3 Chương 1 Các phương pháp số giải gần đúng phương trình Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toán tìm nghiệm phương trình phi tuyến, các phương pháp số giải phương trình phi tuyến, bao gồm phươ[.]
3 Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Trong chương này, chúng tơi giới thiệu tốn tìm nghiệm phương trình phi tuyến, phương pháp số giải phương trình phi tuyến, bao gồm phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp Newton, phương pháp dây cung Các phương pháp trình bày chi tiết thuật tốn ví dụ minh họa, có so sánh phương pháp 1.1 Kiến thức chuẩn bị Nhiều toán khoa học kỹ thuật phát biểu sau Bài toán 1.1.1 ([4]) Cho hàm liên tục f (x), tìm số x = ξ cho f (ξ) = Các toán gọi tốn tìm nghiệm phương trình f (x) = Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Số x = ξ thỏa mãn f (ξ) = gọi nghiệm phương trình f (x) = hay khơng điểm hàm f (x) Hàm f (x) hàm liên tục phi tuyến Một số cách giải phương trình phi tuyến là: Tìm nghiệm giải tích: thực với số phương trình đặc biệt Phương pháp đồ thị: hữu ích cho việc đưa dự đoán ban đầu cho phương pháp khác Phương pháp số: gồm phương pháp mở phương pháp bracket (khoảng) Các phương pháp bracket bắt đầu với khoảng phân ly chứa nghiệm sử dụng thủ tục để thu khoảng phân ly nhỏ chứa nghiệm Ví dụ phương pháp chia đơi, phương pháp vị trí sai Trong phương pháp mở, phương pháp bắt đầu với dự đoán ban đầu Trong lần lặp, ta tìm dự đốn nghiệm Các phương pháp mở thường hữu ích phương pháp bracket chúng khơng hội tụ tới nghiệm Một số phương pháp mở thường gặp phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp dây cung Cách phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến minh họa hình sau Hình 1.1: Phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến Hầu hết phương pháp số tìm nghiệm chất phương pháp lặp Ý tưởng phương pháp lặp là: Bắt đầu với phép xấp xỉ ban đầu x0 , xây dựng dãy lặp {xk } công thức lặp với hy vọng dãy hội tụ tới nghiệm f (x) = Hai khía cạnh quan trọng phương pháp lặp là: hội tụ tiêu chuẩn dừng Việc xác định tiêu chuẩn dừng thống phức tạp nhiều lý Dưới tiêu chuẩn thô, sử dụng để dừng phép lặp chương trình máy tính Tiêu chuẩn dừng phương pháp lặp tìm nghiệm ([4]) Chấp nhận x = ck nghiệm f (x) = thỏa mãn tiêu chuẩn sau: |f (ck )| ≤ ε (Giá trị hàm nhỏ giới hạn chấp nhận được) |c − ck | k−1 ≤ ε (Sự thay đổi tương đối nhỏ giới |ck | hạn chấp nhận được) Số lần lặp k lớn số N xác định trước 1.2 Phương pháp chia đôi Như tên gợi ý từ tên phương pháp, phương pháp dựa việc chia đôi liên tục khoảng chứa nghiệm Ý tưởng phương pháp đơn giản Ý tưởng chính: Giả sử f hàm liên tục đoạn [a, b] f (a).f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm thực x = ξ nằm