Boi duong hoc sinh gioi toan tieu hoc

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BỒI DƯỠNG TOÁN TIỂU HỌC Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com Chương I: LÝ LUẬN CHUNG §1 Phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn 1) Biểu học sinh có khiếu - Có khả thay đổi phương thức hành động để giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện Vd: “Xếp hình vng que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp 10 hình tam giác que diêm?” - Có khả chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể từ cụ thể sang trừu tượng khái quát Vd: Cho dãy số 5, 8, 11, 14 Tính số hạng thứ 2007 dãy số? + Số hạng thứ hai : + × + Số hạng thứ ba : + × + Số hạng thứ tư : + × + Số hạng thứ năm: + × Hãy so sánh số hạng với số hạng đầu khoảng cách dãy số để tìm quy luật? - Có khả xác lập phụ thuộc kiện theo hai hướng xuôi ngược lại Vd: + Sự phụ thuộc tổng giá trị số hạng xác định phụ thuộc số hạng vào biến đổi tổng abc = 20 × (a + b + c) 80 × a = 10 × b + 19 × c ⇒ 19 × c  10 ⇒ c = ⇒ a = 1; b = + Điều kiện số chia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 ngược lại? - Thích tìm lời giải toán theo nhiều cách xem xét vấn đề nhiều khía cạnh khác Vd: Nói chung tích số tự nhiên số lớn thừa số Đặt vấn đề tìm thí dụ phủ định kết luận Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Có quan sát tinh tế nhanh chóng phát dấu hiệu chung riêng, nhanh chóng phát chỗ nút làm cho việc giải vấn đề phát triển theo hướng hợp lý độc đáo - Có trí tưởng tượng hình học cách phát triển Các em có khả hình dung biến đổi hình để có hình cùng diện tích, thể tích - Có khả suy luận có cứ, rõ ràng Có óc tị mị, không muốn dừng lại việc làm theo mẫu, có sẵn, hay cịn vướng mắc, hồi nghi Ln có ý thức tự kiểm tra lại việc làm 2) Biện pháp sư phạm: - Thường xuyên củng cố kiến thức vững cho học sinh hướng dẫn em đào sâu kiến thức học thông qua gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn sâu vào kiến thức trọng tâm học: Yêu cầu học sinh tự tìm ví dụ minh họa, phản ví dụ dễ (nếu có), thí dụ cụ thể hóa tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận dụng thực hành, kiểm tra kiến thức tiếp thu, tập làm học sinh - Tăng cường số tập khó trình độ chung địi hỏi vận dụng sâu khái niệm học vận dụng cách giải cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tổng hợp - Yêu cầu học sinh giải toán nhiều cách khác Phân tích so sánh tìm cách giải hay nhất, hợp lý Vd: Bài tốn cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Tính số gà? Số chó? ’’ - Tập cho học sinh thường xun tự lập đề tốn giải Vd: Lập đề tốn dạng tìm hai số biết tổng hiệu biết tổng tỷ số hai số - Sử dụng số toán có chứng minh suy diễn (nhất tốn hình học) để hình thành bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học Vd: Cho ▲ABC có điểm E thuộc AB F thuộc BC cho EA = × EC, FB = × FC; Gọi I giao điểm AF BE; Tính tỷ số IF : IA IE : IB - Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử số nhà toán học xuất sắc đặc biệt nhà toán học trẻ tuổi số phát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt gương nhà toán học nước, học sinh giỏi toán địa phương thành đạt sống để giáo dục tình cảm u thích mơn tốn kính trọng nhà tốn học - Tổ chức hội toán học, thi đố toán học có điều kiện tổ chức “ câu lạc học sinh yêu toán” Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Bồi dưỡng cho em phương pháp học toán cách tự tổ chức tự học nhà gia đình - Kết hợp việc bồi dưỡng khả học toán với việc học tốt môn Tiếng Việt để phát triển dần khả sử dụng ngơn ngữ §2 SUY LUẬN TỐN HỌC 1) Suy luận gì? Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề cho trước rút mệnh đề Mỗi mệnh đề cho trước gọi tiền đề suy luận Mệnh đề rút gọi kết luận hay hệ Ký hiệu: X1, X2, , Xn ⇒ Y Nếu X1, X2, , Xn ⇒ Y ta gọi kết luận Y kết luận logic hay hệ logic Ký hiệu suy luận logic: X , X , , X n Y 2) Suy diễn Suy diễn suy luận hợp logic từ chung đến kết luận cho riêng, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy diễn việc rút mệnh đề từ mệnh đề có thực theo qui tắc logic X ⇒ Y, X Y - Quy tắc kết luận: - Quy tắc kết luận ngược: X ⇒ Y , Y X X ⇒ Y ,Y ⇒ Z X ⇒Z - Quy tắc bắc cầu: - Quy tắc đảo đề: X ⇒Y Y⇒X - Quy tắc hoán vị tiền đề: