TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TL ÔN THI THPTQG

Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x  thỏa mãn   1 2 25 f   và     2 3   4     f x x f x với mọi x. Giá trị của f 1 bằng A. 391 400  B. 1 40  C. 41 400  D. 1 10  Lời giải Chọn D Ta có     2 3   4     f x x f x     3 2 4          f x x f x   1 3 4           x f x       1 4 x C f x Do   1 2 25 f   , nên ta có C  9 . Do đó   4 1 9    f x x   1 1 10    f . Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2020) Cho hàm số y f x    đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn      2 . , x f x f x e x      và f 0 2   . Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây? A. 12;13 . B. 9;10 . C. 11;12 . D. 13 14 ; .  Lời giải Chọn B Vì hàm số y f x    đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f 0 2   nên f x    0 và f x   0 với mọi x  0; . Từ giả thiết      2 . , x f x f x e x      suy ra       2 . , 0; . x f x f x e x      Do đó,       2 1 , 0; . 2 2 x f x e x f x      Lấy nguyên hàm hai vế, ta được     2 , 0; x f x e C x      với C là hằng số nào đó. Kết hợp với f 0 2   , ta được C   2 1. Từ đó, tính được     2 f e 2 2 1 9,81     . Câu 3. (Chuyên Thái Bình 2020) Cho hàm số y f x    thỏa mãn   4 2 19 f   và     3 2 f x x f x x    . Giá trị của f 1 bằng A. 2 3  . B. 1 2  . C. 1. D. 3 4  . Lời giải Chọn C Ta có         3 2 3 2 f x f x x f x x f x            4 3 2 1 4 f x x dx x dx C f x f x          . Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 3 Mà   4 2 19 f   19 16 3 4 4 4      C C . Suy ra   4 4 3 f x x    . Vậy f 1 1    .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C   k dx  kx  C    n  (ax  b) dx    x dx  ln x  C   ax  b dx  a ln ax  b  x   (ax  b) x n dx  1 x n 1 C n 1 dx   C x 1 (ax  b)n 1 C a n 1 C 1 dx    C a ax  b   sin x dx   cos x  C    cosx dx  sin x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   sin   dx   cot(ax  b)  C a sin (ax  b )       e dx  e dx  tan(ax  b)  C cos (ax  b) a  e  x  a dx   x   a dx  x dx   cot x  C dx  tan x  C cos2 x x x C ax C ln a 1 2 ax b dx  eax b  C a a x  C  ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm Một số nguyên tắc tính  a PP  Tích đa thức lũy thừa   khai triễn PP  Tích hàm mũ    khai triển theo công thức mũ 1 1  Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos 2a 2 2 PP  Chứa tích thức x   chuyển lũy thừa I N E T 1  Cho hàm số f ( x ) xác định R \   thỏa mãn f   x   , f    1, f 1  Giá trị 2x 1 2 T N O U Chọn C  x  dx  ln x   C  f  x  D  ln15 IE C ln15 Lời giải IL B  ln15 A A  ln15 H biểu thức f  1  f  3 T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group , f     C  nên f  1   ln Với x  , f 1   C  nên f  3   ln Với x  Nên f  1  f  3   ln15 Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  nguyên hàm f  x   khoảng 1;  thỏa x 1 mãn F  e  1  Tìm F  x  A ln  x  1  B ln  x  1  C 4ln  x  1 D ln  x  1  Lờigiải Chọn B F  x =   dx  C  ln x   C x 1 F  e  1  Ta có  C   C  Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   , x2 biết F 1  Giá trị F   A  ln C  ln  2  B ln D ln  2  Lờigiải Cách 1: Ta có:  f  x dx   x  2dx  ln x   C , C   Giả sử F  x   ln x   C0 nguyên hàm hàm số cho thỏa mãn F 1  Do F 1   C0   F  x   ln x   Vậy F     ln Câu (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm f  x  ; biết F    Tính F 1 2x  1 A F 1  ln  B F 1  ln  C F 1  2ln  D F 1  ln  Lời giải Chọn D T E  2x  1dx  ln 2x   C I N Ta có F x   ln 2.0   C   C  2 1 Vậy F x   ln 2x    F 1  ln  2 T A IL IE U O N T H Do F 0   Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  nguyên hàm hàm số y   ;0  x thỏa mãn F  2   Khẳng định sau đúng?  x   x   ;0    A F  x   ln  B F  x   ln x  C x   ;0  với C số thực C F  x   ln x  ln x   ;0  D F  x   ln   x   C x   ;0  với C số thực /Lời giải x Ta có F  x    dx  ln x  C  ln   x   C với x   ;0   x     Lại có F  2    ln  C   C   ln Do F  x   ln   x   ln  ln   x   x   ;0    Vậy F  x   ln  Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định R \ 1 thỏa mãn , f    2017 , f    2018 Tính S  f    f  1 x 1 A S  ln 4035 B S  C S  ln D S  Lời giải dx  ln  x  1  C1  f  x   ln  x  1  C1 Trên khoảng 1;   ta có  f '  x  dx   x 1 Mà f (2)  2018  C1  2018 f  x  Trên khoảng  ;1 ta có  f '  x  dx  x  dx  ln 1  x   C  f  x   ln 1  x   C2 Mà f (0)  2017  C2  2017 ln( x  1)  2018 Vậy f  x    ln(1  x)  2017 x  Suy f    f  1  (Mã 105 2017) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f ( x)  e x  x thỏa mãn F    Tìm F  x  T B F  x   e x  x  Lời giải H I N E D F  x   e x  x  T C F  x   e x  x  A F  x   e x  x  O N Chọn A IE IL C  2 A Theo ta có: F     C  U Ta có F  x     e x  x  dx  e x  x  C T Câu x  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e2x F    Giá trị F  ln 3 A C Lời giải 1 1 F  x    e x dx  e x  C ; F     C    F  x   e x  2 2 1 Khi F  ln 3  e ln   2 Câu B D (Sở Bình Phước 2019) Biết F  x  nguyên hàm hàm số e 2x F    1 F   2 A e  200 e  50 Lời giải B 2e  100 C D 201  Giá trị e  100 Chọn D 2x Ta có  e dx  2x e  C Theo đề ta được: F    Vậy F ( x)  Câu 10 201 201   e0  C   C  100 2 1 2x   2 e  100  F    e  100  e  100 2  2 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  và: f   x   2e2 x  1, x, f    Hàm f  x  A y  2e x  x Ta có:  f   x  dx    2e B y  2e x  C y  e2 x  x  D y  e2 x  x  Lời giải 2x  1 dx  e  x  C 2x Suy f  x   e2 x  x  C Theo ta có: f      C   C  Vậy: f  x   e x  x  Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   x  e x Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  O U e C T Có F  x  nguyên hàm f  x  F    2019 IE x IL  f  x  dx    x  e dx  x Lời giải A Ta có x I N D F  x   e x  2019 H C F  x   x  e x  2017 T B F  x   x  e x  2018 N A F  x   x  e x  2018 E T thỏa mãn F    2019 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  F  x   x  e x  C Suy    C  2019  C  2018  F    2019 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy F  x   x  e x  2018 Câu 12 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x , thỏa mãn F    Tính giá trị biểu ln thức T  F    F 1   F  2018   F  2019  A T  1009 C T  22019  ln 22019  ln B T  22019.2020 D T  22020  ln Lời giải Ta có x  f  x dx   dx  ln  C x F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x , ta có F  x   2x  C mà F    ln ln 2x ln T  F    F 1   F  2018   F  2019   C   F  x  1 22020  22020  2018 2019  1        ln   ln ln Câu 13   (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 A F  x    cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  D F  x   cos x  sin x  Lời giải Chọn C Có F  x    f  x  dx    sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C     Do F     cos  sin  C    C   C   F  x    cos x  sin x  2 2 B f  x   x  cos x  C f  x   x  cos x  D f  x   x  cos x  E A f  x   x  cos x  15 I N đúng? T (Mã 123 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x    sin x f    10 Mệnh đề H Lời giải T Chọn C U O N Ta có f  x      sinx  dx  x  cos x  C IL IE Theo giả thiết f    10 nên  C  10  C  A Vậy f  x   x  cos x  T Câu 14 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x    5sin x f    10 Mệnh đề đúng? A f  x   x  cos x  B f  x   x  cos x  15 C f  x   x  cos x  D f  x   x  cos x  10 Lời giải Ta có: f  x    f   x  dx     5sin x  dx  x  cos x  C Mà f    10 nên  C  10  C  Vậy f  x   x  cos x  Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F  x  nguyên hàm hàm     f  x   cos 3x F    Tính F   2 9 32   A F    9 F  x    cos xdx  32   B F    9 36   C F    9 Lời giải sin x C sin x     F     C   F  x  1  F    2 9 Câu 17 6   D F    9 sin  1   (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm số   Biết F   k   k với k   Tính F    F    F      F 10  cos x 4  A 55 B 44 C 45 D Lời giải f  x   tan x  C   0    C0   C0  1        C1   C1   T   2    C2   C0   I N E   9    C9   C9     10    C10  10  C10   U        tan x  C0 , x    ;  F            3   tan x  C1 , x   ;  F  2    4     3 5   tan x  C2 , x   ;  F  Suy F  x     2   4         17 19   tan x  C9 , x   ;  F         19 21     ;  tan x  C10 , x    F    4   H x T N dx  f  x  dx   cos O Ta có T A IL IE Vậy F    F    F      F 10   tan   tan   tan 2    tan10   44 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x , thỏa mãn Câu 18 F 0  Tính giá trị biểu thức T  F    F 1  F     F  2019  ln A T  22020  ln B T  1009 22019  C T  22019.2020 Lời giải D T  22019  ln Chọn A Ta có: F  x    x dx  Theo giả thiết F    2x C ln 20 2x  C   C  Suy ra: F  x   ln ln ln ln Vậy T  F    F 1  F     F  2019   20 21 22 22019     ln ln ln ln 1  22020 22020  1 2019        ln   ln ln Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số   f  x  dx  F  x   C  f  u  x  u '  x  dx  F u  x    C ” Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , ta phân tích “ Nếu f  x   g  u  x   u '  x  dx ta thức phép đổi biến số t  u  x   dt  u '  x  dx Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C Chú ý: Sau ta tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t  u  x  Đổi biến số với số hàm thường gặp  PP f (ln x) dx   t  ln x  x  PP f (sin x) cos xdx   t  sin x  b PP f (tan x) dx   t  tan x  cos x      f(       f (e )e dx  t  e x x 2n b  f (cos x) sin xdx  t  cos x PP a b  f (sin x  cos x).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x a PP  a x  PP f   dx  x  a cos 2t  a  x       f (   s   PP x  a )m x n dx   x  a tan t dx  t  ax  b  cx  d (ax  b)(cx  d ) n k  R  ax  b ,., ax  b  dx  t  ax  b  s x a a  x ) x dx  x  a sin t  PP    ( a  bx T a b E  f ( x) I N a n a dx PP  x   n n t ) a  bx n H a b PP f ( x) f ( x)dx  t  n T  b  N   O  b PP f (ax  b)n xdx   t  ax  b  U  T A IL IE Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x)  Phương pháp: Đặt t  ( x ) Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa Câu 19 b b b a a a  f (u)du   f (t )dt     f ( x)dx   (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x   Khi  f  2x dx A 2e x  x  C B 2x e  x  C 2x e  x  C Lời giải C D e2 x  x  C Chọn C Ta có: F  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x     f  x  dx  Câu 20 1 f  x  d x  F  x   C  e2 x  x  C  2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F  x   ex  2x nguyên hàm hàm số f  x   Khi  f  2x  dx x A 2e  4x  C B 2x e  x  C 2x C e  8x  C D 2x e  x  C Lời giải Chọn B Ta có: F  x   ex  2x nguyên hàm hàm số f  x   Suy ra: f  x  F   x   ex  2x2   ex  4x  f  2x  e2 x  8x   f  x  dx    e x  x dx  Câu 21 2x e  x  C (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x   Khi  f  x  dx A 2x e  x2  C B e2 x  x  C C 2e x  x  C D 2x e  x2  C Lời giải Chọn A  1 F  x   C  e2 x  x  C 2 D 2x e  x2  C T 2x e  2x2  C Lời giải C N B 2e x  x  C O A e x  x  C IL Chọn D A dt T Đặt t  x  dt  2dx  dx  Trang https://TaiLieuOnThi.Net H  f  x  dx U I N E (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x   Khi IE Câu 22  f  x  dx   f  x  d  x  T Ta có Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  1 1 f  x  dx   f  t  dt  F  t   C  e t  2t   C  e x   x   C  e x  x  C 2 2 Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết  f  x  dx  sin x  ln x  C Tìm nguyên hàm x  ln x  C x f  x  dx  2sin  2ln x  C A  f  x  dx  sin C   f  x  dx ? B  f  x  dx  2sin D  f  x  dx  2sin x  2ln x  C 2 x  2ln x  C Lời giải Chọn C Ta có:   1  cos x f 2x d 2x   ln  x   ln  C  2 f  x  d  x    cos x  ln  x   ln  2C  f  x  dx  sin x  ln x  C    f  x  dx   cos x  ln x  ln  2C  Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho A C  f (4x)dx  x  f  x  dx  sin x  ln x  C   3x  c Mệnh đề đúng?  f ( x  2) dx  x2  2x  C B  f ( x  2)dx  x  f ( x  2) dx  x2  4x  C D  f ( x  2) dx   7x  C x2  4x  C Lời giải Chọn C Từ giả thiết toán  f (4x) dx  x  3x  c t2 t t Đặt t  x  dt  4dx từ ta có  f (t )dt        c   f (t )dt   3t  c 4 4 4 Xét  f ( x  2)dx   f ( x  2)d(x  2)  Vậy mệnh đề Câu  f ( x  2)dx  [DS12.C3.1.D09.b] Cho ( x  2) x2  3( x  2)  c   4x  C 4 x2  4x  C  f  x  dx  x  x  C0 Tính