Mở đầu Cho A là tập con của tập tích Đề Các {1, , k}2 Bộ (a1, , ak) ∈ Zk được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một trên A nếu gcd(ai, aj) = 1 với mọi (i, j) ∈ A Trong trường hợp gcd(ai, aj) = 1 với[.]
Mở đầu Cho A tập tập tích Đề Các {1, , k}2 Bộ (a1 , , ak ) ∈ Zk gọi nguyên tố đôi A gcd(ai , aj ) = với (i, j) ∈ A Trong trường hợp gcd(ai , aj ) = với ≤ i < j ≤ k, (a1 , , ak ) ∈ Zk gọi nguyên tố đôi Nếu gcd(ai , aj ) 6= với ≤ i < j ≤ k ta nói (a1 , , ak ) khơng ngun tố đơi Tính chất ngun tố đơi có vai trị quan trọng lý thuyết số Nó giả thiết thiếu Định lý phần dư Trung Hoa tiếng chứng minh cách 750 năm (xem [11]) Cho đến nay, Định lý áp dụng nhiều lĩnh vực khác tốn học đại nhân đồng dư; tính tốn bắc cầu; lý thuyết mã hóa mật mã (xem [6]) Ngày nay, việc tính tốn nguyên tố đôi cần thiết để xác định số không nguyên tố đơi (xem [8], [14]) Chính lý này, tơi chọn đề tài "Về tính chất đơi ngun tố nhau" Mục đích thứ luận văn trình bày lại mt s kt qu v gi thuyt ca Erdăos cho trường hợp k = 1, 2, 3, 4, dựa theo báo [3] [4] Giả thuyết phát biểu rằng, số lớn số nguyên dương không vượt số nguyên dương n, cho từ số khơng thể trích k + số ngun nguyên tố đôi số số nguyên dương không vượt n bội k số nguyên tố Mục đích thứ hai luận văn trình bày lại kết Randell Heyman báo [9] xây dựng công thức gần với sai số thích hợp để tính số gồm ba số nguyên dương nhỏ số H cho trước, không nguyên tố đôi số gồm v số nguyên dương nhỏ số H cho trước, nguyên tố đôi tập A xác định Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương trình bày số tốn liên quan đến số nguyên tố đôi chứng minh khng nh cho gi thuyt ca Erdăos cỏc trường hợp k ≤ Chương trình bày kết chứng minh chi tiết cơng thức tính gần số nguyên dương nhỏ số H không nguyên tố đôi nguyên tố đôi tập A dựa lý thuyết đồ thị số cơng cụ giải tích Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình giáo TS Trần Đỗ Minh Châu Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy, giáo Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn bạn bè, người thân đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi để tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng Chương Giả thuyt Erdă os v k s nguyờn t cựng đơi Mục tiêu chương trình bày câu trả lời khẳng định cho giả thuyết P Erdăos v k s nguyờn t cựng tng đôi k ≤ Hai tiết đầu dành để nhắc lại khái niệm số tính chất ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ số toán số nguyên tố đôi Trong hai tiết tiếp theo, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh cho gi thuyt ca Erdăos k = 1, 2, 1.1 Chuẩn bị Trong tiết này, nhắc lại số khái niệm tính chất ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ số nguyên, khái niệm số nguyên tố đôi để tiện cho việc theo dõi nội dung phía sau Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a b hai số nguyên, b 6= Ta nói b chia hết a hay a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq Khi ta nói b ước a hay a bội b viết b | a hay a b Khi b không