Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ của tác giả Vũ Hồng Phong

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn.[r]

KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016)

(đây dạng tài liệu:

MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ ) Từ viết tác giả:

DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐẶC BIỆT

Toán học tuổi trẻ (thỏng nm 2015)

Khi gặp ph-ơng trình có dạng u.mP v.n Q w

(với u,v, w,P,Q biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc số e,f biểu thức P0,Q0chứa ẩn thoả mÃn:

  

  

 

Q f P e Q f P e

w Q v P u

n m

) ( )

.(

0

0

(*) thì ta xử lí ph-ơng trình nh- sau: Đặt mP a; n Q bsuy am P; bn Q

Ta cã hÖ PT:

  

  

 

Q f P e b f a e

w b v a u

n m

(**) Giải hệ PT(**) ta tìm đ-ợc nghiệm (a;b)

Đến PT,hệ PT cho trở nên đơn giản !

L-u ý: tõ (*) ta thÊy hƯ PT(**) lu«n cã nghiƯm (a,b) = (P0;Q0)

Sau l ví dụ

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

1 7

6 2 4

2 xx2 3 x2  x  x

Ph©n tÝch: Ta cã:

  

  

    

   

) ( )

2 ( ) (

1

1

2

3

x x x

x x

x x

nên PT ta nhẩm đ-ợc e =f =1 (P0;Q0)= (x1;2)

Lời giải

Đặt 24xx2 a; 3 2x2 6x7 b

Suy a2 b3 x22x9(1)

Từ PT cho ta có ab x1ax1b(2) Thay vào (1) ta đ-ợc:

9 )

1

(x b 2b3  x2 x

9 2

2

1

2        

x b x b bx b x x

0 2

8

3     

b b b bx x

0 ) )(

(     

2 

b hc b2 3b42x (3)

+Tõ (2) cã xab1 thay vào PT(3) đ-ợc b23b42(ab1) b2 b62a(4)

Cã

4 23 ) ( )

(  b  

VT

VP(4)2 24xx2 2 6(x2)2 2 5

Suy PT(4) v« nghiƯm Do đó PT(3) vơ nghiệm +Víi b = thay vào (2) đ-ợc ax1

Suy

   

  

   

2

1

2

3

2

x x

x x x

    

  

   

  

8

) (

2

0

2

2

x x

x x x x

  

    

0

1

2

x x x

2 11 3   x

Vậy PT cho có nghiệm

2 11 3 

x

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

7x220x86x 314xx2 3x2

Ph©n tÝch: Víi PT ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 (P0;Q0) = (2x2;1)

v×

  

  

  

 

   

)

31 ( ) 86 20

( ) 2 (

2 2

2

2

x x x

x x

x x x

Lời giải Đặt a = 7x2 20x86 , b =

4 31 xx

Suy 23 4 28 7

x x b

a (1)

Từ PT cho có: a +xb = 2x +  a = 3x + – bx Thay vào (1) ta đ-ợc

(3x2bx)23b2 4x28x7

9x24b2x212x4bx6bx23b2 4x2 8x7

 (x23)b2(6x24x)b5x24x30

 (b1)[(x2 3)b5x24x3]0



    

    

3

2

x x x b b

+Với b = a = 2x+2, có hệ

   

  

   

1

31

2 86 20

2

x x

x x

x

     

  

   

 

1

31

) 2 ( 86 20

0 2

2

2

x x

x x

x x



    

   

    

0 30

0 90 12

1

2

x x

x x

x

   

  

 

34

x x

 x2 34

+Víi b =

3

2

   x

x x



3 15 4

) 15 (

16 2

2

       

x x x x

x (2)

+ NÕu x24x150th× VT(2) = = VP(2)

Khi x24x150 th×

  

   

x x

a b

4

    

   

  

x x

x

x x

2 86 20

4

31

2

2



    

   

  

 

2

2

) ( 86 20

16

31

x x

x

x x x

     

  

   



0 ) 15 (

0 15

2

x x

x x x



  

   

19 2

x x

x=2 19

Vậy PT cho có nghiệm x2 34,x2 19

Ví dụ 3: Giải hệ ph-ơng trình

   

  



 

) 2 .( .

2 1

) 1 .( 4 11 20

3 2

2

x y x y xy

y x x

Phân tích:

Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 (P0;Q0) = (xy;1)

  

     

  

) (

) ( ) (

1

2 2

2

y x xy y

x

x y y x

Lêi giải: điều kiện 12xy0

Đặt 12xy a; 3 x2 y2 b

Suy a2b3  x2y22xy1 (3)

Tõ (2) ta cã a + yb = x axyb (4) thay vào (3) đ-ợc (xby)2b3 x2y22xy1

b312xy(b1)y2(b21)0

(b1)[b2b12xy y2(b1)]0

b1 hc b2b12xyy2(b1)0 (5) +Cã 3   0

b y

x nªn b2 b0; b10

NÕu 12xy  y2(b1)0 th×

   

 

0

y xy

(v« lý)

Vậy số khơng âm 12xy y2(b1)không đồng thời nên 12xy y2(b1)0

VT(5)0Suy PT(5) vơ nghiệm

+Víi b = thay vµo (4) đ-ợc axy

Suy

 

 

  

1

1

3 2

y x

y x xy

    

 

  

  

1 ) (

0

2

2

y x

y x xy y x

  

   

1

2

y x

y x

(*)

kÕt hỵp hƯ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ:

    

 

  

1 11 20

2

2

y x

y x x

y x

    

 

    

2

2

1

) ( 11 20

x y

x x

    

 

     

2

2

1

0 11

20

x y

x x x

y x

    

 

  

 

2

2

1

0 ) ( ) (

x y

x x

y x

        

    

4

1

2 y x

y x

(I) hc

        

  

25

2 y x

y x

(II)

Gi¶i hƯ PT (I) (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) là: )

3 ;

1

(  ; )

5 ;

( vµ )

5 ;

( 

Vậy hệ PT cho có nghiệm (x;y) : )

3 ;

1

(  ; )

5 ;

( vµ )

5 ;

( 

bµi tËp

bài Giải ph-ơng trình

a)

3

2

3 2 4

4

9 12

12     x 

x x

x

c) 1

2 1 2 7

. 6

2 3

3

2    

 x x x x

b) 3x2 5x6  x(x1) x2 x4

d) 2x248x27x 2x224x67 4x6

bài 2 Giải hệ ph-ơng trình a)

    

  

 

 

x xy

y y

x y x

1 65

2

3

b)

   

     

 



y xy

x y

x

y x y x

4

35

3

2

2

3 3

c)

    

   

 

 

2 3

2 .

4 5

1 2 8

3

2 2

2

y x x y x

x xy

Sau phần bổ xung thêm thí dụ dạng này:

Dạng :đặt ẩn phụ không hồn tồn kiểuVũ Hồng Phong

Một số thí dụ dạng tác giả nêu phần đặt ẩn phụ phần Sau thí dụ bổ xung

Thí dụ Giải phương trình

1

1

3

4       

x x

x x

1

1

3

4       

x x

x x

x x

Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình Xét x1

Đặt x43x3x21a0; x4x32 b0

Suy mối liên hệ: a2b2 2x3x21(x1)(2x2x1)(*)

Pt cho trở thành: abx1(**)

Giải (*) (**) suy ra:

  

  

  

  

1

)

)( ( ) )(

(

x b a

x x x

b a b a

  

  

    

1 2

x b a

x x b a

   

 

  

1

2

x b

x x a

    

   

    

  

2

4

2 2

3

) (

) (

0

x x

x

x x

x x

x x

2

) )(

1 (

0

2

2 

  

  

   

 

 x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 ;

1  

 x x

Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu

Việc tạo phương trình loại khơng q khó khăn Xin nêu cách tạo phương trình đơn giản dạng sau:

Đầu tiên ta định hướng sau biến đổi Thí dụ tác giả muốn x2 1

Cịn thí dụ ta chọn :

1

;

3 2

4        

x x

x x x x

x x

Bước chọn mối liên hệ ẩn (cần tạo PT khó phải khéo léo),tác giả xin nêu liên hệ đơn giản là:

(*) ) ( )

