Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giảng viên hƣớng dẫn : Th.S Nguyễn Viết Đức Sinh viên thực : Võ Tuyết Nhung Lớp : 10 CTT3 Đà Nẵng, tháng năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn………………………………………………………………………… ……1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… Lí chọn đề tài ……………………………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………2 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu………………………………………………2 Phƣơng pháp nghiên cứu……………………………………………………… Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài……………………………………… Cấu trúc khóa luận………………………………………………………………3 PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng 1: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT ………………………4 I Hệ phƣơng trình tuyến tính…………………………………………………………… Định nghĩa 1…………………………………………………………………….4 Định nghĩa 2…………………………………………………………………….4 Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính………………………………….4 Định nghĩa 3…………………………………………………………………….6 II Hệ Cramer…………………………………………………………………………… Định nghĩa………………………………………………………………………6 Định lí Cramer………………………………………………………………… III Các định lí nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính…………………………… Định lí 1……………………………………………………………………… Hệ quả………………………………………………………………………… Định lí 2…………………………………………………………………………7 Định lí 3…………………………………………………………………………8 IV Hệ phƣơng trình tuyến tính nhất……………………………………………….8 Định nghĩa………………………………………………………………………8 Các loại nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính nhất………………… Các định lí nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính nhất…………….9 3.1 Định lí 1……………………………………………………………… 3.2 Định lí 2……………………………………………………………… Hệ nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính nhất……………….10 Giải thích cách tìm ma trận nghịch đảo phƣơng pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận khối [A|E]……………………………………………………… 10 Chƣơng 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…… 13 I Các phƣơng pháp cổ điển………………………………………………….……… 13 Phƣơng pháp 1…………………………………………………….…………13 Phƣơng pháp 2……………………………………………………….………13 II Các phƣơng pháp khác……………………………………………………….…… 14 Dùng ma trận chuyển vị………………………………………………….… 14 Dùng ma trận tam giác…………………………………………………….…15 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính tin học…………………………….…16 3.1 Mathcad…………………………………………………………… 16 3.2 Maple……………………………………………………………… 16 Chƣơng 3:CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…………… 17 I Ví dụ phƣơng pháp cổ điển……………………………………………………… 17 Phƣơng pháp 1……………………………………………………………… 17 1.1 Sử dụng quy tắc Cramer…………………………………………… 17 1.2 Sử dụng ma trận nghịch đảo………………………………………….18 Phƣơng pháp Gauss………………………………………………………… 19 II Các phƣơng pháp khác:………………………………………………………………23 Dùng ma trận chuyển vị……………………………………………………….23 Dùng ma trận tam giác…………………………………………………… …28 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính tin học…………………………… …33 3.1 Sử dụng Mathcad………………………………………………… 33 3.2 Sử dụng Maple……………………………………………………… 34 III So sánh cách giải:……………………………………………………………….35 Hệ phƣơng trình có nghiệm:………………………………… 35 Hệ phƣơng trình vơ số nghiệm:……………………………………………….44 Hệ phƣơng trình vơ nghiệm:………………………………………………… 56 IV Kết luận…………………………………………………………………………… 60 