I   xf  x  dx x10 x A I  x  x  C B I   C 10 C I  x  x  C D I  12 x  E T I N H Lời giải  U O  1 2 f x d x  x   x   C  2x  x  C      2 Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x e x 1 T A IL IE    Ta có: I  xf x dx  N T Chọn A Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x x3 1 e  C  C  f  x  dx e  Câu 24 f  x  dx  A x3 1  C D  f  x  dx 3e B  f  x  dx  e x3 1 x3 1 C C Lời giải 3 1 f  x  dx   x 2e x 1dx   e x 1d  x  1  e x 1  C 3 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm f  x   sin x.esin x 2 A sin x.e sin x 1 Ta có  sin x.e C sin x esin x 1 B C sin x  dx   e sin x d  sin x   e C e C esin x 1 D C sin x  C Lời giải sin x C x  3x5 Câu 25 Tìm tất họ nguyên hàm hàm số f  x   A sin x  f  x  dx   1 x4  ln C 3x 36 x  B  f  x  dx   1 x4  ln C 3x 36 x  D  f  x  dx   1 x4  ln C 12x 36 x   f  x  dx   1 x4  ln C 12x 36 x  Lời giải Chọn A Câu 26 4 x3 dx  x  3  x d x  dx    x4 x4   x x  12  x x  dx x9  3x           f  x  dx    dx dx 1  x4      ln  C 12   x 2 12  x  x  3 12x 36  x   (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F  x  biết F  x    x3 dx x4  F  0      4 A F  x   ln x   B F  x   ln x     C F  x   ln x     D F  x   4ln x   Lời giải E T Chọn C 1 d  x4  1  ln  x4  1  C  x 1 Do F    nên ln   1  C   C  4 Vậy: F  x   ln  x  1  T A IL IE U O N T H I N Ta có: F  x   Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1  ln  1 Khi đó: f  x    ln 2 1  ln 2 x 1  C1 x 1 x 1  C2 x 1 x 1  C3 x 1 Vậy f  5  f    f    x  f    x    f  x  1  3  f  3  C1  C3  C1  C3   1  1  C2     f    2C2  3   1 1 ln  C3  C2  ln  C1  ln    ln 2 2 Câu 65 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 2;1 thỏa f  3  f  3  , x  x2 f  4   f  1  f   mãn f   x   A 1 ln  3 B ln 80  f 0  ln  ln  Lời giải C Giá trị D biểu thức ln  1 x 1  ln x   C1 , x   ; 2   1 x 1 f  x   dx   ln  C2 , x   2;1 x  x2 3 x  1 x 1  C3 , x  1;    ln 3 x  1 Ta có f  3  ln  C1 , x   ;2  , f    ln  C1 , x   2;1 , 3 2 f  3  ln  C3 , x  1;   , 1 Theo giả thiết ta có f     C2  1  ln  3  f  1  ln  3 1 Và f  3  f  3   C1  C3  ln 10 1 1 1 Vậy f  4   f  1  f    ln  C1  ln   ln  ln  C2  ln  3 3 3 Câu 66 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 1 T E f    2018 ln   1  C1  2018  C1  2018 O U IE IL A Lại có f    2017  ln 1    C2  2017  C2  2017 N ln  x  1  C1 x  1 dx  ln x   C   x 1 ln 1  x   C2 x  T Ta có f  x    T H A S  , f    2017 ,, f    2018 Tính S   f  3  2018  f  1  2017  x 1 B S   ln 2 C S  ln D S  ln 2 Lời giải I N thỏa mãn f   x   Trang 25 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Do S   ln   1  2018  2018  ln 1   1   2017  2017   ln 2 Câu 67 (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f  x  xác định  \ 1;1 thỏa mãn f   x   , x 1  1 1 f  2   f    f     f    Tính f  3  f    f   kết  2 2 6 4 A ln  B ln  C ln  D ln  5 5 Lời giải  x 1 ln x   C1 x  1   x 1 1   Ta có f  x    f   x  dx   dx      C2   x   dx  ln x 1  x 1 x    x 1  x 1  C3 x  ln  x 1   f  2   f    ln  C1  ln  C3   C1  C3    Khi      1  f     f    ln  C  ln  C  C2  2  2   2  3 Do f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln  5 Dạng Nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục  a; b  có đạo hàm liên tục  a; b  Khi đó:  udv  uv   vdu  b Để tính tích phân I   f  x  dx phương pháp phần ta làm sau: a Bước 1: Chọn u , v cho f  x  dx  udv (chú ý: dv  v '  x  dx ) Tính v   dv du  u '.dx Bước 2: Thay vào công thức    tính  vdu Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân  vdu dễ tính I N E T  udv Ta thường gặp dạng sau T N O U IE T A IL Dạng : I    x  eax b dx H sin x  Dạng : I   P  x    dx , P  x  đa thức cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt u  P  x  , dv    dx  cos x  Trang 26 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 u  P  x  Với dạng này, ta đặt  , P  x  đa thức ax  b dv  e dx Dạng : I   P  x  ln  mx  n  dx u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  dv  P  x  dx sin x  x Dạng : I     