Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Sinh viên thực hiện: Trần Thị Xuân Hiệp Giáo viên hướng dẫn: T.s Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng – Năm 2017 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phƣơng trình, bất phƣơng trình nội dung quan trọng chƣơng trình tốn bậc phổ thơng, lớp phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ có vai trị định Một nhiệm vụ dạy toán học bồi dƣỡng cho học sinh kỹ tìm tịi, phát vận dụng phƣơng pháp vào việc giải tốn Tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ biện pháp để giải nhiệm vụ Là sinh viên ngành tốn, với mong muốn tìm hiểu phƣơng pháp giải tốn bậc phổ thơng, nên tơi chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệm là: “ Phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỷ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ Hệ thống phân loại dạng phƣơng trình , bất phƣơng trình vơ tỷ - Đƣa quy trình giải cho dạng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ, với nhiều ví dụ minh họa Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các phƣơng trình, bất phƣơng trình thuộc chƣơng trình phổ thơng - Các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tƣ liệu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn, tài liệu từ internet - Phƣơng pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp hệ thống tài liệu sƣu tầm đƣợc để thực khóa luận - Trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn Nội dung khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày khái niệm phƣơng trình, bất phƣơng trình số tính chất hàm biến Phần cuối chƣơng nhắc lại số đẳng thức, bất đẳng thức để làm sở cho chƣơng sau: Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 3: Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng trình bày số phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỷ CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng trình bày khái niệm phƣơng trình, bất phƣơng trình số tính chất hàm biến Phần cuối chƣơng nhắc lại số đẳng thức, bất đẳng thức để làm sở cho chƣơng sau 1.1 Một số khái niệm phƣơng trình bất phƣơng trình ẩn [3] 1.1.1 Định nghĩa Phƣơng trình ẩn x mệnh đề chứa biến x có dạng f (x)  g (x) (1) f(x) g(x) biểu thức x Ta gọi f(x) vế trái, g(x) vế phải phƣơng trình (1) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) mệnh đề x0 đƣợc gọi nghiệm phƣơng trình (1) Giải phƣơng trình (1) tìm tất nghiệm ( nghĩa tìm tập nghiệm phƣơng trình ) Nếu phƣơng trình khơng có nghiệm ta nói phƣơng trình vơ nghiệm ( nói tập nghiệm rỗng ) 1.1.2 Phƣơng trình tƣơng đƣơng Hai phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm 1.1.3 Phép biến đổi tƣơng đƣơng Nếu thực phép biến đổi sau phƣơng trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu để sử tƣơng đƣơng phƣơng " " trình 1.1.4 Phƣơng trình hệ Nếu nghiệm phƣơng trình trình nghiệm cuả phƣơng f (x)  g (x) đƣợc gọi phƣơng trình hệ phƣơng trình f1 ( x )  g ( x ) f (x)  g (x) f (x)  g (x)  Ta viết: f1 ( x )  g ( x ) Phƣơng trình hệ có thêm nghiệm mà khơng phải nghiệm phƣơng trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai 1.1.5 Định nghĩa Cho hai hàm sô Dg Đặt D  D f  Dg y  f (x) y  g (x) có tập xác định lần lƣợt D , f Mệnh đề chứa biến có mơt dạng f (x)  g (x) D f (x)  g (x) , f (x)  g (x) , đƣợc gọi bất phƣơng trình ẩn, x gọi ẩn số f (x)  g (x) gọi tập xác định bất phƣơng trình Số x0  D f ( x0 )  g ( x0 ) gọi nghiệm bất phƣơng trình f (x)  