BT VỀ PT ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO HÌNH HỌC 12

Câu 1. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A4;6;2 và B2; 2;0   và mặt phẳng P x y z : 0    . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R  3 B. R  2 C. R 1 D. R  6 Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của AB  I 3;2;1   3 2 1 ; 2 3 3 d I P     Gọi S  là mặt cầu có tâm I 3;2;1 và bán kính 3 2 2 AB R   Ta có H S  . Mặt khác H P   nên H C S P          Bán kính của đường tròn C là           2 2 2 2 R R d I P       ; 3 2 2 3 6 . Câu 2. Trong không gian Oxyz mặt phẳng P x y z : 2 6 3 0     cắt trục Oz và đường thẳng 5 6 : 1 2 1 x y z d      lần lượt tại A và B . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A.       2 2 2 x y z       2 1 5 36. B.       2 2 2 x y z       2 1 5 9. C.       2 2 2 x y z       2 1 5 9. D.       2 2 2 x y z       2 1 5 36. Lời giải Chọn B P Oz A    0;0;3 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:   2 6 3 0 2 6 3 0 4 5 6 2 10 0 2 4; 2;7 . 1 2 1 2 12 0 7 x y z x y z x x y z x y y B y z z                                           Gọi I là trung điểm của AB I IA        2; 1;5 4 1 4 3.  Phương trình mặt cầu đường kính AB là:       2 2 2 x y z       2 1 5 9. Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   2 2 2 S x y z x y m : 4 6 0       (m là tham số) và đường thẳng 4 2 : 3 3 2 x t y t z t             . Biết đường thẳng  cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB  8 . Giá trị của m là Chuyên đề 31 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 2 A. m  5 . B. m  12 . C. m  12 . D. m  10 . Lời giải Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB IH AB HA    , 4 . Mặt cầu S  có tâm I 2 ; 3 ; 0, bán kính R m m    13 , 13  . Đường thẳng  đi qua M 4 ; 3 ; 3 và có 1 véc tơ chỉ phương u  2 ; 1 ; 2  . Ta có:       , 6 ; 0 ; 3 , 3; 6 ; 6 , 3 IM u IM IM u IH d I u                         . Ta có: 2 2 2 2 2 R IH HA m m          13 3 4 12 .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 31 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;6;2 B  2;  2;0 mặt phẳng  P  : x  y  z  Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P  qua B , gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A R  B R  D R  C R  Lời giải Chọn D Gọi I trung điểm AB  I  3; 2;1 d  I ;  P    1 2 Gọi  S  mặt cầu có tâm I  3; 2;1 bán kính R  AB 3 2 Ta có H   S  Mặt khác H   P  nên H   C    S    P  Bán kính đường trịn  C  R  Câu  R  Trong không gian Oxyz mặt phẳng d:  d  I ;  P   3      P : 2x  y  z   2  cắt trục Oz đường thẳng x 5 y z    A B Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 A  x     y  1   z  5  36 B  x     y  1   z  5  C  x     y  1   z  5  D  x     y  1   z  5  36 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B  P   Oz  A  0; 0;3  Tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 2 x  y  z   x  2 x  y  z        y  2  B  4; 2;7  Gọi I trung điểm  x  y z    x  y  10     1  y  z  12    z  I N E T AB  I  2; 1;5   IA     Phương trình mặt cầu đường kính AB là:  x     y  1   z  5  H T  S  : x2  y2  z  x  y  m  ( m tham số) N Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A IL IE U  x   2t  đường thẳng  :  y   t Biết đường thẳng  cắt mặt cầu  S  hai điểm phân biệt A , B  z   2t  cho AB  Giá trị m T Câu O Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A m  B m  12 M C m  12 Lời giải A H D m  10 B R I Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB  IH  AB , HA  Mặt cầu  S  có tâm I  2 ; ;  , bán kính R  13  m ,  m  13   Đường thẳng  qua M  ; ; 3 có véc tơ phương u   ; ;     IM , u       Ta có: IM   ; ; 3   IM , u    3;  ;   IH  d  I ,      u Ta có: R  IH  HA2  13  m  32  42  m  12 Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d  : x y 3 z 2   1 hai mặt phẳng  P  : x  y  z  ;  Q  : x  y  z   Mặt cầu  S  có tâm I giao điểm đường thẳng  d  mặt phẳng  P  Mặt phẳng  Q  tiếp xúc với mặt cầu  S  Viết phương trình mặt cầu  S  A  S  :  x     y     z  3  B  S  :  x     y     z  3  D  S  :  x     y     z    2 C  S  :  x     y     z  3  2 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: I   d   I  2t ;3  t ;  t  I   P    P  : 2t    t     t    t   I  2; 4;3   : x  y  z   Biết đường thẳng T Vectơ sau vectơ phương  ?    