( 2 2

2

2       

x x x

x b a

Cịn thí dụ ta chọn :

)

)( (

2 2

2

2       

x x x

x x b a

Bước quan trọng khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để nghiệm theo ý muốn

Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :

1

2 4  

 x x x

a

Từ (*) suy  43 2 1

x x x b

Song song với việc chọn a,b việc tạo PT cho việc khống chế PT sau khi biến đổi hợp lí

Thí dụ tác giả tạo PT nhẹ nhàng sau: Thí dụ Giải phương trình

2

1 2

2

4        

x x

x x x

x x

Hướng dẫn

Đặta  x4x2 x1

1

4  

 x x x

b

Suy mối liên hệ:

( 1) 2(*) )

1

( 2 2

2

2       

x x x

x b a

Pt cho trở thành: ab x21(**)

1

1

2

4    

 x x x x

a

1

3 2

4    

 x x x x

b

Giải tiếp suy PT cho có nghiệmx1;x0 Chú ý:

Việc chọn mối liên hệ phức tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:

2a2b2 2a23b2  2a23b2  2a2b2 

3 2

1  

b a

Việc chọn phƣơng trình tạp có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:

  b

a 3a2b 3a2b

1  

b a

)

(x a b axb

Việc chọn bậc ba, bậc 4,… hƣớng tạo tƣơng tự Một số thí dụ khó

Đầu tiên ta định hướng a,blần lượt bằngx4;x2 1

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Chọn  8 42 2 0

x x x x a

0

2   

 x x

b

Thí dụ Giải phương trình

1

) (

2 2

4

8       

x x x

x x x x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn chi tiết tạo PT

Chọn dạng m(x21) n p

Chọn sau biến đổi: m x4; n x21;p1

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Chọn: n  x21;n2x4x1

Từ(*) suy ra: mx8x4 x2x

2

Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí

Đến tác giả tin ngƣời tự tạo đƣợc nhiều phƣơng trình dạng !!!

Hướng dẫn giải:

Đặt  8 42 2 0

x x x x a

0

2 4  

 x x

b

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta

1(x21)b2b2 x8x42x21

1( 21)2 22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

    

 



  

   

0 )

1 (

) (

1

2

2 2

x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

) (

2

2

   



  

x x

x x x

X=0 không làm cho b=0 Suy

1

2 4   2

 x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

4

2x x x

x x

a    

Suy

2 ;

1 ;

0    

 x x

x

PT cho có nghiệm

2 ;

1 ;

0    

 x x

x Thí dụ Giải phương trình

3 )

1 (

2

3

8       

x x x x

x x

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt a  x8x320

0 2

3

4   

 x x x

b

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta

1(x21)b2b2 x8x42x21

1( 21)2 22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x

    

 



  

   

0 )

1 (

) (

1

2

2 2

x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

) (

2

2

   



  

x x

x x x

X=0 không làm cho b=0 Suy

1

2 2

3

4    

 x x x x

b

Thay vào (**) đƣợc:

8

2 x

x x

a   

Suy

2 

x

PT cho có nghiệm

2 

Thí dụ Giải phương trình

3 )

1 (

2

5

8       

x x x x

x x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt x8x52 a0

0

2

4

5    

b x

x x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta

1(x21)b2b2 x8x42x21

1( 21)2 22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x

    

 



  

   

0 )

1 (

) (

1

2

2 2

x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

) (

2

2

   



  

x x

x x x

X=0không làm cho b=0 Suy

1

2 2

4

5    

x x

x x

Thay vào (**) đƣợc:

8

2 x

x

x   

Suy

2  

x

PT cho có nghiệm

2  

x Thí dụ Giải phương trình

1 )

1 (

3 4

2

12        

x x x x

x x x x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt x12x2 3x a0

0

3

2

4    

b x

x x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4 12

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: ( 4 21) 1(**)

b x x a Thay a vào (*) ta

(x4 x21)b12b2 x12x42x21

1( 4 21)2 22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

    

 

 

    

   

0 )

1 (

1

) (

1

2

2 2

x x

x x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

1

) (

2

2

   

 

    

x x

x

x=0 không làm cho b=0 Suy

1

3

2

4    

x x

x x

Thay vào (**) đƣợc:

12

3x x x

x   

Suy ra

3 ;

0 

 x x

PT cho có nghiệm x0;x 3

Thí dụ Giải phương trình

1 )

1 (

3

2 4

12         

x x x x

x x x x

Hướng dẫn

Đặt x122x43x a0

0

3 2

4    

x x x b

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4 12

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta

(x4 x21)b12b2 x12x42x21

1( 4 21)2 22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

    

 

 

    

   

0 )

1 (

1

) (

1

2

2 2

x x

x x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

1

) (

2

2

   

 

    

x x

x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy

1

3

2 2

4    

x x x x

Thay vào (**) đƣợc:

12

3

2x x x

x   

Suy ra

2 ;

0 

 x x

PT cho có nghiệm

2 ;

0 

 x x

Thí dụ Giải phương trình

1 )

1 (

1

2 4

12        

x x x

x x

x x

Hướng dẫn

Đặt x122x2x1a0

0

4    b x

x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4 12

2    

Pt cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta

(x4 x21)b12b2 x12x42x21

1( 4 21)2 22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

    

 

 

    

   

0 )

1 (

1

) (

1

2

2 2

x x

x x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

1

) (

2

2

   

 

    

x x

x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy

1

2

4    x x

x

Thay vào (**) đƣợc:

12

1

2x x x

x    

Suy ra

2 ;

1 



 x

x

PT cho có nghiệm

2 ;

1 



 x

x Thí dụ Giải phương trình

1 )

1 (

2

2 4

12        

x x x

x x

x x

Vũ Hồng Phong Thơn Bất Lự, Hồn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt x122x2x2 a0

0

4     b x

x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4 12

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a(x4x21)b1(**)

Thay a vào (*) ta

(x4 x21)b12b2 x12x42x21

1( 4 21)2 22( 4 21) ( 21) 2( 8 6 4 22)0

 x x b x x b x x x x x x

    

 

 

    

   

0 )

1 (

1

) (

1

2

2 2

x x

x x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

1

) (

2

2

   

 

    

x x

x

x x x x x

x=0 không làm cho b=0 Suy

1

3

4   

x x

x

Thay vào (**) đƣợc:

12

2

2x x x

Suy ra

4 17 1  

x

PT cho có nghiệm

4 17 1  

x Thí dụ 10 Giải phương trình

3 )

1 (

2 2

8       

x x x

x x x

Hướng dẫn

Đặt x82x23x2 a0

0

3

4   

b x

x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta

1(x21)b2b2 x8x42x21

1( 21)2 22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

 x b x b x x x x

    

 



  

   

0 )

1 (

) (

1

2

2 2

x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

) (

2

2

   



  

x x

x x x

x=0không làm cho b=0 Suy

1

3

4   

x x

x

Thay vào (**) đƣợc:

8

2

2x x x

x    

Suy

2 ;

2 



 x

x

PT cho có nghiệm

2 ;

2 



 x

x Thí dụ 11 Giải phương trình

4 )

1 ( 3

2 2

8       

x x x

x x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt x82x23x3 a0

0

3

4   

b x

x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: a1(x21)b(**)

Thay a vào (*) ta

1(x21)b2b2 x8x42x21

1( 21)2 22( 21) ( 21) 2( 4 22)0

    

 



  

   

0 )

1 (

) (

1

2

2 2

x x x x b

x b

Dễ thấy

0

) (

) (

2

2

   



  

x x

x x x

x=0không làm cho b=0 Suy

1

3

4   

x x

x

Thay vào (**) đƣợc:

8

3

2x x x

x    

Suy

4 33 3  

x

PT cho có nghiệm

4 33 3  

x Thí dụ 12 Giải phương trình

3 )

1 (

2

6      

x x x

x x

x

Hướng dẫn

Đặt x62x33 a0

0

2

4   

b x

x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0khơng làm cho b=0) Suy

x x x

x4 23 2

Thay vào (**) đƣợc: 3

6

3

2x x

x   

Suy

2

 x

PT cho có nghiệm

2

 x

Thí dụ 13 Giải phương trình

20 )

