BT VỀ PT MẶT CẦU NÂNG CAO HÌNH HỌC 12

Câu 1. (Mã 102 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu    2 2 2 S x y z : 2 3     . Có tất cả bao nhiêu điểm A a b c   ; ; ( a b c , , là các số nguyên) thuộc mặt phẳng   Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của   S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 8 . B. 16. C. 12 . D. 4 . Lời giải Chọn C Mặt cầu   S có tâm I   0;0; 2 và bán kính R  3 ; A Oxy    A a b   ; ;0 . Xét trường hợp A S   , ta có 2 2 a b  1. Lúc này các tiếp tuyến của   S thuộc tiếp diện của   S tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau. Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của   a b; là 0 0 1 1 ; ; ; 1 1 0 0 a a a a b b b b                        . Xét trường hợp A ở ngoài   S . Khi đó, các tiếp tuyến của   S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A . Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A . Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng90. Giả sử A N A M   ; là các tiếp tuyến của   S thỏa mãn AN AM  ( N M; là các tiếp điểm) Dễ thấy A NIM  là hình vuông có cạnh IN R   3 và IA   3. 2 6 . Điều kiện phải tìm là 6 IA R IA IA        2 2 2 2 1 4 a b a b         Vì a b, là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm   a b; là                 0;2 , 0; 2 , 2;0 , 2;0 , 1;1 , 1; 1 , 1;1 , 1; 1       . Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Chuyên đề 29 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Một số toán liên quan đến tiếp tuyến (tiếp xúc) mặt cầu Câu  (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z    Có tất điểm A  a ; b ; c  ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  cho có hai tiếp tuyến  S  qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A Chọn C B 16  C 12 Lời giải D  Mặt cầu  S  có tâm I 0;0; bán kính R  ; A   Oxy   A  a ; b ;0  * Xét trường hợp A   S  , ta có a  b  Lúc tiếp tuyến  S  thuộc tiếp diện S  A nên có vơ số tiếp tuyến vng góc a   a  a  1 a  1 Trường hợp ta có cặp giá trị  a; b   ; ; ; b  b  1 b  b  * Xét trường hợp A  S  Khi đó, tiếp tuyến  S  qua A thuộc mặt nón đỉnh A Nên tiếp tuyến vng góc với A Điều kiện để có tiếp tuyến vng góc góc đỉnh mặt nón lớn 90 Giả sử AN ; AM tiếp tuyến  S  thỏa mãn AN  AM ( N ; M tiếp điểm) Dễ thấy ANIM hình vng có cạnh IN  R  IA    a  b   IA  R Điều kiện phải tìm   2  IA  IA   a  b  I N E T Vì a , b số nguyên nên ta có cặp nghiệm  a; b  H  0;2 ,  0;   ,  2;0 ,  2;0 , 1;1 ,  1; 1 ,  1;1 , 1; 1 N O (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y   z  1  Có tất bao IE U IL nhiêu điểm A  a, b, c  ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  cho có hai tiếp A 20 D 16 B C 12 A tuyến  S  qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? T Câu T Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Lời giải Chọn A Mặt cầu có tâm I  0;0;1 , bán kính R  Vì A   Oxy  nên c  Các giao tuyến A đến mặt cầu (nếu IA  R ) tạo nên mặt nón tâm A , để mặt nón có hai đường sinh vng góc góc mặt nón phải  90 hay IA  R Vậy R  IA  R   a  b   10   a  b2  Ta có số thõa mãn  0; 2  ;  0; 3 ;  1; 2  ;  2; 2  ;  2; 1 ;  2;0  ;  3;0  , 20 số Câu (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu:  S  : x  y   z  1  Có tất điểm A  a ; b ; c  ( a , b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  cho có hai tiếp tuyến  S  qua A hai tiếp tuyến vng góc nhau? A 20 B C 12 Lời giải D 16 Chọn A I N E T Mặt cầu  S  : x  y  ( z  1)2  có tâm I  0;0; 1 có bán kính R  T N O IE U a b 1 đường kính IA có tâm I   ; ;   , bán kính  2 2 A a  b2  T R   S  IL Ta có: E , F thuộc mặt cầu H a b 1 A  a ; b ;0    Oxy  , Gọi I  trung điểm AI  I   ; ;    2 2 Gọi E , F hai tiếp điểm tiếp tuyến qua A cho AE  