A u   4; 2;1 B v   2;0; 1 C m   3;1;0  Trang https://TaiLieuOnThi.Net 2 T H N  S  :  x     y  3   z    nằm   , cắt trục Ox  14 mặt phẳng O Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I N U tiếp xúc với  S  IE Câu IL  D n  1; 1;1 A Vậy  S  :  x     y     z  3  E tiếp xúc với  S  nên R  d  I ,  Q    T Q  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;  bán kính R  14 Ta có d  I ,     14  R    tiếp xúc với  S  Gọi H hình chiếu vng góc I lên    H 1; 0;   Gọi A    Ox  A  a;0;0  AH   a  1; 0; 2    Đường thẳng  nằm   , cắt trục Ox tiếp xúc với  S  nên AH  n Tức   a      a   AH   4;0; 2  phương với v   2;0; 1 Câu (Bình Dương - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y     z  1  100 Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo đường trịn  C  Tìm tọa độ tâm K bán kính r đường trịn  C  A K  3; 2;1 , r  10 B K  1; 2;3 , r  C K 1; 2;3 , r  D K 1; 2;3 , r  2 Lời giải  Mặt cầu  S  có tâm I  3; 2;1 ; R  10  Khoảng cách từ I đến  P  IK  d  I ;  P     1   x   2t   Đường thẳng qua I  3; 2;1 vng góc với  P  có phương trình tham số  y  2  2t z  1 t   x   2t  y  2  2t  Tọa độ tâm K nghiệm hệ phương trình   K  1; 2;3 z  1 t 2 x  y  z   I N E (Chun Thái Bình 2019) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B  2;2;1 T H mặt phẳng  P  : x  y  z  Mặt cầu  S  thay đổi qua A, B tiếp xúc với  P  H Biết Lời giải O D U IE C IL B A A N H chạy đường tròn cố định Tìm bán kính đường trịn T Câu T  Bán kính: r  R  IK  100  36  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x  1 t  Có A(1;1;1), B(2;2;1)  Phương trình AB:  y   t z   Gọi K giao điểm AB  P   K  1; 1;1 Có Mặt cầu  S  tiếp xúc với  P  H  HK tiếp tuyến  S     KH  KA KB  12  KH  không đổi  Biết H chạy đường trịn bán kính khơng đổi Câu (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  : x2  y  z  2x  y  z   mặt phẳng   : x  y  12 z  10  Lập phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời điều kiện: Tiếp xúc với  S  ; song song với   cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x  y  12 z  78  B x  y  12 z  26  C x  y 12 z  78  D x  y  12 z  26  Lời giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R  Mặt phẳng    song song với   nên có phương trình dạng x  y  12 z  c   c  10     tiếp xúc với  S   d  I ;      R  4.1  3.2  12.3  c   12 2 4 26  c 13 4  26  c  52  c  78    26  c  52  c  26 T H E I N 13   Nếu c  26    : x  y  12 z  26  Mặt phẳng    cắt trục Oz điểm M  0; 0;   6  có cao độ âm T 13   Nếu c  78    : x  y  12 z  78  Mặt phẳng    cắt trục Oz điểm M  0; 0;  có 2  cao độ dương T A IL IE U O N Vậy    : x  y  12 z  78  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  1 t  điểm M  x0 ; y0 ; z0   d :  y   2t Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho  z   3t  MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua điểm D 1;1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 D 21 C 20 Lời giải Chọn B x  1 t  * Ta có: M  x0 ; y0 ; z0   d :  y   2t  x0  y0  z0   z   3t  * Mặt cầu có phương trình x  y  z   tâm O  0;0;0  , bán kính R  * MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu  MO   ABC     ABC  qua D 1;1;  có véc tơ pháp tuyến OM  x0 ; y0 ; z0  có phương trình dạng: x0  x  1  y0  y  1  z0  z    * MA tiếp tuyến mặt cầu A  MOA vuông A  OH OM  OA2  R  x02  y02  z02 x02  y02  z02  z0  OM T x0  y0  z0  z0  OH OM  z0  U IE IL 17 26 z0   ; OM 26 A * Với z0   M  0;  1;5  T  26 nhận do: OM  26; OH  O N  z0    z0   z0  13 pt  ABC  :  y  z    MH  d  M ;  ABC    E  I N  x0  y0  z0 H d  O;  ABC    OH   OH  OM  HM  , ta có: T Gọi H hình chiếu O lên  ABC  T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  OH  HM  OM * Với z0  13  M  6;11; 13  loại do: OM  326;OH   ABC  :6 x  11y  13z    MH  d  M ;  ABC    ; 326 335 326  OH  HM  OM Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  z   x y2 z   Hai mặt phẳng  P  ,  P '  chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T ' 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H TT '  7 5 7 5 5  5 A H   ; ;  B H  ; ;   C H  ; ;   D H   ; ;   6 6 6 6 6  6 Lời giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R   Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;1; 