g (x) mệnh đề Khái niệm “ nghiệm ’’ đƣợc định nghĩa tƣơng tự cho bất phƣơng trình có dạng f (x)  g (x) , f (x)  g (x) , f (x)  g (x) Giải bất phƣơng trình tìm tất nghiệm ( hay tìm tập nghiệm ) bất phƣơng trình Chú ý: Trong thực hành ta không cần viết rõ tập xác định mà cần nêu điều kiện để x D D bất phƣơng trình Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phƣơng trình, gọi tắt điều kiện bất phƣơng trình 1.1.6 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng  Hai bất phƣơng trình (cùng ẩn) đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Nếu f1 ( x )  g ( x ) tƣơng đƣơng với f2 ( x)  g ( x) ta viết : f1 ( x )  g ( x )   Cho bất phƣơng trình hàm số xác định Khi đó, f2 ( x)  g ( x) có tập xác định f (x)  g (x) D D , bất phƣơng trình f (x)  g (x) D , y  h(x) tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình: 1) f (x)  g (x)  g (x)  h(x) 2) f ( x)h( x)  g ( x)h( x) h(x)  với x D 3) f ( x)h( x)  g ( x)h( x) h(x)  với x D   f ( x)  f (x)  g (x)  Nếu f (x) g (x) f (x)  g (x)   g ( x)  không âm,  f ( x)  x  D  g ( x) 1.1.7 Định nghĩa Ta gọi phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ phƣơng trình, bất phƣơng trình có chứa ẩn dƣới dầu thức, nói cách khác phƣơng trình có dạng f (x)  , bất phƣơng trình dạng f (x)  hay f (x)  , f (x) hàm số vơ tỷ ( có chứa thức biến số, x biến, ta có phƣơng trình, bất phƣơng trình ẩn: x  ( x ; x , , x n )  R n x xem n biến Khi đó, ta có phƣơng trình, bất phƣơng trình n ẩn) 1.2 Một số tính chất định lý hàm biến 1.2.1 Tính chất hàm số biến Tính chất 1.1.[11] Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm D Nếu f ' x   0,  x  D hàm số f (x) đồng biến (tăng) D Nếu f ' x   0,  x  D hàm số f (x) nghịch biến (giảm) D Tính chất 1.2.[7] Nếu hàm số y  f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) D thì: Hàm số y   f (x) nghịch biến (hoặc đồng biến) D Hàm số y = n Hàm số y = đồng biến (hoặc nghịch biến) D f (x) với f(x) >0 nghịch biến (hoặc đồng biến) D f (x) Tính chất 1.3.[7] Tổng hàm đồng biến (hay nghịch biến) D hàm số đồng biến (hay nghịch biến) D Tính chất 1.4.[7] Tích hàm đồng biến (hay nghịch biến) D hàm số đồng biến (hay nghịch biến) D Tính chất 1.5.[12] Nếu hàm f(t) đồng biến D,  f (x)  f ( y)    f (x)  f ( y)  x  y x  y Nếu hàm f(t) nghịch biến D,  f (x)  f ( y)    f (x)  f ( y)  x  y x  y ,  x, y  D Tính chất 1.6.[7] Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x) = k (kR) có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 1.7.[7] Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b ) ta có: f (u )  f v  u  v Tính chất 1.8.[7] Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) 1.2.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến  Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số y  f (x) xác định D Số M đƣợc gọi GTLN hàm số x  D  x0  D cho f ( x0 )  M y  Kí hiệu Số m đƣợc gọi GTNN hàm số M f (x) D f (x)  M ,  m ax f ( x) D y  f (x) D f (x)  m, x  D   x0  D f ( x0 )  m cho m  m in f ( x ) Kí hiệu D Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Nếu hàm số xác định liên tục đoạn  a ; b  đạt giá trị f (x) GTLN, GTNN đoạn , ta tìm GTLN GTNN theo bƣớc sau : - Tìm điểm x , x , , x n đoạn  a ; b  mà ' f (x) ' f ( x ) khơng xác định - Tính giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( x ) , f ( x ) , , f ( x n ) - Số lớn ( tƣơng ứng bé ) số GTLN (tƣơng ứng GTNN ) hàm số đoạn  a ; b  f (x) 1.2.3 Định lý Lagrange định lý