AF Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đề tồn E , F hai mặt cầu  S   S   phải cắt suy R  R  II   R  R  5 2 a  b2   a  b2    a  b2  2   a  b   a  b  1 Gọi H hình chiếu I  AEF  tứ giác AEHF hình vng có cạnh AE  HF  AI  Ta có IH  R  HF    AI    10  AI   a  b   10  a  b    Từ 1   ta có  a  b  mà a , b, c   nên có 20 điểm thỏa tốn Cách khác: Mặt cầu  S  có tâm I  0, 0, 1 bán kính R  Ta có d  I  Oxy    R  mặt cầu  S  cắt mặt phẳng  Oxy  Để có tiếp tuyến  S  qua A  AI  R 1 Có A  a, b, c    Oxy   A  a, b,  , IA  a  b  Quỹ tích tiếp tuyến qua A  S  mặt nón AI  R mặt phẳng AI  R Trong trường hợp quỹ tích tiếp tuyến qua A  S  mặt nón gọi AM , AN hai tiếp tuyến cho A, M , I , N đồng phẳng Tồn hai tiếp tuyến  S  qua A hai tiếp tuyến vng góc với   90 o  IA  R MAN  2 Từ 1 ,     a  b2  Vì a, b   I N (THPT Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1  z  điểm M  2;3;1 Từ M kẻ vô số tiếp tuyến tới  S  , biết tập hợp tiếp điểm đường tròn  C  Tính bán kính r đường trịn  C  H C r  Lời giải D   IE B r  IL A A r  U O N T T Câu E T  a   a   a   a   a   a   a         b  b  b  b  b  b  b  Bốn hệ phương trình có hai nghiệm, ba hệ sau có nghiệm suy số điểm A thỏa mãn 4.2  3.4  20 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Mặt cầu  S  có tâm I 1;1;0  bán kính R   Ta có IM  1; 2;1 IM  Gọi H tiếp điểm tùy ý kẻ tiếp tuyến từ Oxyz đến mặt cầu, MH  IM  R  Gọi O tâm đường trịn  C  IM  HO HO  r Ta có HI HM  HO.IM  r  Câu HI HM 2   IM (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính , , , (đơn vị độ dài) tiếp xúc với Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngồi với bốn mặt cầu nói có bán kính A B C D 15 11 Lời giải Cách 1: Gọi A, B, C , D tâm bốn mặt cầu, khơng tính tổng qt ta giả sử AB  , AC  BD  AD  BC  Gọi M , N trung điểm AB, CD Dễ dàng tính MN  Gọi I tâm mặt cầu nhỏ với bán kính r tiếp xúc với bốn mặt cầu Vì IA  IB, IC  ID nên I nằm đoạn MN  Đặt IN  x , ta có IC  32  x   r , IA  2   x Từ suy  x   2x 2    2r  12  12 1 x  , suy r  32      11 11  11  T A IL IE U O N T H I N E T Cách Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi A, B tâm cầu bán kính C , D tâm cầu bán kính I tâm cầu bán kính x Mặt cầu  I  tiếp xúc với mặt cầu tâm A, B, C , D nên IA  IB  x  2, IC  ID  x  Gọi  P  ,  Q  mặt phẳng trung trực đoạn AB CD  IA  IB  I   P   I   P    Q  1   IC  ID  I   Q  Tứ diện ABCD có DA  DB  CA  CB  suy MN đường vng góc chung AB CD , suy MN   P    Q  (2) Từ 1   suy I  MN Tam giác IAM có IM  IA2  AM  Tam giác CIN có IN  IC  CN   x  2  x  3 2 4 9 Tam giác ABN có NM  NA2  AM  12 Suy  x  3 9   x  2   12  x  11 Dạng Bài toán cực trị T A IL IE U O N T H I N E T Một số bất đẳng thức Kết Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn Kết Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn Như hình vẽ ta ln có AM  AH Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Kết Với ba điểm A, B, C ta ln có bất đẳng thức AB  BC  AC Tổng quát ta có bất đẳng thức đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 , An ta ln có A1 A2  A2 A3   An 1 An  A1 An x y Kết Với hai số khơng âm x, y ta ln có  xy Đẳng thức xảy x  y        Kết Với hai véc tơ a, b ta ln có a.b  a b Đẳng thức xảy a  kb, k   Một số toán thường gặp Bài toán Cho điểm A cố định điểm M di động hình  H  (  H  đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ AM Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên hình  H  Khi đó, tam giác AHM Vng M ta có AM  AH Đẳng thức xảy M  H Do AM nhỏ M hình chiếu A lên  H  Bài tốn Cho điểm A mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R, M điểm di động  S  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn AM N T H I N cầu ( S )  AM  AM  ( ) mặt phẳng qua M đường thẳng AI Khi ( ) cắt ( S ) theo  đường tròn lớn (C ) Ta có M MM  90 , nên  AM M góc tù, nên tam giác AMM  E T Lời giải Xét A nằm mặt cầu ( S ) Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI với mặt O AMM AMM ta có T A IL IE U AI  R  AM  AM  AM  AI  R Tương tự với A nằm mặt cầu ta có R  AI  AM  R  AI Vậy AM | AI  R |, max AM  R  AI Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Bài tốn Cho măt phẳng ( P) hai điểm phân biệt A, B Tìm điể M thuộc ( P) cho MA  MB nhỏ | MA  MB | lớn Lời giải Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm hai phía so với ( P) Khi AM  BM  AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) - TH 2: Nếu A B nằm phía so với ( P) Gọi A đối xứng với A qua ( P) Khi AM  BM  A M  BM  A B Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm phía so với ( P) Khi | AM  BM | AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) - TH 2: Nếu A B nằm khác phía so với ( P) Gọi A ' đối xứng với A qua  P  , Khi | AM  BM | A M  BM  A B O N T H I N E T Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Bài toán Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A cách B khoảng lớn IE IL A Do  P  mặt phẳng qua A vng góc với AB U Lời giải Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng ( P), d( B,( P))  BH  BA T Bài toán Cho số thực dương  ,  ba điểm A, B, C Viết phương trình măt phẳng Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group ( P) qua C T   d( A, ( P ))   d( B, ( P)) nhỏ Lời giải Xét A, B nằm phía so với ( P) - Nếu AB‖( P) P  (   )d( A,( P))  (   ) AC    - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) I Gọi D điểm thỏa mãn IB  ID E trung điểm BD Khi  IB  d( D, ( P ))  2 d( E , ( P ))  2(   ) EC ID Xét A, B nằm hai phía so với ( P) Gọi I giao điểm AB ( P), B điểm đối xứng với B qua I Khi P   d( A,( P ))   d B , ( P) P   d( A, ( P ))      Đến ta chuyển trường hợp So sánh kết ta chọn kết lớn Bài tốn Trong khơng gian cho n điểm A1 , A2 , , An diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tổng khoảng cách từ điểm Ai (i  1, n ) lớn Lời giải - Xét n điểm A1 , A2 , , An nằm phía so với ( P ) Gọi G trọng tâm n điểm cho Khi n  d  A , ( P)   nd(G, ( P))  nGA i 1 i - Trong n điểm có m điểm nằm phía k điểm nằm phía khác (m  k  n ) Khi đó, gọi G1 trọng tâm m điểm, G2 trọng tâm k điểm G3 đối xứng với G1 qua A Khi dó P  md  G3 , ( P )   kd  G2 , ( P )  T A IL E I N H T N O U IE Lời giải Gọi H , K hình chiếu A lên mặt phẳng ( P) đường thẳng  Khi d( A,( P))  AH  AK Do ( P) mặt phẳng qua K vng góc vói AK Bài tốn Trong không gian Oxyz, cho điểm A1 , A2 , , An Xét véc tơ     w  1 MA1   M A2     n M An Trong 1 ;   n số thực cho trước thỏa mãn 1      n  Tìm điểm  M thc măt phẳng ( P) cho | w | có dài nhỏ Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  (điểm G hoàn toàn xác định) T Đến ta chuyển tốn Bài tốn 7.Viết phương trình mặt phẳng  P  qua đường thẳng  cách A khoảng lớn Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Ta có MAk  MG  GAk vói k  1; 2;; n, nên       w  1     n  MG  1GA1   2GA2     nGAn  1     n  MG Do   | w | 1       n  | MG |  Vi 1       n số khác không nên | w | có giá trị nhỏ MG nhỏ nhất, mà M  ( P) nên điểm M cần tìm hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn Trong khơng gian Oxy z, cho diểm A1 , A2 , , An Xét biểu thức: T  1MA12   MA22     n MAn2 Trong 1 ,  , ,  n số thực cho trước Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) cho T giá trị nhỏ biết 1      n  T có giá trị lớn biết 1     n  Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     nGAn     Ta có MAk  MG  GAk với k  1; 2;; n, nên     MAk2  MG  GAk  MG  2MG  GAk  GAk2   Do T  1      n  MG  1GA12   2GA22     n GAn2 Vì 1GA12   2GA22     nGAn2 không đổi nên T H I N