Một số bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn dành cho học sinh THCS

Bên trong đường tròn tâm O bán kính R=1 có 8 điể m phân bi ệt.[r]



Sưu tầm tổng hợp

MỘT SỐ BÀI TOÁN

SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN

www.thuvientoan.net

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Bài

Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh rằng, sân bay khơng thểcó q máy bay bay đến

(THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1992 – 1993 BẢNG A)

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra, máy bay từcác sân bay M N đến sân bay O khoảng cách MN lớn cạnh tam giác MON, MON> °60

Giả sử máy bay bay từ sân bay M1,M2, ,Mn đến sân bay O

góc M OMi j khơng lớn

360°

n (i j n, , =1, 2, ,80) tổng góc cho 360°

Vậy: 360°> ° ⇒ <60 n

n , từđó suy điểu cần chứng minh

Bài

Trong tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P bất kì, chứng minh

khoảng cách lớn khoảng cách từđiểm P đến đỉnh A B C, , tam giác

không nhỏhơn lần khoảng cách bé khoảng cách từđiểm P đến cạnh

của tam giác

(THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1991 – 1993 BẢNG B)

Hướng dẫn

Dựng PA PB PC1, 1, tương ứng vng góc với cạnh BC CA AB, , Vì tam giác ABC có

ba góc nhọn nên điểm A B C1, 1, tương ứng nằm đoạn BC CA AB, , Nối

, ,

PA PB PC ta có:

     

1+ + 1+ + 1+ =360°

APC C PB BPA A PC CPB B PA

Suy góc lớn góc khơng thể nhỏhơn 60°

Khơng tính tổng quát, ta giả sử APC1 góc lớn nhất,

đó: APC1≥ °60

Xét tam giác APC1 vng C1 ta có:



1

1

1 60

2

= ≤ ° =

PC

cos APC cos

AP

B1

C1 A1

C

Từđó ta có: AP≥2PC1

Nếu thayPA khoảng cách lớn khoảng cách từ P đến đỉnh thay

PC khoảng cách nhỏ cách khoảng cách từ P đến cạnh bất đẳng

thức thỏa mãn

Bài

Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh

rằng bán kính đường tròn nội tiếp ram giác EAB EBC ECD EDA, , , mà

bằng tứ giác ABCD hình thoi

( THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1986 – 1987 BẢNG A)

Hướng dẫn

Khơng tính tổng qt, ta giả sử rằng: CE≤ AE BE, ≤DE

Gọi B C1, tương ứng điểm đối xứng B C qua tâm E, ta có cảm giác C EB1

nằm miền tam giác AED

Giả sử đoạn thẳng AD không trùng với đoạn thẳng C B1 1 Khi đường trịn nội tiếp tam giác C EB1 nằm bên

đường tròn nội tiếp tam giác AED, đồng dạng (phối cảnh)

với đường tròn với tâm đồng dạng E, hệ số đồng

dạng lớn

Như vậy:

1

> =

AED C EB CEB

r r r (rAED bán kính đường trịn nội

tiếp tam giác AED); vơ lí trái với giả thiết rAED =rCEB, điều chứng tỏ A≡C D1, ≡B1

Khi OA=OC OB, =OD⇒ ABCD hình bình hành

Trong hình bình hành ABCD có p r1 =SAEB =SBEC = p r1 (trong đó, p p1, 2 nửa chu vi

các tam giác AEB BEC, )

Suy ra:

2

+ + + +

= ⇔ AB BE EA= BC CE EB ⇔ =

p p AB BC (vì AE=CE)