chia hết a ta viết b - a Ví dụ 1.1.2 −1, hai ước số nguyên a bội số nguyên b 6= Trong trường hợp khơng xảy quan hệ chia hết, ta có định lý phép chia có dư phát biểu sau Định lý 1.1.3 Với cặp số nguyên a, b, b 6= tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b| Hệ Định lý 1.1.3 vành số nguyên Z vành Vì vành Z có khái niệm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Chúng ta nhắc lại kết khái niệm Z, bỏ qua chứng minh Định nghĩa 1.1.4 (i) Một số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1 , a2 , , an d ước đồng thời số nguyên (ii) Với số nguyên (i = 1, 2, , n) ta kí hiệu U(ai ) tập hợp ước Hiển nhiên U(ai ) 6= ∅ có hữu hạn phần tử Rõ ràng Tn i=1 U(ai ) 6= ∅ bị chặn số lớn số |a1 |, |a2 |, , |an | , có số lớn d Hiển nhiên d chung a1 , a2 , , an thấy ước chung a1 , a2 , , an ước d Định nghĩa 1.1.5 Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d, gọi ước chung lớn số Ví dụ 1.1.6 Các số 1, −1, 2, −2 ước chung −6 Các ước chung lớn −6 −2 Nhận xét 1.1.7 (i) Tập hợp ước chung nhiều số cho trước trùng với tập hợp ước ước chung lớn số (ii) Nếu tất số a1 , a2 , , an tập hợp ước chung chúng Z \ {0} Khi khái niệm ước chung lớn khơng có nghĩa Do giả thiết số a1 , a2 , , an xét tất Hơn tập hợp ước chung số xét không thay đổi ta thêm hay bớt số Vì ta giả thiết thêm 6= với i = 1, 2, , n (iii) Nếu d ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) −d ước chung lớn (a1 , a2 , , an ) Hơn d d0 ước chung lớn a1 , a2 , , an d0 = ±d Do từ sau, khơng có nói thêm ta lấy số dương d ước chung lớn a1 , a2 , , an làm ước chung lớn a1 , a2 , , an kí hiệu d = gcd(a1 , a2 , , an ) Như vậy, ta định nghĩa: ước chung lớn số nguyên a1 , a2 , , an số lớn tập hợp ước chung chúng Với khái niệm ước chung lớn nhất, ta định nghĩa số nguyên tố nguyên tố đôi sau Định nghĩa 1.1.8 (i) Các số nguyên a1 , , an gọi nguyên tố ước chung lớn chúng (ii) Các số nguyên a1 , , an gọi nguyên tố đơi hai số chúng nguyên tố Ví dụ 1.1.9 6, 10, 15 nguyên tố gcd(6, 10, 15) = Các số 6, 7, 13 nguyên tố đơi gcd(6, 7) = gcd(7, 13) = gcd(6, 13) = Định lý sau khẳng định ước chung lớn số nguyên khác không cho trước tồn Định lý 1.1.10 Tồn ước chung lớn số nguyên khác không a1 , a2 , , an cho trước Hệ 1.1.11 Các khẳng định sau (i) Nếu d = gcd(a1 , a2 , , an ) tồn số nguyên u1 , u2 , , un cho d = a1 u1 + a2 u2 + + an un (ii) Điều kiện cần đủ để a1 , a2 , , an nguyên tố tồn số nguyên u1 , u2 , , un cho = a1 u1 + a2 u2 + + an un Ta ln tìm ước chung lớn số khác khơng cho trước nhờ vào thuật tốn Ơclit Tiếp theo, nhắc lại tính chất ước chung lớn Mệnh đề 1.1.12 Các khẳng định sau (i) Với k ∈ Z, k > ta có gcd(ka1 , ka2 , , kan ) = k ·gcd(a1 , a2 , , an ) (ii) Với δ ∈ Z, δ > 0, δ | (i = 1, 2, , n) ta có a a an gcd(a1 , a2 , , an ) , , , = gcd δ δ δ δ (iii) Một ước chung dương d số a1 , a2 , , an ước chung lớn a1 a2 an chúng gcd( , , , ) = d d d (iv) Nếu gcd(a, b) = b | ac b | c (v) Nếu gcd(a, b) = gcd(ac, b) = gcd(c, b) với c ∈ Z (vi) Nếu