Mở đầu Dãy số Fibonacci {Fn} là dãy số được rất nhiều người biết đến, quan tâm và nghiên cứu Có rất nhiều tính chất thú vị của dãy số này đã được tìm ra Với n là một số nguyên không âm, số Fibonacci F[.]
Mở đầu Dãy số Fibonacci {Fn } dãy số nhiều người biết đến, quan tâm nghiên cứu Có nhiều tính chất thú vị dãy số tìm Với n số nguyên không âm, số Fibonacci Fn định nghĩa F0 = 0, F1 = công thức truy hồi Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại kết sau : Đầu tiên, Luận văn trình bày lại kết Ohtsuka Nakamura [1], công bố năm 2008, tổng vô hạn nghịch đảo số Fibonacci: với n ≥ 2, ta có !−1 ∞ X Fn−2 , n chẵn, = Fk Fn−2 − 1, n lẻ, k=n b·c kí hiệu hàm sàn Năm 2015, Wang Wen [2] mở rộng kết cho trường hợp hữu hạn: với m ≥ n ≥ 2, ta có !−1 mn X Fn−2 , n chẵn, = Fk Fn−2 − 1, n lẻ k=n Tiếp theo, Luận văn trình bày số kết Wang Yuan [3], công bố năm 2017, tổng đan dấu nghịch đảo số Fibonacci có dạng mn X (−1)k k=n Fak+b , a ∈ {1, 2, 3} b < a Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung Luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa dãy Fibonacci số đẳng thức, bất đẳng thức số Fibonacci sử dụng chương • Chương 2: Tổng nghịch đảo số Fibonacci Mục đích Chương trình bày lại kết Ohtsuka Nakamura [1] kết Wang Wen [2] • Chương 3: Tổng đan dấu nghịch đảo số Fibonacci Mục đích Chương trình bày lại kết Wang Yuan [3] Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương mở đầu này, chúng tơi trình bày lại khái niệm dãy Fibonacci số tính chất dãy sử dụng chương 1.1 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci, ký hiệu {Fn }, định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Số hạng tổng quát dãy số Fibonacci xác định công thức Binet đây: √ √ 1+ 1− Mệnh đề 1.1.2 (Công thức Binet) Với n ∈ Z, α = β = , ta có 2 αn − β n Fn = α−β 1.2 Một số tính chất số Fibonacci Mệnh đề 1.2.1 ([2, Bổ đề 2.1]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 (1.1) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 1, ta có F12 − F0 F2 = 12 − 0.1 = = (−1)0 Giả sử, đẳng thức với n > 1, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, ta có Fn+1 − Fn Fn+2 = (Fn + Fn−1 )2 − Fn (Fn + Fn+1 ) = Fn2 + 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn2 − Fn Fn+1 = 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn Fn+1 = 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn (Fn + Fn−1 ) = Fn−1 + Fn Fn−1 − Fn2 = Fn−1 (Fn−1 + Fn ) − Fn2 = Fn−1 Fn+1 − Fn2 = −(−1)n−1 = (−1)n Suy điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.2 ([2, Bổ đề 2.1]) Với hai số nguyên dương m, n, ta có Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 (1.2) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Với m = 1, ta có Fn+1 = Fn−1 F1 + Fn F2 = Fn−1 + Fn Với m = 2, ta có Fn+2 = Fn−1 F2 + Fn F3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1 + Fn Giả sử, đẳng thức với m > 2, ta chứng minh đẳng thức với m + Thật