PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ “tailieumontoan com” Date Để giải bất phương trình vô tỷ (chứa căn) thông thường ta có hai phương pháp cơ bản là nâng lên lũy thừa và đặt ẩn số phụ Ngoài ra còn[.]
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Date “tailieumontoan.com” I Lý Thut Để giải bất phương trình vơ tỷ (chứa căn) thơng thường ta có hai phương pháp nâng lên lũy thừa đặt ẩn số phụ Ngồi cịn có số cách khác sử dụng bất đẳng thức (để đánh giá hai vế), sử dụng tính chất đơn điệu hàm số, v.v… thường dùng để giải bất phương trình khơng mẫu mực II Bài tâp Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Các phép biến đổi thường sử dụng B ≥ B < *) A >B ⇔ A > B A ≥ B > *) A < B ⇔ A ≥ A < B *) A < B ⇔0≤A 7x − 9x > 4 Kết hợp (i) (ii) ta có tập nghiệm T = ; 3 ⇔ x − 3x + ≥ ⇔ * 2n y (E , x ≠ 0) x A 2n = A * 2n + A 2n + = A 2) Lưu ý : Biến đổi biểu thức thức thành đẳng thức Bài Giải bất phương trình : x +2 x −1 + x −2 x −1 > Lời giải: ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ( 1) ( 1) ⇔ ( ⇔ x −1+2 x −1 +1 + x −1−2 x −1 +1 > x −1 +1 ) + x ≥ ⇔ x − + + ( x −1 −1 x −1 −1 > ) > 3 (2) * Với x − − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ thỏa mãn bpt (2) Vậy trường hợp tập ngiệm T1=[2 ;+ ∞) x ≥ * Với x − − < ⇔ ⇔ ≤ x < bpt (2) x − < trở thành : 3 x − + + − x − > ⇔ > (luôn đúng) 2 Vậy tập nghiệm (1) trường hợp T2=[1 ;2) KL : Tập nghiệm (1) T=T ∪T = 1; +∞ ) Dạng : Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa bất phương trình tích Bất phương trình tích : Trên điều kiện bpt ta có : f (x ) > g (x ) > *f (x )g (x ) > ⇔ f (x ) < g (x ) < f (x ) = f (x ) > * f (x )g (x ) ≥ ⇔ g (x ) ≥ f (x ) < g (x ) ≤ Các trường hợp lại, bạn tự suy luận x − ( 3x − x + ) − 3x − ≥ (1) Bài Giải BPT : Điều kiện : x ≥ (*) Lời giải: ⇔ ⇔ ( ) ( x − + 3x + − x x −1 − x )( ) ) x − + 3x + ≥ x − + 3x + ≥ x − − x ≥ A± B = A B ( A ≠ B) A− B Lưu ý: +) Nên nhẩm với số nghiệm nguyên đơn giản +) Chú ý tới biểu thức nhân chia liên hợp Bài Giải BPT : x + 15 < 3x − + x + (1) Lời giải: * Ta có (1) ⇔ x + 15 − x + < 3x − x + 15 − x − ⇔ < 3x − x + 15 + x + ⇔ < 3x − x + 15 + x − Từ (2) ta có 3x − > ⇔ x > * Mặt khác: x − + 3x + > x ≥ (2) (1) ⇔ x + 15 − < 3x − + x + − x2 −1 x2 −1 ⇔ < 3(x − 1) + x + 15 + x2 +8 +3 x +1 x +1 ⇔ (x − 1) −3− < (3) x2 +8 +3 x + 15 + * Lại có : Vì x > nên x + 15 + > x + + x +1 x +1 ⇔ x + 15 + x +1 < − x2 +8 +3 x +1 x + 15 + x +8 +3 Vậy (3) ⇔ x − > ⇔ x > x − + 3x x − + x − − x x − − 3x − x ≥ ( * ⇒ Khi BPT tương đương : ⇔ x −1 ⇔ x − ≥ x ⇔ x − ≥ x ⇔ x − x + ≤ (vô nghiệm) Vậy BPT cho vô nghiệm Dạng 5: Nhân liên hợp Biểu thức nhân chia liên hợp: A− B * A± B = ( A ≠ B) A B 2 −3 < KL : BPT (1) có tập nghiệm T= ( 1; +∞ ) * Chú ý : Trong Bài toán này, việc thêm bớt, nhóm số hạng với để xuất nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm x=1 hai vể BPT Bài Giải bất phương trình 2017x − − 2018x − ≤ x − Lời giải: ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ (*) Khi đó: 2018 3−x ≤ x −3 (*) ⇔ 2017x − + 2018x − ĐKXĐ: x ≥ ⇔ (x − ) + ≥0 2017 2018 x x − + − ⇔ x −3 ≥ ⇔x ≥3 Vậy nghiệm BPT x ≥ Bài 10 Giải bất phương trình 2x < x + 21 ( * ) − + 2x ( Lời giải: + 2x ≥ x ≥ − ĐK ⇔ x ≠ 3 − + 2x ≠ Khi ( ) ⇔ ( ) x +1 > (1) x +1 x Lời giải: −2 x > * Điều kiện : (*) < − x t − 2t > ⇔ 2t + 3t − < 0(t > 0) ( ) Vậy < x + 1;v = ) x + 2x + (u ,v > ) u + 2v ≥ 2v − u ⇔ 10u + 4uv − 14v ⇔ (u − v )( 10u + 14v ) ≥ ⇔ u ≥ v (do 10u + 14v > ) Với u ≥ v ⇔ x + ≥ x + 2x + ⇔ x ≤ −1 Vậy tập nghiệm BPT S = ( −∞; −1 Dạng 7: Phương pháp đánh giá Bài 14 Giải BPT : x +1 (t > 0) BPT (1) trở thành : x ⇔ (t + ) 2t + t − < ⇔ < t < ) ( Thay vào PT ta có: 2 Dạng 6: Phương pháp đặt ẩn phụ 1 + ⇔ 2x + = 2t − 4x 2x t > 2 * BPT (2) trở thành : 5t < 2t − + ⇔ kết t < ⇒t = x + Đặt u = ⇒ t ≥ (theo bất đẳng thức ( S = x ∈ R | − ≤ x ≤ ; x ≠ * Đặt t = x x + + x + 2x + ≥ x + 2x + − x + Kết hợp với ĐK ta có BPT có tập nghiệm là: x Cơsi) x + + x + 2x + ≥ x + 4x + Lời giải Ta viết lại phương trình sau: < x + 21 ⇔ + 2x < ⇔ ≤ + 2x < 16 ⇔− ≤x ≤ 2 Bài 11 Giải BPT : x+ hợp với t ≥ ta t > * Khi 2+ x > x> + 2 x+ >2⇔ ⇔ x 2− 0 < x < − 0 < x < 2 Bài 13 Giải bất phương trình: ) + + 2x * Đặt t = x +1 < ⇔ − < x < −1 x + (2) Bài 12 Giải BPT : x + < 2x + 2x x Lời giải: * Điều kiện : x > x− x − 2(x − x + 1) ≥1 Lời giải Ta có − 2(x − x + 1) < nên BPT ⇔ 2(x − x + 1) ≤ − x + x Mặt khác ta lại có : 2(x − x + 1)= 2(1 − x )2 + 2( x )2 ≥ 1−x + x (2) Từ ⇒ 2(x − x + 1) = − x + x Dấu − x= x ⇔ x= 3− (t / m x ≥ 0) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ (1) Bài 15 Giải bất phương trình : 1+x + 1−x ≤ 2− * Khi ( 1) ⇔ + x + − x + − x ≤ − x + 2 ) ( (1) Lời giải 1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (*) * Điều kiện : x − ≥ ⇔ 1−x2 −2 1−x2 +1 + x2 x x4 16 ≥0⇔ 16 Điều với x thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm BPT x ∈ − 1;1 ( 1−x2 −1 ) + x4 16 ≥0 x − + x − ≥ ( x − ) + 2x − ( ) Bài 16 Giải bất phương trình Lời giải Điều kiện: x ≥ Khi đó: ( ) ⇔ x − + x − ≥ ( x − ) + x − ( ∗) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: x −1 + x − ≤ (1 )[ + 12 x − + ( x − 3) ] = 2[(x − 3) ] + x − (∗ ∗) x ≥ x − ≥ Từ (∗), (∗ ∗) dấu “=” xảy x − = x − ⇔ 2⇔x = ⇔ x = x x − = − ( ) x = Dạng 8: Sử dụng tính đơn điện hàm hàm số Bài 17 Giải BPT : ( x + ) x + + ( x − ) − x + 2x ≤ (1) x + ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (*) * Điều kiện : 1 − x ≥ Lời giải * Khi ( ) ⇔ ( x + ) x + + ( x + ) + x + ≤ ( − x ) − x + ( − x ) + − x ⇔ ( x +1 ) +( x +1 ) +2 x +1 ≤ ( 1−x ) +( 1−x ) + − x (2) * Xét hàm số f (t ) = t + t + 2t với t ≥ : Có f '(t )= 3t + 2t + > 0∀t ≥ nên f (t ) hàm đồng biến 0; +∞ ) * Mặt khác : (2) ⇔ f ( x + 1) ≤ f ( − x ) ⇔ x + ≤ − x ⇔ x + ≤ − x ⇔ x ≤ kết hợp với điều kiện (*) ta : −1 ≤ x ≤ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Phương pháp lũy thừa Bài Giải bất phương trình : a) x − x − 15 ≤ x − Kết : x ∈ [5;6] b) − x2 + 6x − ≥ − 2x Kết : x ∈ [3;5] c) x2 − 2x − < x − d) x − x − 10 ≥ x − Bài Giải bất phương trình : a) ( x − 3) x + ≤ x − ⇒ x ∈ [2;10) b) x − − x − > x − ( A − 2005) c) x − 13 − x − ≤ x − 27 x + + x − ≤ x + (CD − 2009) d) e) 2( x − 16) x−3 + x−3 > 7−x x−3 ( A − 2004) Bài Giải bất phương trình : a) b) c) 51 − x − x x + 3x − x − Bài Giải bất phương trình : T = (−∞; −5 ) ∪ (1; ) ∪ (2; +∞) 2 x − x + − x − 3x + ≥ x − Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải bất phương trình : a) x + 10 x + > − x − x T = (−∞; −3) ∪ (1; +∞) b) x + x − x − > 10 x + 15 c) ( x − 3)(8 − x) + x − 11x < Bài Giải bất phương trình : a) x + < 2x + x x x +1 b) −2 >3 x +1 x +4 2x ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài (B – 2012) Giải bất phương trình x + + x − x + ≥ x - Chia vế cho t x đặt= Bài (Thử GL – 2013) Giải BPT : - Điều kiện : x ≥ x+ x ⇒t ≥ ⇒ x ∈ [0; ] ∪ [4; +∞) x2 − x − + x ≤ 5x2 − x − - Bình phương vế rút gọn ta : x( x − 2)( x + 1) ≤ x( x − 2) − 2( x + 1) - Chia vế cho ( x + 1) đặt t = x( x − 2) Nghiệm x ∈ [3 + 13; +∞) x +1 Bài Giải bất phương trình a) - x + 14 x + − x − x − 20 ≤ x + Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x − x + ≤ ( x − x − 20)( x + 1) ⇔ 2( x − x − 5) + 3( x + 4) ≤ ( x + 4)( x − x − 5) x2 − 4x − x2 − 4x − ⇔2 +3≤5 x+4 x+4 b) - ⇔ x ∈[ + 61 ;8] x + 25 x + 19 − x − x − 35 < x + Chuyển vế, bình phương ta : 3( x − x − 14) + 4( x + 5) < ( x − x − 14)( x + 5) - Nghiệm x ∈ Bài (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x + (3 x − x − 4) x + ≤ y ≥ - Điều kiện : x ≥ −1 Đặt y= x +1 ⇔ y = x +1 2 - Bpt trở thành x + (3 x − y ) y ≤ - TH y = 0⇔ x= −1 Thỏa mãn BPT - TH y > ⇔ x > −1 Chia hai vế cho y ta - - 1+ 1+ Vậy tập nghiệm BPT S = −1; 2 Cách : Có thể biến đổi BPT dạng tích - • x x x + − ≤ Đặt t = giải BPT ta t ≤ y y y −1 ≤ x < x t ≤ ⇒ ≤ ⇔ x ≤ x + ⇔ x ≥ y x − x − ≤ −1 ≤ x < 1+ x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Kết hợp x > −1 ta 1 − 1+ ≤x≤ −1 < x ≤ x3 + (3 x − x − 4) x + ≤ ⇔ x + x x + − 4( x + 1) x + ≤ ⇔ [x3 − ( x + 1) x + 1] + [3 x x + − 3( x + 1) x + 1] ≤ ⇔ ( x − x + 1)( x + x + 1) ≤ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài tập tương tự : x − x + ( x + 2)3 − x ≤ Phương pháp nhân liên hợp Bài Giải bất phương trình : a) b) 1+ x − 1− x ≥ x − − 8x2 ⇒ Nghiệm x ∈ [ −1 ;5) b) Giải phương trình : 3 x − − − x + 16 ≥ Nhẩm nghiệm x = −2 BPT ⇔ ( x + 2)[ - ( 3 x − 2) − 3 x − + Bài Giải bất phương trình + 15 ] ≥ ⇔ x ∈ [ − 2; ] − 5x + x2 +x +1 +x2 −4 ≤ x +4 x2 +1 x2 +x +1 − x2 +1 Gợi ý: BPT ⇔ − 1 + x − ≤ +4 x x2 +1 ( 2 x −3 + + 1 ≤ x2 +1 x2 +1 +2 (x + 4) x + x + + x + A ) ( ) ( ) Nghiệm − ≤ x ≤ Phương pháp đánh giá Bài Giải PT sau : Nghiệm x = a) x − + − x ≥ x − x + 11 b) x − + 10 − x ≥ x − 12 x + 52 c) x2 − x + + d) 2 x + x + + x + 10 x + 14 ≤ − x − x e) x − + 19 − x ≥ Nghiệm x = x − ≤ + x − x2 Nghiệm x = −1 − x + 10 x − 24 Bài Giải PT sau : 2 a) x −11x + 25 x − 12 ≥ x + x − VT : (7 x − 4)( x − x + 3) (côsi ) ≤ VP = 2 b) x +3 x + x − ≥ x + x − ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