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………………62 Lời kết ………………………………………………………………………………… 63 Lời cảm ơn Lời cho em gửi đến quý thầy cô giáo lòng biết ơn sâu sắc thời gian qua tận tình giúp đỡ em, tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo nhà trƣờng quý thầy cô trƣờng Đại học sƣ phạm Đà Nẵng tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho em đƣợc học hỏi tiếp thu kiến thức vô bổ ích suốt bốn năm ngồi ghế nhà trƣờng Trong suốt q trình học tập hồn thiện khóa luận này, em nhận đƣợc hƣớng dẫn, giúp đỡ quý báu thầy cô khoa Toán đặc biệt Th.s Nguyễn Viết Đức, ngƣời thầy kính mến hết lịng giúp đỡ, hƣớng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành báo cáo Một lần cho em gửi đến thầy Nguyễn Viết Đức lời cảm ơn chân thành sâu sắc nhât Cuối em xin kính chúc tất q thầy dồi sức khỏe, hạnh phúc may mắn thành công sống! Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hệ phƣơng trình tuyến tính phận Tốn học, có vai trị quan trọng lý thuyết lẫn thực tiễn, nhờ mà ta áp dụng để giải toán, vấn đề sống ngày Đây tiền đề, sở tảng cho nhiều phận khác Toán học Từ bậc Trung học sở, ta đƣợc làm quen với hệ phƣơng trình tuyến tính, lúc tốn hệ phƣơng trình tuyến tính cịn đơn giản, dừng lại hệ hai phƣơng trình, hai ẩn số Lên cao hơn, bậc Trung học phổ thông ta lại đƣợc biết đến hệ ba phƣơng trình, ba ẩn số Để giải toán này, ngƣời ta thƣờng dùng phƣơng pháp phƣơng pháp cộng, ngồi cịn dùng máy tính bỏ túi để giải Tuy nhiên vào đại học, tốn hệ phƣơng trình tuyến tính khơng đơn giản hệ hai, ba phƣơng trình mà nhiều phức tạp hơn, phƣơng pháp học đƣợc Phổ thông dƣờng nhƣ giải hết đƣợc, thay vào ta sử dụng phƣơng pháp hiệu hơn, phƣơng pháp dùng cho hệ Cramer gọi tắc phƣơng pháp Cramer phƣơng pháp Gauss Đây hai phƣơng pháp phổ biến quen thuộc tất Tuy nhiên, q trình giải hệ phƣơng trình tuyến tính, vận dụng vào thực tế, ta cịn sử dụng phƣơng pháp khác, thay dùng phƣơng pháp cổ điển nhƣ từ trƣớc đến Việc tìm hiểu phƣơng pháp nhu cầu cần thiết để tìm đƣợc phƣơng pháp hay, lạ, đem lại hiệu cao Đây lý em chọn đề tài “ Phƣơng pháp giải hệ phƣơng tình tuyến tính” cho khóa luận Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng pháp cổ điển giải hệ phƣơng trình tuyến tính Nghiên cứu số ứng dụng, hệ phƣơng pháp, định lý học để tìm phƣơng pháp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính ƣu nhƣợc điểm chúng áp dụng vào toán cụ thể Phạm vi nghiên cứu khóa luận tập trung vào phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính trƣờng số thực Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu hệ phƣơng trình tuyến tính có liên quan đến đề tài Sử dụng kiến thức môn Đại số tuyến tính, kiến thức ma trận, tin học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu cách giải hệ phƣơng trình tuyến tính phục vụ tốt cho việc nghiên cứu Là tài liệu tham khảo phục vụ cho việc giải hệ phƣơng trình tuyến tính mơn đại số tuyến tính trƣờng cao đẳng đại hoc Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có chƣơng: Chƣơng Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng qt Chƣơng Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng Các ví dụ giải hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT I Hệ phƣơng trình tuyến tính: Định nghĩa 1: Hệ phƣơng trình bậc gồm m