BT VỀ KHỐI TRỤ NÂNG CAO HÌNH HỌC 12

Câu 1. (Mã 104 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1 m và 1,5 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và thể trích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,8 m. B. 2,1 m. C. 1,6 m. D. 2,5 m. Lời giải Chọn A Gọi h là chiều cao của các bể nước và r là bán kính đáy của bể nước dự định làm. Theo giả thiết, ta có  2 2 2 2 9 13 .1 . . 1,5 . 1 . 4 4    r h h h r       Suy ra 13 1,8. 2 r   Câu 2. (Mã 101 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,2m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 2,2m. B. 1,6m . C. 1,8m. D. 1,4m . Lời giải Chọn B Gọi 1 2 R R R ; ; lần lượt là bán kính của trụ thứ nhất, thứ hai và dự kiến sẽ làm,ta có:   2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 . 1 1,2 1,56( ). V V V R h R h R h R R R R R R m                  Vậy: Giá trị cần tìm là: 1,6 . m Chuyên đề 22 KHỐI TRỤ Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 2 Câu 3. (Mã 102 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,4 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,7 m. B. 1,5 m. C. 1,9 m. D. 2,4 m . Lời giải Chọn A Ta có: V V V  1 2 2 2 2 1 2    h R h r h r    . 2 2 1 2     R r r m 1,72 .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 KHỐI TRỤ Chuyên đề 22 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM MẶT TRỤ Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức:  Đường cao: h  OO  Đường sinh: l  AD  BC Ta có: l  h  Chu vi đáy: p  2 r  Diện tích đáy: Sđ   r  Thể tích khối trụ: V  h.Sđ  h. r  Bán kính đáy: r  OA  OB  OC  OD  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O , O   Diện tích xung quanh: S xq  2 r.h  Diện tích tồn phần: Hình thành: Quay hình chữ  Thiết diện qua trục: Là hình nhật ABCD quanh đường Stp  Sxq  Sđ  2 r h  2 r chữ nhật ABCD trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên MỘT SỐ BÀI TỐN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI TRỤ (CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - CỰC TRỊ) (Mã 104 - 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy m 1,5 m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao thể trích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 1,8 m B 2,1 m C 1,6 m D 2,5 m Lời giải Chọn A Gọi h chiều cao bể nước r bán kính đáy bể nước dự định làm 13 Theo giả thiết, ta có  r h   12.h   1,5  h  r    4 Suy r  (Mã 101 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, 2m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2, 2m B 1, m C 1,8m D 1, m T Lời giải I N E Chọn B N T H Gọi R1 ; R2 ; R bán kính trụ thứ nhất, thứ hai dự kiến làm,ta có: U O V  V1  V2   R h   R12 h   R2 h  R  R12  R2  R  R12  R2  12  1,   1,56(m) IL Vậy: Giá trị cần tìm là: 1, m IE A Câu 13  1,8 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Mã 102 - 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 1,7 m B 1,5 m C 1,9 m D 2, m Lời giải Chọn A Ta có: V  V1  V2  h R  h r12  h r2  R  r12  r2  1, 72 m Câu (Mã 103 - 2019) Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m Lời giải Chọn C Gọi hai bể nước hìnhtrụ ban đầu có chiều cao h , bán kính r1 , r2 , thể tích V1 , V2 Ta có bể nước có chiều cao h , V  V1  V2   r h   r12 h   r2 h   r h   12.h   1,82.h  r  Câu 106  2,1m 25 (Mã 102 2018) Một bút chì có dạng khối trụ lục giác có cạnh đáy  mm  chiều cao 200  mm  Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính  mm  Giả định m3 gỗ có giá a triệu đồng, m3 than chì có giá 6a triệu đồng Khi I N E T giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 8, 45.a đồng B 7,82.a đồng C 84,5.a đồng D 78, 2.a đồng T H Lời giải T A IL IE U O N Chọn B Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a đồng 1000 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy mm3 gỗ có giá m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy mm3 than chì có giá 6a đồng 1000 Phần chì bút tích V1  200. 