Các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo Lớp: 09ST Đà Nẵng, tháng năm 2013 Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo MỤC LỤC MỞ Trang ĐẦU Chương I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.1 Hệ thức lượng giác 1.2 Cung (góc) có liên quan đặc biệt 1.3 Công thức lượng giác Chương II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương trình dạng sin x = m 2.1.2 Phương trình dạng cos x = m 2.1.3 Phương trình dạng tan x = m 2.1.4 Phương trình dạng cot x = m 2.2 Phương trình lượng giác đơn giản 10 2.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác 10 2.2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 12 2.2.3 Phương trình bậc sin x, cos x 15 2.2.4 Phương trình bậc hai sin x, cos x 18 2.2.5 Phương trình bậc ba sin x, cos x 22 2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt 25 2.3.1 Phương trình tích 25 2.3.2 Phương trình đối xứng theo sin x, cos x 34 2.3.3 Phương trình đối xứng theo tan x, cot x 38 2.3.4 Phương trình lượng giác đặt ẩn phụ để biến đổi thành phương trình đại số 40 2.3.5 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực 44 2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số 55 Chương III GIẢI CÁC BÀI TỐN LƯỢNG GIÁC CĨ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC (từ năm 2002 đến năm 2012) 68 CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 94 KẾT LUẬN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Tốn học bậc Trung học phổ thông, lượng giác mảng kiến thức quan trọng Phần kiến thức đồ sộ với công thức lượng giác, mối liên quan ràng buộc góc yếu tố khác Chính việc giải toán lượng giác thật gây nhiều lúng túng khó khăn cho em học sinh Hơn tốn lượng giác lại đóng vai trị lớn đời sống giải tích hình học đồng thời phần tập có đề thi đại học Là sinh viên ngành sư phạm Tốn học, giáo dạy Tốn tương lai, tơi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu hệ thống hóa lại cách đầy đủ dạng phương trình lượng giác phương pháp giải dạng Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Các dạng phương trình lượng giác phương pháp giải” Phạm vi nghiên cứu Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu dạng phương trình lượng giác cách giải cho dạng cụ thể có chương trình tốn phổ thơng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương Chương I Trình bày cơng thức lượng giác Chương II Trình bày dạng phương trình lượng giác phương pháp giải 2.1 Phương trình lượng giác 2.2 Phương trình lượng giác đơn giản 2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt 2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số Chương III Giải toán lượng giác có đề thi đại học (từ năm 2002 đến năm 2012) Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo Đề tài thực trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng hướng dẫn Thạc sỹ Nguyễn Thị Sinh Đà Nẵng, tháng năm 2013 Tác giả Mai Thị Phương Thảo CHƯƠNG I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.1 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  cos   sin   Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  tan   SVTH: Mai Thị Phương Thảo sin  cos ; cot   cos sin  Hệ 1:  tan    cot   tan  cot     cot    tan  Hệ 2:  tan   cos2   cot   sin  1.2 CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT STT Hai cung Gọi hai Công thức Cách nhớ cos(-  ) = cos(  ) “ cos đối ” cung (- )  Đối sin(-  ) = - sin(  ) tan(-  ) = - tan(  ) cot(-  ) = - cot(  ) (    ) Bù  sin (   ) = sin ( ) “ sin bù ” cos (   ) = - cos ( ) tan (   ) = - tan ( ) cot (   ) = - cot ( ) Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh       2  SVTH: Mai Thị Phương Thảo Phụ ( )   sin     = cos(  ) 2  “ phụ chéo”   cos     = sin(  ) 2    tan     = cot(  ) 2  (    ) Sai    cot     = tan(  ) 2  tan (   ) = tan ( ) “Sai  tan” cot (   ) = cot ( ) ( ) cos (   ) = - cos ( ) sin (   ) = - sin ( )       2  Sai  ( )      = cos ( ) 2  sin       = - sin ( ) 2  cos       = - cot ( ) 2  tan  “ cung sai  sin (cung lớn) = cos (cung nhỏ) ”      = - tan ( ) 2  cot  Hệ quả: A, B, C góc tam giác, ta có: A + B + C =  Do đó: A + B =  - C (bù nhau) AB  C   ( phụ ) 2 sin AB C = cos 2 cos AB C = sin 2 tan AB C = cot 2 cot AB C = tan 2 sin(A+B) = sinC cos(A+B) = - cosC tan(A+B) = - tanC