Hình bình hành ABCD có AB=BC nên ABCD hình thoi Bài

Chứng minh tất cạnh tam giác nhỏhơn diện tích

tam giác nhỏhơn

4

Hướng dẫn

B1 C1

E

B C

A

Gọi A góc nhỏ tam giác ABC, suy ra: A≤ °60

Ta có: sin

2

= =

ABC

S BH AC AB A AC

Do đó: sin 60 1.1.1 3

2 2

< ° < =

ABC

S AB AC

Bài

Chứng minh bốn hình trịn đường kính bốn cạnh tứ giác phủ kín miền tứ giác ABCD

Hướng dẫn

Gọi M điểm bên tứ giác ABCD

Ta có:    AMB+BMC+CMD+DMA=360°

Do góc lớn bốgóc khơng nhỏhơn 90° Khơng

mất tính tổng qt, giả sử góc BMC lớn

 90

⇒BMC≥ ° ⇒M nằm đường trịn đường kính BC Bài

Gọi O giao điểm tứ giác lồi ABCD Chứng minh tam giác AOB, ,

BOC COD DOA, có chu vi tứ giác ABCD hình thoi

Hướng dẫn

Khơng tính tổng qt, ta giả sử: AO≥CO DO, ≥BO

Gọi B C1, tương ứng điểm đối xứng B C qua

O

1,

⇒OB=OB OC=OC

Tam giác B OC1 nằm tam giác AOD

Ta có: chu vi (∆AOD) ≥ chu vi (∆B OC1 1) = chu vi (∆BOC)= chu vi (∆AOD)

Dấu “=” xảy ⇔B1 ≡D C, 1≡ A

Khi đó, tứ giác ABCD có: OA=OC OB, =OD ⇒ABCD hình bình hành

Mặt khác: Chu vi (∆AOB)=AB+BO OA+ , chu vi (∆BOC)=BC+BO+OA

Suy AB=BC Vậy ABCD hình thoi

A C

B

H

A

D

C B

M

B1 C1

O

B C

A

Bài

Trên mặt phẳng cho 2x2000 điểm; khơng có điểm thẳng hàng Người ta tơ 2000 điểm màu đỏvà 2000 điểm lại màu xanh Chứng minh bao giờcũng tồn cách nối tất cảcác điểm màu đỏ với tất cảcác điểm màu

xanh 2000 đoạn thẳng khơng có điểm chung

Hướng dẫn

Xét tất cách nối 2000 cặp điểm (đỏ với xanh) 2000 đoạn thẳng Các cách nối

như ln tồn có 2000 cặp điểm số tất cách nối

vậy hữu hạn

Do đó, tìm nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn Ta chứng minh cách nối phải tìm

Thật vậy, giả sửngược lại ta có hai đoạn thẳng AX BY mà cắt điểm O (Giả sử A B tô màu đỏ, X Y tơ màu xanh) Khi đó, ta thay đoạn thẳng AX BY

hai đoạn thẳng AY BX, đoạn thẳng nối giữnguyên

thì ta có nối có tính chất:

( ) ( ) ( ) ( )

+ < + + + = + + +

AY BX AO OY BO OX AO OX BO OY

⇒AY+BX < AX +BY

Như vậy, việc thay hai đoạn thẳng AX BY hai

đoạn thẳng AY BX, ta nhận cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng nhỏhơn Vơ lí trái với giả thiết chọn cách nối có tổng độ dài bé

Điều vơ lí chứng tỏ: cách nối có tổng độdài đoạn thẳng ngắn điểm chung

Bài

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn: bán kinh đường tròn nội tiếp bốn tam giác ABC, ,

BCD CDA DAB Chứng minh rằng: ABCD hình chữ nhật

Hướng dẫn

Giả sử: rABC =rBCD =rCDA =rDAB

Vẽ hình bình hành ABB C ADD C' , ' suy tứ giác

' '

BB D C hình bình hành

Do đó: ∆ABC = ∆B CB' ;∆ADC= ∆D CD'

' ; '

⇒rABC =rB CB rADC =rD CD

O A

X Y

B

E A

B

C

D

B'

Mặt khác: ∆ABD= ∆CB D' '(c.c.c)⇒rABD =rCB D' '

Theo giả thiết:

' ' ' '