đoạn [a, b] a+b điểm nằm [a, b] Nếu Chia đôi đoạn [a, b] đặt c = f (c) = c nghiệm Ngược lại, hai đoạn [a, c] [c, b] chứa nghiệm Tìm đoạn mà chứa nghiệm tiếp tục chia đơi đoạn Tiếp tục q trình chia nghiệm nằm đoạn đủ nhỏ cho đảm bảo độ xác yêu cầu Để thực thi ý tưởng trên, ta phải biết phép lặp đoạn hai đoạn chứa nghiệm f (x) = Định lý giá trị trung gian giải tích giúp ta xác định khoảng phép lặp Chứng minh định lý xem giáo trình giải tích Định lý 1.2.1 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) M số nằm f (a) f (b) Khi đó, tồn số c thuộc [a, b] cho f (c) = M Hệ quả: Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) f (a) f (b) ngược dấu Khi tồn nghiệm x = c f (x) = đoạn [a, b] Thuật toán 1.2.2 (Phương pháp chia đôi, [4]) Đầu vào: f (x) hàm cho trước, a0 , b0 hai số thỏa mãn f (a0 )f (b0 ) < Đầu ra: Một phép xấp xỉ nghiệm f (x) = [a0 , b0 ] Với k = 0, 1, 2, , thực thỏa mãn: a + bk • Tính ck = k • Sử dụng tiêu chuẩn dừng kiểm tra ck nghiệm cần tìm Nếu dừng • Nếu ck khơng nghiệm cần tìm, kiểm tra f (ck )f (ak ) < Nếu đúng, đặt bk+1 = ck ak+1 = ak Nếu ngược lại, đặt ak+1 = ck , bk+1 = bk Kết thúc Ví dụ 1.2.3 Tìm nghiệm dương f (x) = x3 − 6x2 + 11x − = phương pháp chia đơi Giải Tìm đoạn [a, b] chứa nghiệm Vì phương pháp chia đơi tìm nghiệm đoạn [a, b] cho trước, ta phải tìm đoạn [a, b] trước Ta thực theo định lý giá trị trung gian Cho a0 = 2.5 b0 = Cả hai giả thiết định lý giá trị trung gian với f (x) đoạn [2.5, 4] (i) f (x) = x3 − 6x2 + 11x − liên tục [2.5, 4] (ii) f (2.5)f (4) = (−0.375).6 < Do đó, theo định lý giá trị trung bình tồn nghiệm f (x) = [2.5, 4] Dữ liệu đầu vào f (x) = x3 − 6x2 + 11x − a0 = 2.5, b0 = Lặp lần (k = 0): a0 + b0 = 3.25 Vì f (c0 )f (a0 ) = f (3.25)f (2.5) < 0, đặt b1 = c0 , a1 = a0 c0 = Lặp lần (k = 1): a1 + b1 = 2.8750 Vì f (c1 )f (a1 ) > 0, đặt a2 = c1 = 2.8750, b2 = b1 c1 = Lặp lần (k = 2): a1 + b1 = 3.0625 Vì f (c2 )f (a2 ) = f (3.0625)f (2.875) < 0, đặt b3 = c2 , a3 = a2 c2 = Lặp lần (k = 3): a + b2 = 2.9688 Rõ ràng phép lặp hội tụ dần nghiệm xác x = c3 = Chú ý 1.2.4 Từ phát biểu thuật tốn chia đơi, thuật tốn ln ln hội tụ tới nghiệm Tuy nhiên, tốc đội hội tụ phương pháp chia đơi chậm Có thể lần lặp thứ k xảy việc tính ck bị q giới hạn máy tính Tốt ta nên tính ck ck = a k + bk − a k Tiêu chuẩn dừng Vì phương pháp lặp, ta phải xác định số tiêu chuẩn dừng mà cho phép phép lặp kết thúc Dưới số tiêu chuẩn dừng thường gặp Cho ε sai số cho phép, tức ta muốn thu nghiệm với sai số nhiều ε Ta tìm số lần lặp N cần thiết để phương pháp chia đơi đạt độ xác mong muốn Độ dài đoạn sau N phép lặp b0 − a0 < ε, tức phải có 2N b0 − a0 Để thu độ xác ε ta 2N 2−N (b0 − a0 ) ≤ ε hay 2N ≥ b0 − a ε Suy N log10 ≥ log10 (b0 − a0 ) − log10 