NGUYÊN TẮC CỰC HẠN TRONG ĐỂ GIẢI TOÁN “tailieumontoan com” Date 1 Giới thiệu nguyên tắc cực hạn Nguyên lí cực hạn được phát biểu đơn giản như sau Nguyên lí 1 Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số[.]
NGUYÊN TẮC CỰC HẠN TRONG ĐỂ GIẢI TOÁN Date “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt II Bài tâp Giới thiệu nguyên tắc cực hạn Nguyên lí cực hạn phát biểu đơn giản sau: Nguyên lí 1: Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực luôn chọn số bé số lớn Nguyên lí 2: Trong tập khác rỗng số tự nhiên ln ln chọn số bé Sử dụng nguyên lí cực hạn phương pháp vận dụng cho nhiều lớp toán khác, đặc biệt có ích giải tốn tổ hợp Trong q trình tìm kiếm lời giải nhiều tốn, có lợi xem xét phần tử biên, phần tử giới hạn đó, tức phần tử mà đại lượng hình học cá thể nhận giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ tam giác, góc lớn góc nhỏ đa giác … Những tính chất phần từ biên, phần tử giới hạn nhiều giúp tìm kiếm lời giải thu gọn tốn Ngun lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng, vận dụng trong trường hợp tập giá trị cần khảo sát tập hợp hữu hạn( nguyên lí 1) có vơ hạn tồn phần tử lớn nhỏ (nguyên lí 2) Giải tốn ngun tắc Cực hạn • Bước Chứng minh tất giá trị cần khảo sát tồn giá trị lớn giá trị nhỏ • Bước Xét tốn trường hợp riêng nhận giá trị (nhỏ lớn nhất) • Bước Chỉ mâu thuẫn, giá trị nhỏ (hay lớn hơn) giá trị ta khảo sát Theo nguyên lí phương pháp phản chứng, ta suy điều phải chứng minh Bài Trên đường thẳng cho tập điểm M cho điểm M trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm khác thuộc M Chứng minh M tập hợp vô hạn Lời giải Giả sử đường thẳng cho đặt nằm ngang giả sử M tập hợp hữu hạn Khi số điểm M phải có điểm nằm tận bên trái (bên trái), gọi điểm A Rõ ràng A trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm khác M, suy A ∉ M Điều trái với giả sử Vậy M tập hợp vô hạn Bài Trên mặt phẳng cho tập điểm M cho điểm M trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm khác thuộc M Chứng minh M tập hợp vô hạn Lời giải A C B D Giả sử M tập hợp hữu hạn Vì M tập hợp hữu hạn nên số đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M hữu hạn, phải tồn một đoạn thẳng có độ dài lớn nhất, giả sử đoạn AB Theo đề B phải trung điểm đoạn thẳng CD ( C , D ∈ M ) Dễ chứng minh được: Nếu = AD > AB ; AB không vuông góc với AB ⊥ CD AC tù, AC > AB , tù ABD CD ABC AD > AB , điều trái với việc chọn AB Vậy M tập hợp vơ hạn ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho bảy số nguyên dương khác a , a , a , , a có tổng 100 Chứng minh có ba số có tổng khơng nhỏ 50 Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a < a < < a Ta cần có khơng Nếu k ≥ a + a + a ≥ 16 + 17 + 18 = 51 Nếu a ≤ 15 a + a + a + a ≤ 14 + 13 + 12 + 11 = 50, ta có: a + a + a ≥ 50 Như ta có điều phải chứng minh Bài Chứng minh không tồn số nguyên dương ( 1) n số tháp bàn cờ khơng n n2 n = 2 Nếu k < n , đường nằm ngang xét có n − k trống cột qua trống có khơng n – k tháp (theo đề bài) nên tất Cịn lại k cột, cột có