e dx  cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt  cos x  để tính  vdu ta đặt  x dv  e dx Câu 68  sin x  u     cos x   x dv  e dx x (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  Họ tất nguyên hàm hàm số g  x    x  1 f   x  A x2  2x  C x 2 B x2 x 2 C x2  x  C x 2 C x2 D x2  C Lời giải Chọn B x2  x Tính g  x     x  1 f   x  dx   x  1 f  x     x  1 f  x  dx    f  x  dx x2   Câu 69 x2  x x 2  x x 2 dx  x2  x x 2 x2  x2   C  x2  x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2   C Họ tất nguyên hàm hàm số g  x    x  1 f   x  A x2  x  x 3 C B x3 x 3 C C x2  x  x 3 C x 3 D C x2  Lời giải Chọn D x2  x (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x )  x 1 C Họ tất nguyên hàm hàm số T x2  x3 dx  E x x 1 x2  C C 2x2  x  x2  C x 1 D x2  IL  du  dx  g ( x)dx   ( x  1) f '( x)dx Đặt dv  f '( x)dx  v  f ( x) A  u  x 1 C IE Lời giải Chọn D Xét T B N x2  C O x2  2x 1 U A H g ( x )  ( x  1) f '( x ) T Câu 70   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    I N Ta có Trang 27 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy   g ( x )dx  ( x  1) x   g ( x ) dx  Câu 71 ( x  1) x  g ( x)dx  ( x  1) f ( x)   f ( x)dx   g ( x)dx   x   C   g ( x) dx  x2  x 1 x2  x 1 x  x2  x  x2  x2  x 1 dx C  C x (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x 4 Họ tất nguyên hàm hàm số g  x    x  1 f   x  A x4 C x2  x4 B x2  C C x2  2x  x2  C D x2  x  x2  C Lời giải Chọn B x Ta có: f  x   x2   f  x  x x2   x2  x 4  f  x  x x     x  x x 4 x2   x2 x x2   x2     x2   Suy ra: g  x    x  1 f   x   x f   x   f   x   g  x  dx    x f   x   f   x  dx   x f   x  dx   f   x  dx   4x x 4 Xét: I     dx   f   x  dx 4x x2   dx Đặt t  x   dt  xdx Suy ra: I   2dt  t  2dt t    t dt  t    C1  4  C1  t 4 x2   C1 x x2  x2  Cách 2: g  x    x  1 f   x  C  x4 x2  C E  I N 4 H  g  x  dx  T Vậy: T và: J   f   x  dx  f  x   C2 U O N   g  x  dx    x  1 f   x  dx T A IL IE u  x  du  dx  Đặt:  dv  f   x  dx v  f  x  Trang 28 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Suy ra:  Câu 72  g  x  dx   x  1 f  x    f  x  x2  x x 4  d  x2  4 x 4  x2  x x 4  x  1 x  dx  x2  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x4  x2   C  x2  x x2  dx C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục  Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f  x  e x , họ tất nguyên hàm hàm số f   x  e x là: A  sin x  cos x  C B  sin x  cos x  C C  sin x  cos x  C D sin x  cos x  C Lời giải Chọn C Do cos 2x nguyên hàm hàm số f  x  e x nên f  x  e x   cos x   f  x  e x  2 sin x Khi ta có  f  x  e dx  cos x  C x u  f  x  du  f   x  dx Đặt   x x dv  e dx v  e  f  x  e dx  cos x  C   f  x  d  e   cos x  C  f  x  e   f   x  e dx  cos x  C   f   x  e dx  2sin x  cos x  C x Khi x x x x Vậy tất nguyên hàm hàm số f   x  e x  sin x  cos x  C Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  là: A x2 ln x  3x2 B x2 ln x  x2 C x ln x  3x2  C D x ln x  x  C Lời giải Chọn D Ta có f  x   x 1  ln x   F  x     x 1  ln x   dx đặt I N E T  u   ln x  du  x  F  x   x 1  ln x    xdx  x 1  ln x   x  C  x ln x  x  C  dv  x  v  x  T H Câu 74 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x sin x B F  x   x cos x  sin x  C C F  x    x cos x  sin x  C D F  x    x cos x  sin x  C IE U O N A F  x   x cos x  sin x  C T A IL Lời giải Trang 29 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group u  x du  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x Suy Câu 75  x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x.e2 x : A F ( x )  2x  1 e x C 2  B F ( x )  2x e  x  2  C 1  D F ( x )  2e x  x    C 2  C F ( x)  2e2 x  x    C Lờigiải du  dx u  x  Đặt   2x 2x dv  e v  e Câu 76   x.e x dx  2x 2x x.e   e dx 2   x.e x dx  2x 2x 1  x.e  e  C  e x  x    C 2  (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x    x  1 e x A  x  3 e x  C B  x  3 e x  C C  x  1 e x  C D  x  1 e x  C Lời giải Gọi I    x  1 e dx x u  x  du  2dx Đặt   x