NGUYÊN TẮC DIRICHLET TRONG ĐỂ GIẢI TOÁN “tailieumontoan com” Date 1 Giới thiệu nguyên tắc Dirichlet Dirichlet là tên của một nhà toán học người Đức (Pôngutáp Lêgien Điriklê) ông sinh năm 1805 và mất n[.]
NGUYÊN TẮC DIRICHLET TRONG ĐỂ GIẢI TOÁN Date “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt Giới thiệu nguyên tắc Dirichlet Dirichlet tên nhà tốn học người Đức (Pơngutáp Lêgien Điriklê) ông sinh năm 1805 năm 1859 Trong q trình nghiên cứu giảng dạy tốn trường phổ thông ông đưa nguyên tắc giải toán hữu hiệu sử dụng nhiều lĩnh vực số học, hình học đại số Ngày người ta thường gọi nguyên tắc nguyên tắc Dirichlet hay nguyên lý Dirichlet (hay gọi nguyên tắc “nhốt thỏ vào lồng”) * Cụ thể: Nếu nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ thỏ trở lên (Hay: Không thể nhốt thỏ vào lồng lại khơng có lồng nhốt nhiều thỏ) * Tổng quát: a Nếu ta nhốt n thỏ vào n − lồng tồn lồng có từ hai thỏ trở lên b Khi nhốt n thỏ vào k lồng: + Nếu n = kp + r ( < r ≤ k − ) tồn lồng chứa khơng p + thỏ + Nếu n = kp tồn lồng chứa khơng p thỏ tồn lồng chứa không nhiều p thỏ Chú ý: + Nguyên lý Dirichlet thường sử dụng để giải toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần cách tường minh vật, việc + Khi giải toán vận dụng nguyên lý Dirichlet, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) yếu tố “thỏ”; “lồng”; “nhốt thỏ vào lồng” Khi giải diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học + Nhiều toán sau số bước trung gian sử dụng nguyên lý Dirichlet + Thường kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng II Bài tâp Bài Thả 257 viên bi nhỏ vào bàn cờ Quốc tế 64 ô vuông Chứng minh tồn ô chứa viên bi (kể trường hợp viên bi nằm cạnh ô vuông) Lời giải Tìm cách giải: Coi 64 vng 64 lồng 257 viên bi 257 thỏ Ta thấy 257 = 64.4 + Thả 257 thỏ vào 64 lồng, theo nguyên lý Đi-rich-lê tồn lồng chứa thỏ Giải Giải trực tiếp Tuy nhiên dùng phản chứng: Giả sử không tồn ô chứa viên bi, nhiều chứa viên 64 ô chứa nhiều 64.4 = 256 viên bi Vô lý Bài Một lớp học có 41 học sinh làm kiểm tra Tốn, khơng có bị điểm Có bốn học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Tìm cách giải: Trong tốn số “thỏ” 41 − = 37 điểm từ đến “Lồng” loại điểm nói Phép chia 37 cho dư Tồn + = học sinh có điểm kiểm tra Giải Có 41 − = 37 học sinh phân chia vào loại điểm từ đến Giả sử không tồn loại điểm có bạn đạt, nhiều loại điểm có bạn đạt; loại điểm có nhiều 7.5 = 35 bạn đạt Lớp học 41 học sinh Vơ lý Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra Bài Người ta chia hình vng thành 16 hình vng nhỏ cách chia cạnh thành phần Người ta viết vào ô bảng số −a ; 0; a sau tính tổng số theo cột, hàng đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Tìm cách giải: Có tổng theo cột, theo hàng, theo đường chéo “số thỏ” Mỗi tổng có giá trị Số giá trị tổng số “lồng” Giải Số hàng: 4; Số cột: 4; Số đường chéo: Như có 10 tổng Các giá trị có cộng số hàng, cột đường chéo −4a ; − 3a ; − 2a ; − a ; 0; a ; 2a ; 3a ; 4a Có 10 tổng, tổng nhận giá trị mà 10 = 9.1 + Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị Bài 5: Chứng minh rằng: Trong n + số tự nhiên a ; a ; ; a n ; a n + tìm hai số cho hiệu Bài 6: Trong 2016 số tự