khơng k tháp Do tất số tháp Do tất số tháp có bàn cờ khơng ( ) a, b, c, d Từ đẳng thức a + b 2= c + d suy (n − k ) + k Ta phải chứng minh (n − k ) ( Thay vào đẳng thức ta 9m + 9n = c + d ) Lời giải Giả sử tồn bốn số x, y, z, u thỏa mãn (1) Ta xét bốn số cho x + y có giá trị nhỏ Giả sử bốn số ( tháp cột có khơng (n − k ) tháp Lời giải a + b ⇒ a b Đặt = a 3= m , b 3n (m , n ∈ Z + ) , Xét n đường nằm ngang n đường thẳng đứng mà có tháp Giả sử đường nằm nganh có k tháp xét tổng ba số lớn chứng minh a + a + a ≥ 50 Thật vậy: Nếu a ≥ 16 a ≥ 17, a ≥ 18 , x, y, z, u thỏa mãn x + y = (z + u ) n2 ) hay c + d = m + n , nghĩa ta lại tìm bốn số c, d, m, n thỏa mãn (1) đồng thời a + b < c + d Điều trái với việc chọn số a, b, c, d Từ ta có điều phải chứng minh Bài Trên đường tròn cho n số tự nhiên, biết số trung bình cộng hai số kề với Chứng minh tất số đường tròn Lời giải Tất nhiên n số tự nhiên phải có số nhỏ nhất, gọn số m Giả sử hai số kề với m a b , theo đề ta có a +b = 2m ( ) Vì a ≥ m , b ≥ m nên hai bất đẳng thức thực lớn có a + b > 2m , điều trái với (1) Vậy phải có a = b = m Lí luận tương tự ta tất số đường tròn m Bài Trên bạn cờ hình vng n × n đặt tháp với điều kiện: Nếu có trống tổng số tháp đặt đường nằm ngang đường thẳng đứng qua khơng nhỏ n Chứng minh bàn cờ +k2 ≥ n2 Rõ ràng BĐT ln n tương đương với bất đẳng thức − k ≥ 2 - Nếu n số chẵn ta đặt tháp hồn tồn đen trắng n2 + - Nếu n số lẻ ta đặt tháp cách: Một tháp đặt góc, tháp cịn lại đặt ô màu Bài Trên mặt phẳng cho n điểm (n ≥ ) , khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua điểm số điểm cho mà không chứa điểm số điểm cịn lại Lời giải Vì số khoảng cách hai điểm n điểm cho hữu hạn nên ta chọn hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất, giả sử hai điểm A, B Từ n – điểm cịn lại ta nối A B Trong số góc tạo thành nhìn đoạn AB, ta chọn điểm mà từ nhìn đoạn AB góc lớn nhất, giả sử ≤ 60o ) Đường trịn qua ba điểm C (để ý ACB điểm A, B, C đường trịn phải tìm Thật vậy: - Nếu có điểm D nằm đường trịn phía ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ góc tù, AB > AD AB > BD (vơ lý) với C ADB Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Giả sử O điểm nằm đa giác lồi đó, từ O hạ đường vng góc xuống cạnh đa giác Chứng minh có chân đường vng góc nằm cạnh đa giác (chứ khơng phải nằm phần kéo dài nó) Lời giải Bài 10 Trên mặt phẳng cho n điểm ( n ≥ ), biết diện tích tam giác với ba đỉnh n điểm không lớn Chứng minh tất n điểm chứa tam giác có diện tích Lời giải N K d L D O C F G E B A Trong khoảng cách từ O đến cạnh đa giác, giả sử khoảng cách đa giác, giả sử khoảng cách từ O đến cạnh AB nhỏ (đó đường vng góc OE) Ta chứng minh điểm E phải thuộc cạnh AB Giả sử E nằm cạnh AB, OE phải cắt cạnh đa giác G Dễ thấy OF < OG < OE , nghĩa điểm O gần cạnh BC cạnh AB Điều trái với việc chọn cạnh AB, từ ta có điều phải chứng minh Bài Chứng minh ngũ giác lỗi ln tìm ba đường chéo có độ dài ba cạnh tam giác Lời giải M Xét tất tam giác có đỉnh n điểm cho, rõ ràng số tam giác hữu