1 ( 20

2

6      

x x

x x

x x

Đặt x62x3x220a0

0 20

4  

b x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0khơng làm cho b=0) Suy

x x x4 20  

Thay vào (**) đƣợc:

3

20

2x x x

x    

Suy

2 

x

PT cho có nghiệmx2

Thí dụ 14 Giải phương trình

3 )

1 (

2x3 x x x6x4x2  Hướng dẫn

Đặt 2x33 a0

0

2

6    

b x

x x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vìx=0khơng làm cho b=0) Suy

x x x

x

x6 4 3 2

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 2x   x Suy

3

3

3 );

( )

0 (

2      

 x x x loai x

x

PT cho có nghiệm

3

Thí dụ 15 Giải phương trình

1 )

1 (

2x3  x x x6 x4x2

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 31 0

a x

0

2

6    

b x

x x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy

x x x

x

x6 4 21 2

Thay vào (**) đƣợc:

3

1 2x  x Suy

3

3

6

2 )

0 ,

0 (

2        

 x x x x x

x

PT cho có nghiệm

2 1

 x

Thí dụ 16 Giải phương trình

1 )

1 (

3x3  x x x6x4x3x2 Hướng dẫn

Đặt 3x31a0

0

2

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0không làm cho b=0) Suy

x x x

x x

x6 4 3 21 2

Thay vào (**) đƣợc:

3

3

3

6

2 )

0 ,

0 (

3        

 x x x x x

x

PT cho có nghiệm

2 3

 x

Thí dụ 17 Giải phương trình

2 )

1 (

3x3 x x x6x4x3x2 Hướng dẫn

Đặt 3x32 a0

0

2

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0khơng làm cho b=0) Suy

x x x

x x

x6 4 3 22  

Thay vào (**) đƣợc:

3

2 3x   x Suy

  

     

  

3

3

6

2 )

0 ,

0 (

x x x

x x

x x

PT cho có nghiệmx1;x3 2 Thí dụ 18 Giải phương trình

2

) (

5x3 x x x6x4  x3x2 Hướng dẫn

Đặt 5x32 a0

0

3

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

6 2

2x x

x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 )

1

(x b b x x x x

x      

1( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) 2( 2 2)0

 x b x x b x x x x x

    

 



  

   

) ( )

1 (

) (

2 2

loai x

x x x b

x x b

(vì x=0khơng làm cho b=0) Suy

x x x

x x

Thay vào (**) đƣợc:

3

2 5x   x Suy

3

3

6

2 17 )

0 ,

0 (

5        

 x x x x x

x

PT cho có nghiệm

2 17 5

 x

Thí dụ 19 Giải phương trình

1

) (

6

6

3      

x x x x

x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

ĐK:

2 

x

Đặt 6x33a0

0

3

2

   

x x b

x

Suy mối liên hệ:

6 (*)

3

3

2

x x x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

3 3

)

(x b b x x x x

x      

3( 1)2 2 ( 1) ( 2 ) ( 3 24 2)0

 x b x x b x x x x x x

    

 



    

  

) ( )

1 (

) (

2

loai x

x x x x b

x x b

Suy

x x x

x x

   

 2

6

1

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 6x  x Suy

      

   

 

    

0

3

1

3

3

2

4

x x x

x

x x x

x x

3 3 6

 x

PT cho có nghiệm

6 3

 x

Thí dụ 20 Giải phương trình

1

) (

4

6

3       

x x x x

x x

ĐK:

2 

x

Đặt 4x32 a0

0

2

2

   

x x b

x

Suy mối liên hệ:

(*)

2

3

2

x x x x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

2 2

)

(x b b x x x x

x      

2( 1)2 22 ( 1) (  ) ( 3 23 1)0

 x b x x b x x x x x x

    

 



    

  

) ( )

1 (

) (

2

loai x

x x x x b

x x b

Suy

x x x

x

x     

1

Thay vào (**) đƣợc:

3

2 4x   x Suy

0

2

1

2

3

2

4

     

   

 

    

x x x

x

x x x

x x

3 2 2

 x

PT cho có nghiệm

2 2

 x

Thí dụ 21 Giải phương trình

1

) (

10

6

3       

x x x x

x x

Hướng dẫn

ĐK:

2 

x

Đặt 10x35 a0

0

5

2

   

x x b

x

Suy mối liên hệ:

10 (*)

5

5

2

x x x

x b

a     

Pt cho trở thành: ax(x1)b Thay a vào (*) ta

 2

5 10

5 )

1

(x b b x x x x

x      

5( 1)2 22 ( 1) ( 2 ) ( 3 26 4)0

 x b x x b x x x x x x

    

 



    

  

) ( )

1 (

) (

2

loai x

x x x x b

Suy

x x x

x x

   

 2

6

1

Thay vào (**) đƣợc:

3

5 10x   x Suy

3

6

3

2

4

5

5 10

5 10

1

5        

    

 

    

x x

x x

x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

5 5

 x

Thí dụ 22 Giải phương trình

4

3

4x3  xx x6x4 x3 x2

Hướng dẫn

ĐK:

4 

x

Đặt 4x33 a0

0

2

4

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

xxb2b2  x6x42x21

1 2 22 ( 21)( 42 21)0

 x b x b x x x

    

 

  

  

) (

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

4 2

4

6     

x x

x x x

Thay vào (**) đƣợc:

3

3 4x  x Suy

  

   

 

      

  

 

     

3

6

3

2

3

3

3

3

1

2

x x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệmx3 3;x1

Thí dụ 23 Giải phương trình

4

3

5

3

    

 

x x x x x x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

ĐK:

5 

x

Đặt

2

5 3  

a x

0

2

2x6 x4 x3 x2  b Suy mối liên hệ:

1(*)

2a2b2  x6x4 x2 Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

  2

2 xxb b2  x6x4 x2 

12 2 24 ( 21)(2 3 21)0

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

1

) (

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

2x6x4 x3 x2 bx2

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

x a

x   

Suy

    

   

 

      

   

 

     

3

6

3

2

3

2

3

1

2

1

2

x x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệm ;

3 

 x

x

Thí dụ 24 Giải phương trình

3

2

5

3

    

 

x x x x x x x

Hướng dẫn

ĐK:

5 

x

Đặt

2

5 3  

a x

0

2

2x6x4 x3 x2 b Suy mối liên hệ:

1(*)

2a2b2  x6x4 x2 Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

  2

2 xxb b2  x6x4 x2 

12 2 24 ( 21)(2 3 21)0

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

1

) (

1

2

loai x

x x b

Suy

1

2

2x6x4  x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

x a x

  

Suy

3

6

3

2

3

2

2

1

2

1

2

  

 

      

   

 

     

x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệmx3 2 Thí dụ 25 Giải phương trình

5

4

7

3

    

 

x x x x x x x

Hướng dẫn

ĐK:

7 

x

Đặt

2

7 3  

a x

0

2

2x6 x4 x3 x2 b Suy mối liên hệ:

1(*)

2 2  6 4 2 x x x b a

Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

  2

2 xxb b2  x6x4 x2 

12 2 24 ( 21)(2 3 21)0

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

1

) (

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

2x6x4 x3 x2 bx2

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

x a x

  

Suy

3

6

3

2

3

4 17

4

1

2

1

2

   

 

      

   

 

     

x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệm

4 17 7

 x

Thí dụ 26 Giải phương trình

5

Hướng dẫn

ĐK:

2 

x

Đặt 4x32 a0

0

2

2x6x4 x3 x2 b Suy mối liên hệ:

1(*)

2 2  6 4 2 x x x b a

Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

  2

2 xxb b2  x6x4 x2 

12 2 24 ( 21)(2 3 21)0

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

1

) (

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

2x6x4  x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

4x  ax

Suy

3

6

3

2

3

2

2

2

1

2

   

 

      

  

 

     

x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệm

2 2

 x

Thí dụ 27 Giải phương trình

3

3x3 xx x6x4 x3 x2

Hướng dẫn

ĐK:

3 

x

Đặt 3x31a0

0

2

2x6x4 x3 x2 b Suy mối liên hệ:

1(*)

