Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ “tailieumontoan com” Date 1 Bất đẳng thức Bunhiakôpxki Cho hai bộ số ( a , b), (x , y) thì ta có (ax + by)2 2 2 2 2( )( )a b x y≤ + + Dấu ‘‘=’’ xảy ra a b[.]
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Date “tailieumontoan.com” I Lý thuyêt II Bài tâp 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 a b = x y ≤ (a + b )(x + y ) Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b ≥ ta có: a +b Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b b) Với ba số a, b, c ≥ ta có: ( 5x − − 2x ) +( − 5x − ) x = Điều kiện x > ≥ abc + x −1 = ta khai triển có phương trình : ( 4x − 4x − + Áp dụng bất đẳng thức si ta có: ≥ ab a +b +c x Lợi giải Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b=c 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A ≥ m ⇒ MinA = m ⇒ A ≤ M ⇒ MaxA = M Dấu ''='' xảy ⇔ f(x) = Dấu ''='' xảy ⇔ g(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A + B = Từ phương trình Bài Giải phương trình : 4x + 12 + = x − x 5x − + − 5x ) Dùng bất đẳng thức Một số phương trình tạo từ dấu bất A ≥ m (1) đẳng thức: B ≤ m (2) dấu (1) (2) đạt x0 x nghiệm phương trình A = B Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá x + 4x − x ≥2 x 4x − 4x − Dấu xảy khi: ⋅ 4x − x = x 4x − = ⇔ x − 4= x +1 x 4x − ⇔ (x − 2)2 = ⇔ x = ± Thử lại x= ± thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình là: x= ± Bài 2, Giải PT: 7x − 11x + 25x − 12 = x2 Lời giải + 3x − (1) Pt vơ nghiệm Với x ≥ , sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Nếu x < 7x − 11x + 25x − 12 = ( 7x − ) + ( x −x +3 )= ( 7x − ) ( x x2 −x +3 ) 2 2 Dấu “=” xảy x − x + = 7x − ⇔ x = ∨ x = Bài 3, Giải phương trình: x − + y + 2009 + z − 2010= (x + y + z ) ≤ + 3x − Lời giải ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Điều kiện: x ≥ 2, y ≥ −2009, z ≥ 2010 (x + y + z ) ⇔ x + y + z − x − − y + 2019 − z − 2010 = Bài 5, Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) x − + y + 2009 + z − 2010= ⇔ ( ) ( ) ( ) x −2 −1 + y + 2019 − + z − 2010 − = x −2 −1 = x= ⇔ y + 2019 − =0 ⇔ y =−2018 z = 2011 z − 2010 − = Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (3 ; -2018; 2011) Bài 4, Giải phương trình : a ) 4x + 3x += 4x x + + 2x − b )13 x − + x + = c ) x ( 5x + ) − ( Khi phương trình tương đương: 4x − 4x x + + ( x + ) + 2x − − 2x − + = a) Điều kiện: x ≥ ( ) +( 2x − − ) = 2x − x + = ⇔ 2x − − = ⇔x = b) Điều kiện: x ≥ Khi phương trình tương đương: 1 9 13 x − − x − + + x + − x + + =0 4 4 ( +( ) 5x + 2x + − 2x + + =0 ⇔ 5x 2x + − = −(x + 2x + 1) + ⇔ 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + =5 − (x + 1)2 Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = -1 x − + − x = x − 10x + 27 Lời giải Bài 6, Giải phương trình x −4 + 6−x ≤ ( + )( x − + − x ) =2 Dấu ‘=’ xảy x = Ta chứng minh: x − 10x + 27 ≥ 2, thật vậy: x − 10x + 27 ≥ ( x − ) ≥ , với x ∈ 4;6 Dấu ‘=’ xảy x = Hay nói cách khác phương trình có nghiệm x = Bài 7, [Đại học Ngọi Thương, TP – HCM 1996] Giải phương trình −x2 + − 1 3 ⇔ 13 x − − + x + − = 2 2 x − − = ⇔ ⇔x = x +1 − = c) Điều kiện: x ≥ − Khi phương trình tương đương: 4 9 x + 2x + + + x + 2x + + 3 5 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Lời