E T • với 1     n  T đạt giá trị nhỏ MG nhỏ • với 1     n  T đạt giá trị lớn MG nhỏ Mà M  ( P) nên MG nhỏ điểm M hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) cắt Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng ( P) góc nhỏ A HM HM  HK HI T tan   IL IE U O N Lời giải Gọi I giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( P) lấy điểm M  d , M  I Gọi H , K lầ lượt hình chiếu M lên ( P) giao tuyến  ( P) (Q)  , Đặt  góc ( P) (Q), ta có   MKH Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Do (Q) mặt phẳng qua d vng góc với mặt phẳng ( MHI ), nên (Q ) qua M nhận     nP  ud   ud làm VTPT Chú ý Ta giải tốn phương pháp đai số sau:    - Goi n  (a; b; c ), a  b  c  VTPT mặt phẳng (Q) Khi n  ud  từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) - Gọi  góc ( P) (Q), ta có   n  nP cos      f (t ) | n |  nP b với t  , c  Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) c Bài tốn 11 Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d  chéo Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d tạo với d  góc lớn Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M dựng đường thẳng  qua M song song với d  Khi góc  ( P) góc d  ( P) Trên đường thẳng  , lấy điểm A Gọi H K hình chiếu A lên ( P) d ,  góc  ( P) HM KM Khi     AMH cos   AM AM Suy ( P) mặt phẳng chứa d vuông góc với mặt phẳng ( AMK ) Do dó ( P) qua M nhận    ud  ud   ud làm VTPT   Chú ý Ta giải tốn phương pháp đại số sau:    - Goi n  (a; b; c ), a  b  c  VTPT măt phẳng ( P ) Khi n  ud  từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) H I N E T - Gọi  góc ( P) d  , ta có   n  ud  sin      f (t ) | n |  ud  T A IL IE U O N T b với t  , c  Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) c Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group            TÀI  LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ( MI  IA)( MI  IB)  2( MI  IB)(MI  IC )  3( MI  IC )( MI  IA)            6MI  MI (4IA  3IB  5IC )  IAIB  2IBIC  3IC IA  x  4x A  3x B  5xC  I 12      y  yB  5yc 2  I( , , ) Gọi I điểm thỏa mãn 4IA  3IB  5IC     yI  A  12 12 12 12  4x A  3z B  5zC  z I   12        Mà: (4 IA  3IB  5IC )  IAIB  IBIC  IC IA  const Nên S  MI Suy M hình chiếu I lên mặt Oxy  M ( Câu 21 2 , , 0)  T  12a  12b  c  1 12 12 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Trong không gian Oxyz , lấy điểm C tia Oz cho OC  Trên hai tia Ox, Oy lấy hai điểm A, B thay đổi cho OA  OB  OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC ? A B Lời giải C 6 D Chọn D Đặt: OA  a; OB  b (a  0, b  0)  a  b   a2  b2   2ab Bán kính cầu:  2ab   12  2a 1  a  2a  2a  a  a  1 2  a b c  R  R    4 2 1  a    4  R2  6 R Vậy Rmin  4 Câu 22 (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm M  a; b; c  (với a, b, c phân số tối giản)  S  : x2  y  z  x  y  z   cho biểu thức T  2a  3b  6c giá trị biểu thức P  2a  b  c 12 A B C thuộc mặt cầu đạt giá trị lớn Khi 51 D T Lời giải I N E Chọn C x  y  z  x  y  z     x  1   y     z    16 H T M  a; b; c    S    a  1   b     c    16 N O U 2 2  32    a  1   b     c      IE Ta có:  a  1   b     c    T  2a  3b  6c  20  28  2a  3b  6c  20  28  2a  3b  6c  48 IL A Trang 17 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 15   a   2a  3b  6c  48 2a  3b  6c  48   26  a 1 b       3a  2b  1  b  Dấu "  " xảy khi:    3a  c    38  a 1 c    c    Vậy P  2a  b  c  Câu 23 15 26 38    7 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm       A  2t ; 2t;  , B  0; 0; t  (với t  ) Điểm P di động thỏa mãn OP AP  OP.BP  AP.BP  Biết a a với a, b nguyên dương tối giản cho OP đạt giá trị lớn b b Khi giá trị Q  2a  b có giá trị t  A B 13 D C 11 Lời giải Chọn C    Gọi P  x; y; z  , ta có: OP   x; y; z  , AP   x  2t ; y  2t ; z  , BP   x; y ; z  t        Vì P  x; y; z  thỏa mãn OP AP  OP.BP  AP.BP  4  x  y  z  4tx  4ty  2tz    x  y  z  tx  ty  tz   3 2t 2t t Nên P thuộc mặt cầu tâm I  ; ;  , R  t   3 3 Ta có OI  t  R nên O thuộc phần khơng gian phía mặt cầu Để OPmax P, I , O thẳng hàng OP  OI  R Suy OPmax  OI  R   t  t  Từ tìm t  Suy a  4, b  3 Vậy, Q  2a  b  11 Câu 24 (HSG Nam Định-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm       A  4;1;5 , B  3;0;1 , C  1;2;0 điểm M  a; b; c  thỏa mãn MA.MB  2MB.MC  5MC.MA lớn Tính P  a  2b  4c A P  23 B P  31 C P  11 Lời giải D P  13 Chọn D Trang 18 https://TaiLieuOnThi.Net  E I N T N O U IE  IL      MC  MA2  2MC.MA  MC.MA  MC  MA2  AC        Q  MA.MB  2MB.MC  5MC.MA H  A  T        MC  MA T       + Đặt Q  MA.MB  2MB.MC  5MC.MA       MA  MB  MA2  MB  2MA.MB  MA.MB  MA2  MB  AB         MB  MC  MB  MC  2MB.MC  MB.MC  MB  MC  BC Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  MA2  MB  AB2  MB  MC  BC  MC  MA2  AC 2 3  2MA2  MB  MC  AB  BC  AC 2 2 3  AB  BC  AC không đổi nên Q lớn T  2MA2  MB  MC đạt giá trị 2 2 lớn 3 + T  2MA2  MB  MC 2     Gọi E điểm thỏa mãn 2 EA  EB  EC  2              4EA  3EB  3EC   EA  3CB  EA  CB  17   E 1; ;   4       3 T  2MA2  MB  MC  2 ME  EA  ME  EB  ME  EC 2 2       3 3  2ME  2EA2  EB2  EC  2 EA2  EB  EC 2 2 3 Vì 2 EA2  EB  EC khơng đổi nên T đạt giá trị lớn ME   M  E 2  17   M 1; ;   4 17 P  a  2b  4c     13 Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 2;4 , B  3;3; 1 mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z  3 2  Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu  S  , giá trị nhỏ 2MA2  3MB A 103 B 108 C 105 Lời giải D 100 T A IL IE U O N T H I N E T Chọn C Trang 19 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Mặt cầu  S  có tâm I 1;3;3 bán kính R     Gọi E điểm thỏa mãn: EA  3EB  Suy E  1;1;1     Xét P  2MA2  3MB  ME  EA  ME  EB  5ME  EA2  3EB     P đạt giá trị nhỏ ME đạt giá trị nhỏ IE   R suy điểm E nằm mặt cầu nên ME nhỏ IE  R    Vậy P  MA2  3MB  5ME  EA2  3EB  105 Câu 26 (Kim Liên - Hà Nội  S : x2  y  z  x  y  z  2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  hai điểm A  0; 2;0  , B  2; 6; 2  Điểm M  a; b; c    thuộc  S  thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ Tổng a  b  c A 1 C Lời giải B D Chọn B  S : x2  y  z  x  y  z  2    S  :  x  1   y     z  1  2 Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 , bán kính R  Vì IA   R IB  82  R nên hai điểm A , B nằm mặt cầu  S  Gọi K trung điểm đoạn thẳng AB K 1; 2; 1 K nằm mặt cầu  S        Ta có: MA.MB  MK  KA MK  KB       MK  MK KA  KB  KA.KB  MK  KA2   Suy MA.MB nhỏ MK nhỏ nhất, tức MK nhỏ Đánh giá: IM  MK  IK  R  MK  IK  MK  IK  R Suy MK nhỏ IK  R , xảy I , M , K thẳng hàng M nằm hai điểm      I , K Như M giao điểm đoạn thẳng IK mặt cầu  S   2 Có IK   2; 4; 2  , IK  22   4    2    R  IM I N E T  2   a  1 a       Suy IK  IM  4   b    b    2   c  1 c   Vậy a  b  c  T H Câu 27 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 0;  , B  1;1;  , C  0; 1;  , D  0;1;  , C 24 Lời giải Chọn B Trang 20 https://TaiLieuOnThi.Net D 24 A B 12 T A 12 IL IE U O N E  0;3;  M điểm thay đổi mặt cầu ( S ) : x  ( y  1)  z  Giá trị lớn biểu      thức P  MA  MB  MC  MD  ME là: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt cầu  S  : tâm I  0;1;  bán kính R  Gọi trọng tâm tam giác ABC G  0; 0;  , trung điểm DE N  0; 2;0  G, N nằm  S  I trung điểm GN nên GN đường kính  S         P  MA  MB  MC  MD  ME  3MG  MN  MG  MN   MG  MN  Ta có:  MG  MN    MG  MN   2GN  Suy MG  MN  2 Vậy giá trị lớn P 12 Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;  1;3 , B  2;  8;   , C  2;  1;1 mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  14 Gọi