nhiên a ; a ; ; a 2016 ln tìm số chia hết cho 2016 hai số có hiệu chia hết cho 2016 Tìm cách giải: Trong toán số “thỏ” số 2016 số tự nhiên bất kỳ, “Lồng” số số dư phép chia số cho 2016 Có hai khả xảy ra: có số chia hết cho 2016, tất số không chia hết cho 2016 Giải Nếu n số chia hết cho 2016, toán chứng minh Nếu tất 2016 số khơng có số chia hết cho 2016 số chia cho 2016 nhận 2015 số dư 1; 2; 3; ; 2014; 2015 Có 2016 số mà có 2015 số dư nên tồn số có số dư chia cho 2016 ⇒ hiệu hai số chia hết cho 2016 (đpcm) Bài 7: a) Cho dãy số gồm 100 số tự nhiên a ; a ; ; a 100 Chứng minh tồn số chia Giải Chia số cho n nhận n số dư 0; 1; 2; ; n − 2; n − Có n + số, có n số dư Do hết cho 100 tổng số số chia hết cho 100 b) Hãy tổng qt hóa tốn Tìm cách giải: Trong toán số “thỏ” số 100 số tự nhiên bất kỳ, “Lồng” số số dư phép chia số cho 100 Có hai khả xảy ra: có số 0, tất số khác khơng Giải a) Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn đầu Trường hợp tất số khác ta lập 100 tổng sau: S1 = a1 theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho n Không tổng quát giả sử hai số a p S3 = a1 + a2 + a3 chúng chia hết cho n Tìm cách giải: Trong toán “thỏ” số tự nhiên bất kỳ, “lồng” số số dư phép chia số cho n Chia số cho n nhận n số dư 0; 1; 2; ; n − 2; n − Có n + thỏ, có n lồng a q ( p ;q ∈ {1;2; ;n ;n + 1}) a p > a q Ta có: a p= n k p + r (r ∈ N ;0 ≤ r ≤ n − ) = a q n kq + r ( ) Khi a p − a q= n k p − kq n Đây hai số có hiệu chúng chia hết cho n Bài toán chứng minh S 2= a + a ……………… S 100 = a + a + a + + a 100 Nếu 100 tổng chia hết cho 100, toán chứng minh Nếu tất 100 tổng khơng chia hết cho 100, chia cho 100 chúng nhận 99 số dư 1; 2; 3; ; 99 Có 100 tổng có 99 số dư chia cho 100, theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có số dư ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ chia cho 100 Giả sử hai tổng S k = a + a + a + + a k S h = a + a + a + + a h ( 100 ≥ k > h ≥ ) Thì Sk − Sh = = (a h +1 (a + a + a + + a k ) − (a + a + a + + a h ) = + a h + + a h +3 + + a k ) 100 b) Tổng quát hóa: Cho dãy số gồm n số tự nhiên a ; a ; ; a n Chứng minh tồn số chia hết cho n tổng số số chia hết cho n Bài 8: Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt câu lạc toán khối trường THCS, bạn học sinh giỏi toán lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E, 7G viết thư trao đổi với hai nội dung: (I): “Thống kê” (II): “Biểu thức đại số” Biết bạn viết thư cho bạn cịn lại (trong bạn nói trên) hai nội dung Chứng minh có bạn trao đổi với nội dung Tìm cách giải: Ta gọi học sinh giỏi toán (ta coi “thỏ”) lớp A, B, C, D, E, G Giả sử bạn A chẳng hạn viết thư cho bạn lại bạn hai nội dung “Thống kê” “Biểu thức đại số” Ta thành lập “lồng” cách sau đây: - “Lồng I” nhốt trao đổi với A nội dung (I) - “Lồng II” nhốt trao đổi với A nội dung (II) Như có thỏ nhốt vào “2 lồng” Theo ngun lí Dirichlet phải có lồng nhốt khơng “thỏ”, nghĩa phải có bạn số bạn (khơng kể A) trao đổi với A hai nội dung Khơng tổng qt ta giả sử bạn trao đổi với A nội dung (I) + Trong ba bạn có hai bạn trao đổi với nội dung (I) hai bạn với A tạo thành bạn trao đổi với nội dung + Nếu ba bạn có khơng có hai bạn trao đổi với nội dung (I) ba bạn trao đổi với nội dung (II) Bài toán chứng minh Ta trình bày lời giải sau: Giải Ta gọi học sinh giỏi toán lớp A, B, C, D, E, G Giả sử bạn A chẳng hạn viết thư cho bạn lại hai nội dung (I) (II) Ta có = 2.2 + Theo nguyên lí Dirichlet A phải viết cho bạn nội dung, không tổng quát ta giả sử bạn B, C, D nội dung trao đổi (I) + Trong ba bạn B, C, D có hai bạn trao đổi với nội dung (I) chẳng hạn B C hai bạn B C với A tạo thành bạn trao đổi với nội dung + Nếu ba bạn B, C, D có khơng có hai bạn trao đổi với nội dung (I) ba bạn trao đổi với nội dung (II) tạo thành bạn trao đổi với nội dung Bài toán chứng minh Tóm lại dù khả xảy ta ln có bạn trao đổi với nội dung Bài 9: Chứng minh tồn lũy thừa 79 mà chữ số tận 00001 Tìm cách giải: Nhận xét 79n Nếu n chẵn chữ số tận Nếu n lẻ chữ số tận Do ta xét 10 lũy thừa 79 với số mũ chẵn khác Giải Ta cần chứng minh tồn k ∈ N cho 79k − chia hết cho 105 Xét 10 + số: 79; 79 ; 793 ; 79 ; ; 79 10 +1 Tất số không chia hết cho 10 nên lấy 10 + số chia cho số 10 theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư phép chia cho 105 Khi hiệu chúng chia hết cho 10 Giả sử hai ( ) số 79m 79n m , n ∈ N ; ≤ n < m ≤ 10 − ( ) Ta có 79m − 79n 10 hay 79n 79m −n − 10 ( ) ( ) Vì 79n ;10 = nên 79m −n − 10 Ta chọn m − n = k lúc 79k chia cho 10 dư tức 79k có chữ số tận 00001 (đpcm) Bài 10: Mỗi vng bảng kích thước 10 × 10 (10 dịng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần Giải Trên hình vng kích thước × có khơng số chia hết cho 2, không số chia hết cho ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Lát kín bảng 25 hình vng, kích thước × , có nhiều 25 số chia hết cho 2, có nhiều 25 số chia hết cho Do đó, có 50 số cịn lại khơng chia hết cho khơng chia hết cho Vì chúng phải ba số 1; 5; Ta có = 50 3.16 + Từ theo ngun lý Dirichlet có số xuất 17 lần Bài 11: Trên đường tròn cho điểm phân biệt Hai điểm điểm nối đoạn màu xanh màu đỏ Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh màu Giải Do theo ngun lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị Bài 13: Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x , y cho x − y { } thuộc tập hợp E = 3;6;9 Giải Gọi 700 số nguyên dương đôi khác cho a ; a ; a ; ; a 700 Như X = {a ; a ; a ; ; a 700 } Xét 700.4 = 2800 số sau đây: a ; a ; a ; ; a 700 ; a + 3; a + 3; a + 3; ; a 700 + 3; a + 6; a + 6; a + 6; ; a 700 + 6; a + 9; a + 9; a + 9; ; a 700 + 9; Do số không lớn 2006 nên số không lớn hơn: 2006 + = 2015 Có 2800 số mà số nhận giá trị từ đến không 2015 Theo theo nguyên lý Dirichlet phải tồn hai số Giả sử số a i + = a k + với (i ; k ∈ {1;2;3; ; 700} Khi a k − a i = x − y = − = Giả sử điểm phân biệt đường tròn A, B, C, D, E, G Từ điểm nối với điểm lại đoạn thẳng với màu xanh đỏ Theo nguyên lý Dirichlet tồn ba đoạn thẳng màu Không tổng quát, giả sử ba đoạn thẳng AB, AC , AD màu đỏ (nếu màu xanh lập luận tương tự) Xét ∆BCD có cạnh chẳng hạn BC màu đỏ ∆ABC có ba cạnh màu đỏ Trái lại ∆BCD có ba cạnh màu xanh Vậy ln tồn tam giác có ba cạnh màu Bài 12: Cho lưới ô vuông × Người ta điền vào số −1; 0; Xét tổng số tính theo hàng, theo cột theo đường chéo Chứng minh tồn hai tổng có giá trị Giải Tổng số có 12 tổng là: tổng theo