giải ⇔ 2x − x + (1) ⇔ Điều kiện ≤ x ≤ ) 2x + − = Lời giải ) = 1 =4 − x + x x Lời giải 1 =4 − x + x x 1 ⇔ x + −x2 + + − = −x2 + − x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: x x + − x ≤ 12 + 12 x + ( − x ) = x x= ⇔ ⇔x = 0 2x + − = Vậy phương trình có nghiệm x = + 2− ≤ 12 + 12 + − = x x x Suy ra: x + − x + x + 2− Dấu “=” xảy x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ x2 ≤4 Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 x +1 Bài 11 Giải phương trình : ( 2x + ) ( + + x = x +9 ( ) 2 = x +1 x +1 ⇔ = x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 9.Giải pt : 13 x − x + x + x = 16 Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Lời giải ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ( ) ) ) = 256 ( ) 16 Theo bất đẳng thức Côsi: 10x 16 − 10x ≤ = 64 2 2 = x + x 1−x2 = Dấu ⇔ ⇔ 10x 2= 16 − 10x x = − ) + = 3−x 2−x Bài 10 Giải phương trình : Điều kiện: x < ( Lời giải Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy:Với x < : ⇒ < 3−x 2+ ( −3x ) 2 +3 + > ( 2x + ) + ( 2x + ) ) ( ) +3 ⇒ ( 2x + ) + 4x + 4x + + 3x + 9x + < 1 nên (1) khơng có nghiệm − ; − Chứng minh 5 tưng tự ta đến (1) nghiệm − ;0 Vậy x = − nghiệm Bài 12, Giải phương trình : 16x = + 4x + x a) Ta có: Lời giải ( ) 16x + > ⇒ 4x + x > ⇔ x 4x + > ⇔ x > Ta thấy x = nghiệm phương trình + >6 3−x 2−x ( −3x ) thức hai vế Vậy x = − nghiệm phương trình (1) Và điều kiện để Pt có nghiệm x ≠ − là: 2 x + > −3x > ⇔− ( ⇒ 1+a − a2 −1 (1 + a − ≥ 2 ( ≥ 2( ) 2.1 + ) 2a + = ≥ 2006 ( a ) ( − ) (1 + a + 2005 + 1+a + a2 −1 ) ) 2005 2005 (do a ≥ ) ) ( 2005 + 1+x + x2 −1 ) y −2 + 256 z − 1750 16 − x − + x − − y − + y − ⇔ + x −6 y −2 256 − 2.16 z − 1750 + z − 1750 + = 1750 z − 2005 ⇔ ( 4− x −6 x −6 ) +( 2− y −2 y −2 ) +( 16 − z − 1750 z − 1750 ) = 4− x −6 = Do x > 6; y > 2; z > 1750 nên − y − = 16 − z − 1750 = 2005 Do đó: + x − x − y −2 16 x −6 ⇔ −8+ + − + x − y − y − x −6 256 z − 1750 + − 32 + = z − 1750 z − 1750 2005 a −1 + + x − + y − + z − 1750 = 44 Bài 13, Tìm nghiệm dương phương trình : ) + (1 + x + Lời giải ĐKXĐ: x > 6; y > 2; z > 1750 ) x2 −1 z − 1750 ) ( 2x − )2 4x + 2x + = ⇔x = 4x + x = (1 + x − 256 + 2x + ≥ Vậy phương trình có nghiệm x = y −2 + + x − + y − + z − 1750 = 44 Suy VT ≥VP Dấu “=” xảy khi: ( + = 2006 1 + a + a − = + a − a − ⇔ ⇔a = a =1 x= 22 ⇔ y =6 z = 2006 Vậy phương trình có nghiệm x=22; y=6; z=2006 Vậy phương trình có nghiệm dương x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ − x + 2x + −x − 6x − = + Đáp số: vô nghiệm Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình 3x − 12x + 13 + 2x − 8x + 12 = Đáp số x = Bài Giải phương trình: x + y − + z − 2= ( x + y + z ) Đáp số (x, y, z) = (1, 2, 3) 2 x + Đáp số x = −1 Bài Giải phương trình: x + x += Bài Giải phương trình: x − 10x + 27 = − x + x − Đáp số: x = ( ) Bài Tìm x; y thỏa mãn: x y − + y x − = xy Đáp số: x= y= Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình 30 − x + 6x − x 6x Đáp số x = ±1 = x + x − + −x + x + = x − x + Đáp số x = Bài Giải phương trình x + − x + x − − x = Bài 10 Giải phương trình + Đáp số x = 4x + x + 3x= + 3 16x + 12x Đáp số: x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