BT VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN TL ÔN THI THPTQG

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA OB OC , , đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC   . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 0 45 B. 0 90 C. 0 30 D. 0 60 Lời giải Chọn D Chuyên đề 3 HHKG GÓC TRONG KHÔNG GIAN d1 d2 d2 d1 O Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 2 Đặt OA a  suy ra OB OC a   và AB BC AC a    2 Gọi N là trung điểm AC ta có MN AB và 2 2 a MN  Suy ra góc   OM AB OM MN , ,    . Xét OMN  Trong tam giác OM N có 2 2 a ON OM MN    nên OMN là tam giác đều Suy ra  0 OMN  60 . Vậy       0 OM AB OM MN , , 60   Câu 2. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD với 3   0 , 60 , 2 AC AD CAB DAB CD AD     . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chọn khẳng định đúng về góc  . A. 3 4 cos  B. 0 30 C. 0 60 D. 1 4 cos  Lời giải Chọn D Ta có   0 0 AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB AD cos AB AC cos . . . . . . 60 . . 60               0 0 3 1 . . 60 . . 60 . 2 4 AB AD cos AB AD cos AB AD       . 1 1

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Chun đề TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) d1 d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d 2' song song ( trịng O nằm hai đường thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng d1' , d 2' góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A  b2  c2  a2 2bc   Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định cos  d1 , d     u1 u2       Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc      chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a, b, c thực tính tốn (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với D 600 H C 300 Lời giải T B 900 N A 450 I N E T OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB A IL IE U O Chọn D T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đặt OA  a suy OB  OC  a AB  BC  AC  a Gọi N trung điểm AC ta có MN / / AB MN   OM , AB    OM , MN  Xét OMN Suy góc  a 2 a nên O M N tam giác   600 Vậy  Suy OMN OM , AB    OM , MN   600 Trong tam giác O M N có ON  OM  MN  Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD với   DAB   600 , CD  AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn AC  AD, CAB khẳng định góc  A cos   B 300 C 600 D cos   Lời giải Chọn D         Ta có AB CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC  AB AD cos 600  AB AC cos 600 E T N O U IE A (THPT Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , biết đáy ABCD hình vng Tính góc AC BD T Câu  IL  H 1  AB AD cos 600  AB AD.cos 600  AB AD     AB.CD 1 cos AB, CD    cos  AB.CD 4 T  I N  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 90 B 30 C 60 Lời giải D 45 Vì ABCD hình vng nên BD  AC Mặt khác AA   ABCD   BD  AA  BD  AC Ta có   BD   AAC   BD  AC  BD  AA ' Do góc AC BD 90 Câu (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN  a , góc hai đường thẳng AB CD A 450 B 900 C 600 Lời giải D 300      AB, CD  PM , PN Gọi P trung điểm AC , ta có PM //CD PN //AB , suy  Dễ thấy PM  PN  a  E T PM  PN  MN a  a  3a   PM PN 2.a.a I N  Xét PMN ta có cos MPN  T N A IL IE U O (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD AB C D ; gọi M trung điểm BC  Góc hai đường thẳng AM BC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải T Câu H   1200    MPN AB, CD  1800  1200  600 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group B C N A D B' C' M A' D' Giả sử cạnh hình lập phương a  Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN //BC  nên  AM , BC     AM , MN  Xét tam giác ABM vuông B ta có: AM  AB2  B M  a  Xét tam giác AAM vuông A ta có: AM  AA2  AM  a  Có AN  AM  a2 a  5a 3a  a BC  a ; MN   2 Trong tam giác AMN ta có: a 2 a 5a   MA  MN  AN 4  6a cos  AMN    2.MA.MN 6a 3a a 2 2 2 Suy  AMN  45 Vậy  AM , BC     AM , MN    AMN  45 Câu (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh T A IL IE U O N T H I N E T SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có BC  a nên tam giác ABC vng A Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC   AB.SC   Ta có cos  AB , SC   cos AB, SC  AB.SC          a2 AB.SC  AB SI  IC  AB.SI   BA.BC   BA.BC.cos 45   2 2 a cos  AB , SC   22    AB, SC   60 a   AB.SC   Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC          a2 Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC cos 90  SA.SC.cos 60           a 2 Khi cos  AB, SC    a (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  B 45 C 90 Lời giải D 30 T  N  U  O               Ta có AB.BC   AB  BB BC  CC   AB.BC  AB.CC   BB .BC  BB .CC  H I N E T A 60 A IL IE         a2 3a  AB.BC  AB.CC   BB .BC  BB .CC       2a  2 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 3a     AB.BC  Suy cos AB, BC         AB, BC    60 AB BC  a 3.a  Câu  (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a ,  ABC  45 Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60 B 120 C 90 D 30 Lời giải Ta có tam giác ABC vng cân A , tam giác BDC vuông cân D          Ta có AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD            DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a           AB.CD Mặt khác ta lại có AB.CD  AB CD cos AB.CD  cos AB, CD      AB CD    AB, DC  120   AB, CD   60       Câu     (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M , N trung điểm AD , BB Cosin góc hợp MN AC ' A B Lời giải C D Trang https://TaiLieuOnThi.Net N O U IE IL  A  T   1 AC .MN  a  a  a  a 2   MN AC    cos  MN ; AC    cos MN ; AC      MN AC  E I N H T * Ta có:           1 a MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c  MN  a  a  a  2 4         AC   AB  AD  AA  a  b  c  AC   a  a  a  a T * Xét hình lập phương ABCD ABC D cạnh a             * Đặt a  AB, b  AD, c  AA  a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC A 35 B   60  SC ,  ABCD     SC , CH   SCH cos  SB, AC     SB AC Lời giải C D SB AC               SB AC  SH  HB AB  BC  SH AB  SH BC  HB AB  HB.BC         HB AB  HB.BC  AB  2a 2  a AC  a , CH  a  a  a , SH  CH tan SCH   SB  SH  HB  a  a  a   SB AC 2a cos  SB, AC     SB AC a 7.a 35 A IL IE U O N T H I N E T (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90 B 60 C 45 D 75 Lời giải T Câu 11 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi I trung điểm SA IMNC hình bình hành nên MN // IC Ta có BD   SAC   BD  IC mà MN // IC  BD  MN nên góc hai đường thẳng MN BD 90   Cách khác: dùng hệ trục tọa độ lớp 12, tính tích vơ hướng BD.MN  Câu 12 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45 B 60 C 30 D 90 Lời giải Gọi P trung điểm CD E I N H O N a2 a2 a2    MP  MNP vuông N 4 U  MN  NP  a a a , NP  , MP  2 T Xét tam giác MNP ta có: MN  T Ta có: NP // SC   MN , SC    MN , NP  T A IL IE   90   MN , SC    MN , NP   90  MNP Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải    Gọi E trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD  HK  AB  C Ta có BK   ABC  BD / / AB   AB, B C    BD, BC   DB Ta tính BC  a  BH  a ; BD  AB  CD  a 3  a  2a AC  AD  3a  4a  a ; CK  CE  EK  3a 9a   a 4 BC  B K  CK  3a  3a  a  D  cos CB (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos  AB, DM  A B C 2 D  O U IE   IL  A Giả sử cạnh tứ diện a Gọi N trung điểm AC   Khi đó: AB, DM  MN , DM N T H I N E T Lời giải T Câu 14 BD  BC  CD 4a  a  a   2.BD.BC 2.2a.a Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có: MN  a a , DM  DN  2 a2 MN  MD2  ND2  cos NM D   2.MN MD a a 2 Vậy cos AB, DM   Câu 15 (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác ABC nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  M trung điểm cạnh CC  Tính cosin góc  hai đường thẳng AA BM A cos  22 11 B cos  33 11 C cos  11 11 D cos  22 11 Lời giải a AH  BC , AH  BC  BC   AAH   BC  AA hay BC  BB Do đó: BCC B hình chữ nhật Ta có: AH  AH  a 22 a a  BM  a  a 2 16 2      3a Xét: AA.BM  AA BC  