= = = ⇒ = = =

ABC BCD CDA DAB B CB CB D D CD CBD

r r r r r r r r

Gọi E giao điểm BD' DB' Ta chứng minh C≡E

Giả sử C khác E ⇒E thuộc vào tam giác EBD EBB EB D ED D, ', ' ', '

Giả sử C thuộc vào miền tam giác BDE⇒rBCD =rBED =rB ED' =rCB D' ' (vô lý)

Điều vô lí chứng tỏ E trùng với C ⇒B C D, , ' thẳng hàng D C B, , ' thẳng hàng

Ta có: D C' //AD⇒BC//AD

Vì : CB' //AB⇒DC//AB

Suy ABCD hình bình hành

Xét tiếp:

2

= =

ABD ADC ABCD

S S S (vì ABCD hình bình hành)

2

+ + + +

⇔ ABD = ADC ⇔ + + = + + ⇔ =

AB BD DA AD DC CA

r r AB BD DA AD DC CA BD CA

Vậy ABCD hình chữ nhật Bài

Cho2000 đường thẳng phân biệt; có ba đường thẳng số chúng

thì đồng quy Chứng minh cả2000 đường thẳng cho đồng quy điểm

Hướng dẫn Bằng phương pháp chứng minh phản chứng: Giải sử ngược lại đường thẳng cho không qua

điểm Xét giao điểm tạo nên 2000 đường thẳng cho Xét tất khoảng cách khác hạ từ giao giao điểm đến đường thẳng cho

Giả sửA giao điểm số gọi AQ

khoảng cách nhỏ số vẽ từ A đến đường thẳng l số2000 đường thẳng

Qua A theo giả thiết, phải có đường thẳng cắt l B, C D

Vẽ AQ⊥l, hai ba điểm B, C, D phải nằm vềcùng phía với điểm Q, chẳng

hạn C D

Giả sử QC<QD; vẽ CP⊥AD, vẽ QK ⊥AD

l

A

Q

B C D

Suy ra: CP<QK < AQ Vơ lí, trái với giả sửAQ khoảng cách bé Điều vơ lí

chứng tỏ2000 đường thẳng cho đồng quy điểm

Cách khác: Lấy hai đường thẳng a b, cắt M bất cứđường thẳng tùy ý

nào phải qua M Vậy 2000 đường thẳng sẽđồng quy

Bài

Trên mặt phẳng cho 2000 điểm, khoảng cách chúng đôi khác Nối điểm số2000 điểm với điểm gần Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín

Hướng dẫn

Giả sửngược lại với cách nối đó, nhận

đường thẳng gấp khúc khép kín

Gọi AB mắt lớn đường gấp khúc khép kín

Giả sửAC, BD hia mắt kề với mắt AB

Ta có:

• AC<AB nên B khơng điểm gần A

• BD<AB nên A khơng điểm gần B Chứng tỏ A B khơng nối với Vơ lí!

Điều vơ lí chứng tỏkhơng thể nhận đường gấp khúc khép kín với cách nối

Cách khác: Nếu có đoạn nối AB B điểm gần A (các khoảng cách khác nhau)

Vậy không tồn đoạn nối A với 1998 điểm cịn lại Như đoạn nối khơng thể tạo

thành đường gấp khúc (đường gấp khúc khơng tồn kể cảkhi có đoạn)

Bài 10

Trên mặt phẳng cho 2000 điểm thoảmãn ba điểm số chúng thẳng

hàng Chứng minh 2000 điểm cho thẳng hàng

Hướng dẫn

Giả sửngược lại 2000 điểm cho không thẳng hàng

Dựng qua cặp hai điểm số2000 điểm đường thẳng Sốcác đường thẳng nối hoàn toàn xác định, hữu hạn Xét khoảng cách khác nhỏ

nhất từ2000 điểm đường thẳng vừa dựng Số khoảng cách tồn hữu hạn

C A

B

Gọi khoảng cách từA đến đường thẳng BC bé (A, B, C ba điểm số2000 điểm cho) Theo giả thiết, BC cịn có điểm thứ3 D khác B C