x  dv  e dx  v  e  I   x  1 e x  2 e x dx   x  1 e x  2e x  C   x  3 e x  C Câu 77 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x )  xe x ? A F ( x )  2x  1 e  x    C 2  C F ( x)  2e2 x  x    C B F ( x)  2x e  x    C 1  D F ( x )  2e x  x    C 2  Lời giải T Ta có F ( x )   xe2 x dx I N H T N O U IE IL A (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  sin x  T Câu 78 E du  dx u  x  Đặt   2x 2x dv  e dx v  e  1 1 1  Suy F ( x)  xe x   e x dx  xe x  e x  C  e x  x    C 2 2  Trang 30 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x2 A  x sin x  cos x  C C x2 B  x cos x  sin x  C x2  x cos x  sin x  C D x2  x sin x  cos x  C Lời giải  f  x  dx   x 1  sin x  dx   xdx   x.sin xdx   xdx   xd  cos x  Ta có: = Câu 79   x2 x2  x cos x   cos xdx =  x cos x  sin x  C 2   (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử F  x   ax  bx  c e x nguyên hàm hàm số f  x   x 2e x Tính tích P  abc A 4 C 5 Lời giải B D 3 Chọn A  du  xdx u  x Ta đặt:    x 2e x dx  x 2e x  2 xe x dx  x x  dv  e dx v  e u  x du  dx  Ta đặt:    x e x dx  x 2e x  xe x   e x dx   x  x   e x  x x dv  e dx v  e Vậy a  1, b  2, c   P  abc  4   Câu 80 Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x(1  e x ) A  x  1 e x  x B  x  1 e x  x C  x   e x  x D  x   e x  x Lời giải Ta có  x(1  e x )dx  2 xdx  2 xe x dx  ux du  dx  Gọi I  2 x ln xdx Đặt  x x dv  e dx  v  e Khi I  xe x  2 e x dx Vậy  x(1  e x )dx  2 xdx  xe x  2 e x dx  x  xe x  x  C =  x  2 e x  x2  C Câu 81 Họ nguyên hàm f  x   x ln x kết sau đây? x ln x  x  C 1 D F  x   x ln x  x  C Lời giải T H I N E T B F  x   IE IL A T Ta có F  x    dx  du   u  ln x  x  f  x  dx   x ln xdx Đặt  dv  xdx v  x  U O N x ln x  x  C 2 1 C F  x   x ln x  x  C A F  x   Trang 31 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Theo cơng thức tính ngun hàm phần, ta có: 1 1 F  x   x ln x   xdx  x ln x  x2  C 2 Câu 82 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất nguyên hàm hàm số f  x    3x  1 ln x A C  f  x  dx  x  x  1 ln x  x3 C B  f  x  dx  x  x  1 ln x  x3  xC D  f  x  dx  x3 ln x  x3 C  f  x  dx  x ln x  x3  xC Lời giải Chọn C   Ta có I   3x  ln xdx  u  ln x du  x dx Đặt   dv   3x  1 dx v    x  1 dx  x  x  x3  I   x3  x  ln x    x3  x  dx  x  x  1 ln x    x  1 dx x  x  1 ln x   x  C x Câu 83 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số f  x    0;   x khoảng s in x A  x cot x  ln  s inx   C B x cot x  ln s inx  C C x cot x  ln s inx  C D  x cot x  ln  s inx   C Lời giải Chọn A F  x    f  x  dx   x dx s in x u  x du  dx  Đặt   dv  s in x dx v   cot x d  sin x  x cos x dx   x.cot x   cot xdx   x.cot x   dx   x.cot x   s in x sin x sin x   x.cot x  ln s inx  C Với x   0;    s inx   ln s inx  ln  s inx  Khi đó: F  x    E H D x3   x sin x  cos x   C T C x3   x sin x  cos x   C N B x3   x sin x  cos x   C O A x3   x sin x  cos x   C I N (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  3x  x  cos x  U Câu 84 T Vậy F  x    x cot x  ln  s inx   C IE Lời giải Trang 32 https://TaiLieuOnThi.Net A T Ta có:  x  x  cos x  dx   x dx   x cos xdx IL Chọn A Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x dx  x  C1   x cos xdx   x.d  sin x   3x.sin x   3sin xdx  x.sin x  3cos x  C2 Vậy  x  x  cos x  dx  x   x sin x  cos x   C Câu 85 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  xe x x   x  1 e x  C B x   x  1 e x  C 5 C x  xe x  C D x   x  1 e x  C Lời giải A Ta có: +) x  xe x  dx   x dx   xe x dx  x dx= x  C1 u  x du  dx  +) Đặt  x x dv  e dx v  e  xe dx  xe   e dx  xe  e  C Vậy   x  xe  dx  x   x  1 e  C x Suy ra: x x x x x   x  1 e x  C2 x Câu 86 Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác định có đạo hàm f  x  , g  x   Biết   A  x  1 ln  x  1  x  C C  x  1 ln  x  1  x  C F  x  G  x   x ln x  F  x  g  x   2 2 2 x3 Họ nguyên hàm f  x  G  x  x2   D  x    1 ln  x   1  x B x  ln x   x  C 2  C Lời giải Chọn C Ta có F  x  G  x     F  x  G  x   dx    F   x  