2a2b2  x6x4 x2 Pt cho trở thành: axx.b Thay a vào (*) ta

  2

2 xxb b2  x6x4 x2 

12 2 24 ( 21)(2 3 21)0

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

1

) (

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

2x6x4 x3 x2 b x2

Thay vào (**) đƣợc: 3

1

Suy

3

6

3

2

3

2

1

1

1

2

2 

  

 

      

  

 

     

x x

x x x

x

x x

x x x

PT cho có nghiệm

2 3

 x

Thí dụ 28 Giải phương trình

1 4 ) (

2x3   x2  x x6  x4  x3 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 2x3 1a0

0

2

4x6  x4 x3 b Suy mối liên hệ:

(*)

4

2

x x b

a   

Pt cho trở thành:

(**) ) (

2

b x x

a  

Thay a vào (*) ta

4 2

4 )

2

(x b b x x

x    

  



  

0 ) ( ) ( )

2 (

1 2     

  



  

 x b x x b x x x

    

 

 

  

  

0 ) (

) (

2

2

x x x b

x b

Ta thấy

0

2 1

2

2

          

   



 



x x

x x

Khi x=0 b khơng tồn tại Suy

2

4

2

2

4x  x  x  b x Thay vào (**) đƣợc:

3

2

2x  a x

Suy

3

6

3

2

4

4

1

0

2

2

4 

  

 

      

  

 

   

x x

x x x

x

x x

x x

PT cho có nghiệm

4 1

Thí dụ 29 Giải phương trình

1 4 ) (

6x3 x2  x x6  x4  x3  Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn ĐK:

6

 x

Đặt 6x31a0

0

6

4x6  x4 x3 b Suy mối liên hệ:

(*)

4

2

x x b

a   

Pt cho trở thành:

(**) ) (

2

b x x

a  

Thay a vào (*) ta

4 2

4 )

2

(x b b x x

x    

  



  

0 ) ( ) ( )

2 (

1 2     

  



  

 x b x x b x x x

    

 

 

  

  

0 ) (

) (

2

2

x x x b

x b

Suy

2

4

2

6

4x  x  x  b x Thay vào (**) đƣợc:

3

2

6x  a  x

Suy

3

6

3

2

4

4

1

0

2

2

4 

  

 

      

  

 

   

x x

x x x

x

x x

x x

PT cho có nghiệm

4 3

 x

Thí dụ 30 Giải phương trình

2 4 ) (

7x3   x2  x x6  x4  x3  Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn ĐK:

7

 x

Đặt 7x32 a0

0

7

4x6 x4 x3 b Suy mối liên hệ:

(*)

4

2

x x b

Pt cho trở thành:

(**) ) (

2

b x x

a  

Thay a vào (*) ta

4 2

4 )

2

(x b b x x

x    

  



  

0 ) ( ) ( )

2 (

1 2     

  



  

 x b x x b x x x

    

 

 

  

  

0 ) (

) (

2

2

x x x b

x b

Suy

2

4

2

7

4x  x  x  b x Thay vào (**) đƣợc:

3

2

7x  a x

Suy

3

6

3

2

4

17

2

0

2

2 4

 

 

 

      

  

 

   

x x

x x x

x

x x

x x

PT cho có nghiệm

17

1 

 x

Thí dụ 31 Giải phương trình

3

1 10 12

8 ) (

1

3

6

3     x  x  x 

x x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn ĐK:

10

 x

Đặt

2 5x3  a

0

1 10 12

8

   



b x

x x

Suy mối liên hệ:

(*) 12

2a2 b2 x6 x4

Pt cho trở thành:

(**) ) (

2

b x x

a  

Thay a vào (*) ta

4 2

12 )

2 (

2 x x b  b  x  x

  



  

0 ) ( ) ( )

2 (

3 2 2   4 

  



  

     

  

   

 0

) (

) (

2

x x x b

x b

Suy

2

4

2

1 10 12

8

x b x

x

x     

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

1

5x  a  x

Suy

3

6

3

2

4

17

1 10

0

2

2

1 10 12

8

 

 

 

  

   

     

 

  



x x

x x x

x

x x

x x

PT cho có nghiệm 5 17

2

1 

 x

Thí dụ 32 Giải phương trình

3

2 10 12

8 ) (

5

3

6

3     x  x  x 

x x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn ĐK:

5

 x

Đặt 5x31a0

0

2 10 12

8

    

b x

x x

Suy mối liên hệ:

(*) 12

2a2 b2 x6 x4

Pt cho trở thành:

(**) ) (

2

b x x

a  

Thay a vào (*) ta

4 2

12 )

2 (

2 x x b  b  x  x

  



  

0 ) ( ) ( )

2 (

3 2 2   4 

  



  

 x b x x b x x x

     

  

   

 0

) (

) (

2

x x x b

x b

Suy

2

4

2

2 10 12

8

x b x

x x

   

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

5x  a x

Suy

    

   

 

      

   

 

  



3

6

3

2

4

4 1

1

0

2

2

2 10 12

8

x x x

x x x

x

x x

x x

PT cho có nghiệm

4 ;

1 

 x x

Thí dụ 33 Giải phương trình

(*)

4

5

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x34 0

x

x  

3

4

5 5x34x3 3

3

4

6    

 x x

Đặt 3 5x34a

0

3

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

(**)

2

4

x x x x b

a     

Pt cho trở thành:

*) * (*

b a x 

Thay b vào (**) ta

2 )

(a x x x x x

a      

0

2

4

3     

a x a x xa x

**) * (* ] )[

(  2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0

3



x nên

x x a x ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy

2

**) *

(* a x

2 3

4

5x  a x 

Thay vào (***) đƣợc:

x x b x

x x

x6 43 3 24   2

Suy

  

        

  

     

 

3

6

2

2 3

4

4

4

4

x x x

x x

x x

x x x

x x

PT cho có nghiệmx1;x3 4

Chú ý: từ PT

(*)

4

5

3 3     

 x x x x x

x

Thí dụ 34 Giải phương trình

(*) 3

3

5

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x3 30

x x   3

3

5 5x33x3 3

2

3

6    

 x x

Đặt 3 x3  a

3

0

3

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

(**)

2

4

x x x x b

a     

Pt cho trở thành:

*) * (*

b a x 

Thay b vào (**) ta

2 )

(a x x x x x

a      

0

2

4

3     

a x a x xa x

**) * (* ] )[

(  2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0

2



x nên

x x a x ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy

2

**) *

(* a x

2 3

3

5x  a x 

Thay vào (***) đƣợc:

x x b x

x x

x6 43 3 23   2

Suy

3

6

2

2 3

2 13

3

3

3

5 

       

  

     

 

x x

x x

x x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 13 5

 x

Thí dụ 35 Giải phương trình

(*)

2

5

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 5x32 0

x

x  

3

2

5 5x32x3 3

3

2

6    

 x x

Đặt 3 5x3 2 a

0

3

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

(**)

2

4

x x x x b

a     

*) * (*

b a x 

Thay b vào (**) ta

2 )

(a x x x x x

a      

0

2

4

3     

a x a x xa x

**) * (* ] )[

(  2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0

3



x nên

x x a x ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy

2

**) *

(* a x

2 3

2

5x  a x 

Thay vào (***) đƣợc:

x x b x

x x

x6 43 3 22   2

Suy

3

6

2

2 3

2 17

2

2

2

5 

       

  

     

 

x x

x x

x x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 17 5

 x

Chú ý: từ PT

(*)

4

5

3 3     

 x x x x x

x

Sửa số -3 thành -4 sửa số thành (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau:

Thí dụ 36 Giải phương trình

(*) 4

4

6

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 6x34 0

x x   3

4

6 6x34x3 3

7

4

7    

 x x

Đặt 3 x3  a

4

0

4

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

(**)

2

4

x x x x b

a     

Pt cho trở thành:

*) * (*

b a x 

Thay b vào (**) ta

2 )

(a x x x x x

a      

0

2

4

3     

a x a x xa x

**) * (* ] )[

(  2 2 4  2 

Do VP(*) xa0

7



x nên

x x a x ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy

2

**) *

(* a x

2 3

4

6x  a x 

Thay vào (***) đƣợc:

x x b x

x x

x6 44 3 24   2

Suy

3

6

2

2 3

5

4

4

4

        