12  200  mm  Phần gỗ của bút chì tích V2  200.6 32  200  2700  200  mm3  a.V1  a.V2  7,82 a đồng 1000 (Mã 101 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính đáy mm Số tiền làm bút chì Giả định m gỗ có giá a (triệu đồng), m than chì có giá 8a (triệu đồng) Khi giá ngun liệu làm bút chì gần với kết đây? A 9, 07a (đồng) B 97, 03a (đồng) C 90, 7a (đồng) D 9, 7a (đồng) Lời giải Chọn D  3 Diện tích khối lăng trụ lục giác S    3.103   ( m )    E I N Thể tích phần lõi bút chì V1   r h   10 3  200.10 3  2 10 7 ( m ) T  3 3 7 Thể tích bút chì là: V  S h    3.103   200.10  27 3.10 ( m )     H   N O U    IE Giá nguyên liệu làm bút chì là: T Suy thể tích phần thân bút chì V2  V  V1  27  2 10 7 ( m ) A (đồng) IL V2 a.106  V1 8a.10  27  2 107.a.106  2 107.8a.106  2,  1, 4 a  9, 07a T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Đề Minh Họa 2017) Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):  Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng  Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số A V1  V2 V1 V2 B V1 1 V2 C V1 2 V2 D V1 4 V2 Lời giải Chọn C Ban đầu bán kính đáy R , sau cắt tơn bán kính đáy Đường cao khối trụ không đổi R 2 V R R Ta có V1  h R , V2  2.h     h  Vậy tỉ số  V2 2 Câu (Mã 104 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn có bán kính mm Giã định m gỗ có giá a (triệu đồng), m than chì có giá 7a (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 85, 5.a (đồng) B 9, 07.a (đồng) C 8, 45.a (đồng) D 90, 07.a (đồng) E T Lời giải Chọn C Thể tích phần lõi than chì: V1   0, 0012.0,  2 10 7 m3 I N Số tiền làm lõi than chì T1  (2 10 7 )7 a.106  1, 4 a (đồng) T H Thể tích phần thân gỗ bút N (0, 003) 0,  2 107   3.27.10 7  2 10 7  m3 Số tiền làm phần thân gỗ bút Trang https://TaiLieuOnThi.Net U IE IL A T T2   27 3.10 7   2.107  a.106   2,   0,  a (đồng) Vậy giá vật liệu làm bút chì là: T  T1  T2  8, 45.a (đồng) O V2  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Mã 103 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định 1m gỗ có giá a (triệu đồng) 1m than chì có giá 9a (triệu đồng) Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 103,3a đồng B 97, 03a đồng C 10,33a đồng D 9, 7a đồng Lời giải Chọn D 3mm  0, 003m; 200 mm  0, m;1mm  0, 001m Diện tích đáy phần than chì: S1   r   10 6 ( m )  32   27  Diện tích đáy phần bút gỗ: S  SOAB  S1      10 6      10 6 (m )      Thể tích than chì cần dùng: V1  S1.h   r 0,  0, 2 10 6 ( m )  27  6 Thể tích gỗ làm bút chì: V2  S h      0, 2.10 ( m )    Tiền làm bút:    27  V1.9a  V2 a   9V1  V2  a   9.0, 2 106      0, 2.10 6  a  9, 7a (đồng)       Câu 10 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu hai khối trụ đường kính đáy 12 , chiều cao , chiều dài tạ 30 bán kính tay cầm Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay A 108 B 6480 C 502 Lời giải D 504 Gọi h1 , R1 , V1 chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ đầu V1  h1  R12  6.  