G  x   F  x  G  x   dx    F   x  G  x   dx  F  x  G  x     F  x  G  x   dx  x3   x ln  x  1     dx  x ln  x  1   x  1  ln  x  1  C  x 1   x  1 ln  x  1  x  C E H T N O U IL 1  D F  x   2e x  x    C 2  Lời giải I N 2x e  x  2  C A C F  x   2e2 x  x    C B F  x   IE 2x  1 e x C 2  T A F  x   T Câu33 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x.e x Trang 33 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  du  dx  ux   Đặt  2x 2x dv  e dx v  e  1 1 1  F  x   x.e x   e x dx  x.e x  e x  C  e x  x    C 2 2  Câu 87 (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề sau đúng? A x x x  xe dx  e  xe  C B x  xe dx  x2 x x e e C C x x x  xe dx  xe  e  C D x  xe dx  x2 x e C Lời giải Sử dụng công thức:  udv  u.v   vdu Ta có:  xe x dx   xd  e x   xe x   e x dx  xe x  e x  C Câu 88 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác đinh có đạo hàm f  x  , g  x   Biết F  x  G  x   x ln  x  1 F  x  g  x   x3 Tìm họ nguyên hàm x2  f  xG  x  C  x    1 ln  x   1  x    D  x  1 ln  x 2 A x  ln x   x  C 2   1  x 2 B x  ln x   x  C C 2 C Lời giải Ta có:  f  x  G  x  dx   G  x  d  F  x    G  x  F  x    F  x  d  G  x    G  x  F  x    F  x  g  x  dx   f  x  G  x  dx  x ln  x  1   x3 2x dx  x ln  x  1    x   dx  x2  x 1  d  x  1  x ln  x  1  x  ln  x  1  C x 1   x  1 ln  x  1  x  C x ln  x  1  x    x  a  Tìm nguyên hàm 1 Câu 89 Cho biết F  x   x  x  nguyên hàm f  x   x x2 g  x   x cos ax T E I N H T N U C x sin x  cos C 1 x sin x  cos x  C 1 D x sin x  cos x  C Lởi giải B O A x sin x  cos x  C  x  1 Ta có F   x   x    x x2 IE Chọn C Trang 34 https://TaiLieuOnThi.Net T A IL 2 Tài Liệu Ôn Thi Group Do F  x  nguyên hàm f  x   x  a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 nên a  x2  g  x dx   x cos xdx u  x du  dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x  g  x dx   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C Câu 90 Họ nguyên hàm hàm số A  x  x  1 ln x    C x  x  ln x   2x  2x y  x  ln x  x x2  xC B  x  x  1 ln x  x2  xC D x  x  ln x    x2  xC x2  xC Lời giải  x  ln x  1 dx    x  1 ln x dx   dx  I1  I x x  u  ln x du  dx I1    x  1 ln x dx Đặt   x dv   x  1 dx v  x  x  Ta có:  I1   x  x  ln x    x  x  dx   x  x  ln x    x  1 dx x x   x  x  ln x   x  C1 I   d x  ln x  C x  2x  x  ln x  x d x  I1  I x2 x2  x  C1  ln x  C2   x  x  1 ln x   x  C 2 Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện   x  x  ln x  (Mã 104 2017) Cho F  x   f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 2x x  f   x  ln xdx  ln x  C x2 x2   ln x  C x2 x2  D  f   x  ln xdx  ln x  C x2 x2 H  f   x  ln xdx    T C O U IE f  x 1 dx  Chọn f  x   x 2x x IL  A Ta có: N Lời giải Chọn C E B  f   x  ln xdx    I N  ln x   C x2 x2  A T hàm số f   x  ln x T Câu 91 Trang 35 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Suy  Khi đó: Câu 92 f   x  ln x dx   ln x dx Đặt x  f   x  ln x dx   dx  du  u  ln x   x    d v  d x   v x x  ln x ln x 1  ln x d x     dx     x x x 2x  x (Mã 105 2017) Cho F  x    hàm số f   x  ln x  C  f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm x 3x3 ln x  C x 5x ln x f   x  ln xdx     C x 3x ln x  C x 5x ln x f   x  ln xdx    C x 3x A  f   x  ln xdx  B  f   x  ln xdx  C  D  Lời giải Chọn C Ta có F  x   f  x x    f  x   x.F   x   x   x3    x3   x  f   x   3 x 4  f   x  ln x  3 x 4 ln x Vậy  f   x  ln xdx    3x 4 Đặt u  ln x; dv  x 4dx  du  Nên Câu 93   ln x dx  3  ln x.x 4 dx dx x3 ;v  x 3  ln x x4  ln x ln x f   x  ln xdx  3 ln x.x 4dx  3   dx     x 4dx    C  x 3x  3x  x x 2x (Mã 110 2017) Cho F  x    x  1 e nguyên hàm hàm số f  x  e Tìm nguyên hàm hàm số f   x  e2x A  f  x e 2x dx    x  e x  C C  f   x e 2x dx  2 x x e C B  f  x e D  f   x e 2x 2x dx   x   e x  C dx    x  e x  C Lời giải Chọn D Theo đề ta có  f  x  e 2x dx   x  1 e x  C , suy f  x  e x   x  1 e x   e x   x  1 e x E T  f  x   e x   x  1 e x  x.e x  f   x   1  x  e x H N O D f 1   2e U C f 1   e IE B f 1  e T Câu 94 