gcd(a, b) = gcd(a, c) = gcd(a, bc) = 1.2 Về số nguyên tố đôi Mục tiêu tiết nhắc lại khái niệm, tính chất số toán liên quan đến số nguyên tố đôi Định nghĩa 1.2.1 Một tập A tập số tự nhiên gọi nguyên tố đôi gcd(a, b) = với a, b ∈ A, a 6= b Nhận xét 1.2.2 (i) Nếu số tự nhiên a1 , , at nguyên tố đơi một, chúng ngun tố nhau, tức gcd(a1 , , at ) = Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, số 3, 5, nguyên tố nhau, không nguyên tố đôi (ii) Tồn tập hợp gồm vô hạn số nguyên tố đôi Chẳng hạn tập tất số nguyên tố Trong Bài tập 1.2.5, n thấy tập hợp {62 + | n ∈ N} tập vô hạn số tự nhiên nguyên tố đôi Giả thiết nguyên tố đôi sử dụng nhiều kết quan trọng số học Một kết Định lí phần dư Trung Hoa Định lí phần dư Trung Hoa kết lí thuyết số, phát biểu biết phần dư chia số n cho số m1 , , mt nguyên tố đơi một, ta xác định phần dư phép chia số n cho tích m1 mt Định lí phần dư Trung Hoa nhà toán học Trung Quốc Sunzi ghi chép vào kỉ thứ sau công nguyên Người Trung Quốc gọi Bài tốn Hàn Tín điểm binh Tục truyền Hàn Tín (229-196 trước cơng ngun) điểm qn số, ơng cho qn lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng báo số dư Từ ơng tính xác quân số đến người Ngày nay, Định lí phần dư Trung Hoa sử dụng rộng rãi Lí thuyết mật mã, đặc biệt việc tính tốn số ngun tố lớn Định lý 1.2.3 Cho m1 , , mt số nguyên dương nguyên tố đôi Khi với t số nguyên a1 , , at cho trước, hệ phương trình đồng dư x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) x ≡ at (mod mt ) có nghiệm modulo M , M = m1 mt Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn nghiệm Với i = 1, , t, đặt ni = m1 mi−1 mi+1 mt Do m1 , , mt số nguyên dương nguyên tố đôi nên gcd(ni , mi ) = 1, với i = 1, , t Suy tồn số nguyên ki cho ni ki ≡ (mod mi ) Đặt bi = ni ki Khi bi ≡ (mod mi ) bi ≡ (mod mj ) với j 6= i Suy x = b1 a1 + + bt at nghiệm hệ phương trình đồng dư cho Tiếp theo ta chứng minh Giả sử x, y nghiệm hệ cho Khi x ≡ y (mod mi ), với i = 1, , t Do m1 , , mt nguyên tố đôi nên x ≡ y (mod m1 mt ) Trong tốn phổ thơng, có nhiều toán liên quan đến số nguyên tố đôi Dưới số ví dụ Bài tập 1.2.4 Tìm số ngun dương nguyên tố đôi cho tổng hai số tùy ý số bội số cịn lại Lời giải Khơng tính tổng quát, ta giải thiết x < y < z Theo giả thiết, z ước x + y Vì x + y < 2z nên z = x + y (vì số tự nhiên lớn z nhỏ 2z bội z) Theo giả thiết, x ước y + z Vì z = x + y nên ta suy x ước x + 2y x ước 2y Vì x, y, z nguyên tố đôi một, nên gcd(x, y) = Suy x ước Do x = x = Hồn tồn tương tự ta có y = y = Vì x < y nên x = y = Do z ước + Vì y < z, nên z = Vậy, số cần tìm 1, 2, n Bài tập 1.2.5 Dãy số an = 62 + với n = 1, 2, nguyên tố đôi Chứng minh Cho n > m hai số nguyên dương Chia an cho am ta an = am q + r, ≤ r ≤ am − Suy r = an − am q Giả sử p ước chung am , an Khi p ước r Do ta cần tính r Ta có n m n−m 62 + = (62 )2 n−m + ≡ (−1)2 m + ≡ (mod (62 + 1)) Do r = Suy p ước Do an , am số lẻ, nên p = Vì gcd(an , am ) = với n 6= m Một toán quan tâm xác định số Pythagore nguyên tố đôi Nhắc lại số tự nhiên