1  Gọi K hình chiếu I d , ta có K  t ;  t ; t   IK   t  1;  t ; t  1    Vì IK  d nên ud IK   t    t   t  1   t   IK  1; 2;1 đường thẳng d : x  1 t '  Phương trình tham số đường thẳng IK  y  2t '  z  1  t '   Khi đó, trung điểm H TT ' nằm IK nên H 1  t '; 2t '; 1  t '   IH   t '; 2t '; t ' Mặt     5 5 khác, ta có: IH IK  IT  IH IK   t ' 4t ' t '   t '   H  ; ;   6 6 Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  P  : 2x  y  z   mặt cầu 2  S  :  x  3   y     z  5  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P   S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x   9t  A  y   9t  z   8t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z   cắt  x   4t  D  y   3t  z   3t  Lời giải E T Chọn C I N Mặt cầu  S  có tâm I  3; 2;5  bán kính R  N T H IE  12  12  22   R  điểm E nằm mặt cầu  S  T A IE IL Khi đó, AB nhỏ  AB  OE , mà AB  IH nên AB   HIE   AB  IE    Suy ra: u   nP ; EI    5; 5;0   1; 1;0  U O Gọi H hình chiếu I mặt phẳng  P  , A B hai giao điểm  với  S  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x   t  Vậy phương trình   y   t z   Câu 12 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  x   2t   x  3   y  1  z  đường thẳng d :  y  1  t , t   Mặt phẳng chứa d cắt ( S )  z  t  theo đường trịn có bán kính nhỏ có phương trình A y  z   B x  y  z   C x  y   D x  y  z   Lời giải Chon A 2 Gọi H hình chiếu vng góc tâm cầu I  3;1;0 lên d , từ ta tìm H  3;0; 1 Thấy  IH  R nên d cắt ( S ) Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH   0; 1; 1 làm VTPT nên pt mặt phẳng y  z   (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt phẳng đường thẳng qua  P  : x  y  z   mặt cầu  S  : x  y  z  Gọi  E , nằm mặt phẳng  P  cắt  S  điểm phân biệt A, B cho AB  Phương trình đường thẳng   x   2t  x   2t   A  y   t B  y   t z  1 t z  1 t    x   2t  C  y  3  t z   t   x   2t  D  y   t z  1 t  Lời giải Chọn D I Δ A H R B  S  : x2  y  z   Tâm I  0;0;0  ; bán kính R    P  : x  y  z    véctơ pháp tuyến  P  : n P  1;  3;  E T AB  I N Gọi H hình chiếu I lên   AH  BH  U IE A IL Đường thẳng  qua E 1;1;1 ; vng góc với IE chứa  P  nên:    Véctơ phương  : n    n P ; IE    8; 4;4    véctơ u   2;  1;  1 véctơ phương  O N T H Xét IAH vuông H  IH  IA2  AH     Mặt khác ta có IE  1;1;1  IE   IH  H  E  IE   T Câu 13 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  x   2t  Phương trình đường thẳng  là:  y   t z  1 t  Câu 14 (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm  P : x  y  z 1  A  0;1; 2  , mặt phẳng mặt cầu  S  : x  y  z  x  y   Gọi  đường thẳng qua A  nằm mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  hai điểm B , C cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I tâm mặt cầu  S  Phương trình đường thẳng  x  t  A  y   z  2  t  x  t  B  y   t  z  2  t  x  t  C  y   t  z  2  Lời giải x  t  D  y   t  z  2  Chọn C  S  có tâm I 1;2;0 bán kính R  12  22    AI  1;1;   AI   R  A nằm mặt cầu  S  SIBC  A nằm dây cung BC 1 2   R sin BIC   R nên diện tích IBC đạt giá trị lớn IB.IC.sin BIC 2 R2    BIC   90  IBC vuông cân I  BC  IC  R   sin BIC BC Gọi J trung điểm BC Ta có IJ  BC IJ    2 AIJ vuông J  AI  IJ , kết hợp thêm với 1   ta có IJ  AI  A  J  A I N E T trung điểm BC IA  BC   P  có vectơ pháp tuyến n  P   1;1;1 có giá vng góc với     Vậy  nhận u  n  P , AI   1; 1;  làm vectơ phương qua A  0;1; 2  T A IL IE U O N T H x  t    :  y  1 t  z  2  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 15 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : z   , K  0;0; 2  , đường thẳng d: x y z   Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  theo thiết 1 diện đường tròn tâm K , bán kính r  A x  y   z    16 B x  y  z  16 C x  y   z    D x  y  z  2 Lời giải Chọn D  P  có vectơ pháp tuyến n   0;0;1 x  t  Viết lại phương trình đường thẳng d dạng tham số:  y  t z  t   Gọi I tâm mặt cầu cần lập Vì I  d nên giả sử I  t ; t ; t  Có IK   t ; t ; 2  t   Thiết diện mặt cầu mặt phẳng  P  đường tròn tâm K nên ta có IK   P  Suy IK t  k    t   n   0;0;1 phương Do tồn số thực k để IK  kn  t  k   2  t  k k  2  Suy I  0; 0;  Tính d  I ,  P    Gọi R bán kính mặt cầu Ta có: R  r   d  I ,  P    Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình: x  y  z   P  : x  y  z   hai điểm  S  qua M, N tiếp xúc với mặt phẳng  P  điểm Q Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng M 1;1;1 , N  3; 3; 3 Mặt cầu Biết Q ln thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn A R  11 B R  C R  33 D R  Lời giải T A IL IE U O N T H I N E T Chọn B Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x  1 t  * Đường thẳng MN có phương trình là: MN :  y   t z  1 t  * Gọi I  MN   P  tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn:  t   t   t    t    t   I  3;3;3  IM  3, IN  * Do mặt cầu  S  qua M, N tiếp xúc với đường thẳng IQ điểm Q nên ta có: IQ  IM IN  KI  R  IQ  IM IN  36  IQ  Vậy Q ln thuộc đường trịn tâm I bán kính R  Câu 17 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z   mặt cầu  S  :  x  1   y  3  z  đường thẳng x y  z 1   Cho phát biểu sau đây: 2 I Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt d: II Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  III Mặt phẳng  P  mặt cầu  S  khơng có điểm chung IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  điểm Số phát biểu là: A B C Lời giải D Chọn D Mặt cầu  S  có tâm I 1;  3;0  , bán kính R   x  2t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y  2  t  z  1  2t   x  2t  y  2  t   9t  2t   1 Xét hệ phương trình  z  1  2t   x  12   y  32  z   Vậy có phát biểu Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net E I N T N O U IE  x  2t  y  2  t   t  d cắt  P  điểm Xét hệ phương trình   z  1  2t  x  y  z   H 11  R   P   S  khơng có điểm chung IL  A 2.1   3   T d  I ,  P   T Phương trình (1) có nghiệm phân biệt nên d cắt  S  điểm phân biệt Tài Liệu Ôn Thi Group  c     c     c   2    c  1  c 2  3c  24c  48  4c  4c   c  20c  44  c  22 ( N )  c  2 ( L) Suy b  23  b  c  45 Câu 19 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1      : Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ 2 2 nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng 1  1 : 16  (đvdt) D  (đvdt) 17 17 Lời giải Gọi A; B hai điểm thuộc 1  cho AB đoạn thẳng vng góc chung A 16  (đvdt) 17 B  (đvdt) 17 C đường Gọi M trung điểm AB Dễ có mặt cầu tâm M bán kính R  AB tiếp xúc với hai đường thẳng 1  mặt cầu có bán kính bé Ta có tọa độ theo tham số A; B là:  A(2t1  1; t1  1;2t1  1) B(2t2  1;2t2  1; t2  1)  AB (2t2  2t1  2; 2t2  t1  2; t2  2t1  2)      AB  u1 Có u1 (2;1; 2) u2 (2; 2;1) lần lươt vectơ phương 1  nên     AB  u2 (2t  2t1  2).2  (2t2  t1  2).1  (t2  2t1  2).2   (2t2  2t1  2).2  (2t2  t1  2).2  ( t2  2t1  2).1  10  t1  17 8t2  9t1  10  7 3 3  6 4  A( ; ; ) ; B( ; ; ) AB( ; ; )   17 17 17 17 17 17 17 17 17 9t2  8t1  10  t  10  17 R AB ( 6)2   17   2 17 17 Diện tích mặt cầu cần tính S  4 R  4. 17  4 (đvdt) 17 I N E x   t '  :  y  t ' Viết phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ z   H  x  2t  đường thẳng d1 :  y  t d z   O N tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d B  S  :  x     y  1   z    16 C  S  :  x     y  1  ( z  2)  D  S  :  x    ( y  1)  ( z  2)  16 2 IE Lời giải Trang 12 https://TaiLieuOnThi.Net IL A 2 T 2 U A  S  :  x     y  1   z    T (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai T Câu 20 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Đường thẳng d1 có vectơ phương u1  (2;1; 0)  Đường thẳng d có vectơ phương u2  (1;1;0) Để phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d khi: Tâm mặt cầu  S  nằm đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d1 d , đồng thời trung điểm đoạn thẳng vng góc chung Gọi điểm M  2t ; t ;  thuộc d1 ; gọi điểm N (3  t '; t '; 0) thuộc d với MN đoạn vng góc chung d1 d  Ta có MN    t ' 2t ; t ' t; 4     MN u1  2   t   2t   t   t  MN đoạn thẳng vng góc chung       1   t   2t   t   t   MN u2  t   5t  t   M (2;1; 4)    2t   t  t    N (2;1; 0) Gọi điểm I tâm mặt cầu  S  , điểm I trung điểm MN  I  2;1;   R  IM  IN  Suy mặt cầu  S  :  x     y  1   z    2 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y  z 13  đường M  a; b; c  ,  a   nằm đường thẳng d MA, MB , MC đến mặt cầu S  thẳng d: cho từ M x 1 y  z 1   1 Điểm kẻ ba tiếp tuyến   600 , ( A, B , C tiếp điểm)  AMB  600 , BMC   1200 Tính a  b  c CMA 173 112 A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  8 