phƣơng trình, n ẩn số có dạng : a11 x1  a12 x2  a13 x3   a1n xn  b1 a x  a x  a x   a x  b  21 22 23 2n n (I)   am1 x1  am x2  am3 x3   amn xn  bm ai,j, bi (i =1, m , j = 1, n ) số thuộc trƣờng T đó, x1 , , xn n ẩn số, đƣợc gọi hệ phƣơng trình tuyến tính (HPTTT) m phƣơng trình, n ẩn số trƣờng T Ở xét trƣờng R 2 x  y  z   Ví dụ: Hệ phƣơng trình tuyến tính  x  y  3z  14 3x  y  z  16  hệ gồm phƣơng trình, ẩn số: x, y, z Định nghĩa 2: ( Về nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính) + Một số thực (hoặc phức) (α1, α2, …, αn) đƣợc gọi nghiệm HPTTT (1) ta thay x1 = α1, i = 1, n vào hệ (I) ta đƣợc m đẳng thức + Tập hợp tất nghiệm HPTTT đƣợc gọi tập hợp nghiệm HPTTT + Hai HPTTT có tập hợp nghiệm nhau, ta gọi chúng tƣơng đƣơng với + Một HPTTT gọi có nghiệm hay tƣơng thích tập nghiệm khác rỗng, tập nghiệm rỗng ta gọi hệ vơ nghiệm hay hệ khơng tƣơng thích + HPTTT tƣơng thích có nghiệm gọi hệ xác định, có nhiều nghiệm gọi hệ không xác định hay hệ vô định Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính Cho HPTTT (I) Đặt  a11 a12 a a22 A   21    am1 am  a11 a A   21    am1 a1n   x1   b1  x  b  a2 n  , X    , B              amn   xn  bm  a12 a22 a1n a2 n am amn b1  b2     bm  ma trận A, X, B, A lần lƣợt gọi ma trận hệ số (hay ma trận liên kết), ma trận ẩn, ma trận hệ số tự do, ma trận mở rộng (hay ma trận bổ sung) HPTTT (I) Theo phép toán nhân hai ma trận định nghĩa hai ma trận ta viết HPTTT (I) dƣới dạng ma trận nhƣ sau:  a11 a12 a a22  21    am1 am a1n   x1   b1  a2 n   x2   b2     =   hay A.X = B         amn   xn  bm  Ví dụ: Hệ phƣơng trình tuyến tính: 3x  y  3z  t  2 x  y  z  3t     x  y  z  5t  3x  y  z  t  Đƣợc viết dƣới dạng ma trận là:  3   x  1   1 3  y       =  1 2   z          2 1  t    Định nghĩa 3: (Hạng HPTTT) Hạng ma trận hệ số A HPTTT (I) đƣợc gọi hạng HPT II Hệ Cramer: Định nghĩa: HPTTT có số phƣơng trình số ẩn số (m = n) có định thức ma trận hệ số A khác (det(A) ≠ 0) đƣợc gọi hệ phƣơng trình Cramer Hay nói cách khác HPTTT (I) đƣợc gọi hệ Cramer A ma trận vuông khả nghịch Định lý Cramer: (Quy tắc Cramer) Hệ Cramer có nghiệm nghiệm đƣợc xác định nhƣ sau:  x1   D1  x  D  D X       hay xi  i ,i=1, n   D  D      xn   Dn  D = det(A) định thức ma trận hệ số hệ Cramer, Di định thức suy từ định thức D cách thay cột thứ i cột hệ số tự do, i = 1, n Chứng minh: Dạng ma trận hệ Cramer A.X = B (1) với det(A) ≠ 0, det(A)≠ nên A có ma trận nghịch đảo A-1 A 1  T  A ij  nn det( A) Với Aij phần bù đại số phần tử aij ma trận A; i, j =1, n Ta có: (1) ↔ A-1.(A.X) = A-1.B ↔ (A-1.A).X = A-1.B ↔ E.X = A-1.B ↔ X = A-1.B (2) Từ (2) suy hệ Cramer có nghiệm là:  x1   A11 x  A     12   D     xn   A1n  A11b1   A12b1  D   A1n b1 An1   b1  An  b2        Ann  bn  A21 A22 A2 n   A21b2 A22b2     An1bn An 2bn  A2 n b2   Annbn       ( Vì khai triển định thức Di theo cột thứ i ta đƣợc Di = A1ib1 + A2ib2 + A3ib3 + … + Anibn , i = 1, n )  D1    D  D2    xi  i , i  1, n D  D    Dn  Nhận xét: Ngay n ≥ 3, công thức Cramer gần nhƣ sử dụng đƣợc ví dụ số Ngƣời ta thƣờng thiên phƣơng pháp tổ hợp phƣơng trình khử ẩn III Các định lý nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính: Định lý 1: (định lý tồn nghiệm Kronecker – Capelli) Điều kiện cần đủ để hệ phƣơng trình tuyến tính (I) có nghiệm (tƣơng