + 2 Vaäy Min A = < = > y = x = Ví dụ 2: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức B = a4 + b4 Hướng dẫn: Lưu ý rằng: Một biểu thức nhiều biến thường đạt GTNN (hoặc GTLN) số biến số có giá trị tất biến có giá trị Nguyễn Văn Anh – Tổ Toán – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Điều gợi ý cho ta cách đổi biến sau: Do a + b = nên ta đặt , với m tùy ý Khi B = 2m + 48m2 + 32 ≥ 32 m minB = 32 m = a = b = Ví dụ 3: Cho a,b,c > abc = Tìm GTNN Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức cho dạng : Đặt Khi P = p dụng BĐT Bunhiacôpxki ta dược: P p dụng BĐT Côsi ta có: Do P Min P = x=y=z=1 a=b=c=1 Bài tập tham khảo: Cho x + y + z = Tìm GTNN cuûa x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx Tìm GTLN, GTNN A = (x + 1)(y4 + 1) Biết x,y x + y = (HD: Đặt xy = t) f) Phương pháp 6: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Phương pháp: - Để tìm cực trị biểu thức, ta chia tập xác định khoảng Sau ta tiến hành tìm cực trị biểu thức khoảng biến, so sánh cực trị để tìm giá trị cực trị (GTNN; GTLN) toàn tập xác định biểu thức - Phương pháp thường sử dụng biểu thức có dạng tích mà dấu biểu thức phụ thuộc vào dấu vài nhân tử Đồng thời, tính biến thiên biểu thức không thay đổi khoảng chia - Phương pháp áp dụng với biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số - Phương pháp giúp cho ta giới hạn khoảng giá trị biến để biểu thức đạt giá trị cực trị cần tìm Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức: với Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: với , nên dấu phụ thuộc vào dấu * Với * Với Do để tìm GTNN ta xét giá trị với GIẢI: * Với (1) * Với Khi đó: Xét biểu thức: p dụng bất đẳng thức Cô – si cho số không âm: Ta có: (2) Từ (1) (2) với Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức: Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: với , nên dấu phụ thuộc vào dấu * Với * Với Do để tìm GTLN ta xét giá trị với ; GTNN ta xét giá trị với GIẢI: * Điều kiện xác định là: * Với Ta có: * Với (BĐT Cô – si) Ta có: (BĐT Cô – si) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: với Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: , nên dấu phụ thuộc vào dấu * Với * Với Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Do để tìm GTLN ta xét giá trị với thoả: GIẢI: * Điều kiện xác định C là: Vì ; nên: * Với Do ta xét trường hợp sau: + Nếu (a) + Nếu (b) + Nếu (c) * Với (d) - Từ (a); (b); (c) (d) suy ra: Bài tập tham khảo: Tìm GTNN HD: Xét M khoảng: Tìm GTNN HD: Xét N khoảng: g) Phương pháp 7: PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ Phương pháp: - Nếu việc thứ tự lại số; biến số không làm tính tổng quát toán nên thực chúng cho thêm giả thiết để tìm GTLN GTNN - Khi thứ tự lại số biến ta nên ý đến phần tử Min Max chúng - Phương pháp thường sử dụng biểu thức đối xứng, hóan vị vòng quanh số biểu thức có điều kiện ràng buộc biến - Phương pháp giúp cho ta giảm số lượng biến Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: Với Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: Biểu thức S có dạng hoán vị vòng quanh x→y→z→x , ta giả sử x số lớn để có thêm giả thiết so sánh với biểu thức trung gian GIẢI: * Giả sử: Ta có: (BĐT Cô – si ) Vậy = , , Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức: Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức 10 Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Với Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: biểu thức đối xứng có dạng phân thức tử mẫu bậc, nên không tính tổng quát ta thứ tự biến để có thêm giả thiết so sánh với biểu thức trung gian số GIẢI: * Giả sử: Khi đó: p dụng bất đẳng thức Trê – bư – sep ta có: (1) (2) * Từ (1) (2) Vậy Bài tập tham khảo: Cho ba số Cho ba số Tìm GTNN Tìm GTNN (HD: p dụng kết với ) III) ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ: 1 Giải phương trình giải hệ phương trình: Như ta biết: * * Tồn giá trị cho Tồn giá trị cho Điều chứng tỏ giá trị nghiệm phương trình: Từ cho phép ta sử dụng cực trị việc giải số phương trình hệ phương trình dạng đặc biệt Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (*) HD Giải: Ta có: + (*) + p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Ta có: Dấu xảy (1) + Mặt khác: Dấu xảy (2) * Từ (1) (2) suy ra: Phương trình cho có nghiệm Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức 11 Trang Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (1) HD Giải: ĐK: Với : + p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Từ (1), ta có: (2) Tương tự từ (2) ta có: Lúc hệ phương trình cho tương đương với hệ: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: a) b) c) Bài tập tham khảo: Giải phương trình sau: (Với Với ) nhỏ Giải hệ phương trình: 2 Giải toán cực trị hình học: Ta giả sử biểu thức xác định yếu tố hình học Chẳng hạn: Tổng độ dài đoạn thẳng, chu vi diện tích hình hình học, ….Dựa vào toán tìm cực trị: ; Ta xác định giá trị lớn nhất, nhỏ yếu tố Trong trình giảng dạy nghiên cứu xin dề xuất số dạng toán sau: Về tìm giá trị nhỏ nhất: + Dạng 1: + Dạng 2: + Dạng 3: Nếu số thí tổng Về tìm giá trị lớn nhất: + Dạng 1: nhỏ + Dạng 2: + Dạng 3: Nếu số thí tích lớn Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho Qua điểm thuộc cạnh kẻ đường song song với hai cạnh lại; chúng tạoAvới hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí để hình bình hành có diện tích lớn E M HD Giải: Gọi diện tích ; diện tích Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức B 12 H F Trang C Một số phương pháp giải toán cực trị đại số Kẻ - Đặt: , cắt Ta có : Ta có: K Theo bất đẳng thức Cô – si thì: ; tức là trung điểm Ví dụ 2: Hai đường chéo tứ giác lồi cắt Biết Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác C ? HD Giải: Ta có: (hai tam giác có chiều cao) B Mà O D A - Dấu xảy hay // Vậy // hình thang Bài tập tham khảo: Cho vuông cân có cạnh huyền Các điểm theo thứ tự thuộc cạnh Vẽ Tính diện tích lớn tứ giác thay đổi vị trí cạnh Cho đoạn thẳng đường thẳng song song với Từ điểm ( khác phía ) cho tia tạo với tam giác có diện tích nhỏ Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức 13 Trang ... trị nhỏ nhất: + Dạng 1: + Dạng 2: + Dạng 3: Nếu số thí tổng Về tìm giá trị lớn nhất: + Dạng 1: nhỏ + Dạng 2: + Dạng 3: Nếu số thí tích lớn Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho Qua điểm thuộc... pháp thường chuyển xét điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai với ≥ Các ví dụ minh hoạ: Ví d? ?1: Tìm GTLN GTNN biểu thức: y = Hướng dẫn: Vì x2 + > với x , nên y xác định với x Do , để y đạt... thức quen thuộc, đơn giản hơn, phù hợp với kiến thức bậc trung học sở Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1:Tìm GTNN biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: Ta thấy x – chênh lệch so với x-1 x-3 đơn