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   xe x f    Tính f 1 A f 1  A IL Lời giải T Ta có: Trang 36 https://TaiLieuOnThi.Net I N Suy K   f   x  e x dx   1  x  e x dx   1  x  d  e x   e x 1  x    e x dx    x  e x  C Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x    f   x dx   x.e x dx u  x du  dx  f  x   x.e x   e x dx  x.e x  e x  C Đặt   x x dv  e dx v  e Theo đề: f      1  C  C   f  x   x.e x  e x   f 1  Câu 95 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   f    Tất nguyên hàm f  x  e x A  x   e x  e x  C B  x   e2 x  e x  C C  x  1 e x  C D  x  1 e x  C Lời giải Chọn D Ta có f  x   f   x   e  x  f  x  e x  f   x  e x   f  x  e x    f  x  e x  x  C1  Vì f     C1    f  x  e   x   e   f  x  e dx    x   e dx 2x 2x x x u  x   du  dx Đặt   x x dv  e dx v  e   f  x  e2 x dx    x   e x dx   x   e x   e x dx   x   e x  e x  C   x  1 e x  C Câu 96 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x    x  1 e x , f     f  x dx   ax  b  e x  c với a, b, c số Khi đó: A a  b  B a  b  C a  b  Lời giải D a  b  Theo đề: f '  x    x  1 e x Nguyên hàm vế ta  f '  x  dx    x  1 e dx  f  x    x  1 e   e dx x x x  f  x    x  1 e x  e x  C  xe x  C Mà f     0.e0  C   C   f  x   xe x   f  x dx   xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C   x  1 e x  C Suy a  1; b  1  a  b  E T (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F  x  nguyên hàm hàm số H I N f  x   xe  x Tính F  x  biết F    B F  x    x  1 e  x  C F  x    x  1 e  x  D F  x     x  1 e  x  IE U O N T A F  x     x  1 e  x  A IL Lời giải T Câu 97 Trang 37 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group u  x du  dx Đặt    x x  dv  e dx  v   e  xe Do x dx   xe x   e x dx   xe  x  e  x  C  F  x; C  F     e0  C   C  Vậy F  x     x  1 e  x  Câu 98 (Sở Quảng Nam - 2018) Biết  x cos xdx  ax sin x  b cos x  C Tính tích ab ? A ab  B ab  với a , b số hữu tỉ C ab   Lời giải D ab    du  dx u  x  Đặt   d v  cos xdx v  sin x  1 1 Khi  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C 2 1 a , b Vậy ab  Câu 99 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   ln  x  3 cho x2 F  2   F 1  Giá trị F  1  F   A 10 ln  ln Tính  ln Lời giải B C ln  x  3 dx x2 D ln  ln dx  u  ln  x  3 du    x3 Đặt   dx  dv  v   x   x Ta có  ln  x  3 x dx 1 x dx   ln  x  3     ln  x  3  ln  C  F  x, C  x x  x  3 x x3 T H I N E T 1 1    Lại có F  2   F 1    ln  C     ln  ln  C    2C  ln 3 3    1 10 Suy F  1  F    ln  ln  ln  ln  2C  ln  ln 3 O N Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g  x  nguyên hàm hàm Trang 38 https://TaiLieuOnThi.Net IL D T  13 A C T  Lời giải T phân biệt Hãy tính giá trị T  3a  b A T  B T  17 IE U số f  x   ln  x  1 Cho biết g    g    a ln b a, b số nguyên dương Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 dv  dx v  x  x 1 dx   x  1 ln  x  1  x  C x 1 Do g     1ln1   C   C   g  x    x  1 ln  x  1  x  g  x    ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1   Suy ra: g    ln    ln  ln  a  1, b   a  b  13 Câu 101 (Sở Quảng Nam - 2018) Biết Tính tích ab ? A ab  B ab   x cos xdx  ax sin x  b cos x  C với a , b số hữu tỉ C ab   Lời giải D ab   T A IL IE U O N T H I N E T  du  dx u  x  Đặt   d v  cos xdx v  sin x  1 1 Khi  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C 2 1 a , b Vậy ab  Trang 39 https://TaiLieuOnThi.Net ... C  x2  x x2  dx C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục  Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f  x  e x , họ tất nguyên hàm hàm số f   x  e x là: A  sin x  cos x  C B ...  x   e x  x  Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   x  e x Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  O U e C T Có F  x  nguyên hàm f  x  F    2019 IE x IL  f  x  dx ...  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x   Khi  f  2x dx A 2e x  x  C B 2x e  x  C 2x e  x  C Lời giải C D e2 x  x  C Chọn C Ta có: F  x   e x  x nguyên hàm hàm số f  x  