hàng; tổng theo cột tổng theo đường chéo Vì tổng có số hạng gồm số −1;0;1 nên tổng nhận không { } 11 giá trị −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3;4;5 (Tương tự có số a i + = a k + ta có ) Suy tồn a k ta có x − y = x − y= 3; a i + = hai phần tử x , y ∈ X cho x − y thuộc tập hợp E = {3;6;9} Bài 14: Cho dãy số 10 ; 10 ; 103 ; 10 ; ; 10 20 Chứng minh có số dãy số chia cho 19 dư Giải Xét dãy số 10 ; 10 ; 103 ; 10 ; ;10 20 có 20 số nên chia số dãy cho 19 ta nhận 19 số dư r ∈ {0; 1; 2; 3; ; 17; 18} Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 19 Khơng tổng quát giả sử hai số 10a 10b ( a , b ∈ N * b < a ≤ 20 ) ( ) ( ) 10a −= 10b 10b 10a −b − 19 Mà 10b ;19 = nên ( 10 a −b ) − 19 hay 10a −b 19 dư ≤ a − b ≤ 19 Ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Bài Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận bút tổng cộng 25 Bài Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà khơng quen tổng số người quen A người quen B khơng nhỏ 19 Chứng minh phân công vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen Bài Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết tả, tổ mắc lỗi, bạn Bình mắc nhiều lỗi (mắc lỗi) Chứng minh tổ có bạn mắc số lỗi Bài Ở vòng chung kết cờ vua có đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ phải gặp đủ đấu thủ lại, người trận Chứng minh rằng, thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Bài Có nhà khoa học viết thư trao đổi với hai đề tài: bảo vệ mơi trường chương trình dân số Chứng minh có ba nhà khoa học trao đổi đề tài Bài Cho mảng ô vuông kích thước x Người ta viết vào ô bảng số -1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài Trên bảng vng kích thước x 8, ta viết số tự nhiên từ đến 64, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Bài Cho sáu số nguyên dương đôi khác nhỏ 10 Chứng minh ln tìm số có số tổng hai số lại Bài 10 Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E = {3;6;9} Bài 11 Cho số tự nhiên từ đến 2012 Hỏi chọn nhiều số cho tổng hai số chúng khơng chia hết cho hiệu nó? ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK = 3S ABKS Từ SCDSK = 3S ABKS ta suy được: DS + CK = ( AS + BK ) ⇔ a − AS + a − BK = ( AS + BK ) ⇔ AS + BK = a ⇔ EM = a suy E cố định d qua E a Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng + = đồng quy Bài Gọi số bút mà học sinh thứ I ( 32 học sinh ) nhận ( i = 1,2, ,32) Như ∈ N * a1 + a2 + + a32 ≤ 49 Ta kí hiệu: Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN = GP = HQ = S1 = a1 , S= a1 + a2 , …… S32 = a1 + a2 + + a32 Với i ∈ {1;2; ;32} ta có : ≤ Si ≤ 49 , Si + 25 ≤ 74 ; Si + 50 ≤ 99 , Si + 75 ≤ 124 Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) S1 , S , , S32 , 32 số nhóm (2) S1 + 25, S + 25, , S32 + 25, 32 số nhóm (3) S1 + 50, S + 50, , S32 + 50 , 32 số nhóm (4) S1 + 75, S + 75, , S32 + 75 , ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Thấy 128 số lấy giá trị nguyên dương phạm vi từ đến 124, theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số chúng Vì S1 < S < < S32 nên dãy 32 giá trị nhóm tăng dần kể từ trái qua phải Suy tồn j > i > mà S J + k1.25 = S J + k2 25 với k1 , k2 ∈ {0,1,2,3} k1 ≠ k2 ( hai số khơng