216 Gọi h2 , R2 , V2 chiều cao, bán kính đáy, thể tích tay cầm V2  h2  R22   30  2.6   22  72  E T H I N (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN , PQ hai đáy cho MN  PQ Người thợ cắt khối đá theo mặt qua O N điểm M , N , P , Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ Biết MN  60 cm thể tích khối tứ Lời giải A IL IE U diện MNPQ  30 dm Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 101,3dm3 B 111, 4dm3 C 121,3dm3 D 141,3dm3 T Câu 11 T Thể tích vật liệu làm nên tạ tay V  2V1  V2  504  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Chọn B Gọi O O trung điểm MN PQ Khi OO ' trục hình trụ OO  MN  MN   OPQ  OO.62 VMNPQ  MN SOPQ   6OO  dm  Theo ta có VMNPQ  30dm3  OO  5dm Thể tích khối trụ Vtru   32.5  141, 4dm Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ V  Vtru  VMNPQ  111, 4dm3 Câu 12 (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Cơng ty X định làm téc nước hình trụ inox (gồm nắp) có dung tích 1m Để tiết kiệm chi phí cơng ty X chọn loại téc nước có diện tích tồn phần nhỏ Hỏi diện tích tồn phần téc nước nhỏ (kết làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy)? A 5, 59 m B 5, 54 m C 5,57 m D 5, 52 m Lời giải   Rh    R Ta có: V   R h     R   h Diện tích tồn phần téc nước: Stp  2 Rh  2 R  Xét S   4 R  0 R R2 2 Lập bảng biến thiên ta có Stp đạt giá trị nhỏ R   5,54 T 4 E 2 (Trường VINSCHOOL - 2020) Một tạ tay có hình dạng gồm khối trụ, hai khối trụ hai đầu khối trụ làm tay cầm Gọi khối trụ làm đầu tạ  T1  khối trụ N T H Câu 13 2 I N  Stp   2   2 R R U O làm tay cầm T2  có bán kính chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn T A IL IE r1  4r2 , h1  h2 (tham khảo hình vẽ) Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Biết thể tích khối trụ tay cầm T2  30  cm3  tạ làm inox có khối lượng riêng D  7,7 g / cm3 Khối lượng tạ tay A 3,927  kg  B 2,927  kg  C 3, 279  kg  D 2, 279  kg  Lời giải Chọn A Thể tích hai khối trụ làm đầu tạ  T1  : V1  2 r12 h1  2  4r2  h2  16 r2 h2  16.30  480  cm3  Tổng thể tích tạ tay: V  V1  V2  480  30  510  cm3   7,7.510  3927  g   3,927  kg  Khối lượng tạ: m  DV (Thi thử hội trường chun 2019) Một cơng ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác có chiều cao 18 cm đáy hình lục giác nội tiếp đường trịn đường kính 1cm Bút chì cấu tạo từ hai thành phần than chì bột gỗ ép, than chì khối trụ trung tâm có đường kính cm , giá thành 540 đồng / cm Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng / cm Tính giá bút chì công ty bán biết giá nguyên vật liệu chiếm 15, 58 % giá thành sản phẩm A 10000 đồng B 8000 đồng C 5000 đồng Lời giải D 3000 đồng I N E T Chọn A O N T H Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp lục giác bán kính lõi than chì 1 Ta có R  cm r  cm U 3 3   4 Gọi V thể tích khối lăng trụ lục giác V1 , V2 thể tích khối than chì A IL IE Suy diện tích lục giác S  6.R bột gỗ dùng để làm bút chì T Câu 14 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Ta có V  S h  3 27 9 18  cm3  ; V1  r h   18    cm3  8 32 27 9   cm  32 Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm bút chì 540V1  100V2 (đồng)  V2  V  V1  Vậy giá bán bút chì  540V1  100V2  Câu 15  27 9   100 100  9  540  100      10000 (đồng) 15,58  32 32   15, 58  (THPT Hậu Lộc 2019) Một cuộn đề can hình trụ có đường kính 44,9 cm Trong thời gian diễn AFF cup 2018, người ta sử dụng để in băng rôn, hiệu cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam, đường kính cuộn đề can cịn lại 12,5 cm Biết độ dày đề can 0,06 cm, tính chiều dài L đề can sử dụng?(Làm tròn đến hàng đơn vị) A L  24344cm B L  97377cm C L  848cm D L  7749 cm Lời giải Chọn A Ta có lần bán vịng đề can bán kính cuộn đề can giảm số cm là: 0, 06cm Bán kính lúc đầu 22,45 cm, bán kính lúc sau 6,25 cm Số vòng đề can bán là:  22, 45  6, 25 ;0, 06  270 Chu vi vịng đề can bán kính r chiều dài vịng đề can Nó bằng: Lr  2 r Chiều dài L đề can bán L  L1  L2   L270 với L1 độ dài vòng cuộn đề can, bán kính r1  22, 45cm L1 chu vi đường trịn bán kính r1  22, 45cm  L1  2 r1 Vịng thứ 2, bán kính giảm 0,06cm có bán kính r2  22, 45  0, 06  22, 39cm , L2 chu vi đường trịn bán kính r2  22,39cm  