thích) hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng tức r(A) = r(A) Hệ quả: Hệ phƣơng trình tuyến tính (I) vơ nghiệm (hay khơng tƣơng thích) r(A) < r(A) Định lý 2: Nếu r(A) = r(A) = r = n (bằng số ẩn HPTTT (I)), HPTTT (I) có nghiệm (hệ xác định) 1 3 →  2  0 2   5      2 5  4  10  29   24  10 → 10  29 Đặt C =   24  10 0 7 X = 4  4 29 24 10  86 82 38  X= 82 153 103  38 103 81  1 3  2  0 2    5  12    8     4   20   39  142     288   184  29 24 10   39  142  86 82 38  , D =  , Hệ có dạng: C.X = D 82 153 103  288    38 103 81  184  Ta có: 10  29 C  24  10 29 24 86 82 82 153 38 103 10 29  19 h2 (10)   h3 (5)  62   9 24 10 29  10 39  19 62 0 29  h1 ( )  h2 38 142 10  10   24 103 288 h1 ( 10 )  h2  62 477   5 81 184  h1  h4   9 79 24 10 39  62 124 90 289  h2 ( 19 )  h3    477 395 972  h2 ( 199 )  h3  79 71 145 49 39  289   9 10  972  79   71 145  10 24 10 39  10 29  19 124 90 289  24 10 39  10 29    19 124 90 289  h3 (19)  1375 1925 550     0  h3 (  )  h4 0 1375 1925 550  19 19 19 25     385 539 154  0 0  0   19 19 19  → r(C) = r( C ) = < n = (số ẩn) → Hệ có vơ số nghiệm ẩn tự Hệ trở thành: 10 x1  29 x2  19 x2       x1   x    x3   x4      24 x3  124 x3 x3 168 52   5 63 22   5   5  10 x4  90 x4  x4 x4  39  289   với α tùy  → Đúng Kết luận: Vậy hệ cho có vơ số nghiệm dạng  168 52 63 22    ,   ,   ,  với α tùy ý  5 5   Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình sau:  x1  x2   x1  x2  x  x   x3  x3  x4   3x4   x3  x4  2 50 Cách 1: Dùng phƣơng pháp Gauss: Ta có: 1 A=    1 1 0  0 1 2 3 2 1 1  h2  h3 h (  2)  h    0 4      h1  h3    0 1  1 2 2  1  1 1  h2 (2)  h3 1    0 1     0 7 3 4 5 3 Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng:  x1  x2  x2     x3   x4  x4  3x3  x4  3 Đặt x4 = α, ta có:   x1   x    x3   x4 1     1      với α tùy ý Thử lại: Cho α = 0, suy x1 = 1, x2 = 0, x3 = -1,x4 = 0, ta có:    (1)    2.1  2.0  (1)  3.0   1   (1)  2.0  2  Kết luận: Vậy hệ có vơ số nghiệm ẩn tự do, dạng :   1   ,  , 1   ,  với α tùy ý   Cách 2: Dùng ma trận tam giác: Ta có: 51 Đúng 1 A=    1 1 0  0 4 1  1 1  h2  h3 h1 ( 2)  h2 2 3   0 4 5   h  h    0 1 1 2 1  1 1  h2 (2)  h3 1   0 1    0 7  5 1 1  Đặt U = 0 1   0 7  Trong trình biến đổi, ta đổi hàng hàng cho nên viết lại: 1 A   1   1  Ta có: A = LU → 1   1  2 2  , B   2       2 3 1 1   0  1 1  2   1  0 1     2 3  a  0 7  1 1   1 1    → 1 1 2   1 1 2       2 3  2  2a 5  a  → a = -  0   → L = 1    2   0   y1         Ta có: L.y = B → 1 y2  2       2   y3    52  y1  y2 →  y1  2 y  y     y1   2   y2 y   y3    3  x1  1 1        x2   Lại có: Ux = y → 1       x3    0 7     3  x4   x1  x2  x2 →    x3   x4  x4   x4  3 3x3 Đặt x4 = α, ta có:   x1   x    x3   x4 1     1      với α tùy ý Đúng Kết luận: Hệ có vơ số nghiệm ẩn tự do, dạng :     ,  ,    ,  với α tùy ý    Cách 3: Dùng ma trận chuyển vị:  1 1    Ta có: A = 2 3 suy AT =    1 1 2  Hệ phƣơng trình viết dƣới dạng ma trận 53  1  2     1 1     3 2 A.X = B → AT.A.X = AT.B  1  2   1 1    2 3 X = →    1 1      1         4 3  4 2  X = →   2 6     3 6 14   1  2     1  1 1       2      6  2     3    3  4 3 6  4 2   2   , det(C) = 0, D =   , Hệ có dạng: C.X = D Đặt C =   2 6   3       3 6 14  3 Ta có: 2 1   1  4 3    4 2 2  h ( )   h1 (4)  h2   C   4 2 2    h1 (3)  h4  2 6 3  2 6 3      3 6 14   