ĐỀ THI HSG TOÁN 6 ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( 4 điểm) a) Tính giá trị các biểu thức sau A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy 2 tại x = 2 và = 3 Câu[.]
ĐỀ THI HSG TOÁN Thời gian 120 phút Câu 1( điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: A = + 32 + 33 + 34 +………3100 b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 x = =3 Câu (4 điểm) a) Cho a; b ( 11a + 2b) 12 Chứng minh ( a + 34b) 12 b) Tìm số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = c) Khi chia số tự nhiên a cho số: 5; 7; 11 số dư 3; 4; Tìm số a biết 100 < a < 200 Câu ( điểm) Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho chia hết cho 36 Cho a) Chứng minh x b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức Câu ( điểm) a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n–1 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) Câu (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 4cm a) Trong ba điểm O, A, B điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng AB c) Điểm A có phải trung điểm đoạn thẳng OB khơng? Vì sao? d) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = 2BA Chứng tỏ B trung điểm đoạn thẳng OD ………….Hết………… ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM NỘI DUNG CÂU Câu a) (1,5 đ) (4,0 A = + 32 + 33 + 34 +………3100 đ) => 3A = 32 + 33 + 34 +………3100 + 3101 => 3A – A = 3101 – ĐIỂM => A = b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 x = = => y = =3 B = 20 x = 2; y = 3; B = 56 x = 2; y = -3 Câu a) Cho a; b ( 11a + 2b) 12 Chứng minh ( a + 34b) 12 (3,5đ) Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12 Mà ( 11a + 2b) 12 => ( a + 34b) 12 0,5 0,5 b) Tìm số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = Vì (x - 3)( y + 1) = mà = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có * * * 1,0 * Vì x; y số tự nhiên nên cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0) c) Khi chia số tự nhiên a cho số: 5; 7; 11 số dư 3; 4; Tìm số a biết 100 < a < 200 Vì chia a cho 5,7,11 có số dư 3,4,6 => a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + => 2a - BC (5; 7; 11) Tìm a = 193 Câu Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 (3,0 Vậy để chia hết cho 36 chia hết cho đ) chia hết cho + + x + + y => 12 + x + y (1) chia hết cho => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6) Cho a) Chứng minh x Vì => 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 CÂU NỘI DUNG => 6x => x b) Tìm x Vì x ĐIỂM 0,5 Z thỏa mãn đẳng thức => 0,5 x + x+1+x+2 = 6x 3x - 6x = -3 x = (t/m) 0,5 0,5 Câu a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – (2,0 Ta có: n2 – n – n – n(n-1) – n – đ) => -1 n – => n – 0,5 => n 0,5 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) Gọi d ƯCLN 2n + 3n +1 => 3(2n+1) – 2(3n+1) d => d => d = => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = x O A B D 0,5 0,5 0,5 Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm Vì 2cm < 4cm => OA < OB nên A nằm O B 0,5 Vì A nằm O B nên OA + AB = OB 0,5 + AB = => AB = – = => AB = cm 0,5 Vì 0,5 OA + AB = OB OA = AB = 2cm Nên A trung điểm OB 0,5 Ta có BD = BA = 2.2 = cm => BD = BO = cm (1) 0,5 Vì O D nằm hai tia đối gốc B nên B nằm O D => OB + BD = OD (2) 0,5 Từ (1) (2) suy B trung điểm OD ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN Thời gian 120 phút Câu 1( điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: A= B= b) Tìm số tự nhiên n biết: 3n = 7.32 92 – 2.3n Câu (3 điểm) a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = b) Tìm số x; y biết: x + y = x.y = (y c) Cho số nguyên tố p lớn 3, chứng minh p2 – chia hết cho 24 Câu ( điểm) Tìm số a,b,c biết: 3a – 2b + c = 105 Tìm x,y,z biết: Câu ( điểm) a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n+1 b) Cho A = (1 - So sánh A với Câu 5( điểm) Cho tam giác ABC có Gọi AD, AE theo thứ tự đường phân giác trong, phân giác ngồi góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC) a Chứng minh rằng: ADC – ADB = b Kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: B– AEB = C HAD = ( c Tính số đo góc: ADB, ADC HAD, biết Câu ( điểm): Cho m,n hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: mn – m – n + 192 ………….Hết………… ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM = 400 ) CÂU NỘI DUNG Câu a) Tính giá trị biểu thức sau: (3,0đ) A= = B= b) Tìm số tự nhiên n biết: ĐIỂM = 36 3n = 7.32 92 – 2.3n 3-1.3n + 2.3n = 7.36 3n-1 = 36 n = 1,5 1,5 Câu (3,0đ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = Vì (x + )2 + với x => dấu “=” xảy x = - Giá trị lớn R 0,5 x = - b) Tìm số x; y biết: x + y = x.y = 0,5 (y 0,5 Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => Mặt khác x + y = => x + y = x + y => y = -1 Khi x – = x(-1) => x = 0,5 c) Cho số nguyên tố p lớn 3, chứng minh p2 – chia hết cho 24 Ta có: p số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho p2 – = (p - 1)( p + 1) Vì p lẻ nên p-1 p+1 số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) Mặt khác p-1; p; p+1 ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết (p - 1) ( p + 1) Vì (3;8)=1 nên p2 – 24 Câu Tìm số a,b,c biết: (3,0 đ) b= b= a = 52; b = 0,5 3a – 2b + c = 105 -2 c = 2(a+1) -2 c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính c = 104 0,5 0,5 0,5 1,0 Tìm x,y,z biết: 0,5 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Vì Mà nên 0,5 * x - = x = ; y + = => y = - 1,0 Tính z = - Câu a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + (2,0 Ta có: 2n2 + 3n +2 n + 2n2 + 2n + n +1 + đ) => n + => n + 0,5 n+1 0,5 => n b) A = (1 - = 0,5 0,5 => A > 0,5 A E B H D C a Vì AD tia phân giác góc A nên: BAD = CAD 0,5 Vì góc ADC ADB theo thứ tự góc ngồi tam giac ABD 0,5 ACD nên: ADC = B + BAD; ADB = C + CAD 0,5 Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C b Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vng góc) 0,5 ACD + ADB = 1800 ADC = 1800 – ADB 0,5 Kết hợp với câu a Ta (1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C) => ADB = 900 – ( B – C) Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB 0,5 0,5 = 900 – [900 - ( B – C)] = ( B – C) c Theo giả thiết ta có ADC – ADB = 400 ADC + ADB = 1800 => ADB = 700 ; ADC = 1100 0,5 0,5 0,5 CÂU NỘI DUNG => HAD = 20 Câu Cho m,n hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: mn – m – n + 192 m,n hai số phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng m = ( 2k – 1)2 n = ( 2k + 1)2 Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1) Ta có (k-1)k(k+1) (k-1)k.k(k+1) nên (k-1)k2 (k+1) 12 16k2(k-1)(k+1) 16.12=192 ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ... là: (4,2); (0 ,6) (9 ,6) Cho a) Chứng minh x Vì => 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 CÂU NỘI DUNG => 6x => x b) Tìm x Vì x ĐIỂM 0,5 Z thỏa mãn đẳng thức => 0,5 x + x+1+x+2 = 6x 3x - 6x = -3 x... hai tia đối gốc B nên B nằm O D => OB + BD = OD (2) 0,5 Từ (1) (2) suy B trung điểm OD ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN Thời gian 120 phút Câu 1( điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: A= B= b) Tìm số tự... trị biểu thức sau: (3,0đ) A= = B= b) Tìm số tự nhiên n biết: ĐIỂM = 36 3n = 7.32 92 – 2.3n 3-1.3n + 2.3n = 7. 36 3n-1 = 36 n = 1,5 1,5 Câu (3,0đ) a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = Vì (x +