Đang tải... (xem toàn văn)
BIỂU THỨC LIÊN HỢP “tailieumontoan com” Date Các dạng liên hợp thường được sử dụng Căn bậc 2 A BA B A B − − = + 2A BA B A B − − = + Căn bậc 3 ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 A BA B A A B B − − = + + ( ) ( ) 3[.]
Date BIỂU THỨC LIÊN HỢP “tailieumontoan.com” I Lý thuyêt II Bài tâp Các dạng liên hợp thường sử dụng: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức A −B A− B = A+ B Căn bậc 2: Bài Tính giá trị biểu thức: A2 − B Căn bậc 3: 3 A− B = A ( ) A+3B = A ( ) A −B +3A3B + A +B −3A3B + ( ) B ( B) = S ( B) ( ) + + 2+ 2017 + 2018 Lời giải + + + 1+ 2+ 2017 + 2018 2− 3− 4− 2018 − 2017 + + + + 1 1 2018 − = = A3 − B A−3B = A2 + A B + B Bài Tính giá trị biểu thức: = S +1 + Ta có: (k + 1) + + +2 Lời giải Chú ý: - Liên hợp với bậc mẫu số đại lượng khơng âm 1+ + Ta có: A3 + B A+ B = A2 − A B + = S A− B = A+ B 1 2025 2024 + 2024 2025 = k +k k +1 − k (*) k +1 Thật với k nguyên dương ta có: (k + 1) = k +k k +1 (k + 1) (k + 1) k − k k + ( k + ) k − k k + = k −k k +1 = k (k + 1) k − k +1 Áp dụng đẳng thức (*) với k 1, 2, 3, 4,…, 2024 ta được: S= 1 =1 − − 2025 + =1 − − + + 44 = 45 45 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 2024 − 2025 Bài 3, Nếu a , b , c số không âm thoả mãn điều a +c kiện: b = ta có: 1 + = a + b b+ c c + a ( 2x − ) − x = x − Nhận thấy nên ta có lời giải − = − x x ) ( c + a − (*) ⇔ b− c = a + b ( c + a )( a + b ) b −c = ⇔ (x ( 1) ( c + a )( a + b )( b + c ) 1 Tương tự − b+ c c + a a −b = (2) ( c + a )( a + b )( b + c ) a +c Mà b = ⇒ a − b = b − c (3) Từ (1) (2) (3) suy ra: 1 1 − = − b+ c c + a c + a a + b 1 hay + = a + b b+ c c + a Bài 4, Cho số thực x, y thỏa mãn: (x + 2018 + x )( y + 2018 + y ⇔ Ta có: ( Suy ( )( 3 ⇒ 2x − + x > = 2 1 ⇒ ∀x ≥ 2x + + 3x + x + Vậy phương trình có nghiệm x = b) Nhẩm nghiệm, thay nghiệm vào tìm liên hợp Bài Giải phương trình: 3x + − − x + 3x − 14x − = (*) Nhận thấy x = nghiệm Pt để xuất (*) nhân tử chung (x – 5) ta ghép nên ta có lời giải ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ( )( 3x + − , − − x ) Lời giải c) Dùng hệ số bất định Bài Giải phương trình Điều kiện − ≤ x ≤ (x + 1) Phương trình cho tương đương: ( ⇔ ) ( ) 3x + − + − − x + 3x − 14x − = (x − ) 3x + + + x −5 + ( x − )( 3x + ) = 6−x +1 x= ⇔ 1 + + 3x + = 6−x +1 3x + + Ta có: 3x + + + 3x + > ∀x ∈ − ;6 6−x +1 + Bài Giải phương trình: (*) ( * ) ⇔ 2x ⇔3 ⇔ ( ( ) 4x − − nên ta có − 11x + 21= 3 4x − ) ( ) 4x − − − 2x − 11x + 15 = ( 4x − − ) ( 4x − ) + 4x − + Vì x = -1 khơng nghiệm phương trình nên với x ≠ −1 ta x2 +1 x +1 ( * ) ⇔ x − 2x + = ⇔ x − 2x + − ( x − = 1) (x ⇔ ) ( − 2x + − x − 2x + x − 2x + + ( x − ) x2 +1 − (x − 1) x +1 )= x +1−x +1 2 x +1 2 = x − 2x + + ( x − ) x + ⇔ ⇔ x =1 ± lời giải Lời giải ⇔ x − 2x − = Nhận thấy x = nghiệm Pt để xuất nhân tử chung (x – 3) ta ghép (*) ⇔ x − 2x + + ( x − ) = x + Do PT có nghiệm x = 2x − 11x + 21= 3 4x − x − 2x + = x + − ( 2x − )( x − ) = Vậy PT có nghiệm x = ± Nhận xét: Vấn đề điền số (x – 1) vào hai vế ??