vậy, ta có Fn+m+1 = Fn+m−1 + Fn+m = Fn−1 Fm−1 + Fn Fm + Fn−1 Fm + Fn Fm+1 = Fn−1 (Fm−1 + Fm ) + Fn (Fm + Fm+1 ) = Fn−1 Fm+1 + Fn Fm+2 Suy điều phải chứng minh Hệ 1.2.3 ([2, Hệ 2.2]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có (1.3) F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1 ) Chứng minh Áp dụng đẳng thức (1.2) với m = n, ta có F2n = Fn−1 Fn + Fn Fn+1 = Fn (Fn−1 + Fn+1 ) Suy điều phải chứng minh Hệ 1.2.4 ([2, Hệ 2.2]) Với số ngun khơng âm n, ta có (1.4) F2n+1 = Fn2 + Fn+1 Chứng minh Chứng minh quy nạp Với n = 0, ta có F1 = = + = F02 + F12 Với n = 1, ta có F3 = = + = F12 + F22 Với n = 2, ta có F5 = = + = F22 + F32 Giả sử, đẳng thức với n > 2, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, sử dụng đẳng thức (1.3) theo giả thiết quy nạp, ta có 2 Fn+1 + Fn+2 = (Fn−1 + Fn ) + (Fn + Fn+1 ) 2 = Fn−1 + 2Fn−1 Fn + Fn2 + Fn2 + 2Fn Fn+1 + Fn+1 2 = Fn−1 + Fn2 + 2Fn (Fn−1 + Fn+1 ) + Fn2 + Fn+1 = F2n−1 + 2F2n + F2n+1 = F2n+1 + F2n+2 = F2n+3 Suy điều phải chứng minh Tương tự vậy, ta có hệ đây: Hệ 1.2.5 ([2, Hệ 2.2]) Với n ≥ 1, có F2n+1 = Fn−1 Fn+1 + Fn Fn+2 (1.5) Hệ 1.2.6 ([2, Bổ đề 2.3]) Với n ≥ 1, có F2n+1 = Fn+1 Fn+2 − Fn−1 Fn (1.6) Hệ 1.2.7 (Tính chất d’Ocagne) Với hai số nguyên m, n m ≥ n, ta có Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n (1.7) Mệnh đề 1.2.8 ([2, Bổ đề 3.1]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Fn Fn+1 − Fn−1 Fn+2 = (−1)n−1 (1.8) Chứng minh Ta có Fn Fn+1 − Fn−1 Fn+2 = Fn Fn+1 − Fn−1 (Fn + Fn+1 = Fn Fn+1 − Fn Fn−1 − Fn−1 Fn+1 = Fn (Fn+1 − Fn−1 ) − Fn−1 Fn+1 = Fn2 − Fn−1 Fn+1 Sử dụng (1.1) ta kết cần chứng minh Một cách tổng quát ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.2.9 ([3, Bổ đề 5]) Giả sử a, b, c, d bốn số nguyên dương với a+b = c+d b ≥ max {c, d} Khi đó, ta có Fa Fb − Fc Fd = (−1)a+1 Fb−c Fb−d (1.9) Mệnh đề 1.2.10 ([2, Bổ đề 2.4]) Nếu n ≥ ta có Fn−2 Fn−1 > Fn+1 (1.10) Chứng minh Ta có Fn−2 Fn−1 − Fn+1 = Fn−2 Fn−1 − (Fn−1 + Fn ) = Fn−2 Fn−1 − Fn−1 − (Fn−2 + Fn−1 ) = (Fn−2 − 2)Fn−1 − Fn−2 Do n ≥ nên Fn−2 − > 1, suy Fn−2 Fn−1 − Fn+1 > Fn−1 − Fn−2 > Suy điều cần chứng minh Mệnh đề 1.2.11 ([2, Bổ đề 2.5]) Với n ≥ 3, có F3n−1 (Fn + Fn−3 ) > Fn−2 Fn−1 Fn Fn+1 (1.11) Chứng minh Áp dụng (1.2), có F3n−1 = Fn−1 F2n−1 + Fn F2n Do F3n−1 (Fn + Fn−3 ) > (Fn−1 F2n−1 + Fn F2n )Fn > Fn2 F2n > Fn−1 Fn F2n Sử dụng (1.3), có F2n > Fn Fn+1 > Fn−2 Fn+1 Từ suy bất đẳng thức (1.11) mong muốn Mệnh đề 1.2.12 ([3, Bổ đề 15]) Với n ≥ 1, có F6n+2 > F2n (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) (1.12) Chứng minh Từ đẳng thức (1.9), suy : F2n−1 F2n+3 − F2n−2 F2n+4 = 5, F2n−1 F2n+1 − F2n = 1, F2n+1 F2n+3 − F2n F2n+4 = 2 F2n+1 F2n+3 > F2n F2n+4 Do đó, F2n−1 F2n+3 > F2n−2 F2n+4 , F2n−1 F2n+1 > F2n Sử dụng đẳng thức (1.2) nhiều lần bất đẳng thức trên, có F6n+2 = F2n F4n+1 + F2n+1 F4n+2 = F2n (F2n−2 F2n+2 + F2n−1 F2n+3 ) + F2n+1 (F2n−1 F2n+2 + F2n F2n+3 ) > F2n−2 