  

     

 

x x

x x

x x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

5 3

 x Chú ý: từ PT

(*)

4

5

3 3     

 x x x x x

x

Sửa số -3 thành -5 sửa số thành (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau:

Thí dụ 37 Giải phương trình

(*)

4

7

3 3     

 x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Do VP(*)0 nên VT(*)x3 7x34 0

x

x  

3

4

7 7x34x3 3

2

4

8    

 x x

Đặt 3 7x3 4 a

0

7

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

(**)

2

4

x x x x b

a     

Pt cho trở thành:

*) * (*

b a x 

Thay b vào (**) ta

2 )

(a x x x x x

a      

0

2

4

3     

a x a x xa x

**) * (* ] )[

(  2 2 4  2 

 a x a ax x a x x

Do VP(*) xa0

2



x nên

x x a x ax

a2 2 4  22 (a2ax2x4)axx2x0

Suy

2

**) *

(* a x

2 3

4

7x  a x 

Thay vào (***) đƣợc:

x x b x

x x

x6 45 3 24   2

3

6

2

2 3

2 33

4

4

4

7 

       

  

     

 

x x

x x

x x

x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 33 7

 x

Nhƣ việc tạo phƣơng trình dạng khơng khó khăn,thậm chí từ phƣơng trình ta tạo nhiều phƣơng trình tƣơng tự

Tác giả: Vũ Hồng Phong Thí dụ 38 Giải phương trình

1 4

13 x3  x6 x4 x3 x2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn Đặt 3 3x32 a

0

4

8x6 x4 x3 x2 b Suy mối liên hệ:

1(*)

8

2

3    

x x x b a

Pt cho trở thành:

0

(**)

1ab  a

Thay b vào (*) ta

1 4 )

(

3     

x x x a

a

0 4

8

3     

a x a x a x

0 ] 2

2 )[

(  2 2   2 

 a x a ax x a x

Do 1a0 nên

    

2 4 2

2

x a x ax a

0 ) ( )

( 2 2     

 a ax x a x

Suy

2 3

2

3x  a x

Thay vào (**) đƣợc:

1 4

8

3   3 2  

x x

x x x

Suy

3

6

2

2 3

2 73

2 1

4

2

3 

       

  

     

 

x x

x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 73

1 

 x

Chú ý

1 4 )

(

3     

x x x a

a

2

3

4

2a x x x

a

a     



) ( )

(a f x2

f 



t t t t

f( ) 3 22

t t

t t

f'( )32 2 20.

Suy f(t) đồng biên nên 2

2 )

2 ( )

(a f x a x

f   

Thí dụ 39 Giải phương trình

4

5

3 3  6  3 

 x x x x x x

x

Hướng dẫn

Đặt 3x35 a0

0

2

3

4

6      

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

1 )

(xbx 2b2 x6x4 x2

0 ) )( ( )

( 2 2  2 4 

 x b x b x x

    

    

  

) ( 1

2

loai x

x b

x b

Suy

1

2

3 2

4

6     

x x

x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

5

3x  a x

Suy

3

6

2

3

2 29

5

4

3 

  

 

     

  

     

 

x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 29 3

 x

Thí dụ 40 Giải phương trình

4

3

4 3  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 4x33a0

0

2

4

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

1 )

(xbx 2b2 x6x4 x2

0 ) )( ( )

( 2 2  2 4 

 x b x b x x

    

    

  

) ( 1

2

loai x

x b

x b

Suy

1

2

4 2

4

6     

x x

x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

3

Suy

  

   

 

     

  

     

 

3

6

2

3

3

3

4 4

x x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệmx1;x 3 3 Thí dụ 41 Giải phương trình

1

3

2  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 23x3 a0

0

2

3

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

1 )

(xbx 2b2 x6x4 x2

0 ) )( ( )

( 2 2  2 4 

 x b x b x x

    

    

  

) ( 1

2

loai x

x b

x b

Suy

1

2

3 2

4

6     

x x

x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

3

2 x ax

Suy

3

6

2

3

2 17

2

1 3

2  

  

 

     

  

     

 

x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 17 3

  x

Thí dụ 42 Giải phương trình

2 2

2

3  6 4 3 2

 x x x x x x

x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 32x3 a0

0

2

2

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

2 1(*)

4

2    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

1 )

(xbx 2b2 x6x4 x2

0 ) )( ( )

( 2 2  2 4 

    

    

  

) ( 1

2

loai x

x b

x b

Suy

1

2

2 2

4

6     

x x

x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

2

3 x ax

Suy

1

3

2 2

3

2

3

  

 

     

  

     

 

x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệmx1

Thí dụ 43 Giải phương trình

2

3

2 2

5

3

4x x x x x x

x      

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 4x33a0

0

2

5

6

     

b x x x x

Suy mối liên hệ:

2(*)

2

2

2    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

2 2

)

(xbx 2 b2 x6 x4 x2

0 ) )(

1 ( )

( 2 2  2 4  

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

2

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

5 2

6

      

x b x x x x

Thay vào (**) đƣợc:

0

4x3 a

Suy

  

   

 

     

   

     

 

3

6

2

3

3

3

2 2

5

x x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệmx1;x 3 3 Thí dụ 44 Giải phương trình

2

3

2

5

x x x x

x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt

3

8   

a x

0

4

5

3

6

     

b x x x x

Suy mối liên hệ:

2(*)

2

3a2 b2  x6 x4 x2

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

2 ) (

3 xbx  b2  x6 x4 x2

0 )

)( ( )

(  2  2 4  

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

2

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

4

5

3 2

6

      

x b x x x x

Thay vào (**) đƣợc:

0

3

8   

a x

Suy

3

6

2

3

3

3

0

2

5

1

   

 

     

     

     

 

x x

x x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

3 4

 x

Thí dụ 45 Giải phương trình

2

6

2

5

3x x x x x x

x      

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn

Đặt 3x31a0

0

2

3

3

     

b x x x

x

Suy mối liên hệ:

2(*)

2

3a2 b2  x6 x4 x2

Pt cho trở thành:

(**)

x xb

a 

Thay a vào (*) ta

2 ) (

0 )

)( ( )

(  2  2 4  

 x b x b x x x

    

 

   

  

) (

2

1

2

loai x

x x b

x b

Suy

1

2

3 2

3

      

x b x x x

x

Thay vào (**) đƣợc:

0

3x3 a

Suy

3

6

2

6

3

2

1

2

5

1

   

 

     

   

     

 

x x

x x x

x x x

x

x x

PT cho có nghiệm

2 3

 x

Thí dụ 46 Giải phương trình

4

5

13 x3  x6x4 x3 x2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn Đặt 3 5x33a

0

2

5

4

6     

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

3    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

 b a

Thay a vào (*) ta

) ( )

1

(b 3b2 x6x4 x2

0 ) )(

1

(   4  2  

 b x x x b b b

1

2  b x

) , ,

(x4x2bb2 b  x b

Cách khác giải (1):

) ( )

1

(b 3b2 x6x4 x2

1 ) ( ) ( ) (

2 2 2

3         

b b b x x x

) ( )

(  2

 f b f x b x21

Vì

1 )

(t t3 t2 t f

0 ) (

' t  t2 t  f

f(t) hàm đồng biến Suy

1

2

5 2

4

6      

x b x

x x x

3 3

3

5x  ax

Suy

3

6

2

3 3

2 13

5

4

5 

     

  

     

 

x x

x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 13 5

 x

Thí dụ 47 Giải phương trình

2

5

13 3  6 4 3 2

x x x x x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn Đặt 3 5x33a

0

2

5

4

6      

b x

x x x

Suy mối liên hệ:

1(*) 2

4

3    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

 b a

Thay a vào (*) ta

) ( )

1

(b 3b2 x6x4 x2

0 ) )(

1

(   4  2  

 b x x x b b b

1

2  b x

) , ,

(x4x2bb2 b  x b

Cách khác giải (1):

) ( )

1

(b 3b2 x6x4 x2

1 ) ( ) ( ) (

2 2 2

3         

b b b x x x

) ( )

(  2

 f b f x b x21

Vì

1 )