Rolle Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a,b] tồn đạo hàm khoảng f (b )  f ( a ) f (c )  ' ba (a; b) số c  (a; b) cho Định lý Rolle: Nếu f(x) hàm số f(x) liên tục đoạn [a,b] có đạo hàm khoảng (a; b) f(a) = f(b), tồn c  (a; b) cho f (c )  ' 1.3 Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức AM - GM Cho n số thực dương ,…., , ⩾ n +…+ + Dấu “=” xảy ⇔ n ta ln có BĐT a a a n =…= = 1.3.1 Bất đẳng thức Bunyacovsky Cho số (a  a 2 ( a ; a ; ; a n ) ; ( b1 ; b ; ; b n )   a n Dấu “=” xảy ⇔ )( b a1 b1  b = a2 b2   b = = n an ta ln có BĐT: )  ( a 1b1  a b   a n b n ) (Ở ta quy ước mẫu bn tử phải 0) 1.3.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với hai số thực a Với điều kiện  a 2 b1 b2 ; ; …., a1 Dấu “=” xảy ⇔  a = a2  x1   x2 b1  b   b n an = = b2 bn ( a , a , , a n )  n xn , ta có: ( a  a   a n ) n - Với n số thực dƣơng tùy ý Khi ta có: số dương   a  n ( b1 , b , , b n ) ( a  a   a n ) bn Hệ -Với số thực a a   b1 o ( a , a , , a n )  ( b1 , b , , b n ) n , ta có: x  x   x n 1.4 Một số đẳng thức lƣợng giác * s in x * ta n x   1, c o s x  s in x * sin x  c o s x  * cot x  2 cos x cos x   ta n x  s in x   cot x  cos x 2 s in x  s in ( a  b )  s in a c o s b  c o s a s in b  cos(a  b )  cos a.cos b s in a s in b CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Chƣơng trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ 2.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Nội dung phƣơng pháp sử dụng tính chất lũy thừa ph p biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình để đƣa phƣơng trình vơ tỷ ban đầu phƣơng trình hữu tỉ mà việc giải đơn giản Một số ph p nâng lên lũy thừa thƣờng đƣợc sử dụng: 2n f x  g x  n 1 2n f n 1  f x x f x  gx  2n    g  x     2n  f  x    g  x   f g x  n 1 x        gx    g  x   n 1 f  x     g  x   f x f  g x x  g x Dạng tốn 1: Đối với phƣơng trình: f (x )  g  x  f (x )  g  x   ta có phép biến đổi tƣơng đƣơng : g  x      f  x    g  x   Bài tốn 2.1.[17] Giải phƣơng trình : 3x  9x   x   Lời giải: Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: 3x  x    x (5) 2x  x  2x   x   Hệ 1 (7 )  2x  1  x  ( x  1) (7 )         x  x   x    (6 )  x  2x   Nghiệm hệ ( ) là: Hệ (4)  x x x   x    2 x  2x  4x  4x    Hệ (8)      (8 ) x     x   x 1  x   3x  2x    (vô nghiệm) 2 2  2x  2x  (9 )  2x  (1 ) (9 )  2x     2  x  x  ( x  1)   x     x   1   x    x  x    x  x   (1 )  Nghiệm hệ ( )  x 1  x    3x  2x    x  2x     x  1   x     x   2 54 Vậy, nghiệm bất phƣơng trình cho là: x     ,     2,    3.2.3 Giải bất phƣơng trình vơ tỷ hai ẩn phụ Bài toán 3.11.[15] Giải bất phƣơng trình: x  3  2x  2 x 1  x   (1) Lời giải: x 1    ( x  3)  x   Điều kiện xác định:  x    x  5x   x 1 Bất phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: x 1  x   Đặt u   x  3  2( x  1) (2) x  ( u  ); v  x  Khi bất phƣơng trình (2) trở thành:  Ta có: u  v  2u  2v u  v   2  2(u  v )  (u  v)  u  v   u  u      u  v   x   x 1   x     x 1  x    ( x  )  x   Vậy, nghiệm bất phƣơng trình cho Bài tốn 3.12.