X ⇒ (Y ⇒ Z ) Y ⇒(X ⇒ Z) - Quy tắc ghép tiền đề: X ⇒ (Y ⇒ Z ) X ∧Y ⇒ Z - X ⇒Y ∧Z X ⇒Y X ⇒Y ∧Z X ⇒Z 3) Suy luận quy nạp: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy luận quy nạp phép suy luận từ riêng tới kết luận chung, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy luận quy nạp khơng có quy tắc chung cho trình suy luận, mà sở nhận xét kiểm tra để rút kết luận Do kết luận rút trình suy luận quy nạp sai, có tính ước đốn Vd: 4=2+2 6=3+3 10 = + Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn tổng số ngun tố a) Quy nạp khơng hồn tồn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung dựa vào số trường hợp cụ thể xet đến Kết luận phép suy luận không hồn tồn có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An số phần tử A Kết luận: Mọi phần tử A B Vd: + = + 4+1=1+4 Kết luận: Phép cộng hai số tự nhiên có tính chất giao hoán b) Phép tương tự: Là phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tương Kết luận phép tương tự có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d Vd: + Tính tổng : S= 1 1 + + + + 99 × 100 1× 2 × 3× Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 = − 1× 2 1 = − 2×3 1 = − 99 ×100 99 100 1 ⇒S= − 100 Tương tự tính tổng: P = 1 1 + + + + × 3× 3× × 1× × 99 ×100 ×101 1 1 =( ) × 1× × 1× 2 × 1 1 =( ) × × 3× × 3× ………… 1 1 Từ dễ dàng tính đươc P =( ) × 99 × 100 × 101 99 × 100 100 × 101 c) Phép khái qt hóa: Là phép suy luận từ đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng Kết luận phép khái qt hóa có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) + = ? 8 * 3+ += = 8 8 Ta có : Suy quy tắc chung cộng hai phân số mẫu số * 1 + = ? Ta có: = 1× 3 = 2×3 1× 2 = = 3× Cộng hai phân số : 1 + = + = 6 Suy quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số Vd: Chia tổng cho số ( Lớp 4) Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com -Tính so sánh hai biểu thức : (35 + 21) : 35 : +21 : -Ta có: (35 + 21) : = 56 : = 35 : + 21 : = + = -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : = 35 : + 21 : - Suy quy tắc chung chia tổng cho số c) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Kết luận phép đặc biệt hóa nói chung đúng, trừ trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến kết luận đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Trong tốn học phép đặc biệt hóa xảy trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm coi đường trịn có bán kính 0; Tam giác coi tứ giác cạnh có độ dài 0;Tiếp tuyến coi giới hạn cát tuyến đường cong giao điểm cố định cịn giao điểm chuyển động đền § Hai phương pháp chứng minh toán học Tiểu học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp: Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp phương pháp chứng minh từ điều cho trước điều biết đến điều cần tìm, điều cần chứng minh Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận Sơ đồ: A ⇒ B ⇒ C ⇒ ⇒ Y ⇒ X Trong A mệnh đề biết cho trước; B hệ lơgíc A; C hệ lơgíc B; ; X hệ lơgíc Y Vai trị ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, khơng tự nhiên mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề biết hồn tồn phụ thuộc vào lực học sinh + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp hệ logic + Phương pháp chứng minh tổng hợp sử dụng rộng rãi trình bày chứng minh tốn học, việc dạy học tốn trường phổ thơng Ví dụ: Bài tốn “ Hiện tuổi bố gấp lần tuổi tổng số tuổi hai bố 50 tuổi Hỏi sau năm tuổi bố gấp lần tuổi con?” “ Cho tứ giác lồi ABCD M, N, P, Q điểm cạnh AB, BC, CD, DA Biết diện tích của MNPQ 100 cm2, tính diện tích rứ giác ABCD? ” 2) Phương pháp chứng minh phân tích lên: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich lên phương pháp chứng minh suy diễn ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều cho trước biết Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận Sơ đồ: X ⇐ Y ⇐ ⇐ B ⇐ A Trong đó: X mệnh đề cần chứng minh; Y tiền đề lơgíc X ; ; A tiền đề lơgíc B; A mệnh đề biết cho trước; Vai trò ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh phân tích lên tự nhiên, thuận tiện mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận + Phương pháp chứng minh phân tích lên thường rát dài dịng thường từ mệnh đề chọn mệnh đề kết luận ta tìm nhiều mệnh đề khác làm