Vẽ AQ⊥BC, khoảng cách AQ bé (theo giả sử), ta có ba điểm B, C, D

phải có điểm nằm vềcùng phía với điểm Q, giả sửlà C D

Giả sử CQ<DQ; vẽ CR⊥AD, dễ thấy CR<AQ (vơ lí)

Điều vơ lí chứng tỏ2000 điểm cho thẳng hàng

Cách khác: Lấy hai điểm cốđịnh A, B số1998 điểm lại

nằm đường thẳng AB Vậy 2000 điểm cho thẳng hàng Bài 11

Bên đường tròn tâm O bán kính R=1 có điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm số chúng mà khoảng cách hai điểm nhỏhơn

Hướng dẫn

Nhận xét: điểm số8 điểm cho khác tâm O

Gọi điểm A A A A A A A A1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Ta có góc nhỏ số góc A OAi k (i≠k,1≤i k, ≤8) không lớn 360 60

°< °

Giả sử A OA1 bé

Xét ∆A OA1 2, A OA1 < °60

nên OA A1 > °60 OA A2 > °60

Suy ra, OA2 > A A1 OA1 >A A1

Mà OA1 ≤1 OA2 ≤ ⇒1 A A1 <1

Bài 12

Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm C A B1, 1, 1 thuộc AB BC CA, , Biết

rằng, độdài đoạn thẳng AA BB CC1, 1, không lớn Chứng minh rằng:

1

≤

ABC

S

(đơn vị diện tích)

Hướng dẫn

A2

A1

Khơng tính tổng qt, giả sử C  ≤ ≤B A Xét hai trường

hợp:

TH1: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đó: A≥ °60 A< °90

Ta có: hb ≤BB1≤1,hc ≤CC1 ≤1

1 1 1

2 sin sin 60 3

= = ≤ = ⇒ ≤

°

b c

ABC c ABC

h h

S c h S

A

TH2: Tam giác ABC khơng tam giác nhọn, đó: A≥ °90

1

1 1

1,

2

⇒ AB≤BB ≤ AC≤CC ≤ ⇒ SABC ≤ AB AC≤ <

Bài 13

Trên mặt phẳng cho 2000 điểm không thẳng hàng Chứng minh tồn

đường tròn qua ba số2000 điểm cho mà đường trịn khơng chứa

điểm naoftrong số1997 điểm lại

Hướng dẫn

Nối hai điểm số2000 điểm cho đoạn thẳng Ta có tất cả1999000 đoạn thẳng Gọi AB đoạn thẳng có độ dài bé

Vẽđường trịn tâm O đường kính AB ⇒ 1998 điểm cịn lại nằm ngồi đường trịn tâm O

Gọi C điểm số1998 điểm cịn lại thỏa mãn góc ACB lớn số góc

nhìn điểm A B

Xét ∆ABC Ta có đường trịn ngoại tiếp ∆ABC khơng chứa điểm số1997 điểm

cịn lại Bài 14

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh đường chéo

,

AC BD giao O tứ giác ABCD hình thoi

Hướng dẫn

Khơng tính tổng qt, ta giả sử: OC≤OA OB, ≤OD

Gọi B C1, điểm đối xứng B C qua O

1,

⇒OB=OB OC=OC

Bởi BC tiếp tuyến ( )O

C1

B1

A1

A

B

C

O

B D

A

nên B C1 tiếp xúc với ( )O

Mặt khác, AD tiếp xúc với ( )O

1,

⇒ ≡A C D≡B

,

⇒OA=OC OB=OD

⇒ ABCD hình bình hành

Mặt khác, ABCD ngoại tiếp ( )O

2

⇒ AB CD+ = AD+BC⇒ AB= AD⇒AB=AD ⇒ABCD hình thoi