nhóm) Vì S j > Si nên < S j − S=i 25 ( k1 − k2 ) , suy k1 − k2 ∈ {1,2,3} Lại có S j − Si < S j ≤ 49 nên 25 ( k1 − k2 ) < 49 , suy k1 − k2 = 25 hay +1 + + + + a j = 25 , nghĩa nhóm Vậy S j − Si = gồm học sinh từ học sinh thứ i + đến học sinh thứ j nhận tổng cộng 25 bút Bài Nếu 20 người khơng có hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen Ta xếp cặp quen vào thuyền đôi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Ai Bi quen (1 ≤ i ≤ k ) Giả sử k ≤ , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen hệ quen A B xếp vào nhiều thuyền đôi (trừ thuyền A, B chưa xếp), mà 19 = 9.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B Nhưng ta xếp lại sau: k – thuyền giữ nguyên, thuyền thứ k xếp Ak B, thuyền thứ k + xếp A Bk Điều mâu thuẫn với giả sử Theo cách xếp ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền cho thuyền hai người quen Bài Ta coi “thỏ” học sinh (trừ bạn Bình) nên có thỏ; “lồng” số lỗi tả học sinh mắc phải nên có lồng: lồng i gồm học sinh mắc i lỗi (i = 1, 2, 3, 4) Có thỏ nhốt vào lồng, mà = 4.2 + 1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng + = thỏ, tức có bạn mắc số lỗi Bài 5.Ta coi “thỏ” đấu thủ nên có thỏ; “lồng” số trận đấu đấu thủ nên có lồng: “lồng i” gồm đấu thủ thi đấu i trận (với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta thấy lồng lồng khơng đồng thời tồn tại, có đấu thủ chưa đấu trận khơng có đấu thủ đấu đủ trận, có đấu thủ đấu đủ trận khơng có chưa đấu trận Như vậy, có lồng chứa thỏ nên theo ngun lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng thỏ, tức thời điểm cược đấu ln tìm đấu thủ đấu dùng số trận Bài 6.Gọi nhà khoa học A, B, C, D, E, F 2.2 + nên theo nguyên lí Nhà khoa học A viết thư trao đổi với nhà khoa học cịn lại đề tài, có= Dirichlet tồn nhà khoa học (chẳng hạn B, C, D) nhà khoa học A trao đổi đề tài (chẳng hạn đề tài môi trường) Trong ba nhà khoa học B, C, D có hai người trao đổi đề môi trường (chẳng hạn B, C) ta chọn A, B, C trao đổi đề tài Nếu ba nhà khoa học B, C, D khơng có hai người trao đổi đề tài môi trường họ trao đổi với đề tài dân số, ta chọn B, C, D trao đổi đề tài (Ở coi nhà khoa học (trừ A) “thỏ” nên có thỏ, coi đề tài “lồng” nên có lồng vận dụng ngun lí Dirichlet tổng qt) Bài Bảng vng kích thước x có dịng, cột, đường chéo nên có 12 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dịng, cột đường chéo có ghi số thuộc tập {–1; 0; 1} Vì giá trị tổng thuộc tập hợp {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} có 11 phần tử Có 12 tổng nhận tập 11 giá trị khác nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tổng nhận giá trị Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” tổng nên có 12 “thỏ”, “lồng” giá trị tổng nên có 11 “lồng”) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Nhận xét Với cách giải tương tự, ta có tốn tổng qt sau: Cho bảng vng kích thước n x n Người ta viết vào ô bảng số –1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài 8.Ta xét hàng có ghi số cột có ghi số 64 Hiệu hai ô 63 Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nhiều 14 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) Ta có 64 = 14.4 + nên theo ngun lí Dirichlet, tồn