[16] Giải bất phƣơng trình:  u  v  u  v   x    x  x    x  x  15  x  2 x 1 Lời giải: Điều kiện xác định: Đặt u   x  0; v  15  x  2  x  0; u  v 55 Khi ta có hệ phƣơng trình : u  v  17   u  v   Do v   u   v   4 u   v    4   u   v     v    v    v  v     u  17  v  u   v 4 nên ta đƣợc  v  Suy 4 u  17  v  2  v  2 x 1   u   v    v   v 4 x 1 Kết hợp với điều kiện ta đƣợc nghiệm bất phƣơng trình cho 1 x  3.3 Phƣơng pháp hàm số 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số Bài tốn 3.13 [17] Giải bất phƣơng trình: 3  x  2x   2x  Lời giải: Điều kiện xác định: Xét hàm số Ta có f (x)  3  x  f (x)  ' 3  x    2x   3  2x  2x 1  2x 1   x  2  2x    1 3  ;   2 , suy hàm số f(x) nghịch biến 1 3  ;   2 Mà f(1) = nên bất phƣơng trình 3  2x   2x   2x   f ( x )  f (1)  x 1 56 Kết hợp với điều kiện ta suy tập nghiệm bất phƣơng trình Bài tốn 3.14 [19] Giải bất phƣơng trình: 15  x   3 1;  2   2 x 1 Lời giải: Điều kiện xác định: Xét hàm số Ta có f x x Mà  4 15  x  f 1   15  x  f  x   f  15  x  1  x  4  2 x   5;  2 x 4 2  x  ,  x    5;  Suy hàm số đồng biến   5;  nên bất phƣơng trình 15  x   f x 2 x 1  f 1   x 1 Kết hợp với điều kiện ta đƣợc nghiệm bất phƣơng trình cho  x  Bài toán 3.15 [17] Giải bất phƣơng trình: x  2x   x  x  11  3 x  x 1 Lời giải: x  2x  x  6x  3  x  x 1   Điều kiện xác định:   ( x  1)   ,  x  1  ( x  3)   0   x  Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: ( x  1)   x 1  (3  x )   3 x 57 Xét hàm số f (t )  t   , t t f (t )  ' t   2  t Hàm số f(t) đồng biến [0; +  ) Từ tính đơn điệu bất phƣơng trình có dạng: f ( x  1)  f (3  x )  x    x  x  Kết hợp với điều kiện ta đƣợc tập nghiệm bất phƣơng trình S = (2; 3] 3.3.2 Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số - Bất phƣơng trình g(x) ≥ h(m) có nghiệm ⇔ Dg h  m   M ax g ( x) Dg - Bất phƣơng trình g(x) ≤ h(m) có nghiệm ⇔ Dg h  m   M in g ( x ) Dg - Bất phƣơng trình g(x) ≥ h(m) nghiệm ⇔ x  Dg h  m   M in g ( x ) Dg - Bất phƣơng trình g(x) ≤ h(m) nghiệm ⇔ x  Dg h  m   M ax g ( x) Dg Bài tốn 3.16.[17] Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm: x3  6 x  ( x  3)(6  x )  m Lời giải: Điều kiện : Đặt t  x      x   x    x , 3  x  t  Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky ta có: t  ( x    x)  (1  )[ ( x  )  (  x ) ] =  2 t  t 9 Ta có t  9 ( x  3)(6  x )  ( x  3)(6  x )  58 Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: t  t   m Hàm số f (t )  t có tập xác định  2t D   3;  2  f (t )  t   ,  t  D ' Bảng biến thiên Để bất phƣơng trình có nghiệm với m a x f (t )   m    tD   2m  m  m  9 t D Vậy, 6 9 bất phƣơng trình có nghiệm với Bài tốn 3.17.[19] Giải bất phƣơng trình: x    3;   x  x  24  x  x  m 2 Tìm m để bất phƣơng trình nghiệm Lời giải: Điều kiện: Đặt t =  x  x  24     x   x  x  24 2 ,  t  Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với t  t   m 59 Xét f (t )  t  t , f ( t )  t   ,  t  D  [0; ] ' Bảng biến thiên Để bất phƣơng trình nghiệm  t  [ ; ]  m  m ax f (t ) t D  24  m  30  m  Vậy, m  bất phƣơng trình nghiệm với x    4;  3.4 Phƣơng pháp đánh giá Bài tốn 3.18.[17] Giải bất phƣơng trình: ( x  1)( x  )  Lời giải: Điều kiện: x 1   1 x   5  x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm x – – x ta đƣợc: x 1  x  ( x  1) (  x )  ( x  1)(5  x )  2 Bất phƣơng trình cho có nghiệm  ( x  1)(5  x ) =2 x 1   x  x  Vậy, nghiệm bất phƣơng trình cho x = 60 x4 Bài tốn 3.19.[18] Giải bất phƣơng trình: x5  Lời giải: Điều kiện: x  Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: x   x  Ta có: x   ( x  ) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm x – ta đƣợc: ( x  )  x    x  (x  4)  Bất phƣơng trình cho có nghiệm x  (x  4)   x   x  13 Vậy, nghiệm bất phƣơng trình cho x = 13 Bài toán 3.20:[4] Giải bất phƣơng trình: x 1  x  10 x  16   x Lời giải: Điều kiện xác định: x 1 Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: x 1  x   Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky cho hai số (1; 1) x  10 x  16  x  1; x   ta đƣợc: ( x  1)  ( x  3)  x 1  x   Bất phƣơng trình cho có nghiệm khi: x  10 x  16  x 1  x  x 1  x  61  x 1  x  6x   x  2 x  x  10    x  Vậy, tập nghiệm phƣơng trình cho S   2;  3.5 Sử dụng điều kiện cần đủ Bài tốn 3.21:[4] Tìm m để bất phƣơng trình có nghiệm nhất: x  2m  mx 2 (1) Lời giải: Điều kiện cần: Nhận xét (1) có nghiệm nhận x0  x0 làm nghiệm Do bất phƣơng trình (1) có nghiệm điều kiện cần là:  x0   x0 x0  Thay x0  vào (1) ta đƣợc m = Điều kiện đủ: Với m = 0, (1) có dạng:  x  x  nghiệm bất phƣơng trình Vậy với m = bất phƣơng trình có nghiệm x = Bài tốn 3.22.[4] Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm x  tập xác định 4 2  x4  x  x  x  m  18 (1) Lời giải: Tập xác định bất phƣơng trình   2;  Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm Và ta có     m   x    2;  , x 1 nghiệm (1) m  62 Vậy điều kiện cần để bất phƣơng trình nghiệm Điều kiện đủ: Với  x    2;  m  m  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái (1) ta đƣợc: 4 Ta lại có: 2  x 4  x   4 x  x  m  18   4 2  x4  x Vậy, với m   x   x  4  x  1  m  19  12  x  x  m  18 2  x4  x khi  12 m  m  bất phƣơng trình có nghiệm  x    2;  63 KẾT LUẬN Khóa luận “ Phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỷ ’’ thực mục đích đề ra, cụ thể giải đƣợc vấn đề sau: Hệ thống phân loại dạng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ Đƣa số phƣơng pháp giải, quy trình giải cho dạng phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ, với nhiều ví dụ minh họa Hy vọng nội dung khóa luận cịn tiếp tục đƣợc mở rộng hồn thiện hơn, nhằm giải đƣợc nhiều lớp phƣơng trình bất phƣơng trình khác 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Minh Dũng – Trịnh Anh Dũng (2015), Chinh phục phương trình – bất phương trình vơ tỷ, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Trần ăn Đạo (Tổng chủ biên) – ũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cƣờng – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2010), Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] TS Nguyễn Viết Đơng – Phạm Hồng (2007), Tốn bồi dưỡng nâng cao đại số 10, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [4] Lê Hồng Đức (chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2004), Phương phápgiải toán đại số, NXB Đại học sƣ phạm [5] Lê Hồng Đức (2005), Các phương pháp giải phương trình -bất phương trình -hệ vơ tỷ, NXB Hà Nội [6] Nguyễn Phụ Hy, Phương pháp giải phương trình-bất phương trình -hệ phương trình NXB Giáo dục [7] Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo Phƣơng (1999), Các phương pháp giải toán sơ cấp đại số 10, NXB Hà Nội [8] Phan Huy Khải (2008), Hàm số, NXB Giáo Dục [9] Hoàng Kỳ -Nguyễn ăn Bàng -Nguyễn Đức Thuần (1979), Đại số sơ cấp( t p 2) NXB Giáo Dục [10] Hoàng Kỳ – Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXB Đại học Sƣ phạm [11] Phạm Quốc Phong (2009), Chuyên đề nâng cao đại số trung học phổ thông, NXB Giáo Dục [12] Th.S Nguyễn ăn Phƣớc(2010), Giải tốn trọng tâm giải tích 12, NXB Đại Học Sƣ Phạm [13] Trần Minh Quang(2015), Tuy n t p toán đại số, NXB Quốc gia Hà Nội 65 [14] Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Trần ăn Hạnh – Nguyễn Đoàn ũ (2008), Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bất đẳng thức, NXB Đại học quốc gia TH.Hồ Chí Minh [15] ũ Tuấn(chủ biên) – Doãn Minh Cƣờng – Trần Minh Đạo – Đỗ Minh Hùng – Phạm Phu – Nguyễn Tiến