9 Lời giải Chọn B D a  b  c  23 A I H M I N E T C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 bán kính R  12  22   3  13  3 N T H U O Gọi  C  đường tròn giao tuyến mặt phẳng  ABC  mặt cầu  S  IL IE Đặt MA  MB  MC  x AB  x; BC  x 2; CA  x tam giác ABC vng B A nên trung điểm H AC tâm đường tròn  C  H , I , M thẳng hàng   1200 nên tam giác AIC x  R  x  suy IM  AM  x  Vì AMC T Câu 21 Trang 13 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Lại có M  d nên M  1  t; 2  t;1  t  ,  t  1 mà IM  nên  t     t     t    36 2 t   3t  4t    t   Mà a > nên t  Câu 22 112 1 7 suy H  ;  ;  nên a  b3  c  3 3 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;3;  3 thuộc  S  :  x     y  3   z   2 mặt phẳng   : x  y  z  15  mặt cầu  100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng   cắt  S  A, B cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng  x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 B     1 x 3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 C D     16 11 10 Lời giải Ta có: Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5 , bán kính R  10 A d  I ,     2.2  2.3   15 22   2   12   R      S   C  H ; r  , H hình chiếu I lên    Gọi 1 đường thẳng qua I vng góc với    1 có VTCP u1   2; 2;1  x   2t   PTTS 1 :  y   2t Tọa độ H nghiệm hệ: z   t   x   2t  y   2t   z   t 2 x  y  z  15   x  2    y   H  2; ;3  z   Ta có AB có độ dài lớn  AB đường kính  C     MH  Đường thẳng MH qua M  3;3;  3 có VTCP MH  1; ;  Suy phương trình  : (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2; 0;0  , B  0; 2;0  , I N O N T H D S  3 T A IL IE U tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S  a  b  c A S  4 B S  1 C S  2 Lời giải Chọn B E C  0;0; 2  Gọi D điểm khác O cho DA , DB , DC đơi vng góc I  a; b; c  Trang 14 https://TaiLieuOnThi.Net T Câu 23 x3 y 3 z 3   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A d G I B D M C Gọi d trục ABC , ta có  ABC  : x  y  z    2 Do ABC nên d qua trọng tâm G   ;  ;   có VTCP u  (1;1;1) , suy  3 3  x    t   d :y   t   z    t  thấy DAB  DBC  DCA , suy DA  DB  DC  D  d nên giả 2   D    t;   t;   t  3      2 2 Ta có AD    t ;   t ;   t  ; BD     t ;  t ;   t  ; CD     t ;   t ;  t  3 3 3 3       Ta sử   4 4    AD.BD  t    D   ;  ;   Có      AD CD   t   D  0;0;0  (loai ) 2 Ta có I  d  I    t ;   t ;   t  , tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên 3    1 1 IA  ID  t   I   ;  ;    S  1  3 3 Long 2019) Trong không gian Oxyz , cho A  0;0;4  , B  3;1;  Một mặt cầu  S  qua A, B tiếp xúc với  P  :2 x  y  z   ,  P  C Biết rằng, C T Hạ C r  244651 2024 D r  H 244651 T B r  N A Đáp án khác E ln thuộc đường trịn cố định bán kính r Tính bán kính r đường trịn I N (Chun O Lời giải A IL IE U Cách 1: T Câu 24 Trang 15 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group  Ta có AB  3;1; 2  véc tơ phương đường thẳng AB  x  3t  Phương trình tham số đường thẳng AB  y  t  z   2t  Giả sử AB cắt  P  T  3t; t;  2t  Do T   P  :2 x  y  z    t  7 Khi 7 26    14  14   10 20  10 14  T  7; ;  ; TA  7; ; ; TB  10; ;   TA    TB  3 3    3   Ta có TC  TA.TB  980 14  TC  Điểm C thuộc mặt phẳng  P  cách điểm T cố định khoảng Vậy C ln thuộc đường trịn cố định bán kính r  14 14 Cách 2: Ta có TA d  A,  P     ; AB  14 TB d  B,  P   10 Giả sử AB cắt  P  T Suy A nằm B T ( A, B phía so với  P  ) Khi ta có (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình A d  3 C d  21 Trang 16 https://TaiLieuOnThi.Net H D d  T A IL Lời giải Chọn B    Ta có: AB   2;  1;  1 , AD  1;1;1 DC   2;  1;  1 I N E B d   SAD  T ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng N S  O cầu S 1;  1;6  A 1; 2;3 B  3;1;  C  4; 2;3 D  2;3;  , , , , Gọi I tâm mặt U chóp S ABCD với IE Câu 25 T  14 TB  TA  14 TA  980 14     TC  TA.TB   TC   TA  TB TB  10 14  10  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021     Ta thấy: AB AD  2.1  1.1  1.1  AB  DC nên tứ giác ABCD hình chữ nhật 5  Gọi M trung điểm AC Ta có: M  ; 2;3    Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng  ABCD    Ta có:  AB , AD    0;  3;3  Vectơ phương đường thẳng d là: u   0;  1;1  x   Phương trình tham số đường thẳng d là:  y   t z   t      Ta có: SA   0;3;  3 Ta thấy SA phương