ε hay N≥ log10 (b0 − a0 ) − log10 ε log10 Định lý 1.2.5 ([4]) Số lần lặp N cần thiết phương pháp chia đơi để thu độ xác ε xác định N≥ log10 (b0 − a0 ) − log10 ε log10 (1.1) Nhận xét 1.2.6 Số lần lặp N phụ thuộc vào đoạn [a0 , b0 ] chứa nghiệm Ví dụ 1.2.7 Tìm số lần lặp để thuật tốn chia đơi xấp xỉ nghiệm x = phương trình x3 − 6x2 + 11x − = với sai số cho phép 10−3 Dữ liệu vào: ( đầu mút đoạn: a = 2.5, b = sai số cho phép: t = 10−3 Sử dụng bất đẳng thức (1.1), giá trị a0 b0 vào công thức, ta N≥ log10 (1.5) − log10 (10−3 ) log10 (1.5) + = = 10.5507 log10 log10 Cho nên, cần 11 lần lặp để thu độ xác mong muốn sử dụng phương pháp chia đơi Nhận xét 1.2.8 Vì số lần lặp N cần để thu độ xác phụ thuộc vào độ dài ban đầu khoảng chứa nghiệm, ta nên cố gắng chọn đoạn ban đẩu [a0 , b0 ] nhỏ 1.3 Phương pháp lặp Định nghĩa 1.3.1 ([4]) Số (điểm) ξ gọi điểm bất động hàm (ánh xạ) g(x) g(ξ) = ξ Giả sử phương trình f (x) = viết lại thành x = g(x), tức f (x) = x − g(x) = Khi điểm bất động ξ g(x) nghiệm phương trình f (x) = f (ξ) = ξ − g(ξ) = ξ − ξ = Do đó, ta tìm nghiệm f (x) = cách tìm điểm bất động x = g(x), mà tương đương với tìm nghiệm phương trình f (x) = Việc tìm nghiệm phương trình f (x) = cách tìm điểm bất động x = g(x) gợi ý thuật toán lặp sau Bắt đầu với giá trị đề xuất ban đầu x0 lập dãy {xk } xác định xk+1 = g(xk ), k = 0, 1, 2, Nếu dãy {xk } hội tụ, {limk→∞ xk = ξ} nghiệm f (x) = Từ lại phát sinh câu hỏi: Bài toán 1.3.2 ([4]) Cho f (x) = đoạn [a, b] Bằng cách ta viết f (x) = dạng x = g(x) cho dãy {xk } xác định xk+1 = g(xk ) hội tụ tới nghiệm x = ξ với cách chọn phép xấp xỉ ban đầu x0 ? Cách đơn giản để viết f (x) = dạng x = g(x) cộng x vào hai vế, tức x = f (x) + x = g(x) 10 Nhưng lúc ta làm điều để dãy lặp hội tụ Thật vậy, xét lại Ví dụ 1.2.3 Ta có f (x) = x3 − 6x2 + 11x − = Định nghĩa g(x) = x + f (x) = x3 − 6x2 + 12x − Ta biết phương trình có nghiệm thuộc [2.5, 4], cụ thể có nghiệm x = Bắt đầu phép lặp xk+1 = g(xk ) với x0 = 3.5 Khi đó, ta có x1 = g(x0 ) = 5.375, x2 = g(x1 ) = g(5.3750) = 40.4434, x3 = g(x2 ) = g(40.4434) = 5.6817 × 104 , x4 = g(x3 ) = g(5.6817 × 104 ) = 1.8340 × 1014 Rõ ràng dãy {xn } phân kỳ Sự hội tụ phân kỳ phương pháp lặp minh họa đồ thị sau Hình 1.2: Sự hội tụ phương pháp lặp điểm bất động Định lý sau cho ta điều kiện đủ g(x) để đảm bảo hội tụ dãy {xk } với phép xấp xỉ x0 [a, b] Định lý 1.3.3 (Lặp điểm bất động, [4]) Cho f (x) = viết dạng x = g(x) Giả sử g(x) thỏa mãn tính chất sau: 11 (i) Với x thuộc [a, b], g(x) ∈ [a, b], tức g(x) nhận giá trị a b (ii) g (x) tồn (a, b) với tính chất tồn số dương < r < cho |g (x)| ≤ r, với x ∈ (a, b) Khi đó, (i) tồn điểm bất động x = ξ g(x) [a, b] (ii) với x0 ∈ [a, b], dãy {xk } xác định xk+1 = g(xk ), k = 0, 1, hội tụ tới điểm bất động x = ξ, tức hội tụ tới nghiệm ξ f (x) = Định lý hệ định lý điểm bất động Banach không gian metric đầy đủ Tuy nhiên, để thuận lợi sử dụng, ta chứng minh kiến thức sơ cấp Chứng minh định lý lặp điểm bất động cần tới hai định lý quan trọng giải tích: định lý giá trị trung gian định lý giá trị trung bình Định lý giá trị trung gian phát biểu trước Bây ta phát biểu định lý giá trị trung bình Định lý 1.3.4 (Định lý giá trị trung bình) Cho f (x) hàm thỏa mãn (i) liên tục [a, b] (ii) khả vi (a, b) Khi tồn c thuộc (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c) b−a Chứng minh Định lý 1.3.3 Chứng minh gồm ba bước: tồn tại, tính nhất, hội tụ Vì điểm bất động g(x) nghiệm f (x) = 0, điều đồng nghĩa với chứng minh tồn điểm bất động [a, b] 12 Đầu tiên, xét trường hợp g(a) = a g(b) = b Nếu g(a) = a, x = a điểm bất động g(x) Do đó, x = a nghiệm f (x) = Nếu g(b) = b, x = b điểm bất động g(x) Do đó, x = b nghiệm f (x) = Tiếp theo, xét trường hợp tổng quát hai giả thiết không Tức g(a) 6= a g(b) 6= b Trong trường hợp này, g(a) > a g(b) < b theo giả thiết thiết (i), g(a) g(b) thuộc [a, b] g(a) 6= a g(b) 6= b Bây giờ, đặt h(x) = g(x) − x Ta h(x) thỏa mãn hai giả thiết định lý giá trị trung gian Vì g(x) liên tục, h(x) liên tục [a, b] Ta có h(a) = g(a) − a > h(b) = g(b) − b < Nên theo định lý giá trị trung gian, tồn số c thuộc đoạn [a, b] cho h(c) = Điều có nghĩa g(c) = c Tức x = c điểm bất động Điều chứng minh phần tồn định lý Ta chứng minh tính phản chứng Giả sử ξ1 ξ2 hai điểm bất động g(x) [a, b] ξ1 6= ξ2 Vì g(x) khả vi nên liên tục đoạn [ξ1 , ξ2 ] Nên theo định lý giá trị trung bình, tồn c ∈ (ξ1 , ξ2 ) cho g(ξ2 ) − g(ξ1 ) = g (c) ξ2 − ξ1 Do g(ξ1 ) = ξ1 , g(ξ2 ) = ξ2 , ta ξ2 − ξ1 = g (c) ξ2 − ξ1 Tức g (c) = 1, mẫu thuẫn với giả thiết (ii) Do đó, ξ1 = ξ2 Cho ξ nghiệm f (x) = Khi sai số tuyệt đối bước thứ k + ek+1 = |ξ − xk+1 | (1.2) Để chứng minh dãy hội tụ, ta cần limk→∞ ek+1 = Áp dụng định lý giá trị trung bình cho g(x) [xk , ξ] Vì g(x) thỏa mãn hai giả thiết định lý giá trị trung bình đoạn [xk , ξ], ta g(ξ) − g(xk ) = g (c), ξ − xk (1.3) ... dụ phương pháp chia đơi, phương pháp vị trí sai Trong phương pháp mở, phương pháp bắt đầu với dự đoán ban đầu Trong lần lặp, ta tìm dự đốn nghiệm Các phương pháp mở thường hữu ích phương pháp. .. lý phương pháp lại gọi phương pháp dây cung Hình 1.4: Biểu diễn hình học phương pháp dây cung Phương pháp Newton nói chung hội tụ nhanh phương pháp dây cung Tốc độ hội tụ hai phương phương pháp. .. số phương pháp mở thường gặp phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp dây cung Cách phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến minh họa hình sau Hình 1.1: Phân loại phương