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số α , β cho x2 +1 x − 2x + − (α x + β )= − (α x + β ) (α > ) x +1 x − 2x + − (α x + β ) x + − ( x + )(α x + β ) ⇔ = x +1 x − x + + (α x + β ) ( ) (1 − α ) x ⇔ 2 ( − ( + αβ ) x + − β ) 12 x − x + + (α x + β ) ⇔ (x − ) − ( 2x − ) = − α ) x − (α + β ) x + ( − β ) ( 4x − ) + 4x − + ( = x +1 x= Cần xác định α , β cho 12 ⇔ 2x − − = ( 1) − α =− α ( 4x − ) + 4x − + −1 α +β ⇔α = 1, β = 2 ( + αβ ) = Với x > ⇒ 2x − > đặt t= 4x − > − β =− β 12 ⇒ t + 2t + > 12 ⇒ < tức (1) Vô nghiệm t + 2t + Bài Giải phương trình Với x < ⇒ 2x − < đặt t= 4x − < 3x + ) x + 3= 3x + 2x + ( * ) ( 12 ⇒ < t + 2t + < 12 ⇒ > tức (1) Vô nghiệm Lời giải t + 2t + Vậy PT có nghiệm x = 1 Vì x = − khơng nghiệm phương trình nên với x ≠ − ta 3 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 3x + x + * x ⇔ + = () 3x + 3x + x + ⇔ x 2= + − 2x − 2x 3x + 3x + x + − x − x x + − 2x ⇔ = 3x + x + + 2x ( 1−x2 ) ( ) 1−x2 ⇔ = 3x + x + + 2x 1 ⇔ 1−x2 − = x + x x + + x = ±1 ⇔ 1 = ( 1) x + + 2x 3x + ( ( 1) ⇔ ) x + + x = 3x + x ≥ −1 ⇔ x2 +3 = x +1 ⇔ 2 x + = x + 2x + ⇔x =1 Vậy PT có nghiệm x = x = -1 Nhận xét: Để đặt -2x vào hai vế ta xét dạng tổng quát 3x + x + x + − (α = x +β) − (α x + β ) 3x + Sau sử dụng đồng đề tìm hai số α , β ví dụ Bài 10 Giải phương trình x − 4x + 12= 4 − x + 3x + 16 (*) Nhận thấy: x = x = hai nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung phân tích phương trình thành tích x − 3x Với thức − x ta cần nhóm − x − (ax + b ) = Do x = x = hai nghiệm phương trình nên − b = ⇒ a =− , b =2 1 − ( 3a + b ) = Do ta thực phép nhóm − x − − x + Hoàn tồn tương tự với thức phép nhóm 16 + 3x ta thực 1 3x + 16 − x + 3 Lời giải Điều kiện − 16 ≤x ≤4 x x x − 3= x − x − − + 3x + 16 − + 3 ( 3x − x ⇔ = x − 3x ) 3x − x + x 4−x +2− 3x + 16 + x +4 ⇔ x − 3x + + = x x 4−x +2− 3x + 16 + + 3 ( ) Dễ thấy + 4−x +2− x + 3x + 16 + x >0 +4 16 ≤ x ≤ Do từ pt ta có x − 3x = ⇔ x = 0; x = 3, (TMĐK) với − Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {0;3} d) truy ngược dấu biểu thức liên hợp Mở đầu: Để giải PT vô tỷ phương pháp nhân liên hợp, thông thường ta biến đổi PT dạng (ax + b).A(x) = (ax2 + bx + c).A(x) = A ( x ) > ∀x ∈ D A ( x ) < ∀x ∈ D Tuy nhiên nhiều trường hợp để chứng minh A ( x ) > ∀x ∈ D cần kết hợp phương pháp đánh giá để giải trọn vẹn nó, nguyên nhân sau thực phép biến đổi liên hợp đại lượng A(x) chứa biểu thức có dấu ngược Từ ta nảy sinh ý tưởng truy ngược dấu biểu thức đại lượng A(x) để đưa dấu làm cho đại lượng A(x) hiên nhiên dương (hoặc âm) với x thuộc tập xác định PT Bài 11 Giải phương trình 2x − 5x − 1= x −2 + 4−x (*) Phân tích: ĐKXĐ: x ∈ 2;4 Nhận thấy x = nghiệm PT (*) Cách giải thông thường đưa PT(*) dạng ( x − ) − − 2x − = x −2 +1 1+ 4−x Sau đánh giá 1 − 2x − x −2 +1 1+ 4−x âm hay dương nhiên việc khó khăn x −2 +1 − > ∀x ∈ 2; ; 1+ − 4−x − 2x − < ∀x ∈ 2; ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Lời giải: ĐKXĐ: x ∈ 2;4 PT cho tương đương với: ( ) ( 1− 4−x + x −2 x −3 Xét ) x − − + x − 6x = (x − ) x −2 + 2x ( x − ) = x −2 +1 1+ 4−x x −2 ⇔ (x − ) + + 2x = 1+ 4−x − + x ⇔x = ⇔ + x −2 + + 2x > ∀x ∈ 2;4 x −2 +1 1+ 4−x Vậy PT có nghiệm x = Bài 12 Giải phương trình x +6 + x −1 = x2 −1 (*) 43 x + + x − 1= 4x − ⇔ x −1 ( ⇔ x − ⇔ (x − ) ⇔x = ) x −1 −1 +3 x + (x + 6) − + 4x − 5x − = ( x − )( x + 14 ) x − + x + + ( x − )( 4x + ) = x −1 +1 ( x + )4 + 16 + 43 ( x + )2 x −1 + x −1 +1 x −1 + x −1 +1 x + ( x + 14 ) ( x + ) + 16 + 43 ( x + ) ( x + ) + 16 + 43 ( x + ) + 4x + > ∀x ≥ Vậy PT có nghiệm x = Nhận xét: Ở thí dụ ta thay đổi cách nhóm − x − cách nhóm ( ) x −1 ( ) x − − cách nhóm − x + cách nhóm x + ( x + ) − để truy ngược dấu biểu thức liên hợp Dạng 3: Giải hệ phương trình Bài 13 Giải hệ phương trình: xy − y = 3y − − x + y − x y − 4xy + 7xy − 5x − y + = Lời giải: x≥ y ≥ ⇔ Điều kiện: y ≥ x + y ≥ 3 x ≠ Xét y − + x + y − ≠ ⇔ y ≠ y −x (1) ⇔ y (x − y ) = 3y − + x + y − x = y y −x 1 ⇔ y+ = VN y ≥ 3 3y − + x + y − Với x = y, thay vào (2) ta được: x − 4x + 7x − 6x + = Vậy nghiệm hệ là: (1; 1) Bài 14 Giải hệ phương trình 2 2xy − y + 2x + y = 10 y + − y + + 2x − = Lời giải: + 4x + = x + ( x + 14 ) Thay vào (2) không thỏa mãn ⇔ (x − 1)2 (x − 2x + 2) = ⇔ x =1 ⇒ y =1 Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ 3y − + x + y − = ⇔ x = y = Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ ( ; y≥0 2x − + y ) ⇔ 2x − + ⇔ 2x − = − y (*) = y =3 Thay vào (2) ta y + − y + − 2( y − 2) − = 0 ⇔ ( y + − 4) − ( y + − 3) − 2( y − 2) = ⇔ y + − 16 3y + + − 2y + − 2y + + − y −4 y +2 = 2 = ⇔ (y - 4) − − 3y + + y + + y + y − = 2 ⇔ (3) = + 3y + + y y + + + Với y = ta có x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Với y ≥ ta có 3y + + ≤ Dạng 4: Giải bất phương trình Bài 17 Giải bất phương trình 2 Từ (*) suy y ≤ suy > + 2y + + y + 2 Vậy phương trình (3) vơ nghiệm Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) Bài 15 Giải hệ phương trình 2x − y + xy − 5x + y + 2= y − 2x + − − 3x 4x + y + − x + y − x − y − = Lời giải: Điều kiện: y − 2x + ≥ 0, 4x + y + ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤ y − 2x += = x 0 =0 TH ⇔ ⇒ − 3x = 10 − = y −= (Ko TM hệ) TH x ≠ 1, y ≠ Đưa pt thứ dạng tích ta (x + y − 2)(2x − y − 1) = x +y −2 y − x + + − 3x (x + y − 2) + y − 2x + = y − 2x + + − 3x Do y − 2x + ≥ + y − 2x + > y − x + + − 3x ⇒x +y −2 = Thay y= − x vào pt thứ ta được: nên 2017x − − 2018x − ≤ x − x + x − 3= 3x + − − x ⇔ x + x −= 3x + − + − − x 3x + 2+x ⇔ (x + 2)( = x − 1) + 3x + + + − x ⇔ (x + 2) + + − x =0 3x + + + − x Do x ≤ nên + +1−x > 3x + + + − x Vậy x + =0 ⇔ x =−2 ⇒ y =4 (TMĐK) Vậy nghiệm hệ phương trình (x, y) = (-2; 4) (*) Lời giải: Khi đó: 2018 3−x ≤ x −3 (*) ⇔ 2017x − + 2018x − ĐKXĐ: x ≥ ⇔ (x − ) + ≥0 2017x − + 2018x − ⇔ x −3 ≥ ⇔x ≥3 Vậy nghiệm BPT x ≥ Bài 18 Giải bất phương trình ( 