với u nên suy SA   ABCD   9 Gọi N trung điểm SA , ta có: N  1; ;   2  5  I  d  I  ;  t ;3  t  Do I  x ; y ; z  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nên   2    NI  d    NI  u   3    3 5 9 Mà: NI   ;  t ;   t  Suy ra: NI u   t   t    t   I  ; ;   2 2 2 2   Ta có:  SA , AD    6;  3;      Một vectơ pháp tuyến  SAD  là: n   SA , AD    2;  1;  1 Phương trình tổng quát mặt phẳng  SAD  là:  x  1   y     z  3   x  y  z      2  Vậy d  I ,  SAD    11 Câu 26 Trong không gian Oxyz , xét số thực m   0;1 hai mặt phẳng    : x  y  z  10    : x y z    Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với m 1 m hai mặt phẳng    ,    Tổng bán kính hai mặt cầu C Lời giải D 12 T B E A I N Chọn C T H Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu O U IE IL A T a b   c 1 m 1 m Mà d  I ,      1  1 m 1  m  N Theo giả thiết ta có R  d  I ,      d  I ,     Trang 17 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có 1  1 1  1    1  2 2 m 1  m  m 1 m  m 1 m    1 1   1   1(do m   0;1  2 m 1 m m 1  m   m 1  m   Nên a 1  m   bm  cm 1  m   m 1  m  m 1  m  R 1 m 1  m  R a  am  bm  cm  cm  m  m m2  m   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  2   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  m  R  c  1  m  a  b  c  R  1  R  a  1   m  R  c  1  m  b  c  a  R  1  R  a    Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng    ,  với m   0;1 nên pt (1) nghiệm với m   0;1 R  c 1  a  R    a  b  c  R    b  R  I  R; R;1  R  R  a  c   R   Mà R  d  I ,      R  R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  6(l ) Xét (2) tương tự ta R  c 1  a   R    b  c  a  R    b   R  I   R;  R; R  1 R  a  c  R    Mà R  d  I ,      R  2 R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  3(l ) Vậy R1  R2  I N E phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  tâm I  5; 3;5 , bán kính R  Từ điểm T Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt H A thuộc mặt phẳng  P  kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S  B Tính OA biết N T A Chọn A Trang 18 https://TaiLieuOnThi.Net O D OA  U C OA  Lời giải IE B OA  IL A OA  11 T AB  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: d  I ; ( P )    2.(3)  2.5  12  ( 2)  22 6 AB tiếp xúc với ( S ) B nên tam giác AIB vuông B, ta có: IA  IB  AB  R  AB  2     d  I ; ( P)   A hình chiếu I lên (P) x   t    Đường thẳng IA qua I  5; 3;5  có VTCP u  n( P )  1; 2;  có phương trình  y  3  2t  z   2t  Có A  IA  ( P )   t  2( 3  2t )  2(5  2t )    t  2  A(3;1;1)  OA  11 Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc x  1 t  d :  y   2t Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA , MB , MC tiếp  z   3t  tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua D 1;1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 C 20 Lời giải D 21 Chọn B Mặt cầu  S  có tâm O  0; 0;  bán kính R Gọi M 1  t0 ;1  2t0 ;  3t0   d Gỉa sử T  x; y; z    S  tiếp điểm tiếp tuyến MT với mặt cầu  S  Khi OT  MT  OM    x  1  t0     y  1  2t0     z    3t0    1  t0   1  2t0     3t0   1  t0  x  1  2t0     3t0  z   2 2 2 Suy phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng 1  t0  x  1  2t0  y    3t0  z   Do D 1;1;    ABC  nên  t0   2t0    3t     t0  1  M  0; 1;5  Vậy T  02   1  52  26 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa Oxyz cho hai điểm độ A  0; 0;3  , B  2; 0;1 mặt phẳng   : x  y  z   Hỏi có điểm C mặt phẳng   cho tam giác ABC đều? A B C Lời giải D Vô số E T H I N  Gọi d giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng   Chọn u d  1; 0;  1 T Gọi  P  mặt phẳng trung trực AB , phương trình  P  là: x  z       Ta có n P  1; 0;1 , n   2;  1;  nên  nP , n   1; 0; 1 IL IE U O N x  1 t  điểm M 1;10;   d nên phương trình tham số d là:  y  10  z  t  A Do tam giác ABC nên CA  C B hay C thuộc mặt phẳng trung trực AB mà C    nên C   P      d suy tọa độ C có dạng C 1  t ;10; t  T Câu 29 Trang 19 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Do  ABC nên AC  AB , thay tọa độ điểm ta có: 1  t    10     t     2   2      1   2  t  4t  51  * Do phương trình * vơ nghiệm nên khơng tồn điểm C thỏa mãn yêu cầu toán Câu 30 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  1 t  