L1  2 r1 E T Suy L  2 r1  2 r2   2 r270  2  r1  r2   r270  I N Trong r1 , r2 , , r270 cấp số cộng có u1  22, 45; d  0, 06 , suy T  r1  r270   270   22, 45  6,31 270  3882, N Tổng r1  r2   r270  H u270  u1  269d  22, 45  269.0, 06  6, 25  0, 06  6,31cm T A IL IE U O cm 2 Suy L= 2 3882.6  24382cm Câu 16 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh -1819) Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng khơng song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 mặt đáy 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ (giả sử khúc gỗ không thấm nước kết làm tròn đến phần hàng chục) A R  5, cm B R  4,8 cm C R  6, cm Lời giải D R  8, cm Chọn D Gọi bán kính đáy hình trụ R Gọi V1 ,V2 thể tich hình hộp chữ nhật khối gỗ Ta có V1  B.h  4R 20  80R Chia khối gỗ làm hai phần mặt phẳng qua A song song đáy Ta có V2   R h1   R  h  h1   16 R h1 khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy, h khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy Thể tích nước lại V  V1  V2  16R      2000  R  8, A IL IE U O N T H I N E T (Ngô Quyền - Hải Phịng 2019) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba bóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có kích thước Thể tích phần khơng gian trống chiếm tỉ lệ a% so với hộp đựng bóng tennis Số a gần với số sau đây? A 50 B 66 C 30 D 33 Lời giải Chọn D T Câu 17 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đặt h, R đường cao bán kính hình trịn đáy hộp đựng bóng tennis Dễ thấy bóng tennis có bán kính R với hình trịn đáy hộp đựng bóng tennis h  6R Do ta có: Tổng thể tích ba bóng V1   R  4 R ; Thể tích hình trụ (hộp đựng bóng) V0   R h  6 R ; Thể tích phần cịn trống hộp đựng bóng V2  V0  V1  2 R Khi tỉ lệ phần khơng gian cịn trống so với hộp đựng bóng V2   0,33 V0 Suy a  33 Câu 18 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích 1m cạnh BC  x  m  để làm thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy trình sau: C 0,97 m D 1m E B 1, 02 m I N A 1,37 m T Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM BCNM , phần hình chữ nhật ADNM gị thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao AM ; phần hình chữ nhật BCNM cắt hình trịn để làm đáy hình trụ (phần inox cịn thừa bỏ đi) Tính gần giá trị x để thùng nước tích lớn (coi mép nối không đáng kể) H Lời giải U O 1   m BC x IE Ta có AB.BC   AB  N T Chọn B A IL Gọi R  m  bán kính đáy hình trụ inox gị được, ta có chu vi hình trịn đáy BC  x  m  x x x  m  ; BM  R   AM  AB  BM    m  2  x  T Do 2 R  x  R  Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  1 x Thể tích khối trụ inox gị V   R h    x   x        2   x   4 Xét hàm số f  x   x   x   x    f   x     3x f  x   x       ; f   x    x   0; ;    f   x    x   3       Vậy f  x  đồng biến khoảng  0;  nghịch biến khoảng      ;         2 3 Suy max f  x   f     0;   3 Từ ta tích V lớn f  x  lớn  x    1, 02  m  Câu 19 Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16 (m3) Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn ngun vật liệu A 0,8 m B 1,2 m C m D 2,4 m Lời giải Chọn C Để tốn ngun vật liệu diện tích tồn phần S phải nhỏ Gọi h  h   chiều cao bồn dầu Ta có: S  2 r  2 rh Mặt khác, theo giả thiết: V  16   r h  16  h   S  2 r  2 r  16 r2 16 16  8    2  r    2  r    r r  r r   Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương: r ,  S  24 Đẳng thức xảy  r  8 8 8 , , ta được: r    3 r    12 r r r r r r  r3   r  r   S   24 E I N (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Anh H dự định làm thùng đựng dầu hình trụ sắt T H có nắp đậy thể tích 12 m3 Chi phí làm m đáy 400 ngàn đồng, m nắp 200 ngàn Lời giải A IL IE U O N đồng, m mặt xung quanh 