CM   AA.CM  Khi đó: CC   AA  33 11 T a a 22  H (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Cơsin góc hai đường thẳng NC BI Giả sử cạnh lăng trụ a Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net 10 O D U Lời giải C IE 15 IL B A T A N T Câu 16 3a I N Suy cos  AA, BM    E  Tài Liệu Ôn Thi Group  SBC  Câu 13   có vtpt n   2; 0;1 ,  SAB  có vtpt m  0; 2; 1  cos       1  3 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có AB  AC  a , góc   120 , AA  a Gọi M , N trung điểm BC  CC  Số đo góc mặt BAC phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  A 60 B 30 C arcsin D arccos Lời giải Gọi H trung điểm BC , BC  a , AH  a  a   a  a  ;0  , C  0;  ;0  , Chọn hệ trục tọa độ H  0; 0;  , A  ; 0;0  , B  0; 2 2       a a ;  Gọi  góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  M  0; 0; a  , N  0;  2    AMN  có vtpt    1   ; ; n   AM , AN      4  Lời giải C D I N H B T T A IL IE U O A E (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  N Câu 14 Trang 54 https://TaiLieuOnThi.Net T   n.HM     ABC  có vtpt HM   0; 0;1 , từ cos    n HM 1.1 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho A  0; 0;  , B  0;1;  , D 1;0;  , S  0; 0;  1  Ta có M trung điểm SD  M  ;0;1 , C 1;1;0  2        1    AM   ; 0;1 , AC  1;1;  ,  AM , AC    1;1;    AMC  có vtpt n   2; 2;1 2 2        SB   0;1; 2  , SC  1;1; 2  ,  SB, SC    0; 2;1   SBC  có vtpt k   0; 2;1  n.k Gọi  góc hai mặt phẳng  AMC   SBC  cos      n.n 2018) B x  Cho a tứ diện C x  a AC  AD  BC  BD  a , D x  a Lời giải : I N H T N O U IE IL A x  a Hóa A Thanh T ABCD có CD  x ,  ACD    BCD  Tìm giá trị x để  ABC    ABD  ? (Sở T Câu 15 1  cos  E Do tan   nên tan   Trang 55 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  AE  CD Gọi E ; F trung điểm CD AB   (Tính chất tứ diện đều)  BE  CD   90 Đồng thời  BCD    ACD   CD   BCD  ,  ACD   BEA   CF  AB   AB   CFD     Ta có  ABC  ,  ABD     CF , FD   DF  AB      trung tuyến FE tam giác CFD , FD  90  CFD Vậy để  ABC    ABD  CF nửa cạnh huyền  FE  CD Ta có EAB vuông cân E  EF  Vậy x  Câu 16 AE  AC  CE  a2  x2 a2  x2 a  x2 a2  x2   x2   xa 2 3 (Chuyên Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) C 39 13 D 13 13 I N B H 39 39 T A E T Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  T A IL IE U O N Lời giải Trang 56 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  3  a  a  a   a  S  0;0;  ; A  ;0;  ; B  ;0;  ; C  ; a;0  ; D  ; a;     2  2      a a a 3  a a a 3 a 3 suy G  0;0;  ; M  ; ;  ; N   ; ;    4   4   Ta có mặt phẳng  ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0;0;1 , mặt phẳng  GMN  có vectơ pháp a a     ;  tuyến n  GM ; GN    0;  24   Gọi  góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  , ta có  n.k 39 cos      13 39 n.k 24 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh a Số đo góc  BAC   DAC  : C 30 Lời giải D 45 IL IE U O N T H I N E T B 60 A A 90 T Câu 17 Trang 57 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có:  BAC    DAC   AC Kẻ BI  AC Do BAC  DAC nên DI  AC  BAC  ,  DAC   BI , DI Do đó:      Tam giác BID có BD  a , BI  DI    a   BI  DI  BD      BI cos BI , DI  , DI  120 2.BI DI Vậy  BAC  ,  DAC    60   Câu 18 (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AB  AD  2a , CD  a Gọi I trung điểm cạnh AD , biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  15a Tính góc vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng  SBC  ,  ABCD  B 36 C 45 Lời giải D 60 T A IL IE U O N T H I N E T A 30 Trang 58 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Diện tích hình thang S ABCD Độ dài đường cao SI  1  AD  AB  CD   2a.3a  3a , CB  AC  a 2 3VS ABCD  S ABCD 3 15a 3 15a  3a Vẽ IH  CB H  BC   SIH   BC  SH       , SH  SHI SBC  ,  ABCD   IH Ta có  S ICB  S ABCD  S IDC  S AIB  3a  3a a2 3a  a2   IH CB  3a  IH  2 3a 15 SI    60 tan SHI    SHI IH 3a 5 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AA  AB  AC    1200 Gọi I trung