hai kề mà hai số ghi có hiệu khơng nhỏ + = Bài toán chứng minh (Ở đây, “thỏ” hiệu hai số 64 số (từ đến 64) nên có 63 thỏ; “lồng” số cặp ô vuông kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nên có nhiều 14 lồng) Nhận xét Mấu chốt tốn quan tâm đến hai vng ghi số nhỏ (số 1) số lớn (số 64) có lớn 63; đồng thời xét từ ô ghi số đến ô ghi số 64 cần tối đa (8 – 1) + (8 – 1) = 14 ô Ở ta vận dụng ngun lí Dirichlet tổng qt: Có m thỏ, nhốt vào k lồng mà m = kn + r (1 ≤ r ≤ k − 1) tồn lồng chứa khơng n + thỏ Nếu thay bảng chữ nhật gồm x 10 vng, ghi số từ đến 80 không lặp cách tùy ý kết cầu tốn cịn hay không? Hãy chứng minh Bài 8.Gọi sáu số nguyên dương cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 với < a1 < a2 < < a6 < 10 Đặt A = {a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } gồm phần tử có dạng am với m ∈ {2,3, 4,5, 6} Đặt B = {a2 − a1 , a3 − a1 , a4 − a1 , a5 − a1 , a6 − a1} gồm phần tử có dạng an − a1 với n ∈ {2,3, 4,5, 6} Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm phần tử {1, 2,3, ,9} tổng số phần tử hai 10 tập hợp A B + = Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập hợp, nên có số thuộc tập hợp A số thuộc tập hợp B, tức am= an − a1 , a= am + a1 Ba số am , an , a1 đôi khác Thật vậy, n am ≠ an am = an a1 = trái với giả thiết toán Vậy tồn ba số am , an , a1 số cho mà a= am + a1 (đpcm) n (Ở đây, có 10 “thỏ” 10 số a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a2 − a1 , a3 − a1 , a4 − a1 , a5 − a1 , a6 − a1 có “lồng” số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nhận xét Để giải toán này, ta cần tạo hai tập hợp gồm phần tử nhỏ hợn 10 tổng số phần tử hai tập hợp phải khơng nhỏ 10 Từ suy tồn hai phần tử hai tập hợp Bài 11 Nhận thấy, hai số chia cho dư hiệu chúng chia hết cho 3, tổng chúng chia cho dư 1; nên tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Trong số tự nhiên từ đến 2012, có 671 số chia cho dư số có dạng 3k + (k = 0,1, 2, , 670) Khi hai số 671 số có tổng chia dư 1, hiệu chia hết cho 3, nên tổng không chia hết cho hiệu chúng Ta chứng minh chọn nhiều 672( = 671 + 1) số số từ đến 2012, 672 số ln tìm a, b(a > b) cho a − b ≤ (Thật vậy, giả sử ngược lại hiệu số nhỏ số lớn số chọn không nhỏ 3.671 = 2013 Điều mâu thuẫn giả thiết với hiệu số lớn số nhỏ không vượt 2012 − =2011 ), nghĩa a – b - Nếu a – b = hiển nhiên a + b chia hết cho a – b (= 1) - Nếu a – b = a + b số chẵn nên a + b chia hết cho a – b (= 2) Như từ 2012 số cho chọn 671 số thỏa mãn điều kiện toán Suy số lượng lớn số phải tìm 671 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... mà 10 = 9.1 + Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị Bài 5: Chứng minh rằng: Trong n + số tự nhiên a ; a ; ; a n ; a n + ln tìm hai số cho hiệu Bài 6: Trong 2016 số tự nhiên a ; a ;... tổng sau: S1 = a1 theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho n Không tổng quát giả sử hai số a p S3 = a1 + a2 + a3 chúng chia hết cho n Tìm cách giải: Trong tốn “thỏ” số tự nhiên bất... Theo ngun lí Dirichlet phải có lồng nhốt khơng “thỏ”, nghĩa phải có bạn số bạn (không kể A) trao đổi với A hai nội dung Không tổng quát ta giả sử bạn trao đổi với A nội dung (I) + Trong ba bạn