(t t3 t2 t f

0 ) (

' t  t2 t  f

f(t) hàm đồng biến Suy

1

2

5 2

4

6      

x b x

x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

3

5x  a x

Suy

3

6

2

3 3

2 37

3

2

5 

      

  

     

 

x x

x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệm

2 37 5

 x

Thí dụ 48 Giải phương trình

2

3

2 2

5

4

Hướng dẫn Đặt 3 4x33a

0

2

5

6

     

b x x x x

Suy mối liên hệ:

2(*)

2

2

3    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

 b a

Thay a vào (*) ta

) ( 2

)

(b 3 b2 x6  x4  x2 

0 ) )(

1

(  2 4  2 2 

 b x x x b b x

1

2  b x

) , ,

(x4x2bb2x2  x b

Cách khác giải (1):

) ( 2

)

(b 3 b2 x6  x4  x2 

1 ) ( ) ( ) (

3 2

2

3         

b b b x x x

) ( )

(  2

 f b f x b x21

Vì

1 )

(t t3t2 t f

0 3 ) (

' t  t2 t  f

f(t) hàm đồng biến Suy

1

2

5 2

6

      

x b x x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

3

4x  ax

Suy

  

       

   

     

 

3

6

2

3 3

3

3

2 2

5

x x x

x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệmx3 3;x1

Thí dụ 49 Giải phương trình

2

3

2

11

6

1 x   x  x  x  x

Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn Đặt 3 x3 a

8

0

2

11

6

     

b x x x x

Suy mối liên hệ:

3(*)

3

3    

x x x b a

Pt cho trở thành:

(**)

Thay a vào (*) ta

) ( 3

)

(b 3 b2 x6  x4 x2

0 )

)(

(  2 4  2 2  

 b x x x b x b b

1

2  b x

) ,

(x4x2b x2 b2 b  x b

Cách khác giải (1):

) ( 3

)

(b 3 b2 x6  x4 x2

1 ) ( ) (

3

3      

b b x x

) ( )

(  2

 f b f x b x21

Vì

1 )

(t t3 t f

0 3 ) (

' t  t2  f

f(t) hàm đồng biến Suy

1

2

11 2

6

      

x b x x x x

Thay vào (**) đƣợc: 3

3

4x  ax

Suy

   

       

   

     

 

3 3

6

2

3 3

4

8

2

11

x x x

x x

x x x x

x x

PT cho có nghiệmx3 2;x3 4 Thí dụ 50 Giải hệ phương trình

    

 

  

  

   



) (

2

1 2 ) (

2 4

) (

4

2

2

2

3 2

x x

x x x

x y

x y

x y xy

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn tạo PT

Chọn dạng my3 n  p

Chọn sau biến đổi: m x2y;3 n 2;px Suy mối liên hệ:

4 8(*)

2

2    

xy y

x b a

Pt cần tạo trở thành:

(**)

yb x a 

Thử giải hệ PT gồm(*) (**) ta thấy cần chọn để có đk xy b dương loại bỏ trường hợp phức tạp nên chọn: m3xy4

Từ(*) suy ra: nx24y25

Việc chọn n hay m trước ta phải linh động Hướng dẫn

Đặt

4

 xy

0

4

3 x2 y2 b

Suy mối liên hệ:

4 8(*)

2

2    

xy y

x b a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

yb x

a 

Thay a vào (*) ta

8 4 )

(xyb 2b3 x2  y2 xy

0 4

2

8 2

3     

b xyb xy y b y

0 ) 2

4 )(

(       

 b b b xy y b y

2

 b

0 )

2 (

;

3   2     

 b b b xy y b y

xy

y x a

b2  2

Ta có:

  

 

   

  

  

  

3

0 2

5

2

3

2

3 2 x y

y x y

x

y x xy

2

3

4y  x



Thay vào PT(2) có

2

1 2 ) (

2

2

2

2

 

  

  

x x

x x x

x x

 2 (2 2) 2 )

1

(   2    2 

 x x x x x x x

1 2 2 ) 2 ( ) ( )

( 2 3   2  2    

 x x x x x x x x

) 2 ( )

( 2   

 f x f x x

t t t

f( ) 3 f'(t)3t210

Suy f(t) đồng biến nên

) 2 ( )

(x2   f x2 x f

  

     

  

 

3

2

2 0

) ( 2

x x x

x x

x x

Với

2

3

0   

 y y

x

Đối chiếu đk ;

3  

 x y

xy ta lấy )

2 ;

0 (x y

Với

2 4

4

3

2

3      

 y y

x

Đối chiếu đk ;

3  

 x y

xy ta lấy )

2 ;

2 (

3

3  

 y

x

Hệ PT cho có cặp nghiệm )

3 ;

0

(x y ; )

2 ;

2 (

3

3  

 y

x

Thí dụ 51 Giải hệ phương trình

    

    

   



  

) ( 16

) (

4

2

1

3 2

2

y x

x

x y

x y xy

x x x

Hướng dẫn Đặt

4

  xy

Đặt 54xy a0

0

4

3 x2 y2 b

Suy mối liên hệ:

4 8(*)

2

2    

xy y

x b a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

yb x

a 

Thay a vào (*) ta

8 4 )

(xyb 2b3 x2 y2 xy

0 4

2

8 2

3     

b xyb xy y b y

0 ) 2

4 )(

(       

 b b b xy y b y

2

 b

0 )

2 (

;

5   2     



 b b b xy y b y

xy

y x a

b2  2

Ta có:

  

 

   

  

  

  

5

0 2

3

2

5

2

3 2 x y

y x y

x

y x xy

2

5

4y  x



Thay vào PT(2) có

6

2 2

4

2

    

  

x x

x

x x x

4 ) 2 (

2 2

4

2

     

 

 

x x

x

x x x

Với 8x23x42(x21)

4 ) 2 (

2 2

4

2

       

 

 

x x

x

x x x

Với 8x23x42(x21)

4 ) 2 (

2 2

4

2

       

 

 

x x

x

x x x

Với 8x23x42(x21)

4 ) 2 (

2 2

4

2

       

 

 

x x

x

x x x

    

     

 

 

4

2

4 0

) ( ) (

x x x

x x

x x

Với

2

5

0   

 y y

x

Đối chiếu đk ;

5  



 x y

xy ta lấy )

2 ;

0 (x y 

Với

2 16

9

16

3

3

2

    

 

 y y

Đối chiếu đk ;

5  



 x y

xy ta lấy )

2 16

9 ;

4 (

3

 

 y

x

Hệ PT cho có cặp nghiệm )

5 ;

0

(x  y  )

2 16

9 ;

4 (

;

3

 

 y

x

Thí dụ 52 Giải hệ phương trình

    

 

  

 

  

  

  

) ( ) (

2 11

2

) (

4

2

2

4 11

2

2

x x

xy x

y x

y xy

x y

xy x

x x x

Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

Hướng dẫn ĐK:

2

  xy

Đặt 4x22xyy23a

2xy1b0

Suy mối liên hệ:

(*) 4

4 2

2

2    

xy y

x b a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

y xb

a 

Thay a vào (*) ta

(*) 4

)

(xby 2b2  x2y2 xy

0 ) 2 ( 2

)

( 2   2  

 x b xyb x xy

    

 

  

  

) (

) 2 (

2

loai x

xy x

b b

y x a

b2 2 

Ta có:

  

    

  

    

 

3

0

2

4

2

2

2 xy

y x y

x y

xy x

xy

Thay vào PT(2) có

) (

5 11

2

2

6 112

 

  

  

x x

x x

x x x

 2 2  2 112

2 11

) (

1    

  



   

 



 x x x

x x x

) 11 ( )

( 2  2 

 f x f x x

       

 

  

  

  

   

 

    

   

 

4

2

)

(

0

0 ) )( ( 11

2 2

2

y x

y x

y x loaivi y

x

khơngcóy x

x x x x x

x x

) (

5 11

2 4 2

2

6 112

2

 

  

  

x x

x x

x x x

0

5 11 1

2 4 2

2

6 11

2

2

  

  

      

x x

x x

x x x

0

4

) )( (

2 4 2

2

4 11

) )( (

2

2

 



  

 

    