hạn, tồn tam giác có diện tích lớn nhất, giả sử tam giác KLM Qua K vẽ đường thẳng d//LM Qua N điểm nằm khác phía L so với d S NLM > S KLM , tất điểm cho phải nằm phía đường thẳng d Tương tự qua L M vẽ đường thẳng l//KM, m//KL tất n điểm cho phải nằm (hoặc cạnh) tam giác tạo ba đường d, l, m Rõ ràng tam giác có diện tích bốn lần diện tích tam giác KLM Từ ta có điều phải chứng minh Bài 11 Trên mặt phẳng cho n đường thẳng ( n ≥ ), hai đường thẳng n đường thẳng cắt qua giao điểm cịn có thêm đường thẳng khác qua Chứng minh tất n đường thẳng đồng quy Lời giải B C K O D D A E Gia sử AD đường chéo lớn ngũ giác lồi ABCDE, ta chứng minh ba đường chéo AD, AC, BD tạo thành tam giác Nghĩa ta cần chứng minh bất đẳng thức AD < AC + BD xong Gọi O giao điểm BD AC Ngũ giác ABCDE lồi nên ta có: OA < AC ;OD < BD Xét bất đẳng thức tam giác OAD ta có: AD < AO + OD < AC + BD ⇒ AD < AC + BD Vậy toán chứng minh h A k B C Giả sử n đường thẳng khơng đồng quy, nghĩa chúng cắt điểm, giả sử K điểm Trong đường thẳng không qua K, giả sử h đường thẳng có khoảng cách đến K nhỏ Giả sử qua K có ba đường thẳng cắt đường thẳng h A, B, C (theo thứ tự đó) Theo đề qua B cịn có đường thẳng , giả sử đường thẳng k, đường thẳng cắt KC (hoặc KA) D Rõ ràng D phải điểm KC (hoặc KA) dễ thấy D gần đường thẳng h K– điều trái với việc chọn điểm K đường thẳng h, từ ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài 12 Trên mặt phẳng cho n đường thẳng ( n ≥ ), khơng có hai đường song song,khơng có ba đường đồng quy, đường thẳng chia mặt phẳng thành phần Chứng minh lấy đường thẳng số có phần mặt phẳng kề với đường thẳng có hình tam giác Lời giải Gọi đường thẳng cho d , d , d n Xét đường thẳng d , từ tất giao điểm đường thẳng lại, ta chọn giao điểm có khoảng cách đến d nhỏ Giả sử giao điểm hai đường thẳng d d Dễ dàng chứng minh hình tạo ba đường thẳng d 1d d tam giác thỏa mãn đề Bài 13 Cho tam giác ABC, lấy điểm C ' thuộc cạnh AB, A ' thuộc cạnh BC B ' thuộc cạnh CA Biết độ dài đoạn thẳng AA ', BB ',CC ' không lớn Chứng minh ( S ABC diện tích tam giác ABC) S ABC ≤ + Trường hợp 2: Tam giác ABC tù, khơng tính tổng quát ta giả sử A > 90 - Khi 90 < A ≤ 120 , chứng minh tương tự trương hợp tam giác ABC không từ - Khi A > 120 , tam giác ABB ' có A > 90 > AB ' B nên ta AB < BB ' < A > 90 > AC 'C nên ta Trong tam giác ACC ' có AC < CC ' < Ta= có S ABC = AB CK AB AC sin KAC < 1.1.sin 60 = < Vậy ta có S ABC ≤ Bài 15 Chứng minh bốn hình trịn đường kính bốn cạnh tự giác lồi phủ kín miền tứ giác ABCD Lời giải Lời giải B A C C' B' M A B A' D C Ta xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Tam giác ABC khơng tù, ba góc tam giác ABC có góc lớn lớn 60 Khơng tính tổng qt, giả sử A ≥ B ≥ C ⇒ A ≥ 60 Kẻ đường cao BD CE, ta S ABC = BD AC Mà BD ≤ BB ' ≤ nên ta 1 S ABC = BD AC ≤ BB '.AC ≤ AC 2 Chứng minh tương tự ta S ABC ≤ AB 2 Do đó: S ABC ≤ AB AC Lại có: 1 3.AB AC S ABC = AB AC sin A ≥ AB AC sin 60 = 2 3.AB AC Do đó: S ABC ≥ ≥ 3.S ABC ⇒ S ABC ≤ Lấy M điểm tùy ý tứ giác lồi ABCD Có hai khả xảy ra: • Nếu M nằm biên đa giác (tức M nằm cạnh tứ giác ABCD) Khi M nằm hình trịn có đường kính cạnh Trong trường hợp kết luận toán hiển nhiên • Nếu M nằm bên tứ giác lồi ABCD + BMC + CMD + DMA = Khi ta có AMB 360 Theo ngun lí cực hạn góc , BMC ,CMD , DMA tồn góc có số đo lớn AMB { } , DMA Khi = AMB , BMC ,CMD Giả sử Max BMC ≥ 90 BMC Từ suy M nằm (hoặc nằm trên) đường tròn đường kính BC Vậy dĩ nhiên M bị phủ đường tròn Như M điểm tùy ý tứ giác ABCD, ta suy bốn hình trịn nói phủ kín tứ giác lồi cho Vậy ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho 2011 đường thẳng phân biệt, ba đường thẳng số chúng đồng quy Chứng minh 2011 đường thẳng cho đồng quy điểm Bài Một nước có 80 sân bay mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay có máy bay đến Bài Trong tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P tam giác Chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ điểm P đến đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ lần khoảng cách bé khoảng cách từ điểm P đến cạnh tam giác Bài Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EAB, ECD, EDA mà tứ giác ABCD hình thoi Bài Trên mặt phẳng cho × 2000 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Người ta tô 2011 điểm bẳng màu đỏ tô 2011 điểm lại màu xanh Chứng minh tồn cách nối tất điểm màu đỏ với tất điểm màu xanh 2011 đoạn thẳng khơng có điểm chung Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x + y + z = 2xyz ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài A K P l B Q D C Ta giải toán phương pháp phản chứng: Giả sử ngược lại đường thẳng cho không qua điểm Ta xét giao điểm tạo nên 2011 đường thẳng cho Xét tất khoảng cách khác hạ từ giao điểm tới đường thẳng cho Giả sử A giao điểm số gọi AQ khoảng cách nhỏ số vẽ từ A đến đường thẳng số 2011 đường thẳng Qua A theo giải thiết, phải có đường thẳng, đường thẳng B, C D Vẽ AQ vng góc với , hai ba điểm B, C, D phải nằm phía điểm Q, chẳng hạn C D Không tính tổng quát, giả sử QC < QD Vẽ CP vng góc với AD QK vng góc với AD Suy CP < QK < AQ Điều vơ lý trái với giả thiết giả sử AQ khoảng cách bé Điều vô lí chứng tỏ 2011 đường thẳng cho đồng quy điểm Bài 2.Từ giả thiết suy máy bay từ sân bay M N đến sân bay O khoảng cách MN lớn > 60 cạnh tam giác MON, ta MON Giả sử máy bay bay từ sân bay M1 ; M ; M ; M ; ; M n đến sân bay O góc 360 khơng lớn với i, j, n ∈ {1;2;3;4;5; ;80} tổng góc cho 360 M i ON j n 360 Như ta có > 60 n < Suy điều phải chứng minh n Bài A A1 B1 P B C1 C Dựng PA1 ,PB1 ,PC1 tương ứng vuông góc với cạnh BC, CA, AB Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên điểm A1 , B1 ,C1 tương ứng nằm đoạn BC, CA AB ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ +B +A +C Nối PA, PB, PC ta có APC PB + BPA PC + CPB PA = 360 1 1 1 Suy góc lớn góc khơng nhỏ 60 lớn nhất, APC ≥ 60 Xét ∆APC vng C , ta có Khơng tính tổng qt, ta giả sử APC 1 1 PC1 ≤ cos60 0= = cosAPC AP Từ ta AP ≥ PC1 Nếu thay PA khoảng cách lớn khoảng cách từ P đến đỉnh thay PC1 khoảng cách ngắn từ P tới cạnh bất đắng thức