3 6 14  2 1 2 1     1 1    3     0 10 2  h4 ( )  h2 0 2 25  h2 (2)  h3       0 2 6 3 h2 ( 10/3)  h4 0 2 6 3      10    25  3  6     54 2 1    0 2 25   0 1   14 98 0   2 1      25  h (14 )  h  3 0 2      0 1   14  0 0   → r(C) = r( C ) = < n = (số ẩn) → Hệ có vơ số nghiệm ẩn tự Hệ trở thành:   x1         x2 x2   x3   x3  x4 25 x4 x4 x4     Đặt x4 = α, ta có:   x1   x    x3   x4 1     1      với α tùy ý → Đúng Kết luận: Hệ có vơ số nghiệm ẩn tự do, dạng :   1   ,  , 1   ,  với α tùy ý   55  1  2   1   Nhận xét: Nhƣ hệ phƣơng trình vơ số nghiệm thì: + Sử dụng phƣơng pháp cổ điển: Đúng + Sử dụng ma trận tam giác: Đúng + Sử dụng ma trận chuyển vị: Đúng Lƣu ý: Khi sử dụng ma trận chuyển vị để giải hệ phƣơng trình vơ số nghiệm nhƣ ví dụ 2, ta tính đƣợc det(C) = nên khơng thể dùng Cramer để giải Hệ phƣơng trình vơ nghiệm: 2 x1  x2  Ví dụ : Giải hệ phƣơng trình sau: 3x1  x2 7 x  x   3x3  x3    x3  Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp Gauss: Ta có:  3   3  1  h1 ( 1)  h2 h1  h2  3  A      1         7 5  7 5  7 5   3 1 1 h2 ( 3)  h3 h1 ( 2)  h2 0 1 11 5   0 1 11 5   h1 ( 7)  h3     0 3 33 14  0 0  → r(A) = ≠ r( A ) = → Hệ vô nghiệm Kết luận: Vậy hệ cho vô nghiệm Cách 2: Sử dụng ma trận tam giác Ta có:  3  3 1  h1 ( 1)  h2 h1  h2  3 A=     1         7 5 7 5 7 5 56   1 1 h2 ( 3)  h3 h1 ( 2)  h2 0 1 11   0 1 11  h1 ( 7)  h3     0 3 33 0 0   1   Đặt U = 1 11    0  1  Ma trận A viết lại:  3 , B =   7 5 3 1        1   0  1 Ta có: A = LU →  3    0 1 11      7 5 7 a  0 0   1  1 →  3   3      7 5 7  a 28  11a  → a = 1 0    →L=   7   0   y1         Ta có: L.y = B → y2          y3     y1  → 2 y1  y2 7 y  y   y3 57   y1     y2 y     5    x1    1   Lại có: Ux = y → 0 1 11 x2   5      0 0   x3     x1  x2   x2 →    x3  11x3   5 (vô lý)  x3 Kết luận: hệ cho vô nghiệm Cách 3: Sử dụng ma trận chuyển vị  3 2 7 Ta có: A =   suy AT        7 5  3 5 Hệ phƣơng trình viết dƣới dạng ma trận: A.X = B → AT.A.X = AT.B 2 7 →     3 5 →  3 3  X =   7 5  62 36 38  36 21 21 X =    38 21 35    1    4     3 5    63   37     34  62 36 38  63   Đặt C = 36 21 21 , D =  37  , Hệ có dạng: C.X = D      38 21 35   34 Ta có: 58 63    31 18 19   62 36 38 63    37  h1 ( 12/31)  h2 h1 (1/2)    C  36 21 21 37  12 7    h2 (1/3)   h1 (38/31)  h3  38 21 35 34   38 21 35 34       31  0   0  63  63   31 18  19   2    11 13  h2 ( 33)  h3  11 13     31 31 93  31 31 93  0 33 363 143  0    31 31 31    18 19 → r(C) = r( C ) = < n = (số ẩn) → Hệ vô số nghiệm ẩn tự Hệ trở thành: 62 x1  36 x2  3x2     38 x3  33x3 Thử lại: cho α = 0, x1 = x3   x1  63    13   x2    x3  33 62 13  11     7  33 13 , x2 = 63 13  33   3.0   62  13  33    3 62  13  33   5.0   62 Kết luận: Hệ vô nghiệm 59 Sai Nhận xét: Nhƣ hệ phƣơng trình vơ nghiệm thì: + Sử dụng phƣơng pháp cổ điển: Đúng + Sử dụng ma trận tam giác: Đúng + Sử dụng ma trận chuyển vị: Sai IV Kết luận Khi giải hệ phƣơng trình tuyến tính, ngồi cách giải phƣơng pháp cổ điển nhƣ phƣơng pháp Gauss, phƣơng pháp Cramer, ta cịn sử dụng phƣơng pháp khác để giải HPTTT nhƣ sử dụng ma trận tam giác, ma trận chuyển vị Đây phƣơng pháp đƣợc tìm thấy trình giải toán cụ thể Sau giải vài ví dụ minh họa, ta rút đƣợc kết luận nhƣ sau:  Hệ phƣơng trình có nghiệm: + Sử dụng phƣơng pháp cổ điển: Đúng + Sử dụng ma trận tam