cot(A+B) = - cotC 1.3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo  Công thức cộng cos(   )  cos cos   sin sin  cos(   )  cos cos   sin sin  sin(   )  sin cos   sin  cos sin(   )  sin cos  sin  cos tan(   )  tan   tan   tan  tan  tan(   )  tan   tan   tan  tan   Công thức nhân đôi sin 2  2sin  cos  cos 2  cos   sin    sin   cos2   tan 2  Hệ quả1: 2tan   tan  sin  cos  sin 2  cos 2  2cos   cos 2  2sin  Hệ quả2: Đặt t  tan sin    ta có: 2t 1 t2 1 t cos  1 t2 tan   2t 1 t  Công thức nhân ba Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo sin 3  3sin   4sin  cos3  4cos3   3cos  tan3  3tan   tan   3tan   Công thức hạ bậc cos2    cos 2 sin    cos 2 tan    cos 2  cos 2 cos3   3cos   cos3 sin3   3sin   sin3 tan3   3sin   sin3 3cos  cos3  Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos cos   cos(   )  cos(   ) sin  sin    cos(   )  cos(   ) sin  cos   sin(   )  sin(   )  Công thức biến đổi tổng thành tích cos   cos           2cos   cos               cos   cos    2sin   sin       Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo sin   sin           2sin   cos       sin   sin           2cos   sin       tan   tan   sin(   ) cos  cos  tan   tan   sin(   ) cos  cos  cot   cot   sin(   ) sin  sin  cot   cot   sin(    ) sin  sin  Hệ quả: sin   cos     sin     4  sin   cos     sin     4  cos   sin     cos     4  cos   sin     cos     4  CHƯƠNG II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo 2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2.1.1 Phương trình dạng sin x = m (*)  Phương pháp giải: Nếu |m| > 1: phương trình (*) vơ nghiệm Nếu |m|  1: Phương trình (*) có nghiệm Gọi  số đo góc cho sin   m  x    k 2 Ta có: (*)  sin x  sin    ,kZ  x      k 2  Các trường hợp đặc biệt: sin x   x    k 2 , k  Z sin x  1  x     k 2 , k  Z sin x   x  k , k  Z 2.1.2 Phương trình dạng cos x = m (*)  Phương pháp giải: Nếu |m| > 1: phương trình (*) vơ nghiệm Nếu |m|  1: Phương trình (*) có nghiệm Gọi  số đo góc cho cos  = m  x    k 2 Ta có: (*)  cos x  cos   ,k  Z  x    k 2  Các trường hợp đặc biệt: cos x   x  k 2 , k  Z cos x  1  x    k 2 , k  Z cos x   x    k , k  Z 2.1.3 Phương trình dạng tan x = m (*) Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 10 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh x SVTH: Mai Thị Phương Thảo  18 k  , x  m  ; k.m    Năm 2010 Khối A Giải phương trình sau:   (1  sin x  cos x)sin  x   4   cos x (1)  tan x Giải: Điều kiện:  cos x    tan x      sin x  1   tan x  1 Ta có:  1  sin  x    (sin x  cos x)  cos x(tan x  1) 4 2  Thế vào (1) ta phương trình: 1  sin x   2sin x  cos x.(tan x  1)  cos x  tan x 2  2sin x  sin x    sin x  1(loại) sin x  1 (chọn)   x   k 2    7  m2 x   ; k, m   Vậy nghiệm phương trình là: Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 88 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh x SVTH: Mai Thị Phương Thảo 7   m2 ; k, m    k 2 , x  6 Khối B: Giải phương trình sau: (sin x  cos x)cos x  2cos x  sin x  Giải: Phương trình cho tương tương với: 2sin x cos x  cos x cos x  2cos x  sin x   sin x(2cos x  1)  cos x(cos x  2)   sin x cos x  cos x(cos x  2)   cos x(sin x  cos x  2)  (1) cos x   sin x  cos x   (2) Ta có: + (1)  x    k  x   k  , k + (2)  sinx + cosx = -2    (2) vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình x   k  , k Khối D Giải phương trình sau: sin x  cos x  3sin x  cos x   Giải: Phương trình cho tương tương với: Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 89 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo 2sin x cos x   2sin x  3sin x  cos x    cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)   (2sin x  1)(cos x  sin x  2)   sin x  (1)   sin x  cos x   (2) Ta có:    x   k 2 ; k, m   + (1)    5  m2 x   + (2)  sinx + cosx = -2    (2) vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x   k 2 , x  5  m2 ; k, m    Năm 2011 Khối A Giải phương trình sau:  sin x  cos x   cot x sin x sin x Giải: Điều kiện: sin x  Phương trình cho tương tương với: (1  sin x  cos x)sin x  sin x sin x  sin x(1  sin x  cos x  2 cos x)   sin x(2cos x sin x  2cos2 x  2 cos x)   sin x.cos x(2sin x  2cos x  2)  Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 90 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo sin x  (1)   cos x  (2)   2sin x  2cos x  2  (3)  Ta có: (1) loại (2)  x      k , k  Z (3)  sin  x       x   m2 , m   4 Vậy nghiệm phương trình là: x   k , x    m2 ; k, m   Khối B Giải phương trình sau: sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x Giải: Phương trình cho tương đương với: 2sin x cos x  sin x.cos x  cos x  sin x  cos x  sin x(1  cos x)  sin x.cos x  cos x  sin x  cos x  cos x(sin x  1)  cos x(sin x  1)   (sin x  1)(cos x  cos x)  sin x    cos x  cos x    sin x   x   k 2    cos x   cos x cos x  cos(  x) Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 91 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo    x   k 2    x   k 2    2  x   m  ; k, m  Z 3     x   m  3  x     n    Vậy nghiệm phương trình là: x   k 2 , x   m 2 ; k, m  Z Khối D Giải phương trình sau: sin x  2cos x  sin x  0 tan x  Giải: Điều kiện:  tan x   tan x     cos x  sin x  1 Với điều kiện trên, phương trình viết lại thành: 2sin x cos x  2cos x  sin x    2cos x(sin x  1)  (sin x  1)   (sin x  1)(2cos x  1)   sin x  1 (loại) cos x  x   (chọn)  k 2 , k   So với điều kiện, suy nghiệm cuả phương trình cho x Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013   k 2 , k   Trang 92 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo  Năm 2012 Khối A Giải phương trình sau: 3sin 2x  cos2x  2cos x  Giải: Phương trình cho tương đương với: 3sin x  2cos2 x   2cos x   2cos x( 3sin x  cos x  1)  (1) cos x    sin x  cos x   (2) Ta có: (1)  x  (2)    k , k  Z 1 sin x  cos x  2     cos  x    cos 3      x    m2       x     n2 3  2   x   m2   ; m, n  Z  x  n2 Vậy nghiệm phương trình là: x   k , x  2  m2 , x  n2 ; k, m, n  Z Khối B Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 93 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo Giải phương trình sau: 2(cos x  3sin x).cos x  cos x  3sin x  Giải: Phương trình cho tương đương với: 2cos2 x   sin x cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  3 cos x  sin x  cos x  sin x 2 2      cos  x    cos  x   3 3       x   x   k 2      x    x   m2 3  2  x   k 2   ; k, m  Z  2 x  m  Vậy nghiệm phương trình là: x  2 2  k 2 , x  m ; k, m  Z 3 Khối D Giải phương trình sau: sin3x  cos3x  sin x  cos x  cos2x Giải: Phương trình cho tương đương với: Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 94 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo sin 3x  sin x  cos3x  cos x  cos x  2cos x sin x  2cos x cos x  cos x   cos x(2sin x  2cos x  2)   2  2cos x. sin x  cos x  0     2   2cos x. cos  x    0 4      cos x  x   k            0  cos  x    cos  x    4   4         x   k x   k   4       7   x    m2   x   m2 ; k , m, n  Z 12      x       n2  x     n2   12 Vậy nghiệm phương trình là: x  k  , x 7   m2 , x    n2 ; k, m, n  Z 12 12 Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 95 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ I Giải phương trình sau: (1  tan x) cos3 x  (1  cot x).sin x  sin x tan x  tan x tan 3x   3sin x  cos x   cos x cos 3x tan 5x  sin x tan x  cot x  sin x  cos x   sin x sin 2 x  sin x   cos x 0 cos x 1   cos x sin x sin x tan x - tan 2x = sin x 10 cos 2x  sin x  cos x   11 sin 3x  cos x   12 cos3 x  sin x  3sin x cos x  13  cos 2x  5sin x  14 cos7 x cos5x  sin x   sin x.sin 5x 15 sin x  cos x  3.(4 sin x  1) 16 tan x 1  sin x   cos3 x   17  cos x  cos3 x   cos x  sin x 18 2.(sin x  cos x)  tan x  cot x 19 cos3 x  sin x  sin x  cos x 20 cos 2x   2.(2  cos x).(sin x  cos x) 21 2cos3 x  cos2x  sin x  22 3(cos x  cot x)  2sin x  cot x  cos x Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 96 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo x x  cos4 2  tan x.sin x   sin x  tan x  sin x sin 23 24 2cos2 x  2cos2 2x  2cos2 3x   cos4x(2sin 2x  1) 25 tan x  tan x 26 tan 2 x.tan 3x.tan x  tan 2 x  tan 3x  tan x 27  tan x   tan x 28 tan x  2cot x   sin x   29 tan x  cot x  2cot  x    tan x  cot x   4  30 sin3x  sin x  sin2x    II Tìm nghiệm x   , 3  phương trình 2  5  sin  x   7      cos  x     2sin x    III Tìm m để phương trình sau có nghiệm m.(cos x  sin x)  sin2x    IV Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0, 2   m.sin x  (m  1).cos x   2m V Giải biện luận theo m phương trình sau: cos2x  (2m  3).cos x  m   2m.