M  xM ; yM ; zM  điểm     S  cho biểu thức 3MA  2MB  MC đạt giá trị nhỏ Tính P  xM  yM A P  B P  C P  14 Lời giải D P  14 Chọn B          Gọi J điểm thỏa mãn 3JA  JB  JC   JO  3OA  2OB  OC       2OJ  3OA  2OB  OC  J (3;6;9)            Mà 3MA  MB  MC  MJ  JA  JB  JC nên 3MA  MB  MC  MJ      2MJ Do 3MA  2MB  MC   Mặt khác:  S  có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  14 IJ  14  R  điểm J nằm mặt E T cầu nên IJ cắt mặt cầu  S  hai điểm M , M H T N O U IE IL A T  x   2t   y   4t t1   Xét hệ phương trình:   z   6t t      x  1   y  2   z  32  14  I N  x   2t  Phương trình đường thẳng  IJ  :  y   4t , t    z   6t  Trang 21 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Suy M1  2; 4;6  , M  0;0;  , M1 J  14 ; M J  14      2MJ Vậy 3MA  2MB  MC  M  M1 min P  xM  y M    Câu 29 Trong không gian Oxyz cho A  ; ;  , B 1 ; 1; 0 mặt cầu  S  : x  y   z  1  Xét điểm M thay đổi thuộc  S  Giá trị nhỏ biểu thức MA2  2MB A B 19 Lời giải C D 21 Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I  ; ; 1 , bán kính R     2 2 Gọi K điểm thỏa mãn KA  KB   K  ; ;  3 3 Ta có     MA2  2MB2  MK  KA  MK  KB     3MK  KA2  2KB  2MK KA  2KB  3MK  KA2  2KB       Biểu thức MA2  2MB đạt GTNN MK đạt giá trị nhỏ 1 Với M thay đổi thuộc  S  ta có MK  KI  R    2  Vậy MA2  2MB   3MK  KA2  KB  19    3 Câu 30 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A, B thay đổi mặt cầu x  y  ( z  1)  25 thỏa mãn AB  Giá trị lớn biểu thức OA2  OB2 A 12 B C 10 Lời giải Chọn A D 24 Mặt cầu x  y  ( z  1)  25 có tâm I  0;0;1 Vì A , B thuộc mặt cầu tâm I nên IA  IB          OI  IA  OI  IB  2 T   OA2  OB  OA  OB         2OI IA  IB  2OI BA  2OI BA.cos  , với   OI , BA  E  I N  T H  O N Suy biểu thức OA2  OB2 đạt GTLN   T A IL IE U Vậy max  OA2  OB   2.1.6.cos  12 Trang 22 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 31 Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5  , B  3; 4;0  , C  2; 1;0  Gọi M  a ; b ; c  điểm cho MA2  MB  3MC đạt giá trị nhỏ Tổng a  b  c có giá trị A B C D 4 Lời giải Chọn C         Gọi I điểm thỏa mãn IA  IB  3IC   OI  OA  OB  OC   2;1;1  I  2;1;1 5       2 2 Khi đó, T  MA  MB  3MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC      MI  MI IA  IB  3IC  IA2  IB  3IC      5MI  IA2  IB  3IC (vì IA  IB  3IC  )         Vì I , A , B , C cố định  IA2  IB  3IC không đổi nên T nhỏ  MI nhỏ  M  I  2;1;1  a  , b  c  Vậy a  b  c  Câu 32 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y   2  z  điểm A  3;0;0  ; B  4;2;1 Điểm M thay đổi nằm mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA  MB A P  2 B P  C P  Lời giải D P  H I N Nhận xét: điểm A, B nằm mặt cầu  S  Mặt cầu  S  có tâm I  1; 4;0  , R  2 E T Chọn D N T Ta có: IA   R, E  IA   S   E 1; 2;0  T A IL IE IF IM Tam giác IFM IMA có  AIM chung    AIM  MIF IM IA MA AI Suy    MA  MF FM MI U O Gọi F trung điểm IE  F  0;3;0  Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có: MA  2MB   MF  MB   FB  Vì F nằm  S  B nằm  S  nên dấu ''  '' xảy M  BF   S  Câu 33 Trong không gian Oxyz ,cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  z   điểm A  0;1;1 , B  1; 2; 3 , C 1;0; 3 Điểm D thuộc mặt cầu  S  Thể tích tứ diện ABCD lớn bằng: A B C D 16 Lời giải Chọn D Cách 1:Ta có  S  :  x  1  y   z  1    AB   1; 3; 4      AB, AC    8; 8;4  Ta có:    AC  1; 1; 4  2  x  1  y   z  12  Gọi D  x; y; z    S      AD   x ; y  1; z  1    Ta có: VABCD   AB, AC  AD  x  y  z   x  y  z  6 Ta có: x  y  z   2. x  1  y  1. z  1  Ta có:  x  1  y  z   2 2  22  12   x  1  y   z  1      6   x  1  y  z    4  x  y  z   16 T  z  điểm A  ; ;0  , B  ; ;1 Điểm M thay đổi nằm T N  S  :  x  1   y   H (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu D P  IE C P  Lời giải