300 ngàn đồng Để chi phí làm thùng anh H cần chọn chiều cao thùng gần với số sau đây? (Xem độ dày sắt làm thùng không đáng kể) A 1, 24 m B 1, 25 m C 2,50 m D 2, 48 m T Câu 20 T Vậy để tốn nguyên vật liệu r  (m) Chọn D Trang 11 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi bán kính đáy hình trụ R Ta có 12 V   R2h  h   R2 Suy chi phí (đơn vị ngàn đồng) làm thùng C   R 400   R 200  2 Rh.300  12   600  R    R  6 6  600  R     600.3  R  1800 36  R R R R Dẫn dến C  1800 36   R  6  R R  Vậy để chi phí nhỏ chiều cao hình trụ h  Câu 21 12  2, 48 m 36 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa có giá trị nhỏ A R   B R   C R  2 D R  3 2 Lời giải Chọn C Ta có 1000 lít = 1m3 Gọi h chiều cao hình trụ ta có V   R h   h   R2 Diện tích tồn phần là: Stp  2 R  2 Rh  2 R  2 R  2 R  R R 1       R2    63   2.3  R 2R 2R  2R 2R  (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 Giá trị lớn thể tích khối trụ A 16 B 32 C 8 D 64 Lời giải Chọn C T A IL IE U O N T H I N E Câu 22 1 R3 2R 2 T Dấu "=" xảy  R  Trang 12 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Từ hình vẽ ta có ABCD hình chữ nhật, gọi chiều cao hình trụ h bán kính đáy hình trụ r , theo giả thiết ta có 2(h  2r )  12  h  2r  Thể tích khối trụ tương ứng V   r h , theo bất đẳng thức Cô si ta có  2r  h  r  r  h  r h  V   r h      8   Dấu xảy r  h  Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8 Câu 23 2 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải A V 2 B V C V  D V 3 Lời giải Chọn A Gọi h, r chiều cao bán kính đường trịn đáy hình trụ V  r2 Để tiết kiệm vật liệu diện tích tồn phần nhỏ V 2V V V Ta có Stp  2 r  2 rh  2 r  2 r  2 r   2 r   r r r r V V Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số 2 r , , ta có r r Ta có V   r h  h  V V 2 V không đổi Stp  3 2 r  3 r r r C 2612 Lời giải T E D 2740 O B 2532 A S 2 IL Chọn A Ta có Stp  2 Rh  2 R  Rh  R  N T cm3 U A 2428 1000cm2 hình trụ tích lớn IE I N (ĐHQG Hà Nội - 2020) Trong hình trụ có diện tích tồn phần T Câu 24 V V r3 ta có r 2 H Dấu xảy 2 r  Trang 13 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group S  S Vậy thể tích khối trụ V   R h   R   R2   R   R3  F  R   2  Ta có: F   R   S S  3 R   R  6 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vmax Câu 25 S 1000 1000 1000  R   R3    2428 2 6 6 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , đường trịn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? 1 A tan   B tan   C tan   D tan   2 Lời giải Chọn C I N N T H  O   T A IL IE    ,    0;   Suy  AB,  OAB    AB , AB  BAB    2   BB  AB  BB  2a Xét tam giác vuông ABB  vng B  có tan BAB AB tan  tan  Gọi H trung điểm AB , OH  AB U  E AB mặt phẳng chứa đường tròn  O  Trang 14 https://TaiLieuOnThi.Net T Gọi B  hình chiếu B mặt phẳng chứa đường tròn  O  , AB hình chiếu Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 OH  OA2  AH  R  AB a  4a  a 4 tan  tan  2 1 Lại có SOAB   OH AB  OB.d  A, OB  2 OH AB  d  A, OB    OB a 4 2a tan  tan   a 4  d  A,  OOBB   2a tan  tan  a 1 2a 1 4 a a  4 Vậy VA.OO B  d  A,  OOBB   S OO B  tan  tan  tan  tan  1 4 1 tan  tan   4 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có  tan  tan   VA.OO B  2a 4a  3 1 1  4   4  4 2 tan  tan  tan  tan  tan  1      0;   tan    tan   2  2 Câu 26 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Tính tan  thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn 1 A tan   B tan   C tan   D tan   2 Lời giải Chọn B Dấu “=” xảy E IL IE U AA ' 2a Khi ta có tan   tan  ABA '    A ' B 2a 2 A (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Một xí nghiệp chế biến sữa bị muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng hình trụ thiếc tích khơng đổi Để giảm giá lon sữa bán thị T Câu 27 I N O N T H  d  B,  OO ' A ' A   lớn hay BO ' A '  900 T Gọi A ' hình chiếu A đường trịn tâm O ' ta có 1  VOO ' AB  VB.OO ' A' A  SOO ' A' A d  B,  OO ' A ' A  với d  B,  OO ' A ' A    OB.sin BO ' A' Do SOO ' A ' A số nên để thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn Trang 15 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước cho tốn vật liệu Để thỏa mãn u cầu đặt (diện tích tồn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện điều kiện sau: A Chiều cao đường kính đáy B Chiều cao bán kính đáy C Chiều cao lần bán kính đáy D Chiều cao bình phương bán kính đáy Lời giải Chọn A Gọi V , r , h , l thể tích, bán kính đáy, đường cao, đường sinh lon sữa Ta có: V   r h  h  V h  l  r Mặt khác: V   r h  h  Stp  2 rl  2 r  2 r  V  r V 2V V V  2 r   2 r    2 r  r r r r Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta được: Stp  3 V V   2 r  3 2 V r r Đẳng thức xảy (SGD Nam Định 2019) Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp ba lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều h cao thùng h bán kính đáy r Tính tỉ số cho chi phí vật liệu sản xuất thùng r nhỏ nhất? Chọn C Gọi x giá vật liệu làm mặt xung quanh (cho đơn vị diện tích) V Thể tích thùng V   r h không đổi Suy h  (*) r Trang 16 https://TaiLieuOnThi.Net N T H h  r O D U h  r Lời giải C IE h  r IL B A h  r T A I N E T Câu 28 V V V nên 2r  h  2 r   2r Do h  r   r Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó, chi phí để làm thùng P  S xq x  2Sđ 3x  2 rh.x  2 r 3x  2 x  3r  rh  V  V  3V   V  P  2 x  3r    x r     x    r  2 r 2 r  4   3V V V P  6 x  3r   r3  4 2 r 6 h V V Từ (*) suy   6 V r r  6 Câu 29 (Chun Vĩnh Phúc 2019) Một hình trụ có độ dài đường cao , đường tròn đáy  O;1  O ';1 Giả sử AB đường kính cố định  O;1 CD đường kính thay đổi  O ';1 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ diện ABCD A Vmax  B Vmax  C Vmax  D Vmax  Lời giải Chọn A D O' C O A B Gọi  số đo góc AB CD 1 Ta có VABCD  AB.CD.d  AB; CD  sin   2.2.3.sin   2sin   6 Do VABCD đạt giá trị lớn , đạt AB  CD (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải V 2 B V C V  D V 3 T E A T H I N Lời giải Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy R , chiều cao h ( R, h  ) N V  R2 Để tiết kiệm vật liệu hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích tồn phần 2V Stp  2 Rh  2 R   2 R nhỏ R Cách 1: A IL IE U O Vì thể tích vỏ hộp V nên ta có V   R h  h  T Câu 30 Trang 17 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có Stp  2V V V  2 R    2 R  3 2 V R R R Stp đạt giá trị nhỏ V V  2 R  R  R 2 Cách 2: Xét hàm số f  R   Ta có f   R    2V  2 R khoảng  0;   R V 2V 4 R  2V f  R   R    R  2 2 R R Bảng biến thiên: Từ BBT ta thấy f  R  đạt nhỏ R  V 2 Vậy để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy vỏ hộp phải V 2 Câu 31 Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 64 cm3 B 16 cm3 C 8 cm3 D 32 cm3 Lời giải Gọi chiều cao bán kính đáy hình trụ x , y  x, y   Khi ta có thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có kích thước x , y Theo giả thiết ta có  x  y   12  x  y  Cách Thể tích khối trụ: V   y x   y   y   2   y  y  Vì x  y    y    y  Xét hàm số f  y    y  y khoảng  0;3 T A IL IE U O N T H I N E T y  Ta có f   y   3 y  y  f   y     y  Bảng biến thiên: Trang 18 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy max f  y   f     0;3 Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 2  8 cm3 Cách 3  x y y  x  2y  6 Thể tích khối trụ: V   y x   x y y             8     3 Dấu “=” xảy x  y  Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ V  8 cm3 