(cos x  sin x)  2m2  cos x  sin x  3 m sin2 x  4sin x cos x  2cos2 x  Đáp án: I Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 97 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh x  x   SVTH: Mai Thị Phương Thảo  m ( m  2k , k  Z )  k  , k Z x    k 2 , k  Z x  x   k 20  12 x   x   , x  m ; m, k  Z 10  k , x   x      k 5  m ; m , k  Z 12 2 , k Z  k , k  Z  k 2 , x  7  m2 ; k , m  Z x  k , k  Z 10 x    k 2 , k  Z 11 x  k , x  12 x   13 x     m2 , x  5  n2 ; k , m , n  Z    k , x  arctan   m ; k , m  Z   k 2 , x  14 x  k , x    7  m2 ; k , m  Z  m ; k , m  Z 15 x  k , k  Z 16 x  k 2 , x  17 x  k 2 , x  18 x      m , x   m , x   2  arccos 1    2n ; k , m, n  Z     1  arccos    2n ; k , m, n  Z     k 2 , k  Z Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 98 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh 19 x  20 x    k , k  Z   k 2 , x    m2 ; k , m  Z  21 x   24 x   k , x  22 x   23 x  SVTH: Mai Thị Phương Thảo    12   k , x   k k   m2 ; k, m  Z 7  m ; k, m  Z 12 ,k  Z ,k  Z  2 25 x   arctan    m  3 26 x  k 27 x   28 x  29 x   , ,k Z  12    k , k  Z  k , k  Z k  , x 30 x  k , x    m  12 m  ; k, m  Z 2 , x    n2 ; k, m, n  Z III 5 17 , 6 Phương trình có nghiệm với m IV 1 m II  , 2 , 3 , , V Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 99 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo  m    Khi  m  phương trình có nghiệm là: x    m2 , m Z   m   1  m   Khi  phương trình có nghiệm là: x    k 2 , m   x   m2 ; k,m Z (trong  góc cho cos  m  ) Khi m  phương trình vơ nghiệm Khi m =  phương trình có nghiệm x   k 2 , k  Z 2 Khi m = - phương trình có nghiệm x    k 2 , k  Z m  Khi  phương trình có nghiệm x    k , x    k , k  Z m  Trong  ,  góc thoả mãn: tan   2   2m 2   2m , tan   m m Khi m = phương trình có nghiệm: x   1  k , x  arctan     k , k  Z  2 Khi m = phương trình có nghiệm: x     k , k  Z Khi m > phương trình vơ nghiệm KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 100 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp đại học sinh viên, đề tài “Các dạng phương trình lượng giác phương pháp giải” thu kết sau: Tìm hiểu hệ thống hóa dạng phương trình lượng giác cách giải cụ thể cho dạng, cụ thể đề tài đưa 15 dạng 52 ví dụ minh họa Nghiên cứu phương trình lượng giác khơng mẫu mực với phương pháp giải đặc biệt Thống kê nêu cách giải cụ thể tốn lượng giác có đề thi tuyển sinh đại học (từ năm 2002 đến 2012) Đề tài đưa tập đề nghị với đáp số tương ứng Nội dung đề tài tài liệu tham khảo tốt cho học sinh, sinh viên giáo viên Phổ thông, quan tâm đến mảng kiến thức phương trình lượng giác Hy vọng kết đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện nhằm phục vụ cho việc dạy học toán bậc Trung học phổ thông Tôi mong nhận ủng hộ đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 101 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh SVTH: Mai Thị Phương Thảo Phan Huy Khải (2000), Tuyển chọn toán lượng giác_ tập 1, NXB giáo dục Phan Huy Khải (2000), Tuyển chọn toán lượng giác_ tập 2, NXB giáo dục Phan Huy Khải (2008), Phương trình bất phương trình, NXB giáo dục Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng, Phạm Tấn Phước (1998) , Giải đề thi tuyển sinh đại học, NXB Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Cung Nghi, Nguyễn Văn Thơng, Võ Quang Đa, Lê Hồng Phị (2001) , Tuyển tập 750 tập toán đại số lượng giác, NXB Đà Nẵng Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo (1998), Phương pháp giải toán lượng giác, NXB Trẻ Ban giáo viên khiếu trường thi, Nguyễn Đức Đồng (chủ biên) (2007) , Tuyển tập 599 toán lượng giác chọn lọc, NXB đại học quốc gia Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013 Trang 102 ... bày dạng phương trình lượng giác phương pháp giải 2.1 Phương trình lượng giác 2.2 Phương trình lượng giác đơn giản 2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt 2.4 Phương trình lượng giác chứa... II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương trình dạng sin x = m 2.1.2 Phương trình dạng cos x = m 2.1.3 Phương. .. hiểu hệ thống hóa lại cách đầy đủ dạng phương trình lượng giác phương pháp giải dạng Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: ? ?Các dạng phương trình lượng giác phương pháp giải? ?? Phạm vi nghiên