IL B P  A A P  2 O mặt cầu, tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA  2MB T Chọn D Trang 24 https://TaiLieuOnThi.Net U Câu 34 I N Suy ra: Giá trị lớn VABCD  x 1 y z    0 16  7 1 2   D ; ;   3 3  x  1  y   z  12   E  x  y  z    VABCD  Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giả sử M  x ; y ; z    Ta có: AM   x  ; y ; z  , BM   x  ; y ; z  1 Và  x  1   y    z    x  1   y    z      2 Ta có: P  MA  2MB    x  3  x  3 2  y2  z2   x     y     z  1 2  y  z   x  1   y    z  8    2   x   y  3  z    x     y     z  1   x   y  3  z     x     y   1  z  2 2 2  x     y     z  1  x     y     z  1  x  y  24 y  z  36  2 2 2     Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki: a  b2  c  d  e2  f  Dấu xảy khi: P2  a  d   b  e  c  f  a b a   0 d e f  x   x   y    y 2   z   z     1   1  2 E I N H T N O U IE IL A T   133 x  4t  23  133  x  t 1   34  133 y   y  2t    23  133  t 1   133   t z   z  23  133 t    22t  2t     133 t   22 T 4t  x  t 1   y  2t  y 3 z  x    t   t 1  Dấu xảy khi:   x  y  z  t  x  12   y  2  z  z   t 1  2  5t    2t    t          8  t    t    t   Trang 25 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy giá trị nhỏ biểu thức Câu 35 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  4; 2;  ,    B 1; 1;  1 , C  2;  2;   Tìm tọa độ điểm M thuộc  Oxy  cho MA  MB  MC nhỏ A M  2; 3;0  B M 1; 3;  C M  2; 3;  D M  2;3;1 Lời giải Chọn A Cách Gọi D; E; F trung điểm AB; AC; ME Ta có:             MA  MB  MC  MA  MB  MB  MC  2.MD  CB  2.MD  2.ED  2.FD  4.FD 5 1  x3 y  ; ;0  Ta lại có: M  x; y;0  ; D  ; ;  ; E  3;0;0  ; F  2 2  2  FDmin  F hình chiếu D mp  Oxy   x  2; y   M  2;3;  Cách            Gọi I điểm thỏa mãn: IA  IB  IC   IO  OA  IO  OB  IO  OC           OI  OA  2OB  0C  I  2;3;1          MA  MB  MC  2MI  IA  IB  IC  2.MI    MA  2MB  MC nhỏ  MI nhỏ  M hình chiếu I mp  Oxy  E T Vì I  2;3;1  M  2;3;  H I N Cách N T Gọi M  x; y;  Ta có: Trang 26 https://TaiLieuOnThi.Net A T    Thế tọa độ điểm M đáp án A vào ta MA  MB  MC  IL IE U O       MA  2MB  MC    x;6  y; 1  MA  2MB  MC  x  y  16 x  24 y  53 Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Thế tọa độ điểm M đáp án B vào ta MA  2MB  MC  17    Thế tọa độ điểm M đáp án C vào ta MA  2MB  MC  145 Điểm M đáp án D không thuộc  Oxy  nên bị loại Cách Gọi M  x; y;  Ta có:       MA  2MB  MC    x;6  y; 1  MA  2MB  MC  x  y  16 x  24 y  53 Ta có: x  y  16 x  24 y  53   x     y  6 2 1  Dấu "  " xảy  x  2; y  Khi M  2;3;  Câu 36 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  có phương trình x  y  z  x  y  z   điểm A  5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM  AN A S  30 C Smin  34  B S  20 D Smin  34  Lời giải Chọn D Mặt cầu  S  có tâm I  2; 1;1 , bán kính R  AI  34  R  A nằm mặt cầu  S  M H N A I Do hai điểm M , N nằm vị trí hai đầu dây cung nên để Smin N nằm T E I N S   AH  NH   AH  NH  AH  3NH MN H Gọi H trung điểm MN  IH  MN , NH  N T S  AI  IH  R  IH  34  x   x , x  IH 34  x U IE  5   x   32  x 32  x   34  x 3x IL  A 5 x T f  x   O Xét hàm số f  x   34  x   x ,   x  3 A M Trang 27 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  5 Xét    34  x  0  x2    x  34  x2  225  25 x  9.34  x  16 x  81  (luôn ) Suy ; f   x   0, x  0;  , f   x    x   f  x  đồng biến 0;  Suy f  x   f    34  0;3 Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1  y   z    10 hai điểm A 1; 2; 4  2 B 1; 2;14  Điểm M thay đổi mặt cầu  S  Giá trị nhỏ  MA  2MB  A 82 B 79 C 79 D 82 Lời giải Chọn D  S  có tâm I 1; 0; 2 bán kính R  10 Ta có IA  10  R nên tồn điểm C cố định cho MA  2MC M   S  1 Thật vậy, gọi  a ; b ; c  tọa độ điểm C Khi đó, với điểm M  x ; y ; z    S   x  y  z  x  z  , ta có: MA2   x  1   y     z    x  y  z  x  y  