tiền đề logic + Phương pháp chứng minh phân tích lên sử dụng rộng rãi phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, việc dạy học toán trường phổ thơng Ví dụ: Bài tốn “ Hai vịi nước chảy vào bể không chứa nước sau 12 đầy bể Biết lượng nước chảy vào bể vòi gấp 1, lần lượng nước vòi chảy vào bể Hỏi sau vịi chảy đầy bể?” Chương II: CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com § CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư Hd: + Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) Ta có: b = c × + Chữ số hàng đơn vị phải lớn ( số dư 2) Chữ số hàng đơn vị lớn (vì chẳng hạn b = x + = 10) Vậy suy c = + Ta thấy: b = x + = Theo đề ta lại có: a = c x + = x + = Thử lại: = × + 2; = × + Bài 2: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số cộng với tổng chữ số 2000 Hd: + Giả sử số abcd , a ≠ 0;0 < a, b, c, d < 10 Theo đề ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd Lập luận để có ab = 19 + Từ tìm c = d = Thử lại: 2000 – 1981 = + + + = 19 Vậy số cần tìm 1981 Bài 3: Tìm số tự nhiên A có chữ số, biết B tổng chữ số A C tổng chữ số B, đồng thời cho biết A = B + C + 51 Hd: + Giả sử A = ab , a ≠ 0;0 < a, b < 10 Lập luận để có C số có chữ số c nên ab = a + b + c + 51 hay Từ a × = c + 51 lập luận để có a = + Từ a = tìm c = a × = c + 51 Nên số phải tìm 6b Xét 60, … , 69 ta thấy có 66 cho kết c = Thử lại: 12 + + 51 = 66 Vậy 66 số cần tìm Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thương 15 dư Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Hd: + Gọi số phải tìm ab, (a ≠ 0; a, b < 10) Theo đầu ta có ab = (a – b) ´15 +2 Hay b ´ 16 = a ´ + Nếu a lớn a ´ + lớn 47 Khi b ´ 16 lớn 47 nên b lớn (vì 47 : 16 = dư 15) + Vì a ´ + ≠ nên b ≠ b = a = 14 : (loại) b = a = Thử lại (6 – 2) ´ 15 + = 62 Số phải tìm 62 Bài 5: Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương dư 12 Hd: + Gọi số phải tìm ab , ( ≤ a, b < 10, a ≠ 0) Ta có ab = ´ (a + b) + 12, với a + b > 12 Sau biến đổi ta có: ´ a = ´ b + 12 + Vì ´ b + 12 chia hết : ´ a , suy a = a = 8, thay vào ta tìm a = Thử lại thấy thoả mãn Kết luận: Số phải tìm 87 Bài 6: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương 11 Hd: + Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) abc = (a + b + c) × 11 (theo ra) 100 × a + 10 × b + c = 11× a + 11× b + 11× c 89 × a = b + 10 × c (cấu tạo số nhân số với tổng) (cùng bớt 11× a + 10 × b + c ) 89 × a = cb ⇒ a = 1, cb = 89 ⇒ abc = 198 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 675 m2 tổng chiều dài chiều rộng gấp lần hiệu chúng Tính kích thước ruộng Hd: Theo ta có sơ đồ sau: Hiệu: Tổng: Do ta có chiều rộng mảnh đất là: (8 – 2) : = (Phần) Do ta có chiều dài mảnh đất là: (8 + 2) : = (Phần) Ta chia chiều dài thành phần nhau, chiều rộng thành phần đồng thời nối cặp điểm tương ứng chiều dài chiều rộng ta 15 ô vuông với cạnh ô vuông phần Vậy diện tích vng là: 675 : 15 = 25 (m2) Vậy kích thước mỗ vng m Kích thước chiều rộng ruộng là: × = 15 (m) Kích thước chiều rộng ruộng là: × = 25 (m) Bài 29: Chứng tỏ tất hình chữ nhật vng hình vng chu vi hình vng có diện tích lớn Hd: Theo ta có hình vẽ sau: A Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 B x P TÀI LIỆU TOÁN HỌC M x N D C Q Website:tailieumontoan.com Bài 30: Cho tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm Hãy tính độ dài cạnh huyền BC Hd: - Cắt tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm toán cho - Ghép tam giác vng lại với tạo thành hình vng ABCD có cạnh cạnh huyền chúng tạo hình vng MNPQ rỗng (theo hình vẽ bên) - Ta có diện tích hình vng ABCD là: Bài 31: Cho tam giác ABC Hãy cắt ghép tam giác tạo thành hình chữ nhật Hd: A - Cách cắt: + Lấy hai điểm M, N điểm AB, AC E N M F H + Hạ AH ⊥ MN = H + Hạ BE ⊥ MN = E + Hạ CF ⊥ MN = F B C - Cách ghép: + Ghép ∆AHM vào ∆BEM + Ghép ∆AHN vào ∆CFN Ta có ∆ABC cắt ghép thành hình chữ nhật BEFC Bài 32: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi tăng bán kính hình trịn thêm 20% diện tích hình trịn tăng thêm phần trăm? Hd: Bán kính hình trịn cũ R, diện tích hình trịn cũ là: 3,14 × R × R Vậy bán kính hình trịn 120%× R, diện tích hình trịn là: 3,14 × 120%× R × 120%×R = 3,14 × R × R × 144% Do ta có diện tích hình trịn tăng lên là: 144% - 100% = 44% Bài 33: Dùng que diêm xếp thành 10 hình tam giác? Hd: Xếp theo hình ơng cánh hình bên Bài 34: Dùng que diêm xếp thành hình tam giác? Hd: Xếp theo hình tam giác lồng vào hình vẽ bên Bài 35: Hãy chia tam giác thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh tam giác đó? Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 Hd: Cách dựng: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 36: Hãy chia tứ giác lồi ABCD thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh AB tứ giác đó? Hd: A Cách dựng: M B + Kẻ tia Ax // MD cắt CD kéo dài điểm E + Kẻ tia By // MC cắt DC kéo dài điểm F + Lấy N điểm cạnh EF Nối MN đường thẳng cần dựng E D N C F Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích Bài 37: Khi tăng chiều rộng hình chữ nhật thêm 10% phải giảm chiều dài phần trăm để diện tích hình chữ nhật khơng đổi? Hd: Hình chữ nhật cũ: Diện tích = chiều dài × chiều rộng Hình chữ nhật mới: + Chiều rộng = 1,1 × chiều rộng + Chiều dài = x × chiều dài + Diện tích = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài Để diện tích khơng đổi ta có: Chiều dài × chiều rộng = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài ⇒ 1,1× x = ⇒ x = 10 11 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy suy chiều dài phải giảm - 10 = 11 11 Bài 38: Hãy chia hình chữ nhật kích thước cm × cm thành phần tương đương có hình dạng đơi khác nhau? Hd: + Cách 1: Dùng mắt lưới ô vuông Chia chiều rộng thành phần phần cm Chia chiều dài thành phần phần cm Nối điểm chia tương ứng cạnh tạo thành 24 ô vuông ô vuông cạnh cm Cắt hình chữ nhật thành hình hình vng có hình dạng đơi mặt khác + Cách khác: Khơng dùng mắt lưới ô vuông sử dụng điểm (12 cách) B A B A P M D N D C B A M N C B A P Q D N D C N C Tạo hình O N O B C M Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 D M B A A D Q M Tạo hình TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website:tailieumontoan.com Bài 39: Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, …… , A10 điểm O đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 11 điểm với nhau? O Hd: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Ta thấy: Điểm A1 với điểm Ai lại sau A1 với điểm O tạo thành hình tam giác Điểm A2 với điểm Ai lại sau A2 với điểm O tạo thành hình tam giác ………… Điểm A9 với điểm A10 lại sau A9 với điểm O tạo thành hình tam giác Vậy số tam giác tạo thành là: + + + + + + + + = 45 Bài 40: Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, …… , A10 hai điểm P, Q ngồi đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 12 điểm với nhau? Hd: P Q Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta áp dụng kết toán trên: Điểm P 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành; điểm Q 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành Xét điểm P, Q, với 10 điểm thẳng hàng khơng thẳng hàng ta có 10 tam giác tam giác Kết luận: Nếu P, Q không thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + 10 = 100 (tam giác) Nếu P, Q thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + = 99 (tam giác) § MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC Bài 1: Một cửa hàng gạo có tổng số gạo nếp gạo tẻ 1950 kg Sau bán nếp số gạo số gạo tẻ số gạo nếp gạo tẻ lại Hỏi lúc đầu cửa hàng có kg gạo nếp; kg gạo tẻ? Hd: Ta có: Do 4 số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu 1 số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu Biểu thị số gạo nếp lúc đầu phần, số gạo tẻ lúc đầu phần, ta có sơ đồ: Gạo nếp: Gạo tẻ: 1950 kg Giá trị phần 1950 : (6 + 7) = 150 (kg) Số gạo nếp lúc đầu 150 ´ = 900 (kg) Số gạo tẻ lúc đầu 150 ´ = 1050 (kg) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: số cam số số chanh người bán hàng thấy cịn lại 150 hai loại, số cam Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh Sau bán chanh Hỏi lúc đầu cửa hàng có loại? Hd: Phân số số cam lại − Phân số số chanh lại − = 8 = 5 Ta có sơ đồ: số cam: 150 số cam: + số cam lại cửa hàng 150 : (2 + 3) ´ = 60 (quả) + số chanh lại cửa hàng 150 – 60 = 90 (quả) Số cam lúc đầu cửa hàng có 60 : ´ = 160 (quả) Số chanh lúc đầu cửa hàng có 90 : ´ = 225 (quả) Bài 3: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam nước tinh khiết vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối cịn 3%? Hd: Lượng muối có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (5 × 45) : 100 = 2,25 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 3% có chứa 2,25 gam muối là: (2,25 × 100) : = 75 (g) Lượng nước tinh khiết cần phải đổ thêm vào là: 75 - 45 = 30 (g) Bài 4: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam muối vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối tăng lên 9%? Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hd: Lượng nước tinh khiết có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (95 × 45) : 100 = 42,75 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 9% có chứa 42,75 gam nước tinh khiết là: (42,75 × 100) : = 47,5 (g) Lượng muối cần phải đổ thêm vào là: 47,5 - 45 = 2,5 (g) Bài 5: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 5? Hd: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (5 × × × × 9) + (5 × × × × 8) Bài 6: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 2? Hd: Số số tự nhiên gồm chữ số khác nhau: + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × × Mà tập số tự nhiên số số chẵn số lẻ nhau, nên suy số số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho là: (5 × × × × × 9) : = × × × × × Bài 7: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 4? Hd: Ta biết điều kiệncần đủ để số tự nhiên chia hết cho chữ số tận số chia hết cho Số số gồm chữ số hàng chục hàng đơn vị khác mà chia hết cho 4: {04, 08, 12, … , 92, 96 } \ {44, 88} [(96 – 04) : +1] – [2] = 22 Trong 22 số có 16 số khơng chứa chữ số không số chứa chữ số là: 04, 08, 20, 40, 60, 80 Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × [5 × × × 8] Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: 16 × [5 × × × 7] Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (6 × [5 × × × 8]) + (16 × [5 × × × 7]) Bài 8: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho cấu tạo từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Hd: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (4 × × × ) + (4 × × × ) Bài 9: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi lập số tự nhiên từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần? Hd: Theo ta thấy số tự nhiên có chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần số tự nhiên có chữ số Do chữ số có vị trí để chọn Chữ số có mặt lần, tức chiếm vị trí cịn lại vị trí cịn lại: Chữ số có C = 20 cách chọn Với vị trí cịn lại chữ số 1, 2, chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × × cách chọn ⇒ Số số tự nhiên chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần là: × 20 × = 120 số Bài 10: Hỏi có số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần? Hd: Ta có: + Số số tự nhiên gồm chữ số là: × 10 × 10 × 10 + Số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 ……………… Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 Vậy số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần + × 35 = 324 Suy ra: Số số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676 Bài 11: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 5? Hd: Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số - Có vị trí chọn chữ số 0, sau cịn vị trí chọn chữ số - Ta thấy vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × × [5 × × 3] Trường hợp 2: Số tự nhiên tạo thành khơng chứa chữ số - Có cách chọn vị trí chọn chữ số 5, sau cịn vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × [5 × × × 2] Tóm lại: Số số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số là: {4 × × [5 × × 3]} + {5 × [5 × × × 2]} Bài 12: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Một đoàn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm mơn bắn súng bơi lội Trong đồn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 người.Tính số người toàn đoàn, biết số nữ thi bơi số nam bắn súng Hd: người Ta có: Số người tồn đoàn = Số nam + Số nữ Số nữ toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng Mà theo ta có số nữ thi bơi số nam bắn súng, nên suy ra: Số nữ toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng = 14 Vậy số người toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người) Bài 13: Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 người thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh nhau? Hd: Để học sinh nam đứng cạnh ta có số cách 7! = × × × × × × Khi học sinh nam đứng cạnh ta coi vị trí với học sinh nữ xếp vào vị trí Ta có 4! = × × × cách Do số cách xếp 10 học sinh cho thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh là: 4! × 7! Bài 14: Hỏi có cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh nhau? Hd: Số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang là: (1 × × × × 5) Hai người A, B đứng cạnh ta coi người hàng cịn người có trường hợp xảy Mà số cách xếp người thành hàng ngang là: × × × Do số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B đứng cạnh là: (1 × × × 4) × Vậy số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh là: (1 × × × × 5) - (1 × × × 4) × Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 15: Trong tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Hỏi ngày 26 tháng ngày thứ mấy? Hd: Vì tháng có ngày thứ năm ngày chẵn tháng tối đa chứa ngày thứ, nên suy ra: Tháng có ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ ngày thứ năm ngày chẵn.) Các ngày thứ năm tháng là: a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 Nếu a số lẻ a + a + 21 phải số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Vậy suy a phải só chẵn Vì số ngày tháng từ tới 31, nên ta có a + 28 ≤ 31 ⇒ a ≤ Từ suy a = Do suy ra: Ngày 23 = + × thứ năm ngày 26 ngày chủ nhât Bài 16: Một nhóm bạn thân bao gồm nam nữ Tính số người nhóm người biết rằng: - Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân - Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân Hd: Theo ta có: Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân mình, tức là: Số nam nhiều số nữ người (Số nam = Số nữ + 1) Suy ra: lần số nam lần số nữ thêm vào người Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân mình, tức là: Số nam lần số nữ bớt người (Số nam = × Số nữ - 2) Do suy ra: lần số nữ bớt số nữ thêm vào người Vậy suy ra: Số nữ người Từ suy số nam người Vậy ta có số người nhóm người Bài 17: Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 10% so với ngày 8/3 Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 sau ngày 8/3? Hd: Gọi giá hoa trước ngày 8/3 100% ta có giá hoa ngày 8/3 110% giá hoa sau ngày 8/3 là: 110% - 110% × 10% = 110 110 10 99 × = = 99% 100 100 100 100 Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ giá hoa sau ngày 8/3 1% Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 18: Nguyên tắc Điriclê tổng quát Cho tập hợp A gồm n phần tử riên biệt Chứng minh rằng: Với cách phân hoạch tập hợp A thành m tập rời nhau: A1, A2, … , Am ln ln tồn tập chứa [ n ] + phần tử m Hd: Theo phân hoạch tập hợp A phân hoạch thành m tập rời A1, A2, m … , Am , nên ta có: A = A & A A i i j = ∅ với I ≠ j i =1 Nếu tất Ai có số phần tử [ n ] số phần tử A m m × [ n n ] < n Do suy phải tồn tập Ai cho chứa [ ] + phần tử m m Bài 19: Trong lớp học có 32 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh có em có tháng sinh? Hd: - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 31 (Vì tháng có tối đa 31 ngày) Ta có kết là: [ n ] + = [ 32 ] + = học sinh ngày sinh m 31 - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 12 (Vì có 12 tháng) Ta suy kết là: [ n ] + = [ 32 ] + = học sinh tháng sinh m 12 Bài 20: Trong trường học có 740 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh tháng sinh? Hd: Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 m = 366 (Vì năm có 365 ngày 366 ngày) Ta suy kết là: [ n ] + = [ 740 ] + = học sinh ngày m 366 sinh tháng sinh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...Website:tailieumontoan.com Chương I: LÝ LUẬN CHUNG §1 Phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn 1) Biểu học sinh có khiếu - Có khả thay đổi phương thức hành động... xuyên củng cố kiến thức vững cho học sinh hướng dẫn em đào sâu kiến thức học thông qua gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn sâu vào kiến thức trọng tâm học: Yêu cầu học sinh tự tìm ví dụ minh họa, phản ví... thu, tập làm học sinh - Tăng cường số tập khó trình độ chung đòi hỏi vận dụng sâu khái niệm học vận dụng cách giải cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tổng hợp - Yêu cầu học sinh giải toán nhiều