F2n F2n+2 + F2n−2 F2n+4 F2n + F2n F2n+2 + F2n F2n+4 F2n = F2n (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) Hoàn thành việc chứng minh Mệnh đề 1.2.13 ([3, Bổ đề 17]) Với số nguyên dương n, ta có 2F4n (F4n + F4n+2 ) > F2n+2 F4n+3 (F2n−2 + F2n ) (1.13) Chứng minh Ta chứng minh > F2n−2 F2n+2 F4n+3 2F4n F4n+2 > F2n F2n+2 F4n+3 2F4n Hai bất đẳng thức dùng lập luận tương tự để chứng minh nên chứng minh bất đẳng thức Áp dụng hệ thức (1.9) nhiều lần đẳng thức (1.2), có 2F4n = 2F4n−3 F4n+3 − 2 )F4n+3 − = 2(F2n−2 + F2n−1 > (F2n−2 F2n−1 + 2F2n−1 )F4n+3 − = F2n−1 F2n+1 F4n+3 − = (F2n−2 F2n+2 + 2)F4n+3 − > F2n−2 F2n+2 F4n+3 Chứng minh hoàn thành Mệnh đề 1.2.14 ([3, Bổ đề 23]) Với n ≥ 2, có F4n−2 (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) > F4n (F4n−2 + F4n ) (1.14) Chứng minh Đầu tiên xem xét vế bên phải Áp dụng đẳng thức F4n − F4n−1 F4n+1 = −1, ta có F4n (F4n−2 + F4n ) = F4n F4n−2 + F4n = F4n F4n−2 + F4n−1 F4n+1 − = F8n−1 − Xét vế trái, có n ≥ 2, (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) = F2n−2 F2n+2 + F2n F2n+2 + F2n−2 F2n+4 + F2n F2n+4 > (F2n−2 F2n+1 + F2n−2 F2n+2 ) + (F2n−2 F2n+3 + F2n−1 F2n+4 ) + F2n−2 F2n+4 > F4n + F4n+2 + Vì thế, việc sử dụng F4n−2 F4n+2 − F4n−1 F4n+1 = −2, có F4n−2 (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) > F4n F4n−2 + F4n−2 F4n+2 + = F4n F4n−2 + F4n−1 F4n+1 = F8n−1 Do vế trái lớn vế phải Mệnh đề 1.2.15 ([3, Bổ đề 40]) Với n ≥ 1, có 2F3n+3 > Fn Fn+1 Fn+6 (1.15) Chứng minh Ứng dụng đẳng thức (1.2) nhiều lần, thu F3n+3 = Fn F2n+2 + Fn+1 F2n+3 > Fn Fn+3 = Fn (Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 ) + Fn+1 (Fn Fn+2 + Fn+1 Fn+3 ) = Fn Fn+1 (Fn + 2Fn+2 ) + Fn+1 (Fn + 2Fn+1 ) = Fn Fn+1 (Fn + Fn+1 + 2Fn+2 ) + 2Fn+1 > Fn Fn+1 (3Fn+2 + 2Fn+1 ) = Fn Fn+1 Fn+5 Vì ta có 2F3n+3 − Fn Fn+1 Fn+6 > 2Fn Fn+1 Fn+5 − Fn Fn+1 Fn+6 = Fn Fn+1 (2Fn+5 − Fn+6 ) > Hoàn thành việc chứng minh Mệnh đề 1.2.16 ([3, Bổ đề 42]) Với n ≥ 2, có F2n F2n+1 − Fn+1 Fn+4 F2n−2 < (1.16) Chứng minh Áp dụng hệ thức (1.6) (1.9) ta có Fn+2 Fn+3 − Fn Fn+1 = F2n+3 , Fn+1 Fn+4 − Fn+2 Fn+3 = (−1)n Suy Fn+1 Fn+4 = Fn Fn+1 + F2n+3 + (−1)n > F2n+3 + Vì thế, ta có F2n F2n+1 − Fn+1 Fn+4 F2n−2 < F2n F2n+1 − (F2n+3 + 2)F2n−2 = (F2n F2n+1 − F2n−2 F2n+3 ) − 2F2n−2 = − 2F2n−2 ≤ Suy điều cần chứng minh 10 ... Chương Tổng nghịch đảo số Fibonacci Trong chương này, chúng tơi trình bày lại kết Ohtsuka Nakamura [1] kết Wang Wen [2] tổng hữu hạn vô hạn nghịch đảo số Fibonacci 2.1 Tổng hữu hạn nghịch đảo số. .. Fn ) Vì thế, (2.5) n ≥ 2.2 Tổng vô hạn nghịch đảo số Fibonacci Trong mục này, chúng tơi trình bày lại số kết Ohtsuka Nakamura số kết Wang Wen tổng vô hạn nghịch đảo số Fibonacci Trước tiên, chúng... 2.3 Tổng hữu hạn nghịch đảo bình phương số Fibonacci Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết Wang Wen tổng hữu hạn nghịch đảo bình phương số Fibonacci Mệnh đề 2.3.1 ([2, Mệnh đề 3.2]) Cho số