2x − + 2x ) (*) < x + 21 Lời giải: + 2x ≥ x ≥ − ĐK ⇔ x ≠ 3 − + 2x ≠ 3+ ( Khi ( ) ⇔ + 2x ) 2 < x + 21 ⇔ + 2x < ⇔ ≤ + 2x < 16 ⇔− ≤x ≤ 2 Kết hợp với ĐK ta có BPT có tập nghiệm là: S = x ∈ R | − ≤ x ≤ ; x ≠ Bài 19 Giải bất phương trình x2 +x +1 +x2 −4 ≤ x +4 x2 +1 ĐK x > −4 Lời giải: Khi x2 +x +1 − 1 + x − ≤ −1 x +4 x + BPT ⇔ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ x2 +x +1 − x2 +1 − 1 + x − ≤ x +4 x2 +1 x2 +x +1 −1 4− x2 +1 x +4 ⇔ +x2 −3≤ x2 +x +1 x2 +1 +2 x2 +1 +1 x +4 x2 −3 x2 −3 ⇔ +x2 −3+ ≤0 x2 +1 x2 +1 +2 (x + ) x + x + + x + BPT ⇔ ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) 2 ⇔ x −3 + + 1 ≤ 2 x +1 x +1+2 (x + ) x + x + + x + A ⇔ x − ≤ (do A > 0, ∀x > −4 ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − ≤ x ≤ (thỏa mãn ĐK) Vậy nghiệm BPT − ≤ x ≤ Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài 20 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x +2 −y3= y + − x Tìm giá trị lớn biểu ĐK: x ≥ 1; y ≥ Nếu x = y =⇒ S = −1 Xét x ≥ 1; y ≥ x ≠ y ≠ Ta có: ⇔ ( ⇔ x − − y y= y −1 −x x ) ( ) x −y + ( x − y )( x + x −1 + y −1 x −1 − y −1 + x x −y y = ) xy + y = x+ y ⇔ x − y + x + xy + y = x −1 + y −1 A = ⇔ x y (do A > ) ( ) Khi đó: = P 2x − 8x += ( x − ) − ≥ −3 P = -3 x = y = Vậy giá trị nhỏ P -3 x = y = thức: P = x − 2xy + 4x − y + 2017 Lời giải: ĐK: x ≥ −2; y ≥ −2 Nếu x =y =−2 ⇒ P =2001 Bài Tính giá trị biểu thức: Xét x ≥ −2; y ≥ −2 x ≥ −2 y ≥ −2 Ta có: ⇔ ⇔ ( x +2 −y3= ) = S y + −x3 x +2 + y +2 ( ) + ( x − y ) x + xy + y = ⇔ (x − y ) + x + xy + y = x +2 + y +2 A = ⇔ x y (do A > ) Khi đó: P = x − 2xy + 4x − y + 2017 = −2x + 4x + 2017 = 2019 − ( x − ) ≤ 2019 P = 2019 x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 x = y = Bài 21 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x − − y y= y − − x x Tìm giá trị lớn biểu thức: S = x + 3xy − y − y + Lời giải: + 1 + + 1+ 5+ 2009 + 2013 Bài 2, Cho số thực x, y thỏa mãn: x + − y + + (x − y ) = x −y (x + 2011 + x )( y + ) 2011 + y = 2011 Tính giá trị biểu thức:= T x 2011 + y 2011 Bài 3, Giải phương trình x + 12 + = 3x + x + Bài 4, Giải phương trình x − + 2x + 3x= 5x − + x + 91 = y − + y Bài 5, Giải hệ 2 y + 91 = x − + x 8xy x2 + y2 + = 16 x +y Bài 6, Giải hệ y + 12 + x + y = 3x + x + ( Bài 7, Giải BPT ( x + ) ≤ ( 3x + ) − 3x + ) Bài 8, Giải BPT x + 2x + 92 ≥ x + 2x + x − + Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x + − y3= y + − x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 4x − 3xy + y + x + y + ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... c (3) Từ (1) (2) (3) suy ra: 1 1 − = − b+ c c + a c + a a + b 1 hay + = a + b b+ c c + a Bài 4, Cho số thực x, y thỏa mãn: (x + 2018 + x )( y + 2018 + y ⇔ Ta có: ( Suy ( )( 3 ⇒ 2x − +... Với y ≥ ta có 3y + + ≤ Dạng 4: Giải bất phương trình Bài 17 Giải bất phương trình 2 Từ (*) suy y ≤ suy > + 2y + + y + 2 Vậy phương trình (3) vơ nghiệm Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) Bài 15