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc đường thẳng d :  y   2t Ba điểm A, B , C phân biệt  z   3t  thuộc mặt cầu cho MA, MB, MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua D 1; 1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 C 20 Lời giải D 21 Mặt cầu  S1  : x  y  z  có tâm O  0; 0;  , bán kính R1  M  d  M 1  a ;  2a ;  3a  Do MA, MB, MC tiếp tuyến A, B , C với mặt cầu  S1  Suy MA2  MB  MC  OM  Khi A, B , C   S2  có tâm M , bán kính R2  OM  Ta có phương trình  S2  :  x   a  1    y   2a  1    z    3a    OM  2   S2  : x  y  z   a  1 x   2a  1 y    3a  z   Mặt khác theo giả thiết A, B , C thuộc mặt cầu  S1  2  x  y  z   Suy tọa độ A, B , C thỏa mãn hệ:  2  x  y  z   a  1 x   2a  1 y    3a  z   Do phương trình mặt phẳng  ABC  là:  a  1 x   2a  1 y    3a  z  18  D   ABC    a  1   2a  1    3a   18   a  1 Với a  1 , ta có M  ; 1;5  Khi T  x02  y02  z02  26 Câu 31 (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x y2 z   Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) 1 1 chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T  Tìm tọa độ trung điểm H TT  2 ( S ) : x  y  z  x  z   đường thẳng d : T  5 D H   ; ;   6 E 5 5 C H  ; ;   6 6 Lời giải I N 5 7 B H  ; ;   6 6 T A IL IE U O N T H  7 A H   ; ;   6 Trang 20 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 0;  1) , bán kính R  12  02  (1)2   Gọi K hình chiếu vng góc I lên d K  d nên ta giả sử K (t ;  t ; t )   IK  (t 1;  t; t  1) , ud  (1;1; 1) véctơ phương đường thẳng d   IK  d  IK ud   t    t  t    t   K (0; 2; 0) ITK vng T có TH đường cao nên IT  IH IK   IK   IH  IK Giả sử H ( x; y; z )  IH  6      x   (1) x    1    5    y     y  Vậy H  ; ;  6    5    z   z    Câu 32 Cho hai đường thẳng  x  2  d :y  t t   ,  z   2t  : x  y 1 z    1  P  : x  y  z   Gọi d  ,  hình chiếu d M  a; b; c  giao điểm hai đường thẳng d   Biểu thức A mặt phẳng  lên mặt phẳng  P  Gọi a  b.c B C D Lời giải Do d  hình chiếu d lên mặt phẳng  P  d  giao tuyến mặt phẳng  P  mặt phẳng   chứa d vng góc với mặt phẳng  P      vec tơ pháp tuyến mặt phẳng   n   ud , nP    3;2; 1 I N E T  Phương trình mặt phẳng   qua A  2;0;  có vec tơ pháp tuyến n    3; 2; 1 T H 3x  y  z   U IE T A IL phẳng    chứa  vng góc với mặt phẳng  P      vec tơ pháp tuyến mặt phẳng    n    u , nP    0; 2; 2  O N Do  hình chiếu  lên mặt phẳng  P   giao tuyến mặt phẳng  P  mặt Trang 21 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  Phương trình mặt phẳng    qua B  3;1;  có vec tơ pháp tuyến n     0; 2; 2  y  z 5  x  y  z    x  1   Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 3x  y  z     y  y  z 5  z    Vậy M  1; 2;3  a  b.c  1  2.3  Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  my  z  2m      : mx  y  mz  m   Gọi  hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  Oxy  Biết với số thực m thay đổi đường thẳng  ln tiếp xúc với đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A B C D Lời giải Chọn A  Mặt phẳng   : x  my  z  2m   có vectơ pháp tuyến n1  1;  m;1  Mặt phẳng    : mx  y  mz  m   có vectơ pháp tuyến n2   m;1;  m  1   Ta có M  m  ; 0; m   1  d        m m      Đường thẳng d có vectơ phương u   n1 ; n2    m  1; 2m; m  1 Gọi  P  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  Oxy  Khi  P  có     vectơ pháp tuyến n  u; k    2m;1  m ;  (với k   0;0;1 ) Phương trình mặt phẳng  P  2mx  1  m2  y  2m2   Trong mặt phẳng  Oxy  , gọi I  a; b;0  tâm đường tròn Theo giả thiết  tiếp tuyễn đường tròn  d  I ; d   d  I ;  P    R (cố định)  2ma  1  m  b  2m  4m  1  m  2 R0  2am    b  m  b  m2  R0 T H I N E T  2a   a     2  b  R  b    2am    b  m  b   R  m  1  b   R   R         2am    b  m  b    R  m  1  2a   a    2  b   R  b      b    R   R  2  Vậy R  O N Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  6; 0;  , N  0; 6;  , P  0; 0;  Hai  S2  : x  y  z  x  y  z   trình  S1  : x2  y  z  2x  y   U phương IE có cắt theo đường trịn  C  Hỏi có mặt cầu IL cầu A mặt T có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? Trang 22 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B A D C Vô số Lời giải Chọn C I M P H J K N Nếu điểm A  x; y; z  thuộc  C  2  x  y  z  x  y    3x  y  z   2  x  y  z  x  y  z   Suy phương trình mặt phẳng   chứa