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh đất x  m  Giả sử chiều sâu ao x  m  Tính thể tích lớn V ao A V  13,5  m  B V  27  m  C V  36  m  D V  72  m  Lời giải Chọn A Phương pháp Xác định bán kính đáy chiều cao hình trụ, sử dụng cơng thức V   R2 h tính thể tích hình trụ +) Lập BBT tìm GTLN hàm thể tích Cách giải  2x Ta có: Đường kính đáy hình trụ  2x  Bán kính đáy hình trụ 2     2x  Khi ta tích ao V     x  9  2x  x  f  x  4   Xét hàm số f  x     x  x  x  36 x  81x với  x  ta có: T H I N E T N  x  f '  x   12 x  72 x  81    x   A IL IE U O BBT: T Câu 32 Trang 19 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Dựa vào BBT ta thấy f  x max  54  x  Câu 33  27  13,5  m3  Khi Vmax  54  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Tính tan  thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn 1 A tan   B tan   C tan   D tan   2 Lời giải Cách 1: O' B α O H D A Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng  O  Kẻ AH  OD , H  OD Ta tích khối chóp OOAB : VOOAB  VOOAB max  H  O Suy 2a 2a 4a AH SOOB  AH  AO  3 3 AD  2 a T A IL IE U O N T H I N E T   Suy ra: tan   tan BAD Nhận xét: Nên thêm giả thiết AB chéo với OO ' để tứ diện OOAB tồn Trang 20 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 O' C B α O D A Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường trịn  O  Gọi C hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường tròn  O '  Ta có O ' CB.OAD hình lăng trụ đứng Ta tích khối chóp OOAB : 1 4a3 VOOAB  VO ' BC OAD  2a.SOAD  2a .2a.2a.sin  AOD  3 AOD  900  AD  2a V   O ' ABCD max   Suy ra: tan   tan BAD (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , D cho AD  3a ; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa đường tròn  O '  ; đường tròn tâm O lấy điểm B ( AB chéo với CD ) Đặt  góc AB đáy Tính tan  thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn A tan   B tan   C tan   3 D tan   Lời giải B O' K I N E T C T N O U D A IL A O IE α H H Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường tròn  O  T Câu 34 Trang 21 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Gọi K hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường tròn  O '  Ta có HAD.BKC hình lăng trụ đứng Ta tích tứ diện CDAB 1 1 1 VABCD  VHAD.BKC  2a.SHAD  2a AD.d  H ; AD   2a .2a 3.d  H ; AD  3 3 AD đường tròn  O  (1) VABCD max   d  H ; AD  max  H điểm cung lớn  Theo định lý sin ta có AD AD 3a  2.2a  sin  AHD    nên  AHD  600  a a sin AHD Do (1) xảy AHD  AH  AD  3a   BH  2a  Suy ra: tan   tan BAH AH 2a 3 Câu 35 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , D đường tròn tâm O lấy điểm B , C cho AB //CD AB khơng cắt OO ' Tính AD để thể tích khối chóp O ' ABCD đạt giá trị lớn A AD  2 a C AD  B AD  4a a D AD  2a Lời giải C B O' O D A O1 Kẻ đường thẳng qua O ' song song với AB cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O) O1 Lúc AO1 D.BO ' C hình lăng trụ chiều cao 2a Vì AD  BC nên S BO 'C  S OAD Ta tích khối chóp O ' ABCD : H I N E T 2 8a VO ' ABCD  VAO1D BO 'C  2a.S BO 'C  2a.SOAD  2a .2a.2a.sin  AOD  3 3 AOD  900  AD  2a V   T A IL IE U O N T O ' ABCD max Trang 22 https://TaiLieuOnThi.Net ... (Trường VINSCHOOL - 2020) Một tạ tay có hình dạng gồm khối trụ, hai khối trụ hai đầu khối trụ làm tay cầm Gọi khối trụ làm đầu tạ  T1  khối trụ N T H Câu 13 2 I N  Stp   2   2 R R U O... Quý Đôn Quảng Trị 2019) Người ta làm tạ tập tay hình vẽ với hai đầu hai khối trụ tay cầm khối trụ Biết hai đầu hai khối trụ đường kính đáy 12 , chiều cao , chiều dài tạ 30 bán kính tay cầm Hãy... hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ là: A 64 cm3 B 16 cm3 C 8 cm3 D 32 cm3 Lời giải Gọi chiều cao bán kính đáy hình trụ x