Tài(2012), Bài t p đại số lớp 10, NXB Giáo Dục Nguyễn đình trí (Chủ biên) – Tạ ăn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (1999), Toán học cao cấp t p hai, phép tính giải tích hàm biến số, NXB Giáo Dục [17] Hồ Sĩ inh (2011), Những toán chọn lọc & phương pháp giải phương [16] trình – hệ phương trình, bất phương trình, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [18] Http://tailieu.metadata.vn/chi-tiet/-/tai-lieu/chuyen-%C4%91e-phuong-trinhva-bat-phuong-trinh-pdf-18645.html [19] Http://sangkienkinhnghiem.org/huong-dan-hoc-sinh-lop-9-mot-so-phuongphap-giai-phuong-trinh-vo-ti-2061/ [20] Http://www.toanmath.com/2016/06/chuyen-de-phuong-trinh-va-batphuong-trinh-man-ngoc-quang.html [21] Http://www.toanmath.com/2016/02/chuyen-de-phuong-trinh-vo-ti-dangthanh-nam.html [22] Http://giaoan.com.vn/giao-an/phuong-trinh-bat-phuong-trinh-vo-ty-37935/ [23] Http://giaoan.com.vn/giao-an/de-tai-su-dung-dieu-kien-can-va-du-de-giaiphuong-trinh-37473/ [24] Http://tailieu.vn/doc/giai-phuong-trinh-vo-ty-bang-phuong-phap-luong-giachoa-898612.html 66 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm phƣơng trình bất phƣơng trình ẩn [3] 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phƣơng trình tƣơng đƣơng 1.1.3 Phép biến đổi tƣơng đƣơng 1.1.4 Phƣơng trình hệ 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng 1.1.7 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất định lý hàm biến 1.2.1 Tính chất hàm số biến 1.2.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến 1.2.3 Định lý Lagrange định lý Rolle 1.3 Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức AM - GM 1.3.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.4 Một số đẳng thức lƣợng giác CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH Ơ TỶ 2.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 19 67 2.2.1 Giải phƣơng trình vơ tỷ ẩn phụ 19 2.2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 22 2.2.3 Giải phƣơng trình vơ tỷ hai ẩn phụ 23 2.2.4 Đặt ẩn phụ cách lƣợng giác hóa 28 2.3 Phƣơng pháp hàm số 32 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 32 2.3.2 Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số 35 2.3.3 Sử dụng định lý Lagrange…………………………………………….37 2.3.4 Sử dụng đinh lý Rolle 40 2.4 Phƣơng pháp đánh giá 40 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH Ơ TỶ 45 3.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 45 3.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 50 3.2.1 Giải bất phƣơng trình vơ tỷ ẩn phụ 50 3.2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 53 3.2.3 Giải bất phƣơng trình vơ tỷ hai ẩn phụ 55 3.3 Phƣơng pháp hàm số 56 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 58 3.3.2 Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số 58 3.4 Phƣơng pháp đánh giá 60 3.5 Sử dụng điều kiện cần đủ 62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 68 ... phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 3: Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng trình bày số phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỷ CHƢƠNG CÁC... Phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỷ? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỷ Hệ thống phân loại dạng phƣơng trình , bất phƣơng... dụng phƣơng pháp vào việc giải tốn Tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỷ biện pháp để giải nhiệm vụ Là sinh viên ngành toán, với mong muốn tìm hiểu phƣơng pháp giải tốn