đường tròn  C  3x  y  z  Phương trình mặt phẳng  MNP  x  y  z   Gọi I tâm mặt cầu thỏa tốn, H hình chiếu vng góc I mặt phẳng  MNP  , J , K , L hình chiếu vng góc H đường thẳng MN , NP , PM Ta có IJ  IK  IL  HJ  HK  HL Suy I thuộc đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  Hình chóp O MNP hình chóp nên đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng  MNP  Phương trình đường thẳng d x  y  z Dễ thấy d    suy điểm thuộc d tâm mặt cầu thỏa tốn Vậy có vơ số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM Câu 35 Trong không gian cho mặt phẳng  P : x  z   hai mặt cầu S  : x  y  z  25 ,  S  : x  y  z  x  z   Biết tập hợp tâm I mặt cầu tiếp xúc với hai mặt cầu  S  ,  S  tâm I nằm  P  đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn 2 2  9  Lời giải C  D T B E đường cong A  I N H Chọn B O N T Mặt cầu  S1  có tâm O  0; 0;  bán kính R1  Mặt cầu  S  có tâm E  2;0;  bán kính IE U  R1 d  E,  P     R2 , OE  2 , OE  R2  R1 nên mặt IL R2  Ta có d  O,  P    T A cầu  S2  nằm mặt cầu  S1  Như mặt cầu  S  tâm I tiếp xúc với  S1   S2  Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group S  tiếp xúc mặt cầu  S1  tiếp xúc với  S  Gọi R bán kính  S  OI  R  R1 ta có hệ   OI  EI  R1  R2  OI  EI   EI  R  R2  Nhận xét: OE   2;0;2 nên OE vng góc với  P  : x  z   Gọi H hình chiếu vng góc O lên  P  , đặt IH  x , điều kiện x  Khi ta có OI  EI   OH  HI  EH  HI   18  x   x   x  Nên diện tích hình phẳng giới hạn Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm H bán kính r  7 đường trịn là: S   r  Câu 36 Trong không 7 x gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt cầu:  Sm  : x  y  z   m   x  2my  2mz  m   2 Biết với số thực m  Sm  ln chứa đường trịn cố định Tính bán kính r đường trịn A r  B r  C r  Lời giải D r  Chọn B 9m2  8m  16  m2  Mặt cầu  Sm  có tâm I   ;  m ; m  bán kính R  2   Với m1 , m2 tùy ý khác nhau, ta hai phương trình mặt cầu tương ứng:  x  y  z   m1   x  2m1 y  2m1 z  m1    2  x  y  z   m2   x  2m2 y  2m2 z  m2   1  2 E I N H T N O U IE IL cố định có phương A  m1  m2  x   m1  m2  y   m1  m2  z   m1  m2     m1  m2   x  y  z  1   x  y  z    3 Dễ thấy  3 phương trình tổng quát mặt phẳng  Họ mặt cầu  Sm  có giao tuyến đường trịn nằm mặt phẳng  P  T Lấy 1 trừ   theo vế, ta được: T trình: x  y  z   Trang 24 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt khác, đặt d  d  I ,  P    m2   2m  2m  12  22   2  9m   9m  8m  16  9m   32  r  R d    m   Vậy r  36 2 2 Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt câu  S  : x  y  x  y  z  13  đường thẳng d : x 1 y  z 1   Điểm M  a; b; c  a   nằm đường thẳng d cho 1 từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C tiếp điểm) thỏa mãn    90 , CMA   120 Tính Q  a  b  c AMB  60 , BMC A Q  B Q  10 C Q  D Q  Lời giải Chọn C A H I M C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 bán kính R  12  22   3  13  3 Gọi đường tròn  C  giao tuyến mặt phẳng  ABC  với mặt câu  S  Đặt MA  MB  MC  x  x   Áp dụng định lý cosin AMB CMA , ta có: AB  MA2  MB  MA.MB.cos  AMB  x  x cos 60  x  AB  x AC  MA2  MC  2MA.MC.cos  AMC  x2  x2 cos120  3x2  AC  x Vì BMC vng M nên: BC  MB  MC  x     3x  x   AC nên ABC vuông B T Mặt khác AB  BC  x  x I N E Gọi H trung điểm AC H tâm đường tròn  C  ba điểm H , I , M thẳng hàng T U O N IA 2.3  6 3 IE Suy x  3  x  IA  IM cos 30  IM  H Do  AMC  120 nên  AIC  60 , suy AIC AC  IA  IC  R  3 Điểm M  d nên M  t  1; t  2; t  1  IM   t     t     t    3t  4t  36 2 T A IL Trang 25 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group t   M  1; 2;1  Mà IM  36  3t  4t  36  36  3t  4t    1 7 t   M  ; ;   3 3 2 T A IL IE U O N T H I N E T 1 7 Vì xM  nên điểm cần tìm M  ;  ;  , suy Q  3 3 Trang 26 https://TaiLieuOnThi.Net ... THPTQG 2021  Đường thẳng d1 có vectơ phương u1  (2;1; 0)  Đường thẳng d có vectơ phương u2  (1;1;0) Để phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng...  Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng  ABCD    Ta có:  AB , AD    0;  3;3  Vectơ phương đường thẳng d là: u   0;  1;1  x   Phương trình tham số đường thẳng... chóp O MNP hình chóp nên đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng  MNP  Phương trình đường thẳng d x  y 