  

x x

x x x x

x x x

x x x x

Xét trƣờng hợp………

Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta tạo hệ PT gồm PT thứ đặt ẩn phụ khơng hồn tồn kiểu tác giả PT thứ đơn giản,quen thuộc chẳng hạn: Thí dụ 53 Giải hệ phương trình

   

  

   

  

 

) ( 3

2

) (

2 2

2

2

2

2

x

y y xy

x y

xy x

x y xy x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN)

Hướng dẫn

ĐK 2xy1y2 2xy1

Đặt 4x22xy2y23a

2xy1y2 b0

Suy mối liên hệ:

(*) 4

4 2

2

2    

xy y

x b a

Pt (1)đã cho trở thành:

(**)

y xb

a 

Thay a vào (*) ta

(*) 4

)

(xby 2b2  x2y2 xy

0 ) 2 ( 2

)

( 2   2  

 x b xyb x xy

    

 

  

  

) (

) 2 (

2

loai x

xy x

b b

y x a

b2 2 

Ta có:

  

  

   

  

    

  

0

0

2 2

2

2

2

2

2

xy y

y x y

x y

xy x

y xy

Thay vào PT(2) có

3

2x  3x  x

0 3

2    

 

x

x x

3 )

(t   3  x

f x x

2 ln ln ) (

' t  x  3x 

f

0 ln ln ) (

" t  x  3x  f

Suy f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu Vì f(t) có tối đa nghiệm suy x=2,x=3 tất nghiệm f(t)

Với x=2 có: 

 

     

3

3

2

y y y

y

Thí dụ 54 Giải hệ phương trình

    

  

     

  

   

   

(**)

3

3

3

3

(*)

4 )

(

2 2

2

2

2

x x

x y xy x

x y xy x

y xy

y y x y

xy x

Tác giả:Vũ Hồng Phong

Hướng dẫn

Đk y24xy30;9x28xy3y260

Đặt 9x2 8xy3y26 a0

y24xy3b0

Suy mối liên hệ:

) ( 12

9 2

2

2    

y xy x

b a

Pt (*)đã cho trở thành:

y b y x

a(  ) 

Thay a vào (1) ta

(xy)by2 b2 9x2 12xy4y29

(  )21 22 (  ) 3(3 34  23)0

 x y b y x y b x xy y

    

 



      

0

) (

)

3 (

2 2

y x

y xy x

b b

vì có y24xy30;3x2 0 vày24xy3;3x2 khơng đồng thời với b=3 suy a3x2y

Ta có:

  

 

   

  

  

    

6

0 3

3

2

2

2

xy y

y x xy

y

y x y

xy y

Thay vào PT(**) có

1

15 3

2 2

  

  

 

x x

x x x

x

1

) )( (

2 2

2

  

   

 

   

x x

x x x

x x

x

4 3

3

2    



 x x

x x

0 ) ( ) (

2 2   2  2   2 

 x x x x x x

   

  

    

2

1

3

2

2

x x

x x

x

     

 

      

  

  

  

4 33 3

0 3

0 ) (

3

3

x x x x

x x x

Với x0 có:y2 6 y

Với x3 3

có: 3

9 6

3

4     

 y y

y Với

4 33 3

 

x có:  

2

33 24 33

) 33 (

2

2          

y y

Với

4 33 3

 

x có:  

2

33 24 33

) 33 (

2

2         

y y

y

Kiểm tra đk: 3x2y0 ta lấy cặp nghiệm:

0



x ;y 

4 33 3

 

x  

2

33 24 33 ;

2

      y

4 33 3

 

x  

2

33 24 33 ;

2

      y

Thí dụ 55 Giải hệ phương trình

   

   

 

    

    

(**)

3

(*)

2

2 2

2 2

2 2

y x y x y

y

x y

x y x x y

y x y x y x

y

Tác giả:Vũ Hồng Phong

Hướng dẫn

Đk x2yx2y1

Đặt x2y2 x2yx2y2y2a0

x2yx2 y1b0

Suy mối liên hệ:

) (

2 2

2     

y y y x b a

Pt (*)đã cho trở thành:

x xb

a 

Thay a vào (1) ta

1 )

(xbx 2b2 x2y2y2 y

 21 22 ( 1)(  2 1)0

 x b x b y x y x y

    

 

   

   

) (

) (

1

2 2

l x

y x y x b

y b

Ta có:

   

    

     

1

2

2

2 2 2

y y

x y x

xy y

y x y x y x

       

    

 

 

1

1

2

y y y x y y xy

Thay x2yx2 y1 y1 vào PT(**) có

0 2y y2y 

2

)

(y  y2y

f y

1 2 ln ) (

' y   y

f y

2 ln ) (

" y  y  f

2 ln

2 ln

2 ln ) (

" y     y 2

f y

suy f’(y) có tối đa khoảng đơn điệu suy f’(y) có tối đa nghiệm suy f(y) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm

suy y=1;y=2;y=3 tất nghiệm f(y) ta loại y=1

Đối chiếu điều kiện suy hệ Pt cho có cặp nghiệm:

) ; (

), ; 2

(x y x y

Thí dụ 56 Giải hệ phương trình

       

  

  



      

   

 

 

 

(**) 2

) (

5

2

(*) 1 2

1

2

) (

2

1 2

1

2

1

2

2

2

2 2

2

y x xy

y xy

y x xy xy

y x

x y xy y

x x

x x

x x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn Đk xy22y0

Đặt x2y2 xy2 2xyx22y1a0

2  

b y xy

Suy mối liên hệ:

) (

2

2 2

x xy

y x b

a     

Pt (*)đã cho trở thành:

1 )

1 (

1

2 )

1

(      

   

x b y a a

x b y

Thay a vào (1) ta

 2 2 2

1

)

(y yx b x y  xy x

( 1)2 1 22( 1)( 1)  ( 2 2)0

 y b x y b x xy y

    

  

   

    

) ( ) (

) 2 (

1

2

l y

y xy b

xy a x b

Ta có:

   

 

      

x y xy

xy y

x xy xy

y x

2

1

2

2

2

2

    

  

  

2

2

1

x y xy x xy

Thayxy2 2yx2 vào PT(**) có

0 2

) (

3

2

2

1 2

1

2 2

2

  

 

  

   



x x

x

x x

x x

x x

Đặt

1 2

1

2

   



t x

x x

Có:

0

3t  2t  t  t t

f( )3t 22t 5

5 ln ln ) (

' t  t  2t 

f

2 ln ln ) (

" t t 2t

f   

suy f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa nghiệm suy f(t) có tối đa khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa nghiệm

Với t 1 có:

     

 

     

  

  

   

      

  



3 3

3

2

2

) (

2

0

0 ) ( 1 2

1

y

loaivixy y

x

y x

x x x

x x

Với t 1 có:

     

 

  

     

  

  

           



) (

3

) (

3

0 ) )( ( 2

1

2

loai x

y

loaivixy y

x x

x x

x x

hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): )

3 ; ( ),

3 ; ( ), ; (

3

3    

Sau tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng phương pháp đặt ẩn phụ tác giả nghĩ ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép Ơ-le tính tích phân)

Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép Ơ-le bạn tìm tạp chí: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hồn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh)

Thí dụ 57 Giải hệ phương trình

     

   

 

  

   

(**) 16

15

4 ) ( 16 16

(*) 1

2

2

2

4

2

x x

x x

y y

x y y x y

y x x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh)

Hướng dẫn

Đk  yx4 0 yx4 0 y0(đk:y0)

Đặt 2x42x2 y2 y1a0

yx4 b0

Suy mối liên hệ:

) ( 2

2

2    

x y x b a

Pt (*)đã cho trở thành:

1

2



 b

y x a

Thay a vào (1) ta

) (

1 2

2

        

 

 b x y x

b y x

0 ) (

2

1 2

2 2

4

 

  

   



 

 b x y x

y x b y

x

0 ) (

2

1 2

2 2

4

 

  

   

 



 b x y x

y x b y

x

0 ) (

2

1 2 2

2

 

 

    

 



 b x b y x y x

     

 

   

   

 0( )

) (

) (

1

2

2

2

l y

y x

x y x b

x a y b

Ta có: 

  

 