thỏa mãn Vậy tốn chứng minh Bài Hồn tồn khơng tính tổng qt ta giả sử B C CE ≤ AE; BE ≤ DE Gọi B1 C1 tương ứng điểm đối xứng B C qua tâm E, ta có tam giác C1 B1 C1EB1 nằm miền tam giác AED Giả sử đoạn thẳng AD không trùng với đoạn thẳng C1 B1 A D Khi đường trịn nội tiếp tam giác AED nằm bên đường tròn nội tiếp tam giác AED, đồng dạng với đường tròn với tâm đồng dạng E, hệ số đồng dạng lớn Như rAED > rC1EB1 = rCBE ( rAED bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AED) Điều vơ lí trái với giả thiết rAED = rCEB Như chứng tỏ A trùng với C1 D trùng với B1 Khi OA = OC OB = OD nên từ giác ABCD hình bình hành Trong hình bình hành ABCD có = p1r S= S= p2 r , p1 p2 tương ứng nửa chu vi tam AEB BEC giác AEB BEC Suy ta p1 = p2 hay AB + BE + EA BC + CE + BE nên AB = BC = 2 Hình bình hành ABCD có AB = BC nên ABDC hinh thoi ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Ta nhận thấy tồn cách nối 2011 cặp điểm với 2011 đoạn thẳng có 2011 cặp điểm nên số cách nối Y A hữu hạn dùng tổ hợp ta tính số xác cách nối Và hiển nhiên hữu hạn cách nối ta ln tìm cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng X B ngắn Ta chứng minh cách nối cách mà cần tìm Thật vậy, giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX BY mà cắt điểm O (giả sử A B tơ màu đỏ, cịn X Y tơ màu xanh) Khi đó, ta thay đoạn thẳng AX BY hai đoạn AY BX, đoạn lại giữ ngun ta có cách nối có tính chất: AY + BX < ( AO + OY ) + ( BO + OX ) = ( AO + OX ) + ( BO + OY ) Từ ta AY + BX < AX + BY Như vậy, việc thay hai đoạn thẳng AX BY hai đoạn thẳng AY BX , ta nhận cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng nhỏ Điều vơ lý trái với giả thiết chọn cách nối có tổng độ dài bé Điều chứng tỏ cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn khơng có điểm chung ( ) Bài 6.Gọi ( x , y , z ) nghiệm phương trình trên, ta có x 02 + y 02 + z 02 = 2x y z suy x 02 + y 02 + z 02 chẵn (do 2x y z ) nên có trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Có số lẻ số chẵn khơng tính tổng qt giả sử x , y lẻ, z chẵn Xét mod ta có: x 02 + y 02 + z 02 ≡ ( mod ) 2x y z (do z chẵn) ⇒ Vô lý = x 2x = , y 2y = , z 2z1 vào rút gọn ta có: x12 + y12 + z12 = Trường hợp 2: Cả số đề chẵn Đặt 4x1 y1z1 1 lập luận ta x1 , y1 , z1 chẵn ( ) y= z= Quá trình tiếp tục đến x , y , z k k ∈ N* điều xảy x= 0 Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (0, 0, 0) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... lớn ngũ giác lồi ABCDE, ta chứng minh ba đường chéo AD, AC, BD tạo thành tam giác Nghĩa ta cần chứng minh bất đẳng thức AD < AC + BD xong Gọi O giao điểm BD AC Ngũ giác ABCDE lồi nên ta có: OA... ,CMD Giả sử Max BMC ≥ 90 BMC Từ suy M nằm (hoặc nằm trên) đường trịn đường kính BC Vậy dĩ nhiên M bị phủ đường tròn Như M điểm tùy ý tứ giác ABCD, ta suy bốn hình trịn nói phủ kín tứ giác... với AD QK vng góc với AD Suy CP < QK < AQ Điều vơ lý trái với giả thiết giả sử AQ khoảng cách bé Điều vơ lí chứng tỏ 2011 đường thẳng cho đồng quy điểm Bài 2.Từ giả thiết suy máy bay từ sân bay