z  21 2  x  z   x  y  z  21  4 y  12 z  26 MC   x  a    y  b    z  c   x  y  z  2ax  2by  2cz  a  b  c 2 2  x  z   2ax  2by  2cz  a  b2  c    2a  x  2by    2c  z  a  b2  c  Nên 1  MA2  MC M   S   4 y  12 z  26    2a  x  2by    2c  z  a  b2  c  5 x, y, z    2a     b  4  2b   4   1   a   C 1; ;   2 4   2c   12  4 a  b  c   26 c      Lúc này, IC  10  R  IB  37 nên C nằm  S  cịn B nằm ngồi  S  I N E T MA  MB  MC  2MB   MC  MB   BC  82 H Đẳng thức xảy  M giao điểm đoạn BC mặt cầu  S  U IL 1   z  điểm A  4;0;  , B  ;0;0  , C 1; 4;  , D  4; 4;  Gọi M 4  A T  S2  : x   y    S1  : x  y  z  , IE Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu O N T Vậy  MA  2MB   82 Trang 28 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group điểm thay đổi  S1  , N điểm thay đổi  S2  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Giá trị nhỏ biểu thức Q  MA  ND  4MN  BC A 265 B 265 C 265 Lời giải D 265 Chọn A  S1  : x2  y2  z2  nên  S1  có tâm O  0;0;0 bán kính R   S2  : x2   y  4  z  nên  S2  có tâm I  0;4;0 bán kính R 2 1  Vậy điểm A 4;0;0 , B  ;0;  , C 1;4;0 , D  4;4;0 , O  0;0;0 I  0;4;0 thuộc 4   Oxy  Nhận thấy OB OA  OM suy OM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Do MOB đồng dạng AOM MA OA     MA  4MB MB OM ND DI Hồn tịan tương tự    ND  NC NC NI Q  MA  ND  4MN  4BC   MB  NC  MN   4BC  4BC  4BC  8BC  265 I N H T N O U T Chọn A Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy G 1; 2;1    Gọi H  x ; y ; z  điểm thỏa mãn HA  HC    D M   ; 0;    IE 7  C M  1;0;  3  Lời giải IL B M  0;3;  A 7  A M  1;0;  3  E T Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  2;3; 1 , B  2;3;  , C  1; 0;  Tìm tọa độ điểm      M thuộc mặt phẳng  Oxz  để S  MA  MC  MA  MB  MC nhỏ Trang 29 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group   x   1  x   x  2    3  y    y    y  1  H  2; 1;3 z     1  z    z  Nhận thấy G H nằm hai phía mặt phẳng  Oxz  ; HG  22      Ta có: S  MA  4MC  MA  MB  MC              MH  HA  MH  HC  MG  GA  MG  GB  MG  GC  3MH  3MG   MH  MG   3GH  22 Đẳng thức xảy H , M , G thẳng hàng theo thứ tự Lại M   Oxz  nên S đạt giá trị nhỏ M giao điểm đường thẳng GH với mặt phẳng  Oxz   x   3t  Đường thẳng GH có phương trình  y   3t ; mặt phẳng  Oxz  có phương trình y   z   2t  M  GH  M 1  3t ;  3t ;1  2t  M   Oxz    3t   t   7  Vậy M  1;0;  3  2 Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  y   hai  điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) MN dây cung mặt cầu thỏa mãn MN hướng với  u  (0;1;1) MN  Tính giá trị lớn AM  BN A 41 B C Lời giải D 17 N T H I N E T Chọn C IE U O Tâm I (1; 2; 0) , bán kính R    Ta có IA  (3;0;4)  IA  , IB  (0; 2; 2)  IB  2 nên điểm A(4; 2; 4) nằm mặt cầu T A IL ( S ) điểm B (1; 4; 2) nằm mặt cầu ( S ) Trang 30 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Do MN hướng với u  (0;1;1) suy MN   0; k ; k  , k  MN  suy  MN   0; 4;   ( A) , suy A  (4; 6;8) Khi AMNA hình bình hành nên AM  AN Gọi A  T MN Ta có AM  BN  AN  BN  AB , dấu xảy A, N , B thẳng hàng  N giao T A IL IE U O N T H I N E T điểm mặt cầu với đường thẳng AB (Điểm N tồn tại)  AB  (3; 2; 6) suy AB  (3)  (2)  ( 6)2  Vậy AM  BN  AB  Trang 31 https://TaiLieuOnThi.Net ... nên MG nhỏ điểm M hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) cắt Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng ( P) góc nhỏ A HM HM... giá trị nhỏ M giao điểm đường thẳng GH với mặt phẳng  Oxz   x   3t  Đường thẳng GH có phương trình  y   3t ; mặt phẳng  Oxz  có phương trình y   z   2t  M  GH  M 1  3t ;... giải Chọn A Mặt cầu có tâm I  0;0;1 , bán kính R  Vì A   Oxy  nên c  Các giao tuyến A đến mặt cầu (nếu IA  R ) tạo nên mặt nón tâm A , để mặt nón có hai đường sinh vng góc góc mặt nón phải