     

y x y

x y

y x x

4

2

2

1

2

  

  

 02 4

x y y y

Thayyy2 x4 vào PT(**) có

9 16

15

4 ) (

16 2

   



x x

x x

Điều kiện 16

  x

*) * (* 16

30

4 ) 16 (

32 2

   

 

x x

x x

Ta có

1 ) ( ) (

1 12 ) (

2

2

2 3

 

  

 

  

x x

x x

x x x x

x

1 ) 16 (

32    

 x x x x

Suy

) ( ) 16 ( 32 *) *

(*  x3 x x2 x2  x x2

VT

) ( )

(   3  

 x x x x

Đặt2x 4x21t  x2 1t2x

  

  

  

2

) (

0

x t x

x t

  

 

  

1

0

2

t tx

x t

(i) + Dễ thấy t = không thoả mãn (i)

+ Xét t0

     

 

  

t t x

t t i

4 ) (

2

   

   

t t x t

4

2

Khi PT(***) trở thành

9

1 16

30

3 2

3

  



t t t t

4

30

3 2

3

    

t t

t t

t

4

30

3 2

2

    

t t

t (do t0 )

30 ) )(

( 2 2  

 t t t

0 18 27 16

4 4 3 2  

 t t t t

0 ) )( )(

(   2  

 t t t t

    

      

0

3

2

t t t t

Xét phƣơng trình 4t25t30

Dot0 nên ta lấy t2 -Với t2 thay vào (1) ta đƣợc

8

 x

Vậy PT(***) có nghiệm

8

 x

Với

8



x có:

64 943 32

4096 81

2    

 y y

y

hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y): 

  



 

64 943 32

;

Thí dụ 58 Giải hệ phương trình

     

 

    

 

  

    

  

(**)

30 10

11

3

7

(*)

2

2

3

2

2 2

2

y x

x x

x

y x y x x

y x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn

Dễ thấy x2y10 thì

0

3

(*) x2 y2  x y (không xảy ra)

0 (*)x y 

Đặt 3x2y2 2x1a0

2x23y2 b0

Suy mối liên hệ:

2

2

) ( )

(x y

b

a    

Pt (*)đã cho trở thành:

y x

b

a  12

Ta có hệ:

  

    

  

   

0

) )( ( ) )( (

y x

b a

y x

y x

b a b a

  

   

    

y x

b a

y x

b a

2

2

  

   

y b

x a

2

   

 

     

y y x

x x

y x

2

1

2

2

2

    

 

  

2

2

1

x y y x

Thayy2 2x2 vào PT(**) có :

*) * (*

70 11

3

2

3

2 x x

x

x   

  

 

  

+Dễ thấy x0 không thoả mãn PT (***) + Xét x0

Đặt 1

3

7    

tx x

x

   

    

  

1

3

0

2 2

xt x t x x tx

  

     

x tx x x t tx

2

0

2

2 (1)

2 ) (

0

2

  

  

  

t x t

tx

không thoả mãn (1) Khi

3

 

t

     

   

   

0

2

7

2 )

1 (

2

t t t

t t x

     

 

 

   

0

7

7

2

2

2

t t t

t t x

        

     

  

   

3 7

2

2

t t

t t x

(2)

Với cách đặt thay vào PT cho ta đƣợc

3 70 11 ) 1

(

2

3 x x

tx  



2

3

70 11

x x x

t  



70 11

3  

 t x x

70

2 11

2

3 2 2 

  

  

t t t

t t

) ( 70 ) ( 11 ) (

3     2

 t t t t

0 468 66 210

6

18 4 3 2  

 t t t t

0 ) 13 )( )( (

6   2  

 t t t t

    

      

0 13

2

2 t t t t

     

 

  

   

3 43 2

t t t

đối chiếu điều kiện t (2) ta loại

3 43 2  

t

Với t lại thay vào (2) ta đƣợc

775 , 43 13

43 3 ;

2 ;

1 

     

 x x

x

đối chiếu điều kiện 0,775

43 13

43 3 ;

1

1 

      

 x x

x

Với

   

        

) ( 2

2

1 2

l y

y x

y x

Với ( 0)

43 13

86 43

2 13

43

3 

    

 

 y y

x

hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y):

) : (

;

) 43 13

86 ; 43 13

43 3 (

  

Thí dụ 59 Giải hệ phương trình                         (**) 14 41 28 27 11 17 2 11 17 (*) 2 2 2 2 x x y x x y x y x y x x y x

Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)

Hướng dẫn

Dễ thấy xy20 thì

) ( 2

(*) x2y2 x  x2 y xy    x2  x  vn (không xảy ra)

0 (*)xy 

Đặt 5x2 y26x9a0

2   

b y

x

Suy mối liên hệ:

2 2 2 ) ( ) (

6        

 

b x x y y x y

a

Pt (*)đã cho trở thành:

1

3 

 

b x y

a

Ta có hệ:

                  ) )( ( ) )( ( y x b a y x y x b a b a               ) ( y x b a y x b a         y b x a               1 2 y y x x x y x           2 x y y x

Thayy2 4x2 vào PT(**) có :

14 41 28 27 ) 11 )( ( 11 17

6  

     x x x x x

Dễ thấy x1 khơng nghiệm phƣơng trình Với x1 đặt

0 ) ( ) 11 )(

(x x  x t (1)

2 ) ( ) 11 )(

(x x  x t

 ) ( 11

6x  x t  2 11 )

(t  x t

 (2)

Dễ thấy t không thoả mãn (2) Với t 6suy

6 11 2    t t x (3)

thay vào (1) ta đƣợc:

0 ) 11 )(

( 2 

    t t x x Suy         6 t t (4) Phƣơng trình cho trở thành

14 41 11 28 27 6 2 2              t t t t t t ) 12 )( 195 55 (

700 2 2 2 

 t t t t

  

0 468 195 350

55

224 3 2  

 t t t t

0 ) 156 143 22

)( )(

(   2  

 t t t t

     

 

     

44 6721 143

3

t t t

Kiểm tra điều kiện (4) ta lấy t 3

44 6721 143

 

t

Thay giá trị t vào (3) ta đƣợc

3 

x

và

6721 286 15554

5874 6721

286

  

x

6721 143 7777

2937 6721

143

  

Với

3

; 16

3

2 2 2

   

 

 y x y y

x

Với

6721 286 15554

5874 6721

286

  

x ;y2 4x2;y1

6721 143 7777

5874 6721

286

  

 y

hệ Pt cho có cặp nghiệm (x;y):

3 ;



 y

x

6721 143 7777

2937 6721

143

  

x

6721 143 7777

5874 6721

286 ;

  

y

Thí dụ 60 Giải hệ phương trình

    

  

 

   



  

(**) 75 20

(*)

1

15

2

1

3

2

2

y x y

e e

y y

x x xy

y y y

Hướng dẫn Đk:

4 15  

xy

Đặt: 4xy15 a0

3 2

2

   

b y

x

Suy mối liên hệ:

16 ) (

2

2   

y x b

a (1)

Từ phƣơng trình (*) có: y

xb a  

Thay vào (1) đƣợc:

xb y22b3(2x y)216

 2 8

)

(   2 2   

 b x b x b b xy

2 

b  2 22 24 2 80

xy b b x b x vì Suy

y x a2 

  

 

   

   

  

  

15

0

2

1

2 15

2

2

y x

y x y

x

y x xy

4

15

2 y

x  



Thay vào(**) đƣợc:

y y y e

ey21 3y22y1  5 2

) ( )

1

( 2 2

1

2

   

 

   

y y e

y

ey y y

) ( )

(    

 f y f y y

2

)

(t e t

f  t  t e t

f'( ) t 2 )

( '

' t et  f

2 ln

2 )

( '

' t e   x

f t

t Ln2

f”(t) - +

f’(t)

2-ln4>0 f(t)

Nhƣ f(t) hàm đồng biến suy

) ( )

(y2  f y2 y f

  

     

  

   

     

 

2

) )( (

0 1

2

2

2

y y y

y y y y y

y y

2 11

11

2   

 x x

y

2 2 12

2 12

1      



 x x

y

Đối chiếu đk suy nghiệm hệ cho:

    

  

  

   

 

2 ;