giác: Đúng + Sử dụng ma trận chuyển vị: Đúng  Hệ phƣơng trình có vơ số nghiệm: + Sử dụng phƣơng pháp cổ điển: Đúng + Sử dụng ma trận tam giác: Đúng + Sử dụng ma trận chuyển vị: Đúng  Hệ phƣơng trình vơ nghiệm: + Sử dụng phƣơng pháp cổ điển: Đúng + Sử dụng ma trận tam giác: Đúng + Sử dụng ma trận chuyển vị: Sai Do sử dụng ma trận chuyển vị ma trận tam giác hai gợi ý hay để giải HPTTT, đó: + Ma trận chuyển vị áp dụng hệ có nghiệm hệ vô số nghiệm Cách chƣa thực cách hay làm cho tốn phức tạp hơn, dễ bị nhầm lẫn kết + Ma trận tam giác áp dụng cho tốn, cách giúp ta giải toán dễ dàng Đây phƣơng pháp hay nên sử dụng để giải HPTTT 60 Vậy giải tìm nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính, ta nên dùng phƣơng pháp Cramer cho hệ có nghiệm, cịn khác nên dùng phƣơng pháp Gauss phƣơng pháp lạ sử dụng ma trận tam giác, phức tạp dùng lập trình tin học để giải Không nên dùng ma trận chuyển vị 61 Tài liệu tham khảo Toán cao cấp ( Đặng Ngọc Dục – Nguyễn Viết Đức, Nhà xuất Đà Nẵng, năm 2009) Đại Số , giáo trình tốn tập (Jean-Marie Monier, Nhà xuất giáo dục) Matrix computation, third edition (Gene H.Golub Charles F Van Loan) https://sites.google.com/site/tuspdn/lthuyet/huongdansudungmaple (Tơn Thất Tú) Giáo trình lập trình tốn học Mathcad Professional (Lê Thị Bích Hồng, Đà Nẵng2008) 62 Lời kết Trong suốt thời gian hồn thành khóa luận qng thời gian khơng ngắn khơng dài, em đƣợc tìm hiểu, học tập, nghiên cứu học hỏi nhiều điều quý báu cho thân Đây kỉ niệm tuyệt vời mà em không qn đƣợc Bài khóa luận kết trình nghiên cứu, học hỏi em, ghi lại tất điều mà em tìm tịi suốt thời gian qua Bản thân em sau hồn thành khóa luận này, em thấy trƣởng thành nhiều, lớn lên mặt tƣ tƣởng, kiến thức mục đích cho tƣơng lai Qua đó, em lại thấy đƣợc quan trọng việc dạy học mơn Tốn, nhƣ thú vị môn hệ trẻ ngày Điều làm cho em thêm trân trọng yêu nghề nhà giáo – đƣờng mà em chọn tƣơng lai Trong thời gian qua, em cố gắng để hoàn thành tốt nhiệm vụ mình, nhiên kiến thức kinh nghiệm hạn chế với lần tiếp xúc nghiên cứu nên tránh khỏi thiếu sót, kính mong thầy bỏ qua đóng góp ý kiến để em rút kinh nghiệm, hồn thiện Một lần em xin đƣợc tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô trƣờng Đại học Sƣ phạm, đặc biệt thầy khoa Tốn, thầy Tơn Thất Tú, thầy Phạm Quý Mƣời cho em nguồn tài liệu tham khảo vơ bổ ích Cuối em xin đƣợc gửi lời tri ân lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Viết Đức, ngƣời nhiệt tình hƣớng dẫn giúp đỡ em nhiều suốt thời gian vừa qua Em xin chân thành cảm ơn! Trong q trình hồn thành báo cáo, khó tránh khỏi thiếu sót kính mong thầy góp ý bổ sung để báo cáo đƣợc hoàn thiện Sinh viên thực hiên: Võ Tuyết Nhung 63 ... phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng Các ví dụ giải hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT I Hệ phƣơng trình tuyến tính: Định nghĩa 1: Hệ phƣơng trình. .. đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình tuyến tính cũ, phép biến đổi đƣợc gọi phép biến đổi tƣơng đƣơng hệ phƣơng trình tuyến tính I Các phƣơng pháp cổ điển: Phƣơng pháp. .. với hệ phƣơng trình tuyến tính, lúc tốn hệ phƣơng trình tuyến tính cịn đơn giản, dừng lại hệ hai phƣơng trình, hai ẩn số Lên cao hơn, bậc Trung học phổ thông ta lại đƣợc biết đến hệ ba phƣơng trình,