x, y, z gọi số Pythagore x2 +y = z Nếu số Pythagore x, y, z thỏa mãn gcd(x, y) = 1, ta nói x, y, z số Pythagore nguyên thủy Chẳng hạn 6, 8, 10 số Pythagore, 3, 4, số Pythagore nguyên thủy Chú ý x, y, z số Pythagore nguyên thủy, kx, ky, kz số Pythagore với k ∈ N Ngược lại, x, y, z x y z số Pythagore d = gcd(x, y), d ước z , , số d d d Pythagore nguyên thủy Như vậy, để xác định số Pythagore, cần xác định số Pythagore nguyên thủy Bài tập 1.2.6 Chứng minh số nguyên dương x, y, z số Pythagore nguyên tố đôi tồn hai số tự nhiên u > v nguyên tố không đồng thời số lẻ cho sau hoán vị x y ta có x = u2 − v , y = 2uv Chứng minh Giả sử x, y, z số Pythagore nguyên thủy Khi ta có gcd(x, y) = z = x2 + y Suy gcd(x2 , y ) = Vì thế, gcd(x2 , z ) = gcd(x2 , x2 + y ) = gcd(x2 , y ) = Suy gcd(x, z) = Tương tự ta có gcd(y, z) = Vì vậy, số Pythagore nguyên thủy nguyên tố đôi Ngược lại, x, y, z số Pythagore nguyên tố đơi một, phải số Pythagore ngun thủy Do đó, tốn suy từ kết quen biết số Pythagore nguyên thủy 1.3 Gi thuyt Erdă os v k s nguyờn t đôi Mục tiêu tiết l gii thiu mt gi thuyt ca Erdăos v k số nguyên tố đôi một, đồng thời đưa câu trả lời khẳng định cho giả thuyết k = k = Trong suốt tiết chúng tơi sử dụng kí hiệu Ak (n) Bk (n) định nghĩa tài liệu [4] sau Ký hiệu 1.3.1 Cho n ≥ k ≥ hai số tự nhiên Kí hiệu Ak (n) số số nguyên dương không vượt n chia hết cho k số nguyên tố Kí hiệu Bk (n) số t lớn cho tồn tập gồm t số nguyên dương không vượt n mà tập khơng thể trích k + số nguyên dương nguyên tố đôi Kết sau cho ta mối quan hệ Ak (n) Bk (n) Mệnh đề 1.3.2 Ta ln có Bk (n) ≥ Ak (n) Chứng minh Gọi k số nguyên tố p1 , p2 , , pk , nghĩa p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, Gọi X tập gồm số nguyên dương a cho a ≤ n a chia hết cho số nguyên tố pi với i ≤ k Giả sử tập X có r phần tử Khi đó, theo Kí hiệu 1.3.1, ta có Ak (n) = r Ta khẳng định không tồn k + số tập X nguyên tố đôi Thật vậy, lấy k + số tùy ý a1 , , ak+1 ∈ X Theo Nguyên lí Dirichlet (Dirichlet’s Principle), k + số a1 , , ak+1 , số chia hết cho k số nguyên tố p1 , , pk , phải tồn hai số , aj với i 6= j cho aj chia hết cho số nguyên tố pt với t ≤ k Suy gcd(ai , aj ) > Do a1 , , ak+1 nguyên tố đôi Suy Bk (n) ≥ r = Ak (n) Nm 1965, P Erdăos [7] ó ch rng k = k = 2, ta có đẳng thức Bk (n) = Ak (n) Vì ông đặt giả thuyết sau Giả thuyết 1.3.3 (Erdăos, 1965) Vi hai s nguyờn dng k n ta có Bk (n) = Ak (n) 10 ... gcd(a, bc) = 1.2 Về số nguyên tố đôi Mục tiêu tiết nhắc lại khái niệm, tính chất số toán liên quan đến số nguyên tố đôi Định nghĩa 1.2.1 Một tập A tập số tự nhiên gọi nguyên tố đôi gcd(a, b) =... Do m1 , , mt nguyên tố đôi nên x ≡ y (mod m1 mt ) Trong tốn phổ thơng, có nhiều tốn liên quan đến số nguyên tố đôi Dưới số ví dụ Bài tập 1.2.4 Tìm số nguyên dương nguyên tố đôi cho tổng hai... 1.4.2 Một tập số nguyên dương tốt chứa số nguyên tố đôi một, X không tốt ta nói X xấu Rõ ràng, có tập X tốt X tốt Ký hiệu 1.4.3 Cho n1 , n2 số nguyên dương Ta ký hiệu A(n1 , n2 ) số số nguyên