điểm cạnh CC  Cơsin góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  BAC A 370 20 B 70 10 30 20 Lời giải C 30 10 D Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  AB  , AI  BC  AB  AC  AB AC.cos A   BC  BC   13 Vì AB 2  AI  B I  AB I vuông điểm A H I N E T BI  BC 2  C I  10 S ABI  AI AB  AB AC sin A  4 Hình chiếu vng góc ABI lên mặt phẳng  ABC  ABC N O U IE IL S ABC 30  S ABI 10 A Ta có S ABC  S ABI cos   cos   T S ABC  T Câu 19 Trang 59 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 20 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AC  a , tam giác SAB, SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng ( SAB) ( SCB) A 2 B Lời giải C D Chọn C + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB, SCB vuông A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI  ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / /OI SD  2OI suy O trung điểm BD Từ ta có ABCD hình vuông cạnh 2a  a SD  a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD  ( ABCD)  SD  BC đồng thời ABCD hình vng nên BC  DC từ hai ý ta có BC  ( SCD)  BC  DH , từ suy DH  ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK  ( SAB ) + Vì góc hai mặt phẳng ( SCB) (SAB) góc hai đường thẳng DK DH + Xét tam giác vng SAD, SCD ta có hai đường cao DK  DH  + Trong tam giác SAC ta có DH  KD  KH 2  DH KD I N E (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a,  ABC  1200 , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC  N Lời giải Chọn A Trang 60 https://TaiLieuOnThi.Net D SA  a O a U C SA  IE B SA  a IL a A A SA  T  SCD  600 , T H Câu 21 HK SH SD 2a , tam giác DHK có     HK  AC SC SC 3 T  cos HDK a Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O giao điểm AC , BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC   HBD  SC  BD, SC  OH Vậy góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  góc hai đường thẳng HB, HD Vì SCD  SBC  HB  HD Đặt SA  x  x   Ta có cos 600  HB  HD  BD 2 HB.HD  HB  BD   HB  HB  BD   BD 2 HB   Ta có CHO  CSA  OH CS  CO.SA 1 Trong tam giác ABC ta có AC  a 3, OB  a  BD  a TH1 : HB  BD  a  OH  HB  OB  a Thay vào (1) ta có x  x  3a (vô nghiệm) TH2 : HB  BD a a   OH  HB  OB  3 Thay vào (1) ta có   (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cân đỉnh A     30o , cạnh bên AA  a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM  3CC  Gọi Biết BC  a ABC B 481 22 C 22 418 22 D E 66 22 I N A T  góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABM  , sin  có giá trị T H Lời giải A IL IE U O N Chọn D T Câu 22 a2 3a 2 a x  3a  x x 12 4 Trang 61 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Cách 1: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC   C M  CC   C M  CC   C M  2 2 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM  Theo công thức diện tích hình chiếu ta có: SABC  SABC cos  cos  SABC SABC 1 a a2 Ta có SABC  AH BC  a  ; AB  AB  BB2  a  a  a ; 2  a BM  C M  BC      a 2 2  2 a 13 a 13  3a   ; AM  AC  CM  a     2   a 13 a 13 a 2  AB  BM  AM 2  a  a 13  Khi p  2 Áp dụng công thức Hê-rông vào ABM ta có: Vậy cos  SABC SABC a 22 a2 3 19 418  24   sin   cos 2   22 22 22 a 22 T SABM  p  p  AB  p  BM  p  AM   Trang 62 https://TaiLieuOnThi.Net O N T H I N T A IL Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC   C M  CC  CM  CC   C M  2 2 U BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 IE o Ta có: BO  AB.cos30  AB  E Cách 2: Gọi O trung điểm BC Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Coi a        ;0;0  , C   ; 0;0  , Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O  0;0;0  , A  0; ;  , B           3 B  ; 0;1 , M   ; 0;  2     Khi  ABC    Oxy  : z    ABC  có véc-tơ pháp tuyến k   0;0;1         3 ;  ;1 , AM    ;  ;   n ABM    AB, AM   1;5 3; Ta có: AB    2     Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM    k.n ABM  3 19 418   sin   cos 2   Vậy cos     22 22 22 k n ABM  1.2 22 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA A IL IE U O N T H I N E T a vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC T Câu 23 Trang 63 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có AI  BC (tam giác ABC đều) (1) Lại có SA  BC  SA   ABC   Suy BC   SAI   BC  SI (2) BC   SBC    ABC  (3) Từ (1), (2) (3) suy    SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA a SA  Xét tam giác SAI vng A ta có tan SIA   AI a 3  Suy SIA  30 Vậy Câu 24   SBC  ,  ABC    30 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Giá trị cos A 15 B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm BC  AM  BC (1) BC  SA  BC  SM (2) Có BC  AM    Từ (1) (2) suy   SBC , ABC   SMA   60 Do SA   ABC   SA  AB AB hình chiếu vng góc SB lên  ABC   SBA E  I N H 2 3a  a  T a O (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB IE U Câu 25 AM AM   SM SA  AM N SAM vng A có cos  T   2a.tan60  3a SAB có SA  AB.tan SBA 2 1 ABC có AM  BC  AB  AC   2a    2a   a 2 B 2 C Trang 64 https://TaiLieuOnThi.Net D A T A IL SD Tính sin  với  góc hợp  AMN   SBD  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: A  O, B  a;0;0  , D  0; a;0  , S  0; 0; a  (như minh họa hình a a  a a vẽ), suy M  ; 0;  N  0; ;  2 2  2   a a    a a  Ta có AM   ; 0;  , AN   0; ;  nên mặt phẳng  AMN  có vectơ pháp tuyến 2 2  2 2     a a a  n1   AM , AN     ;  ;  4    SB   a;0; a  , SD   0; a; a  nên mặt phẳng  SBD  có vectơ pháp tuyến    n2   SB, SD   a ; a ; a    n1.n2 Khi cos      n1 n2  a4 a4 a4   4 a4  a4  a4 4 a a a   16 16 16  2  sin    cos   3 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có   120o cạnh bên BB '  a Gọi I đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a góc BAC trung điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   AB ' I  A 10 B 30 10 30 30 Lời giải C 10 30 D  Trong  BCB ' C ' , B ' I  BC  D A IL IE U O N T H I N E T Chọn B T Câu 26  Trang 65 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Trong  ABC  , dựng AH  AD H Vì AD  CH nên AD  IH Do đó:   90   AB ' I  ,  ABC     IH , CH   IHC   120    ABC cân A , BAC ABC   ACB  30   ACD  150  Áp dụng định lý Cosin ABC :   a  a  2.a a cos120o  3a BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  BC  B ' C '  CD  a  Tương tự ACD : AD  AC  CD  AC CD cos  ACD  a  3a  a a 3.cos150o  7a  AD  a 1  Ta có S ACD  CA CD sin  ACD  CH AD 2 CA CD sin  ACD a a sin150o a 21  CH    AD 14 a  ICH vuông C  IH  IC  CH   cos IHC  a 3a a 70   28 14 CH 30  IH 10  Vậy cos   AB ' I  ,( ABC )   30 10 Cách 2:  Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ a a ; OA  AB cos 60  2  1      ; 0 ,C 0; ; 0 ,  Giả sử a  suy A  ; 0; 0 , B 0;      2  T N O U IE IL A                 3 ;  ;   Ta có: n1  AB, AC   0; 0;   n2  AB , AI           4  T Trang 66 https://TaiLieuOnThi.Net E I N H       I 0; ;  , B  0;  ;1   2   T Ta có: OB  AB sin 60  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   n1.n2 30   Gọi  góc ABC  AB I  Suy ra: cos      10 10 n1 n2 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D Cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   A B C D Lời giải Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Gọi O  AC  AC  Gọi H hình chiếu A lên BO , AH  BO  CH  BO E I N H O U a2 a a  CH BO   CH   a N 1 a2 S ABC  a 2.a  2 IE Ta có S BCH  a AC  2 T Xét tam giác vng ABC có BO  T  ABC    ABC    BO      ABC  ;  ABC      AH , CH  Ta có  AH  BO CH  BO  A Mặt khác S BCH IL T Câu 27 Trang 67 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 2 a 6 a 6      a 2 2 3 AH  CH  AC    Xét tam giác AHC có cos  AHC   2 AH CH a 6     cos   cos  AHD    T A IL IE U O N T H I N E T  Trang 68 https://TaiLieuOnThi.Net ... vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc. .. chiếu vng góc đỉnh, dựng AH  d  Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc mặt... MH     Dạng Góc mặt với mặt Để tìm góc hai mặt phẳng, tìm giao tuyến hai mặt phẳng Sau tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng